Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số
Một trong số những dạng toán khó trong các đề thi đại học là bài toán tìm
giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số. Tuy nhiên,
đối với những hàm số một biến thì việc tìm GTLN và GTNN khá dễ dàng, ta
chỉ cần nắm được các phương pháp cơ bản là có thể tìm được. Trong bài viết
này, ta sẽ tìm hiểu thế nào là GTLN, GTNN và phương pháp tìm GTLN,
GTNN của các hàm số một biến thường gặp.

Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.
•

Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D
nếu f(x)≤M∀x∈D và ∃x0∈D sao cho f(x0)=M, ký hiệu: maxDy=M

•

Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D
nếu f(x)≥m∀x∈D và ∃x0∈D sao cho f(x0)=m, ký hiệu: minDy=m

Ta có thể hiểu rằng: số lớn nhất trong tất cả các giá trị f(x) với x∈D gọi là GTLN và số
nhỏ nhất trong tất cả các giá trị f(x) với x∈D gọi là GTNN.

Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số
Phương pháp 1: sử dụng bảng biến thiên hàm số. Đây là phương pháp chung cho các bài toán tìm giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Ta làm theo các bước sau:
•

Tìm tập xác định của hàm số.

•

Tìm y', cho y' = 0 giải nghiệm.

•

Lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x−x−4−−−−−√
Giải
Tập xác đinh: D=[4;+∞)

y′=1−12x−4√
y′=0⇔1−12x−4√=0⇔x−4−−−−−√=12⇔x−4=14⇔x=174
Bảng biến thiên:


Nhận xét: dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 154 và không
có giá trị lớn nhất vì hàm số tặng lên +∞.
Vậy min[4;+∞)y=154 tại x=174
Hàm số không có giá trị lớn nhất.
Xem thêm: Tính đơn điệu của hàm số và các dạng toán thường gặp
Phương pháp 2: áp dụng để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên [a, b]. Ta
làm theo các bước sau:
•

Tìm tập xác định của hàm số.

•

Tìm y'

•

Tìm các điểm x1,x2,...xn thuộc khoảng (a,b) mà tại đó y' = 0 hoặc y' không xác định.

•

Tính các giá trị f(a),f(b),f(x1),f(x2)...f(xn)

•

Kết
luận: max[a,b]f(x)=max{f(a),f(b),f(x1),f(x2)...f(xn)} và mim[a,b]f(x)=min{f(a)

,f(b),f(x1),f(x2)...f(xn)}.
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)=x+4x trên đoạn [1,3].
(THPT Quốc gia 2015)
Giải
Tập xác định: D=R/{0}

f′(x)=1−4x2
f′(x)=0⇔1−4x2=0⇔[x=2∈(1;3)x=−2∉(1;3)
f(1)=5,f(2)=4,f(3)=133
Vậy max[1;3]f(x)=5 tại x = 1, min[1;3]f(x)=4 tại x = 2.
Lưu ý: một số bài toán chỉ yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số mà
không nói trên đoạn nào nhưng nếu tập xác định của hàm số đó là một đoạn thì ta vẫn có
thể sử dụng phương pháp 2.
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=12(x+4−x2−−−−−√)

Giải


Tập xác định: D=[−2;2]

y′=4−x2√−x24−x2√
y′=0⇔4−x2−−−−−√=x⇔{x≥04−x2=x2⇔x=2√∈(−2;2)
y(−2)=−1;y(2√)=2√;y(2)=1.
Vậy max[−2;2]y=y(2√)=2√;min[−2;2]y=y(−2)=−1.
Trên đây là hai phương pháp cơ bản để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
mà học sinh phải nắm vững. Đây là cơ sở nền tảng để có thể làm được các bài toán phức
tạp hơn.