Tóm tắt lý thuyết số phức và bài tập số phức

Tóm tắt lý thuyết số phức và bài tập
số phức
Sô phức là chương cuối cùng trong chương trình giải tích lớp 12. Đây cũng là
một nội dung thường gặp trong các đề thi tốt nghiệp và đề thi đại học trong
những năm qua. Nội dung chương này khá đơn giản và câu số phức trong
các đề thi thường là câu dễ đối với học sinh. Trong bài này chúng ta sẽ tìm
hiểu định nghĩa, một số khái niệm liên quan đến số phức và một số bài tập số
phức đơn giản.

Định nghĩa số phức
- Mỗi biểu thức dạng a+bi(a,b∈R) được gọi là một số phức, trong đó:
+ a là phần thực.
+ b là phần ảo.
+ i là đơn vị ảo và i2 = -1.
- Tập hợp các số phức kí hiệu là C.
- Mỗi số thực là một số phức có phần ảo bằng 0.
- Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số thuần ảo.

Các khái niệm liên quan số phức
1) Số phức bằng nhau: Cho hai số phức z1=a1+b1i;z2=a2+b2i. Ta có:

z1=z2⇔{a1=a2b1=b2 (phần thực bằng phần thực, phần ảo bằng phần ảo)
2) Môđun của số phức: Cho số phức z=a+bi. Môđun của số phức z, kí hiệu là |z| và
tính bởi công thức: |z|=a2+b2−−−−−−√
3) Số phức liên hợp: Cho số phức z=a+bi. Số phức liên hợp của số phức z
là z¯¯¯=a−bi.


4) Biểu diễn hình học của số phức: Điểm M(a;b) trong một hệ trục tọa độ vuông góc
của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi.
- Trục Ox: trục thực

- Trục Oy: trục ảo

Phương pháp giải phương trình trong tập số phức
- Nếu trong phương trình chỉ chứa z hoặc z¯¯¯ thì ta biến đổi z hoặc z¯¯¯ về một vế và rút
gọn.
- Nếu trong phương trình chứa z, z¯¯¯, z2, … thì ta đặt z=x+yi(x,y∈R).
- Nếu là phương trình bậc hai thì ta xét Δ=b2−4ac.
* Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép (thực) x=−b2a.
* Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm (thực) phân
biệt ⎡⎣z1=−b+Δ√�2az2=−b−Δ√�2a
* Nếu Δ < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức liên hợp ⎡⎣⎢⎢z1=−b+i|Δ�|
√2az2=−b−i|Δ�|√2a

- Nếu là phương trình bậc ba thì ta chia Hoocner.
- Nếu là phương trình bậc bốn trùng phương thì ta xem đây là phương trình bậc hai với ẩn
số là z2.
Chú ý: Mọi phương trình bậc trình bậc n (n ≥ 1) đều có đúng n nghiệm phức (các nghiệm
không nhất thiết phân biệt. Đây là định lý cơ bản của Đại số học.
Xem thêm: tài liệu chuyên đề số phức

Bài tập số phức
I . Thực hiện các phép toán. Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp.
Bài 1: Thực hiện các phép tính:


1)

2)

4)

3)

5)

6)

7)

8)

Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và modun của số phức z, biết:

1)

2)

3)

và
4)

5)
7)

9)

.

6)

và

là số thuần ảo

8)

10)

Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

Tính modun của

Bài 4: Cho số phức z thỏa mãn
II . Tìm tập hợp điểm biểu diễn:

.

.

. Tính modun của

.


Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn một trong
các điều kiện sau:
1.

2.

5.

3. 1 < | z – 1 | < 2

6.

7.

9.

4. | z – 1 | ≤ 2

8.

10.

11.

III . Giải phương trình:
Bài 1: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức
1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. | z | - iz = 1 – 2i

9. z +3(1+i)z - 6 - 13i = 0
2

11. z – 3z + 4 = 0
4

2

13.

10.

12.
14.

15.

16.

17.

18.

Bài 2: Cho

,

là các nghiệm phức của phương trình

.


Tính giá trị của biểu thức