Độ rộng của phân rã Squark thành Boson Higgs và Squark trong MSSM

Lời cảm ơn
Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn tới Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội, nơi đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khoá học của
mình. Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn tới toàn thể các thầy cô giáo
trong nhà trường đã giảng dạy, hướng dẫn tận tình cho em trong quá trình
học tập tại trường.
Em xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể các thầy cô trong Tổ Vật lý lý
thuyết, khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và giúp
đỡ em để em hoàn thành tốt luận văn của mình. Đặc biệt, em xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy TS. Nguyễn Chính Cương, người đã trực
tiếp chỉ bảo và hướng dẫn tận tình em trong suốt quá trình thực hiện luận
văn.
Cuối cùng, em xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và các
đồng nghiệp- những người đã luôn ở bên em để giúp đỡ và chia sẻ những
khó khăn với em trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn của
mình.
Hà Nội, tháng 9 năm 2014
Tác giả

Nguyễn Thị Phương Thúy

1


MỤC LỤC

Mở đầu .........................................................................................................1
Chương 1:
Mẫu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu (MSSM) ....................................6
1.1. Mở đầu ....................................................................................................6
1.2. Bảng các hạt có trong MSSM ...............................................................7

1.3. Lagrangian siêu đối xứng của MSSM .................................................8
1.4. Cơ chế phá vỡ siêu đối xứng mềm và khối lượng các hạt ..................11

Chương 2:
Vi phạm đối xứng CP ..............................................................................16
2.1. Mở đầu ....................................................................................................16
2.2. Vi phạm đối xưng CP trong mô hình chuẩn .......................................23
2.3. Vi phạm đối xứng CP trong MSSM .....................................................25

Chương 3: Độ rộng của phân rã Squark thành Boson Higgs và
Squark trong MSSM................................................................................39
3.1. Độ rộng của phân rã Squark thành Boson Higgs và Squark tính đến
mức cây...........................................................................................................39
3.2. Độ rộng phân rã tính đến hiệu chỉnh đỉnh một vòng..........................44
3.3. Hiệu chỉnh hằng số tương tác và khối lượng - tái chuẩn hoá hàm sóng
.........................................................................................................................48
3.4. Các kết quả tính số và thảo luận...........................................................58

Kết luận chung ......................................................................................62
Phụ lục..........................................................................................................63
Danh mục các tài liệu tham khảo.........................................................67

MỞ ĐẦU
2


1. Lí do chọn đề tài
Cho đến nay người ta biết rằng, giữa các hạt cơ bản tồn tại 4 loại tương tác:
tương tác mạnh, tương tác yếu, tương tác điện từ và tương tác hấp dẫn [5]. Xây
dựng lí thuyết thống nhất các tương tác là nội dung chính của nghiên cứu vật lí

hạt cơ bản. Ý tưởng của Einstein về vấn đề thống nhất tất cả các tương tác vật lí
có trong tự nhiên đồng thời cũng là ước mơ chung của nhiều nhà vật lí hiện nay
[5]. Một bước ngoặt đáng kể là khi Glashow, Weinberg và Salam đưa ra được
mô hình thống nhất tương tác yếu và tương tác điện từ trên cơ sở nhóm gauge
±
SUL(2)⊗UY(1) [3, 4]. Việc phát hiện các boson gauge truyền tương tác yếu W ,

Z0 phù hợp với tiên đoán của lí thuyết đã khẳng định tính đúng đắn của mô hình
[5]. Tương tác mạnh cũng được mô tả rất thành công trong khuôn khổ của sắc
động học lượng tử (QCD) dựa trên nhóm gauge SUC(3) [3,4,5]. Mô hình chuẩn
(SM) đã ra đời trên cơ sở nhóm gauge SUC(3)⊗SUL(2)⊗UY(1) [3,4] nhằm thống
nhất tương tác mạnh và tương tác điện từ - yếu. SM đã chứng tỏ là một lí thuyết
tốt khi mà hầu hết các dự đoán của nó đã được thực nghiệm khẳng định ở vùng
năng lượng ≤ 200 GeV [5].
Mặc dù vậy, SM vẫn còn nhiều hạn chế, trước hết là liên quan đến các quá
trình xảy ra ở vùng năng lượng cao hơn [5] và thêm nữa là chưa giải quyết được
một số vấn đề lí thuyết cơ bản của bản thân mô hình như: có một số lớn các
tham số tự do như các hằng số tương tác, vấn đề phân bậc, [5] . . . Những hạn
chế này dẫn đến sự cần thiết phải nghiên cứu các mẫu chuẩn mở rộng.
Ý tưởng về siêu đối xứng (SUSY), đã được đề xuất vào những năm 1970
[3,4]. SUSY là đối xứng duy nhất đã biết có thể liên hệ các hạt với tính thống kê
khác nhau là boson và fecmion, và có ý nghĩa quan trọng trong nhiều lĩnh vực
phát triển của vật lí lí thuyết ở giai đoạn hiện nay, ví dụ như trong lí thuyết dây
[5]. Ngoài ra có nhiều nguyên nhân về mặt hiện tượng luận làm cho SUSY trở
nên hấp dẫn. Thứ nhất là, nó hứa hẹn giải quyết vấn đề thứ bậc (hierarchy) còn
3


tồn tại trong mẫu chuẩn [5]. Thứ hai là, trong lí thuyết siêu đối xứng, hạt Higgs
có thể xuất hiện một cách tự nhiên như hạt vô hướng cơ bản và nhẹ [5]. Hơn

nữa, trong sự mở rộng siêu đối xứng của mẫu chuẩn, tương tác Yukawa góp
phần tạo nên cơ chế phá vỡ đối xứng điện từ yếu [5].
Bổ chính vòng là một vấn đề quan trọng trong lí thuyết trường lượng tử.
Việc tính bổ chính vòng đã dẫn đến sự phù hợp rất tốt giữa lí thuyết và thực
nghiệm trong việc tính mômen từ dị thường và dịch chuyển Lamb trong QED [5].
Trong QCD và các lí thuyết thống nhất, việc tính đến bổ chính vòng là cần thiết,
tuy nhiên kỹ thuật tính toán phức tạp hơn nhiều so với QED, đồng thời khối lượng
tính toán cũng nhiều hơn nên một số bài toán mới chỉ dừng lại ở bổ đính một
vòng [5].
Vi phạm đối xứng CP xuất hiện một cách tự nhiên trong ba thế hệ của mẫu
chuẩn và tồn tại ở pha δKM của ma trận phức Cabibbo-Kobayashi-Maskawa
(CKM) [5]. Nghiên cứu vi phạm đối xứng CP trong MSSM đã trở nên cấp thiết
khi các kết quả nghiên cứu gần đây cho thấy nếu xét tới vi phạm đối xứng CP
cũng như việc tính đến bổ chính vòng của các quá trình vật lí trong MSSM sẽ có
những hiệu chỉnh không nhỏ tới các đại lượng vật lí của các quá trình này
[8,9,10], những hiệu chỉnh đó có ý nghĩa vô cùng quan trọng giúp thực nghiệm
tìm ra các hạt mới của mẫu. Ngoài ra, nghiên cứu vi phạm đối xứng CP trong
MSSM còn có thể cho thấy đối xứng CP bị vi phạm ở mức độ nào khi so sánh
kết quả lí thuyết với thực nghiệm.
Trong các mẫu chuẩn siêu đối xứng, fecmion luôn đi kèm với boson (chúng
được gọi là các bạn đồng hành siêu đối xứng “superpartner”) nên số hạt đã tăng
lên [6]. Các tiến bộ về mặt thực nghiệm đối với việc đo chính xác các hằng số
tương tác cho phép ta từng bước kiểm tra lại các mô hình thống nhất đã có. Hơn
mười năm sau giả thuyết về các lí thuyết thống nhất siêu đối xứng, các nghiên
cứu đã cho thấy rằng các mô hình siêu đối xứng cho kết quả rất tốt tại điểm đơn
(single point) [5]. Tuy nhiên cho tới nay, thực nghiệm chưa phát hiện được hạt
nào trong các bạn đồng hành siêu đối xứng của các hạt đã biết. Do đó, một trong
4

những vấn đề có tính thời sự của vật lí hạt cơ bản hiện nay là nghiên cứu các quá
trình vật lí trong đó có sự tham gia của các hạt được đoán nhận trong các mẫu
chuẩn siêu đối xứng để hy vọng tìm được chúng từ thực nghiệm. Những quá
trình vật lí được thực nghiệm quan tâm phải kể đến là các quá trình va chạm e +eva chạm µ+µ- [5], và các quá trình phân rã của các hạt mới [8, 9, 10].
Có thể nói mẫu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu (MSSM) là một trong những
hướng mở rộng có nhiều hứa hẹn nhất của SM. MSSM được quan tâm nghiên
cứu và đã cho những kết quả hấp dẫn về mặt lí thuyết. Cho tới những năm 19971999, hầu hết các nghiên cứu về phân rã của các hạt squark tạo thành W ± và Z0,
tạo thành boson Higgs [5] cũng như việc nghiên cứu các quá trình va chạm hủy
cặp e+e-, µ+µ- . . . [5] khi chưa tính đến vi phạm CP cũng đã cho những kết quả
bước đầu giúp chúng ta có những đánh giá số về các tham số tự do của mẫu.
Từ năm 1996 - 2000, việc xét tới vi phạm CP trong MSSM bắt đầu được
đề cập tới trong các công trình nghiên cứu về: Các quá trình va chạm hủy cặp
e+e-, µ+µ-; Vi phạm CP trong phần Higgs của siêu đối xứng [6]. . . Các nghiên
cứu về vi phạm CP trong MSSM thực sự trở nên rộng rãi kể từ sau năm 2000,
các quá trình hủy cặp e+e-, µ+µ- và các quá trình phân rã squark đã được nghiên
cứu đến hiệu chỉnh đỉnh một vòng và có tính đến vi phạm CP. Do đó việc
nghiên cứu quá trình phân rã squark thành squark và boson higgs trong MSSM
có kể tới vi phạm CP và tính đến bổ đính một vòng là một trong những vấn đề
cần được giải quyết hoàn chỉnh hơn.
2. Mục đích nghiên cứu
* Trong phạm vi MSSM, nghiên cứu các quá trình phân rã của các hạt
squark thành squark và boson higgs với mục đích:
1/ Đưa ra kết quả giải tích của độ rộng phân rã ở mức cây Γ0 của các
quá trình trên khi tính đến vi phạm đối xứng CP.
2/ Đưa ra kết quả giải tích hiệu chỉnh một vòng của độ rộng phân rã
δΓ của các quá trình trên khi tính đến vi phạm đối xứng CP.
5


3/ Vẽ đồ thị đánh giá ảnh hưởng của vi phạm đối xứng CP đối với độ

rộng phân rã, từ đó so sánh, đánh giá ảnh hưởng của các tham số phức.
3. Phương pháp nghiên cứu
* Sử dụng các quy tắc Feynman [5] để tính giải tích độ rộng phân rã, hiệu
chỉnh vòng và tính các giản đồ năng lượng riêng.
* Các phương pháp khử phân kì trong lí thuyết trường lượng tử [1, 5], đặc
biệt là phương pháp chỉnh thứ nguyên có đóng góp quan trọng trong việc tính
các hiệu chỉnh vòng của các quá trình phân rã.
* Các phương pháp khác: So sánh đánh giá; Các phương pháp giải tích số;
Lập trình trên các phần mềm tính toán.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu độ rộng phân rã của các quá
trình rã squark thành squark và boson higgs. Các bài toán đều được xem xét
trong điều kiện vi phạm đối xứng CP và đánh giá ảnh hưởng của vi phạm CP.
Phạm vi nghiên cứu được giới hạn trong gần đúng mức cây hoặc tính thêm bổ
chính một vòng.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn
Những nghiên cứu của luận văn nhằm góp phần làm sáng tỏ ảnh hưởng
của vi phạm đối xứng CP tới một quá trình phân rã squark trong MSSM, từ đó
có những đánh giá chính xác hơn giúp tìm ra các hạt mới trong các lí thuyết siêu
đối xứng, làm phong phú thêm kiến thức về thế giới hạt vi mô.
6. Bố cục của luận văn
Đề tài ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục có 3 chương:
Chương 1: “Mẫu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu (MSSM)”
Chương 2: “Vi phạm đối xứng CP”
Chương 3: “Độ rộng của phân rã squark thành squark và boson higgs trong
MSSM”
6


7

Chương 1

Mẫu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu (MSSM)
Siêu đối xứng là một đối xứng giữa fermion và boson, hay chính xác hơn,
giữa các trạng thái có spin khác nhau. Các phép biến đổi siêu đối xứng được
sinh bởi các vi tử (generator) Q, biến fermion thành boson và ngược lại. Các vi
tử này cùng với các vi tử của nhóm Poincare ( Pµ ) tạo thành đại số siêu đối
xứng[3,4]:

{

}

Qα , Pµ  = Qα&, Pµ  = { Qα , Qβ } = Qα&, Qβ& = 0,

(1.1)

{ Q , Q } = 2σ

(1.2)

α

β&

µ
&
βα

Pµ ,

1
Qα , M µν  = ( σ µν
2

)

β
α

1
Qβ , Qα&, M µν  = ( σ µν
2

)

β&
α&

Qβ&.

(1.3)

Với σµ là các ma trận Pauli. Các trạng thái hạt trong một thuyết trường siêu đối
xứng thành lập các biểu diễn của đại số (1.1-1.3). Các biểu diễn siêu đa tuyến có
một tính chất quan trọng như sau:
* Số bậc tự do của boson và femion là bằng nhau, nB = nF.
* Khối lượng của mọi trạng thái trong một siêu đa tuyến là suy biến, mB = mF.

* Năng lượng Po ≥ 0.
1.1. Mở đầu
Mẫu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu (MSSM - Minimal Supersymmetric
Standard Model) được xây dựng trên cơ sở ý tưởng mở rộng mẫu chuẩn một
cách tiết kiệm và đơn giản nhất, vẫn sử dụng nhóm đối xứng chuẩn
SU(3)⊗SU(2)⊗U(1) nhưng thay trường bình thường bởi siêu trường (trường +
superpaner). Trước hết, phải bổ sung các hạt siêu đối xứng tương ứng với các
hạt đã biết trong mô hình chuẩn để lập nên các siêu đa tuyến [3,4]:
* Các boson chuẩn:

Wµi ; Bµ , Gµα

được mở rộng thành các siêu đa tuyến vector
8


%a
%
i
bằng cách bổ sung các spinor W%(Wino), B (Bino), G (Gluino) - được gọi

chung là các gaugino.
* Các quark và lepton: được mở rộng thành các siêu đa tuyến chiral bằng
cách bổ sung các hạt vô hướng tương ứng được gọi là các scalar quark (squark)
và scarlar lepton (slepton) hay gọi chung là scalar fermion (sfermion).
* Các hạt Higgs: Các hạt vô hướng Higgs có thể được mở rộng thành siêu đa
tuyến chiral bằng cách bổ sung spinor đồng hành Higgsino. Nhưng chỉ với một
siêu đa tuyến chiral Higgs như vậy thì không đủ để tính khối lượng cho tất cả
các quark và lepton, vì các số hạng tương tác Yukawa trong các lý thuyết gauge
siêu đối xứng xuất phát từ các siêu thế, chỉ chứa các siêu trường chiral chứ

không chứa liên hợp hermitic của các siêu trường này. Do đó, để tính khối lượng
cho các quark với điện tích 2/3, cần có thêm một siêu đa tuyến chiral Higgs độc
lập, H%:(1,2,+1/2).
1.2. Bảng các hạt có trong MSSM
Cấu trúc hạt của MSSM được tóm tắt trong bảng 1. Cách ký hiệu các siêu
đa tuyến chiral ứng với quark và lepton trong bảng 1 được hiểu như sau:
Q a : các quark phân cực trái,
U Ca , DCa : phản quark phân cực trái,
La : lepton phân cực trái,
ECa : phản lepton phân cực trái,

với a là chỉ số các thế hệ quark và lepton.Trong đó:
 u%+
Q= L
 d%+
 L

2θ .u L 
÷
*
*
%
%
2θ .d L ÷
 , U C = u R + 2θ .uR , DC = d R + 2θ .d R ,

(

)

0
 H 0 + 2θ H%

 H + + 2θ H%2+ 
1
H1 =  1
H2 =  2
÷
÷
 H − + 2θ H%− ÷
 H 0 + 2θ .H%0 ÷
 1
1 ,
 2
2 .

9

(

)

(1.4)
(1.5)


Siêu đa

Fermion

Boson

Higg

Lepton

Quark

tuyến

SU(2

)

)

UY(1) U(1)em

U a 
Qa =  a ÷
D 

qLa (s =0,5)

a
q%
L (s =0)

3

2

1/6

 2/3 


−
1
/
3



U Ca

uRa (s =0,5)

a*
u%
R (s =0)

3

1

-2/3

-2/3

(s =0) 3

1

1/3

1/3

a
R

a*
d%
R

DCa

d

 Na 
La =  a ÷
E 

lLa (s =0,5)

a
l%
L

1

2

1
-2

0
 
 − 1

ECa

eRa (s =0,5)

a*
e%
R (s =0)

1

1

1

1

0
 h%

1

 −÷
 h%
÷
 1 

 h10 
 −÷
 h1 

1

2

1
-2

0
 −1÷
 

1

2

(s=0,5)

(s=0)

1
2

0
 ÷
1

B%(s =0,5)

B (s =1) 1

1

0

0

W%(s

W (s

3

0

( 0, ±1)

1

0

0

H 
H1 = 
÷
H 
0
1
−
1

(s =0,5)

H 
H2 = 
÷
H 
+
2
0
2

V1
V2
V3

(s =0)

(s=0)

(s=0,5)

+

koson gauge

SU(3

 h%

2
 − ÷
%÷
 h2 

 h2+ 
 0÷
 h2 

1
=1)
=0,5)
G%(s =0,5) G (s =1) 8

Bảng 1: Cấu trúc hạt của MSSM

1.3. Lagrangian siêu đối xứng của MSSM
Lagrangian của MSSM được xây dựng trên cơ sở Lagrangian của mô hình
chuẩn (SM) [1,5]:

1 a μν 1 i μν 1
L SM = − G μν

G a − A μν A i − B μν B μν + (D μ h ) + (D μ h)
4
4
4
3

i
i
i
i
i
+ ∑  i q L γ μ D μ q iL + i u R γ μ D μ u iR + i d R γ μ D μ d iR + i l L γ μ D μ l iL + i e R γ μ D μ e iR 


i =1

10


+

∑ (( Yu ) ij q Li u Rj iτ 2 h * + ( Yd ) ij q Li d Rj h + ( Yl ) ij lLi e Rj h + h.c.) − V( h + , h).
3

i , j =1

(1.6)

Thế vô hướng cho lưỡng tuyến Higgs được chọn [5], là

( )

( )

2

V h, h = μ 2 h + h − λ h + h ,

(1.7)

với λ < 0 (vì ngược lại thì hệ vật lí không bền 1). Với µ2 < 0, đối xứng
SU(2)L⊗U(1)Y bị phá vỡ thành đối xứng U(1)EM, khi đó, cực tiểu của thế vô

μ2
h h =−
2λ [5].
hướng không nằm tại <h> = 0, mà tại
+

Lagrangian của MSSM về cơ bản có dạng như (1.6). Để có biểu thức cụ thể
của Lagrangian, ta phải viết các phép biến đổi gauge tương ứng dưới các nhóm
đối xứng SU(3)C, SU(2)L, và U(1)Y cho các siêu trường chiral khác nhau [3,4].
- Các phép biến đổi gauge SU(3)C:
Q a → e iΛ 3 Q a ,
U aC → e − iΛ3 U aC ,
D aC → e − iΛ3 D aC ,
La , E aC , H1 , H 2 → La , E aC , H1 , H 2 .

(1.8)
λj

Λ3 = ∑ Λ 3
2
j=1
8

ở đây, mỗi phép biến đổi SU(3)C được tham số hóa bởi

j

, với λj là

j
các ma trận Gell – Mann [5], còn các Λ 3 là tám siêu trường chiral phân cực trái

được sử dụng như những tham số.
- Với các phép biến đổi gauge SU(2)L:
Q a → e iΛ 2 Q a ,
La → e iΛ2 La ,
1 Khi λ > 0; nếu , thế vô hướng không có cực tiểu mà chỉ có một cực đại <h> = 0. Nếu , thế vô hướng

có 1 cực tiểu địa phương tại <h> = 0, nhưng không có cực tiểu toàn cục.

11


H 1 , 2 → e iΛ 2 H 1 , 2 ,
U aC , D aC , E aC → U aC , D aC , E aC .
3

ở đây,

Λ2 = ∑
j=1

Λj2

σj
2

(1.9)

, với σj là các ma trận Pauli.

- Còn các phép biến đổi gauge U(1)Y :
Q →

1
iΛ1
e 6 Qa

U aC

2
− iΛ1
e 3 U aC ,

a

D aC

→
→

a

L →

,

1
iΛ1
e 3 D aC

1
− iΛ1
e 2 La

,

,

E aC → e iΛ1 E aC ,
H1 →

1
− Λ1
e 2 H

H2 →

1
iΛ1
e2 H

1,

2.

(1.10)

Người ta định nghĩa các siêu đa tuyến vectơ tương ứng với các nhóm đối xứng
SU(3)C, SU(2)L, và U(1)Y là

λ.a
V3 = ∑ V 3
2 ,
a =1
8

a

3

V2 = ∑
a =1

V2a

σa
2

và

V1 .

(1.11)

Các siêu đa tuyến vectơ này, tương ứng theo thứ tự, chứa các hạt gauge và gaugino
của các nhóm đối xứng SU(3)C, SU(2)L, và U(1)Y như là những bậc tự do.
Siêu thế W được chọn dựa vào dạng của tương tác Yukawa trong (1.11),
như sau [3,4]:
a b
ab a b
ab a b
W = λab
E L E C H 1 + λ D Q D C H 1 + λ U Q U C H 2 + µH 1 H 2 ,

(1.12)

trong đó µ được gọi là tham số khối lượng của Higgsino, còn các ma trận λE,
12


λD, λU chứa các hằng số tương tác Yukawa liên hệ với các ma trận khối lượng
của fecmion ME, MD, MU như sau:
g.M e
g.M d
g.M u
λD =
λU =

2m w . cosβ ,
2m w . cosβ ,
2m w . cosβ ,

λE =

(1.13)

với tgβ là giá trị trung bình chân không của trường Higgs.
Như vậy, Lagrangian SUSY đầy đủ của mẫu chuẩn có dạng [3,4]:
1
2
1
V1
− V1
V1
+
+
+

LSUSY = ( Q a ) eV3 eV2 e 6 Q a . + ( U ca ) .e −V 3 .e 3 U ca + ( Dca ) e −V3 .e 3 Dca

V
V
V1
− 1
− 1
+
+


+ ( La ) eV2 e 2 La + ( Eca ) eV1 Eca + H1+ eV2 e 2 H1 + H 2+ eV2 e 2 H 2 
θθθθ
1
+ [ W ] θθ + W +  θ θ + 2 Tr  W3αW3α  + Tr W3α&W3α&
+
θθ
θθ
8g3

(

trong đó

)

(

)

+

1
Tr  W2αW2α  + Tr W2α&W2α&
+
2
θθ
θθ
8g 2

+

1
Tr  W1αW1α  + Tr W1α&W1α&
2
θθ
θθ
16g1

(

[ W] θθ + [ W + ] θθ

)

(1.14)

tương ứng Largrangian tương tác giữa Higgs với

α
quark, Wn là động năng cho siêu đa tuyến gauge được xây dựng với đa tuyến

chiral cho nhóm SU(n) (với n = 1, 2, 3).
1.4. Cơ chế phá vỡ siêu đối xứng mềm và khối lượng các hạt
Trên phương diện thực nghiệm, do chưa phát hiện được các hạt đồng hành
siêu đối xứng slepton, squark và gaugino, ta có thể xác định giới hạn dưới cho
khối lượng các hạt này qua các bất đẳng thức:
msquark > mquark, mslepton > mlepton và mgaugino > mgauge.

(1.15)

Các bất đẳng thức (1.15) mâu thuẫn với yêu cầu về sự cân bằng của khối lượng
các trạng thái hạt trong một siêu đa tuyến. Sự mâu thuẫn này cho thấy tự bản
thân siêu đối xứng chỉ có thể xuất hiện trong phase đã bị phá vỡ (broken phase).
1.4.1. Phá vỡ siêu đối xứng mềm
Để phá vỡ siêu đối xứng một cách tường minh mà vẫn đảm bảo tính tái
chuẩn hóa của lý thuyết và không làm xuất hiện các phân kỳ bậc 2, người ta đưa
13


vào các số hạng đặc biệt, không siêu đối xứng nhưng bất biến gauge, được gọi là
các số hạng “phá vỡ siêu đối xứng mềm”. Người ta đã tìm thấy những số hạng
có thể thỏa mãn những yêu cầu như vậy:
1
M a λ%
a λa
2
1/ Số hạng khối lượng Gaugino:

2/ Số hạng khối lượng vô hướng:

M ϕ2i ϕi

(a là chỉ số của nhóm),

2

,

3/ Tương tác tam tuyến vô hướng: Aijkφiφjφk,
4/ Số hạng nhị tuyến: Bijφiφj + h.c.

Chúng dẫn đến Lagrangian phá vỡ siêu đối xứng mềm có dạng như sau [4]:
2

2

c
c
c
L soft = m 2H1 H1 + m 2H2 H 2 + M 2Q% q%L + M 2U% u%
+ M 2D% d%
+ M 2L% l%
R
R
L
2

2

2

2

1
1
1
c 2
c
+ M 2E% e%
M 2 λ2 λ2 + M 3λ3λ3 + h E A E H1l%L e%
R + ( M1λ1λ1 +

R
2
2
2
c
c
%%
+ h D A D H1q%L d%
(1.16)
R + h U A U H 2 q L u R + Bµ H1H 2 + h.c.) .
Tóm lại, Lagrangian toàn phần của MSSM có dạng [3,4]
L = LSUSY + Lsoft.

(1.17)

Trước đây, ta đã thấy rằng dù siêu đối xứng có được bảo toàn hay bị phá vỡ, thì
đối xứng điện yếu vẫn không thể bị phá vỡ tự phát. Bây giờ, với sự hiện diện của
các số hạng phá vỡ siêu đối xứng mềm, vấn đề này sẽ được giải quyết.
1.4.2. Gaugino và Higgino
1.4.2.1. Chargino và neutralino
Phá vỡ đối xứng SU(2)⊗U(1) dẫn đến sự trộn lẫn giữa gaugino điện từ yếu
và higgino. Sự trộn này tạo thành các hạt mang tên chargino, neutralino. Trạng
thái riêng khối lượng của charged gaugino và higgsino được gọi là chargino.
Ký hiệu:

−
ψ%± = ( W%+ , H%2+ ) , ( W%− , H%
1 )

Lm ±

χ%

Với

 M
X =
 2c m
β w


0
1
= − ( ψ%+j ,ψ%−j ) 
2
X

(1.18)
+
X T  ψ%j 
÷ − ÷
0  ψ%j ÷


(1.19)

2 sβ mw 
÷
µ ÷


Kí hiệu sW, cW, sβ, cβ lần lượt tương ứng với sinθW, cosθW, sinβ, cosβ với θW là
14


góc Weinberg và tg β là giá trị trung bình chân không của trường higgs.
Ma trận X được chéo hoá bởi hai ma trận Unita thực U và V
0 
η1mχ%1+

÷

÷
0
η
m
+
2 χ%
2 
MD = U*XV-1 = 
.

Trong đó:

U 22 = −U11 =

εU
M 2 − µ 2 − 2mw2 cos 2 β
1−
W
2

(1.21)

U12 = U 21 =

M 2 − µ 2 − 2mw2 cos 2β
1
1+
W
2

(1.22)

M 2 − µ 2 + 2mw2 cos 2β
1
1−
W
2

V11 = V22 =
V21 = −V12 =

Với:

W=

(

(1.20)

2

(1.23)

εV
M 2 − µ 2 + 2mw2 cos 2 β
1+
W
2

2

M + µ + 2mw2

)

2

− 4 µ M − mw2 sin 2 β

ε U = dấu (M.cosβ + µ.sinβ ),

(1.24)

2

(1.25)

ε V = dấu (M.sinβ + µ.cosβ)

Khi tgβ < 1, Uij được thay thế bởi εUUij và Vij được thay thế bởi εVVij.
Trạng thái riêng khối lượng được xác định bởi:
X%i+ = Vijψ%+j
mX2%± =
1,2

1
2
2
2
 M + µ + 2mw m
2

−
%−
X%
i = U ijψ j ,

vµ

(M

2

2

+ µ + 2mw2

)

2

2 
− 4 µ M − mw2 sin 2 β ÷
 .(1.26)

Tương tự như vậy, sự trộn giữa gauginos trung hoà và higgsinos trung hoà tạo ra
trạng thái riêng khối lượng gọi là neutralino, ta có:
0
0
%
%
%
%
ψ0 = B
,W
,H
,H

(

Lm

0
χ%

Với

1

= −

 M ′cw2 + Msw2

( M − M ′)cw sw
Y =

0

0


2

)

T
1
ψ 0 ) Y .ψ 0 + h.c.
(
2

( M − M ′)cw sw
M ′sw2 + Mcw2
mz
0

0
mz
− µ.s2 β

− µ.c2 β

0 
÷
0 ÷
− µ .c2 β ÷
÷
− µ.s2 β ÷


Ma trận Y được chéo hoá bởi ma trận Unita 4×4 N, trong đó
15

(1.27)

(1.28)
χ%0j = N ijψ 0j

, và:


*
−1
M Ncheo
= cheo(ε1mχ%0 , ε 2 mχ%0 , ε 3mχ%0 , ε 4 mχ%0 )
% = N YN
1

2

3

(1.29)

4

1.4.2.2. Gluino
Số hạng khối lượng của gluino trong Lagrangian có dạng

1
L m ~g = m ~g ~
g~
g.
2
khối lượng gluino

m ~g

(1.30)

và khối lượng gaugino M liên hệ bởi:
m ~g α
2
α
.
S
s
w ,
M=

(1.31)

trong đó α và αs lần lượt là hệ số tương tác điện yếu và tương tác mạnh.
1.4.3. Lepton và quark
Lepton và quark có số hạng khối lượng tương tự như trong mẫu chuẩn:
L f = −v1E La habe ERb − v1DLa habd DRb − v2U La habd U Rb − h.c..

(1.32)

Sử dụng ma trận unita 3×3 V sẽ giúp ta xác định được các trạng thái riêng khối
lượng :

L, R
ELaphys
, Ra = Ve , ab ELa , Ra

trong đó :

L,R
DLaphys
, Ra = Vd , ab DLa , Ra

,

E phys = (e, m, t), D phys =

L,R
U Laphys
, Ra = Vu , ab U La , Ra

,

( d, s, b ) và

U phys =

.

( u, c, t ) với khối lượng

L e R+
Dạng chéo (me, mµ, mτ) = v1Ve h Ve ,

tính được từ:

L

d

R+

L

u

R+

Dạng chéo (md, ms, mb) = v1Vd h Vd ,
Dạng chéo (mu, mc, mt) = v2Vu h Vu .
1.4.4. Sfermion

Mỗi fermion trong SM có hai bạn đồng hành spin không và được gọi là
% %
% %
các sfermion f R vµ f L , hay các trạng thái riêng chẵn lẻ. Sự trộn giữa f R vµ f L tạo
nên khối lượng cho fermion tương ứng (trừ thế hệ thứ ba). Số hạng khối lượng
của sfermion có dạng:
2

M LR

2 ÷
M RR


2
*
*  M LL
%
L f% = − f%
f
L
R 
2
 M RL

(

với:

)


f%
L
÷
÷
f%
R

2
M LL
= M F2 + vi2 (h f )+ h f + ( I 3qL − e f .Sw2 ).cos 2 β .mz2
2+
RL

= vi ( Af g − µ h )

M

2
LR

=M

M

2
RR

= M + v (h ) h + e f .S w2 .cos 2 β .mz2 .

2
F′

f

2
i

f

+

f

,

f

16

(1.33)
,


trong đó: Kí hiệu F được thay bởi Q trong trường hợp squark và L trong trường
hợp slepton.
Khối lượng của sneutrino được xác định bởi công thức:
1
mν2% = M L2 + cos 2β .mz2
2

(1.34)

Các giá trị riêng khối lượng của sfermion được xác định bởi
m 2f% =
1,2

(

)

1
1
M 2f% + M 2f% m
LL
RR
2
2





với các trạng thái riêng:

(M

2
f%

LL

− M 2f%

RR

)

2

+ 4M 2f%

LR

%

f%
% f 
1
= Rf  L ÷
÷
÷
 f%÷
f%
2 
 R

(1.35)
(1.36)

Kết luận chương 1
Chương 1 nghiên cứu về mẫu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu (MSSM) bao gồm
các nội dung chính là:
+ Giới thiệu về mẫu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu (MSSM)
+ MSSM được xây dựng trên cơ sở ý tưởng mở rộng mẫu chuẩn một cách tiết
kiệm và đơn giản nhất, vẫn sử dụng nhóm đối xứng chuẩn SU(3)⊗SU(2)⊗U(1) nhưng
thay trường bình thường bởi siêu trường (trường + superpaner).
+ Các hạt có trong MSSM.
+ Lagrangian của SM.
+ Lagrangian của MSSM .
+ Cơ chế phá vỡ siêu đối xứng mềm và khối lượng các hạt.
+ Lagrangian toàn phần của MSSM có dạng : L = LSUSY + Lsoft.

17


Chương 2

Vi phạm đối xứng CP
2.1. Mở đầu
Đối xứng chẵn lẻ và liên hợp điện tích (Charge - Parity symmetry) được
gọi là đối xứng CP. Vi phạm đối xứng CP đóng một vai trò quan trọng trong
hiểu biết của chúng ta về vũ trụ học. Thực tế trong vũ trụ quan sát được thì vật
chất nhiều hơn phản vật chất và để tạo ra điều đó từ một trạng thái cân bằng giữa
vật chất và phản vật chất ta không thể bỏ qua một số vi phạm , trong đó có vi
phạm đối xứng CP (điều này đã được Sakharov chỉ ra vào năm 1976). Một trong
những phép thử để kiểm tra tính đúng đắn của mẫu chuẩn và MSSM là sự vi
phạm đối xứng CP, việc xét tới vi phạm CP kéo theo phải phức hóa một số tham
số của mẫu và như vậy nó sẽ có ảnh hưởng nhất định đến một số kết quả vật lí
[6]. Cho đến nay, vi phạm đối xứng CP đã được quan sát trong thực nghiệm ở

các hệ K -meson trung hòa và cũng được thể hiện một cách đơn giản trong lí
thuyết của mô hình chuẩn (SM). Tuy nhiên, vi phạm CP cũng vẫn là một trong
những lĩnh vực được kiểm nghiệm ít nhất trong SM. Trong phần này, chúng tôi
trình bày các khái niệm cơ bản về phép đối xứng CP, đồng thời chỉ ra rằng khi
tính đến sự vi phạm CP, ta phải phức hoá một vài tham số.
Để đưa các đối xứng vào lí thuyết trường, chúng ta giả thiết có các toán tử
biến đổi các trạng thái theo cách sao cho tất cả các đại lượng vật lí đo được là
giữ nguyên (không đổi). Cụ thể chúng ta xây dựng lí thuyết sao cho [6]:
a/ Trạng thái chân không bất biến:
P | 0 > = | 0 >, C | 0 > = | 0 >, T | 0 > = | 0 >.
18


b/ Tác dụng S = ∫ d4x L(t, x) là bất biến.
<=> [P, H] = [C, H] = [T, H] = 0.
c/ Các điều kiện lượng tử hóa phải không thay đổi.
2.1.1. Phép biến đổi C
Khái niệm phản hạt xuất phát từ lý thuyết của Dirac về electron. Lý thuyết
này đã tiên toán sự tồn tại của một hạt đồng nhất với electron ngoại trừ nó có
điện tích trái dấu - positron, ý tưởng này đã được kiểm tra qua sự tìm kiếm
positron và các hạt khác có cùng khối lượng, thời gian sống nhưng có các tích
suy rộng ngược dấu với các hạt đã biết. Để thuận tiện cho liên hệ hai loại hạt
này, người ta đưa vào một toán tử unita C. Toán tử này đổi dấu tất cả các tích
suy rộng của hạt mà không ảnh hưởng đến tính chất không gian của chúng. Cụ
thể:
r
r
C P, s, Q = ξ p, s, −Q

(2.1)

trong đó ξ là hệ số pha. Đối với tất cả các hạt, phép liên hợp điện tích đồng nhất
với liên hợp trường.
+ Đối với trường vô hướng, ta định nghĩa toán tử liên hợp trường C bởi tác
động lên trường vô hướng phức
C.φ(x)C-1 = ξβ φ+(x) với C+C = 1 và ξβ2 =1

(2.2)

Lβ = ∂µ φ+ ∂µφ - m2φ+φ

(2.3)

Ta dễ thấy Lagrangian bất biến C. Các toán tử sinh, huỷ hạt biến đổi lẫn nhau
C.a p C −1 = ξ β bp ,
Cbp C −1 = ξ *β a p .

(2.4)

Do đó, C biến một hạt thành phản hạt của nó và ngược lại mà không thay đổi
xung lượng của chúng như đã được định nghĩa.
Tác động của C lên dòng

jµ ( x ) :

Cjµ ( x ) C −1 = i ϕ∂ µϕ + − ( ∂ µϕ ) ϕ +  = − jµ ( x )

19

(2.5)

Các tích tổng quát Q

= ∫ j0 ( x) d 3 ( x)

rõ ràng là bảo toàn và đổi dấu dưới phép

liên hợp C:
C.Q.C-1 = - Q

(2.6)

r
r
Nếu hạt thực sự trung hoà, φ+ = φ, a p = bp nên ξB = ξB*.

Vì C2 = 1, C+C = 1, do đó, ξβ = ± 1. Số lượng tử này được gọi là chẵn lẻ
điện tích của hạt.
+ Đối với trường điện từ, nếu chúng ta giả thiết (2.6) là đúng một cách tổng
quát thì trường Maxwell Aµ phải biến đổi theo
C.Aµ C-1 = - Aµ (x)

(2.7)

để tương tác điện từ là bất biến với C. Ta thu được
r
r
C.a k , λ C −1 = −a k , λ

(

)

Do vậy, trạng thái 1 photon biến đổi:

(2.8)

r
r
C k,λ = − k,λ

(2.9)

cũng là trạng thái riêng của C với trị riêng ξγ = -1 -> photon là hạt lẻ điện tích.
+ Đối với trường Dirac, cũng như đối với trường boson tích điện, liên hợp
điện tích của một trường Dirac cũng phải tỉ lệ với liên hợp phức của nó ψ*
Cψ ( x ) C −1 = ξ F Bψ + ( x )

với

ξF = 1

(2.10)

trong đó B là ma trận unita 4x4 trong biểu diễn spinor. Vì ψ thường xuất hiện
trong các công thức hơn ψ* nên để thuận tiện ta viết
Cψ ( x ) C −1 = ξFC0ψ T ( x )

,

với

ξF = 1

(2.11)

T
* *
Chúng ta đã sử dụng hệ thức ψ = γ 0ψ và đưa vào một ma trận unita 4x4
*
+
khác là: C0 = Bγ 0 , C0 C0 = 1 . Chú ý rằng trong (2.11), chuyển vị T chỉ tác động lên

spinor, không tác động lên các toán trong tử Fock.
Để tìm C0 ta giả thiết phương trình Dirac cho ψ là hiệp biến hay
Lagrangian tương ứng là bất biến với phép liên hợp điện tích.
C.LF(x)C-1 = LF(x)

(2.12)
20


trong đó,
Vì

r
s
1
1

LF = L1 + L1+ = ψ iγ µ ∂ µ −m ψ + ψ  −iγ µ ∂ µ − m ψ
2
2

(2.13)

C. ψ+.C-1 = ξFψTγ0*C+, ta có:
r
1
CL1C −1 = Cψ +γ 0 iγ µ ∂ µ − m ψ .C −1
2
r
1
= Cψ +C −1Cγ 0 iγ µ ∂ µ − m ψ .C −1
2
1
= ξ Fψ T γ 0*C0+ iγ 0γ µ ∂ µ − γ 0 m  ξ FC0ψ T
2
1
= ψ T γ 0*C0+ iγ 0γ µ ∂ µ − γ 0 m  C0ψ T
2

(2.14)

Vì biểu thức ở vế phải là một vô hướng, ta có thể thay nó bởi chuyển vị của nó
trong không gian spinor. Ta có:
s
1
CL1C −1 = ψ .C0T −iγ µT γ 0T ∂ µ + γ 0T m C0*γ 0ψ
2

(

)

(2.15)

Để (2.13) được thỏa mãn, ta cần
−1
+
C L1C = L1

⇔

(2.16)

C0+γ µ C0 = −γ µT

(2.17)

C0 = λγ 2γ 0

(2.18)

như vậy:
với λ = 1.

Liên hợp điện tích của ψ :
Cψ C −1 = Cψ +γ 0C −1 = Cψ +C −1γ 0 = ξ F*ψ T γ 0C0+γ 0
= −ξ F*ψ T γ 0γ 0C0+ = − ξ F*ψ T C0+

(2.19)

Suy ra
CψΓψ C −1 = Cψ C −1C ΓCψ C −1 = −ξ F*ψ T C0+ Γξ F C0ψ T
= −ψ T C0+ ΓT C0ψ T = ψ .C0 ΓT C0+ψ

Chú ý :

C0γ µT C0+ = −γ µ ,

C0 ( γ µ γ 5 ) C0+ = γ µγ 5 ,
T

C0γ 5T C0+ = γ 5

(2.20)
(2.21)

Do đó, dòng jµ = ψγ µψ và điện tích liên kết biến đổi theo
Cjµ C −1 = Cψ C −1γ µ Cψ .C −1 = − jµ
CQC −1 = −Q

(2.22)
21


Các toán tử Fook biến đổi như sau:
C0 .u T ( p , s ) = v ( p, s )
C0 .v T ( p , s ) = u ( p, s )

(2.23)

r
r
r
r
Cψ C −1 = ∑ C pr C.b ( p, s ) C −1u ( p, s ) e − ipx + C d t ( p, s ) C −1v ( p, s ) eipx 
r
p,s

Từ

r
r
r
r
ξ F Cψ T = ξ F ∑
CPr b + ( p, s ) v ( p, s ) eipx + d ( p, s ) u ( p, s ) , e −ipx 
r
P,S

Suy ra
r
Cb ( p, s ) C −1 = ξ F d (
r
Cd ( p, s ) C −1 = ξ F* b (

r
p, s )

r
p, s )

(2.24)

Như vậy ta thu được kết quả phép liên hợp điện tích biến trạng thái 1 hạt
r
b + ( p, s ) 0

thành trạng thái phản hạt tương ứng

r
ξ F* d + ( p, s ) 0

mà không thay đổi

spin hay xung lượng.
2.1.2. Phép biến đổi P (Parity)

r r
r
′
P
:
x
→
x
=
x,
t → t′ = t.

Phép biến đổi chẵn lẻ

(2.25)

Bất biến đối với phép biến đổi chẵn lẻ có nghĩa là hệ vật lí không thể phân
biệt đâu là “bên phải” đâu là “bên trái” của nó [6].
Trong lí thuyết trường lượng tử, tính chẵn lẻ được định nghĩa cho các hàm
trường boson, fermion và các toán tử Fock liên kết. Định luật bảo toàn chẵn lẻ
không gian có nghĩa là tham số này không thay đổi trong quá trình tương tác,
phân rã . . . Cụ thể ta có [9]:
+ Đối với các trường vô hướng và giả vô hướng
Pϕ (t , x) P −1 = η Bϕ (t , − x )
Pϕ + (t , x) P −1 = η Bϕ + (t , − x )

(2.26)

ηβ = 1 đối với trường vô hướng, ηβ = -1 đối với trường giả vô hướng, đại
lượng này được đo bởi thực nghiệm. Trong lí thuyết hạt cơ bản meson f0
0
±
0
±
(980MeV) là một hạt vô hướng, các mêson π , π , K , K là các hạt giả vô

hướng.
22


+ Đối với các trạng thái Fock:
P.a pr P −1 = η B a− Pr ,

P.a +pr P −1 = η B a−+ pr

P.bpr P −1 = η B b− Pr ,

P.bpr+ P −1 = η B b−+pr

(2.27)

Do đó, một trạng thái n-hạt sẽ biến đổi như sau:
r
r
r
r
P p1 ,..., pn = η B2 − p1 ,..., − pn

Mật độ dòng biến đổi theo:

(2.28)

r
r
Pj µ ( t , x ) P −1 = aνµ jν ( t , − x )

(2.29)

+ Đối với trường điện từ: Vì trường điện từ là một vectơ Lorentz ta hy vọng:
r
r
PAµ ( t , x ) P −1 = η A aνµ Aν ( t , − x )

(2.30)

Từ (2.28), (2.29) và các quan sát thực nghiệm về tương tác điện từ,

H em = q. j µ A µ

bất biến đối với P, do đó ηA = 1. Từ đó ta có thể suy ra
r
r
P.a k , λ P −1 = − a − k , −λ

(

)

(

)

(2.31)

Do đó photon có số chẵn lẻ nội tại âm ηγ = -1. Cả xung lượng và tính xoắn
đổi dấu dưới phép P.
+ Đối với trường fermion Dirac, hàm sóng Dirac ψ(x, t) biến đổi theo:
P: ψ(t, x) -> ψ’(t, -x) = S(a). ψ (t, x)

(2.32)

ψ’(t, x) = S(a). ψ (t, -x)

hay

S(a) = ηFγ0, ( ηF = ± 1)

Với

(2.33)

đúng với mọi biểu diễn của γ0. ở đây, ηF là chẵn lẻ nội tại của hạt Dirac và được
xác định bởi thực nghiệm.Tương tự với hàm sóng cổ điển, hàm trường Dirac
biến đổi theo:
r
r
Pψ ( t , x ) P −1 = η F γ 0ψ (t , − x )

kéo theo

(2.34)

r
r
Pb ( p, s ) P −1 = η F b ( − p, s ) ,

r
r
Pb + ( p, s ) P −1 = η F b + ( − p, s ) .

(2.35)

r
r
Pd ( p, s ) P −1 = −η F d ( − p, s ) ,

r
r
Pd + ( p, s ) P −1 = −η F d + ( − p, s ) .

(2.36)

Trạng thái 1-fermion

r
b + ( p, s ) 0

biến thành

r
−b + ( − p, s ) 0

, với định hướng

spin không đổi. Tuy nhiên, vì xung lượng đổi chiều nên các trạng thái xoắn
23


không bất biến với P. Một cách tổng quát, ta có các tổ hợp tuyến tính hiệp biến
của trường Dirac biến đổi như sau:
r
r

Pψ ( x ) Γψ ( x ) P −1 = ψ ( t , − x ) γ 0Γγ 0ψ ( t. − x )

với

γ 0γ 5γ 0 = −γ 5 ,

γ 0γ µ γ 0 = γ µ ,

γ 0 γ µ γ 5γ 0 = −γ µ γ 5 .

(2.37)
(2.38)

2.1.3. Vi phạm đối xứng CP
Đối xứng chẵn lẻ và liên hợp điện tích (Charge - Parity symmetry) được
gọi là đối xứng CP. Vi phạm đối xứng CP đóng một vai trò quan trọng trong
hiểu biết của chúng ta về vũ trụ học [5]. Thực tế trong vũ trụ quan sát được thì
vật chất có nhiều hơn phản vật chất và để tạo ra điều đó từ một trạng thái ban
đầu cân bằng giữa vật chất và phản vật chất ta không thể bỏ qua một số vi phạm,
trong đó có vi phạm đối xứng CP (điều này đã được Sakharov chỉ ra vào năm
1976) [6]. Một trong những phép thử để kiểm tra tính đúng đắn của SM và
MSSM là sự vi phạm đối xứng CP [6]. Việc xét tới vi phạm CP kéo theo phải
phức hóa một số tham số của mẫu [6], và như vậy n ó sẽ có ảnh hưởng nhất định
đến một số kết quả vật lí. Cho đến nay, vi phạm đối xứng CP đã được quan sát
trong thực nghiệm ở các hệ K meson trung hòa và cũng được thể hiện một cách
đơn giản trong lí thuyết của SM [5,6]. Tuy nhiên, vi phạm CP cũng vẫn là một
trong những lĩnh vực được kiểm nghiệm ít nhất trong SM [5], [6].
Γ
1
γ5

γ
γγ5
συ

ΓP
1
- γ5
γ
- γγ5
συ

ΓC
1
γ5
- γ
γγ5
- συ

ΓCP
1
- γ5
- γ
- γγ5
- συ

Bảng 2: Biến đổi C, P và CP của các ma trận

Các tính chất biến đổi của các trường vô hướng, giả vô hướng, vectơ và giả
vectơ tương ứng S, P, Vµ và Aµ được tóm tắt trong bảng (2).
Các tổ hợp tuyến tính của trường spinơ biến đổi dưới những phép đối xứng gián

đoạn C, P và CP như sau:
24






ψ ap (t, x )Γi ψ bp (t, x ) = ψ a (t,− x )Γip ψ b ( t,− x ) ,




ψ ac (t, x )Γi ψ cb (t, x ) = ψ b (t, x )Γic ψ a (t, x ),


 cp

ψ acp (t, x )Γi ψ cp
b (t , x ) = ψ b (t,− x )Γi ψ a (t,− x )

(2.39)

trong đó Γ đại diện cho tất cả các tổ hợp có thể của các ma trận γ.
2.2. Vi phạm đối xứng CP trong mô hình chuẩn
Vi phạm CP xuất hiện một cách tự nhiên trong ba thế hệ của SM và tồn
tại ở pha của ma trận CKM [5,6]. Tương tác Yukawa chính là nguồn dẫn đến vi
phạm đối xứng CP [6]. Xét Lagrangian của mẫu chuẩn có dạng
L SM = L kinetic + L Higgs + L Yukawa

,

(2.40)

trong đó, Lkinetic và LHiggs là bất biến CP. Tuy nhiên, vi phạm CP xuất hiện một
cách tự nhiên trong
3

(

L Yukawa = ∑ ( Yu ) ij q Li u Rj iτ 2 h * + ( Yd ) ij q Li d Rj h + ( Yl ) ij l Li e Rj h + h.c.
i , j=1

)

(2.41)

Ta thấy dưới phép biến đổi CP:

Yij ψ Li hψ Rj → Yij ψ Rj h + ψ Li

.

(2.42)

Có nghĩa là vi phạm CP xuất hiện khi các hệ số tương tác Yukawa Y ij là phức.
Vấn đề đặt ra là có bao nhiêu tham số sẽ phức khi xét tới vi phạm đối xứng CP?
Về nguyên tắc, mỗi thành phần

Yijf

của các ma trận Yukawa 3×3 đều có thể

phức và ta có 27 tham số phức (27 thực và 27 ảo) trong các ma trận này. Tuy
nhiên không phải tất cả các tham số đó đều có tính vật lí. Với V là các ma trận
unita, người ta có thể sử dụng một bộ khác thay cho các ma trận Yukawa:
~
~
~
Y d = VQ+ Y d Vd
Y u = VQ+ Y u Vu
Y  = VL+ Y V .
,
,
(2.43)
Dựa vào tính linh động này cùng với việc đảm bảo cho Lagrangian bất biến với
đối xứng toàn cục (global symmetry), người ta rút gọn còn 13 tham số vị (flavor
parameter) trong đó có 12 tham số thực và một pha đơn.
25