Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Tính khoảng cách từ điểm đến mặt
phẳng
Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là dạng cơ bản nhất trong các dạng
toán tính khoảng cách. Tất cả các bài toán tính khoảng cách cuối cùng đều đưa về tính
khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng. Trong dạng toán này, việc khó khăn nhất là
dựng được đường vuông góc từ điểm đến mặt phẳng. Trong bài này chúng ta sẽ tìm hiểu
một trường hợp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng thường gặp nhất là tính khoảng
cách từ chân đường vuông góc và phương pháp đổi điểm để tính khoảng cách. Đây là hai
lý thuyết quan trọng cần phải nắm vững để có thể giải được các bài toán khoảng cách
trong các đề thi đại học và THPT Quốc gia.

Tính khoảng cách từ chân đường vuông góc
Bài toán: Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) biết SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC).

Các bước tính khoảng cách
Bước 1: Dựng đường cao AK trong tam giác ABC.


Bước 2: Dựng đường cao AH trong tam giác SAK.
Bước 3: Chứng minh AH⊥(SBC) và suy ra d(A,(SBC))=AH.
Bước 4: Tính độ dài AH.
Chú ý: Trước khi dựng đường cao AH cần phải xét tính chất của tam giác ABC để có cách
dựng đúng.

1.

Nếu tam giác ABC vuông ở B thì không cần dựng AK vì AB là đường cao. Ta chỉ cần dựng
đường cao AH trong tam giác SAB. (tương tự nếu tam giác ABC vuông ở C).

2.

Nếu tam giác ABC đều hoặc cân ở A thì K là trung điểm của BC.

Phương pháp đổi điểm tính khoảng cách
Đây là phương pháp thường sử dụng nhất. Đổi điểm có nghĩa là ta sẽ chuyển từ việc tính
khoảng cách từ điểm này sang tính khoảng cách từ một điểm khác dễ dàng hơn. Mà
thông thường ta sẽ chuyển về chân đường vuông góc để áp dụng trường hợp trên.
Bài toán: Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).
Giả sử rằng việc dựng đường vuông góc từ M đến (P) rất khó khăn nhưng ta lại có một
điểm N khác M mà việc tính khoảng cách từ N đến (P) có thể dễ dàng thực hiện được. Ta
sẽ chuyền bài toán từ tính khoảng cách từ M đến (P) sang tính khoảng cách từ N đến (P).

Ta có hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: MN song song với (P).
Ta sẽ có: d(M,(P))=d(N,(P))


Trường hợp 2: MM cắt (P) tại điểm I.
Trường hợp này ta cần biết được tỉ lệ MINI.
Khi đó ta sẽ có: d(M,(P))d(N,(P))=MINI

Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC), SA = 4cm, AB = 3cm, AC = 4cm,
BC = 5cm. Tính d(A, (SBC)).

Phân tích: Ta thấy AB2+AC2=BC2=25⇒ΔABC vuông
tại A.
Vì ΔABC không vuông tại B hoặc C nên ta sẽ dựng 2 đường cao như trong trường hợp
trên.
Bài giải

Trong (ABC), dựng AM⊥BC tại M.
Trong (SAM), dựng AH⊥SM tại H.


Ta có:

BC⊥SABC⊥AM}⇒BC⊥(SAM)⇒BC⊥AH
Mà AH⊥SM suy ra AH⊥(SBC).
Vậy d(A, (SBC)) =AH
Trong ∆SAM, ta có1AH2=1SA2+1AM2=1SA2+1AB2+1AC2⇒AH=7217−−√
Ví dụ 2. (ĐH khối D – Năm 2003)
Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆ và vuông góc với nhau. Trên ∆ lấy
2 điểm A, B và C ∈ (P), D ∈ (Q) sao cho AC⊥Δ,BD⊥Δ và AC = AB = a. Tính d(A,
(BCD)).

Phân tích:

(P)⊥(Q),(P)∩(Q)=ΔAC⊥Δ,AC⊂(P)}⇒AC⊥(Q)
Ta thấy, ΔABDvuông tại B nên ta áp dụng dạng 2 để tính khoảng cách.
Bài giải
Trong (ABC), vẽ AH⊥BCtại H
Ta có BD⊥AB,DB⊥AC⇒DB⊥(ABC)⇒DB⊥AH
Suy ra AH⊥(BCD)
Vậy d(A,(BCD))= AH
Xét ∆ABC vuông tại A, ta có 1AH2=1AB2+1AC2=2a2⇒AH=a2√
Ví dụ 3. (ĐH khối B – Năm 2013)
Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh AB =
a. (SAB)⊥(ABCD),ΔSAB đều. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SCD).

Bài giải
Gọi H là trung điểm AB
Ta có SH⊥AB
Vì (SAB)⊥(ABCD)⇒SH⊥(ABCD)
và SH=a3√2
Vì AB//CD⇒d(A,(SCD))=d(H,(SCD))
Gọi E là trung điểm CD
Trong mp(SHE), dựng HK⊥SE
Mặt khác, ta có HE⊥CDSH⊥CD}⇒CD⊥(SHE)⇒CD⊥KH

⇒HK⊥(SCD). Vậy d(H,(SCD)) = HK
Trong tam giác vuông SHE, ta có 1HK2=1SH2+1HE2=73a2⇒HK=a21√7
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B, (SBC)⊥(ABC), AB =
3a, BC = 4a, SB=2a3√,SBCˆ=300. Tính d(B, (SAC)).


Bài giải
Kẻ SH⊥BC tại H.
vì(SBC)⊥(ABC)⇒SH⊥(ABC)
Trong tam giác vuông SHB, ta có cos300=BHSB⇒BH=3a,CH=a
Mà BH∩(SAC)=C⇒CBCH=4
Mà

CBCH=d(B,(SAC))d(H,(SAC))=4⇒d(B,(SAC))=4.d(H,(SAC))

Tính d(H, (SAC))
Trong mp(HAC), kẻ HE⊥AC mà SH⊥AC⇒AC⊥(SHE)⇒(SAC)⊥(SHE)
Trong mp(SHE), dựng HK⊥SE⇒HK⊥(SAC)
Vậy d(H, (SAC)) = HK
Ta có ΔABC∼ΔHEC⇒ABHE=ACHC⇒HE=3a5

Ta tính được HK=3a28√
Vậy d(B, (SAC)) = 4HK = 6a7√
Thông qua các ví dụ trên, hy vọng các em sẽ nắm được cơ bản phương pháp tính khoảng
cách từ một điểm đến một mặt phẳng để có được định hướng khi làm bài. Tuy nhiên, bài


toán tính khoảng cách trong các đề thi đại học thường là tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau. Phần này ta sẽ tìm hiểu ở bài sau.