Tính đơn điệu của hàm số và các dạng toán thường gặp

Tính đơn điệu của hàm số và các
dạng toán thường gặp
Tính đơn điệu (đồng biến - nghịch biến hay tăng - giảm) là một tính chất quan trong của
hàm số. Tính chất này được áp dụng để giải rất nhiều bài toán như chứng minh bất đẳng
thức, giải phương trình, hệ phương trình...Trong bài viết này chúng ta cùng tìm hiểu về
tính đơn điệu của hàm số và các dạng toán cơ bản cần nắm vững.

Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số
Cho hàm số y = f(x) xác định trên một miền D.
f(x) được gọi là đồng biến (hay tăng) trên D nếu
f(x) được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên D nếu

thì
thì

Ta có thể hiểu đơn giản: hàm số đồng biến là hàm số mà x và f(x) cùng tăng, cùng giảm;
hàm số nghịch biến là hàm số mà nếu x tăng thì f(x) giảm và ngược lại.

Đồ thị của hàm số đồng biến và nghịch biến
Nếu hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì đồ thị của f(x) trên khoảng đó là một
đường thẳng đi lên từ trái sang phải.
Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì đồ thị của f(x) trên khoảng đó là một
đường thẳng đi xuống từ trái sang phải.


Quan sát đồ thị ở hình trên, ta
thấy trên các khoảng
đồ thị đi lên từ trái sang phải nghĩa làm trên
các khoảng này hàm số đồng biến. Trên khoảng (-1; 1) đồ thị đi xuống từ trái sang phải
nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.

Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu
Ở đây ta có một định lý quan trong được sử dụng để tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
và áp dụng vào một số dạng bài tập.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên D, khi đó:
f(x) đồng biến trên D
f(x) nghịch biến trên D

Ở đây ta có điều kiện f(x) chỉ bằng 0 tại một số hữu hạn điểm trên D.
Nếu
không giảm).

thì f(x) = C là hằng số nên f(x) là hàm không đổi (không tăng,


Các dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số
Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
Nghĩa là tìm các khoảng mà hàm số đồng biến hay nghịch biến. Để làm được dạng toán
này, ta thực hiện theo các bước sau:
- Tìm tập xác định của hàm số (TXĐ)
- Tìm đạo hàm f'(x) và giải phương trình f'(x) = 0.
- Lập bảng xét dấu f'(x) rồi dựa vào định lý bên trên để kết luận (ta thường gọi là lập bảng biến thiên
vì có thêm chiều biến thiên của y)

Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
Giải
TXĐ: D = R
Bảng biến thiên:

Kết luận:
Hàm số đồng biến trên các khoảng

và

Hàm số nghịch biến trên khoảng
Lưu ý: Trong bảng biến thiên, nếu y' mang dấu + nghĩa là hàm số đồng biến thì ở dòng y
ta biểu diễn bằng mũi tên đi lên, nếu y' mang dấu - nghĩa là hàm số nghịch biến thì ở
dòng y ta biểu diễn bằng mũi tên đi xuống.
Ví dụ 2: xét tính đơn điệu của hàm số
Giải
TXĐ:

Bảng biến thiên:


Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng

và

Nhận xét: Trong ví dụ trên, ta có thể kết luận hàm số đồng biến trên các khoảng của tập
xác định vì
(do cả tử và mẫu đều dương) mà không cần dùng tới bảng biến
thiên. Tuy nhiên, ta nên lập bảng biến thiên để có thể áp dụng cho các dạng bài tập khác
sau này.

Lưu ý: Quy tắc để tính nhanh đạo hàm của hàm số

là

Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến hoặc nghịch
biến trên TXĐ

Với dạng toán này, ta chỉ cần sử dụng định lý bên trên, đồng thời áp dụng một kiến thức
mà ta đã biết về tam thức bậc hai:
Cho

, ta có:

Ví dụ: Tìm m để hàm số

đồng biến trên R.

Giải
TXĐ: D = R

Để hàm số đồng biến trên R thì

Vậy với

thì hàm số đồng biến trên R.


Lưu ý: trong dạng toán trên, nếu hệ số a của hàm số có chứa tham số m thì ta phải xét hai
trường hợp a = 0 và

.

Trên đây là hai dạng toán cơ bản về tính đơn điệu của hàm số mà học sinh phải nắm
vững. Ngoài ra một số dạng toán nâng cao về tính đơn điệu như: tìm điều kiện để hàm số
đơn điệu trên một khoảng, vận dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đăng thức, giải
phương trình, hệ phương trình... sẽ được đề cập trong bài viết khác.