Lập trình tính toán bài toán đàn dẻo 2D

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
BỘ MÔN CƠ KỸ THUẬT
---------------o0o---------------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

LẬP TRÌNH TÍNH TOÁN VÀ MÔ PHỎNG MỘT
VÀI BÀI TOÁN ĐÀN DẺO

GVHD: PGS.TS.Trương Tích Thiện
SVTH: Nguyễn Thái Hiền
MSSV: K0404205
Trần Thái Dương
MSSV: K0400500

Tp HCM, Tháng 01/2009
i


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

GVHD: PGS.TS.Trương Tích Thiện

LỜI CẢM ƠN

Bài luận văn này là thành quả của những năm học tập và nghiên cứu tại khoa Khoa
Học Ứng Dụng thuộc trường Đại Học Bách Khoa TP. HCM của chúng tôi. Để có
thể đi đến những kết luận sau đây, chúng tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ và
quan tâm của rất nhiều người.

Trước hết chúng tôi xin gửi những lời cảm ơn đến gia đình mình. Những người đã
không bao giờ đánh mất niềm tin vào chúng tôi. Chính là điều tốt đẹp nhất đã giúp
chúng tôi có thể đi đến cuối đề tài này.
Xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Khoa Học Ứng Dụng và bộ môn Cơ Kỹ
Thuật đã tạo điều kiện để chúng tôi thực hiện đề tài luận văn tốt nghiệp của mình.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn thầy Trương Tích Thiện đã tận tình hướng dẫn
chúng tôi thực hiện luận văn của mình tốt nhất và đúng theo yêu cầu đề ra.
Cuối cùng chúng tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè đã cổ vũ, động viên và giúp đỡ
chúng tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình.

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thái Hiền
Trần Thái Dương

SVTH: Trần Thái Dương – Nguyễn Thái Hiền

ii


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

GVHD: PGS.TS.Trương Tích Thiện

MỤC LỤC
Đề mục
Trang bìa................................................................................................................. i
Nhiệm vụ luận văn
Phiếu chấm bảo vệ LVTN
Lời cảm ơn............................................................................................................. ii

Mục lục................................................................................................................. iii
Danh sách hình vẽ ................................................................................................. v
Danh sách bảng biểu ........................................................................................... vii
CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU ............................................................................................ 1
1.1. Tầm quan trọng của chảy dẻo trong kết cấu .............................................................. 1
1.2. Ứng xử dẻo trong kéo nén đơn trục............................................................................ 2
CHƯƠNG 2 . LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG DẺO ............................................................. 8
2.1. Không gian ứng suất HaighWestergaard.................................................................. 8
2.2. Tiêu chuẩn chảy độc lập với ứng suất thủy tónh ...................................................... 10
2.3. Các quan hệ ứng suất-biến dạng đối với các vật liệu biến cứng ............................. 13
CHƯƠNG 3 BÀI TOÁN ĐÀN DẺO 2D ...................................................................... 21

(tiêu chuẩn chảy von-Mises, biến cứng đẳng hướng) ..................................................... 21
3.1.Tóm tắt lý thuyết ...................................................................................................... 21
3.2. Các mô hình biến cứng đẳng hướng ......................................................................... 23
3.2.Dạng ma trận ............................................................................................................ 24
3.3.Các công thức cho bài toán 2D: ................................................................................ 26
CHƯƠNG 4. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO BÀI TOÁN PHI TUYẾN VẬT
LIỆU ......................................................................................................................... 29
4.1. Khái niệm về phương pháp phần tử hữu hạn ........................................................... 29
4.2. Sự hình thành phần tử hữu hạn ................................................................................. 30
4.3. Các giải thuật số để giải các phương trình phi tuyến ............................................... 33
4.4. Mô hình bài toán 2D ................................................................................................ 40
CHƯƠNG 5. CÁC KẾT QUẢ TÍNH TOÁN ................................................................. 49
5.1. Một số bài toán. ....................................................................................................... 49
5.2. Các sơ đồ khối cho chương trình EP2D .................................................................... 67
SVTH: Trần Thái Dương – Nguyễn Thái Hiền

iii

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

GVHD: PGS.TS.Trương Tích Thiện

CHƯƠNG 6. KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI ............................ 73
6.1. Kết luận ................................................................................................................... 73
6.2. Hướng phát triển của đề tài: .................................................................................... 73

SVTH: Trần Thái Dương – Nguyễn Thái Hiền

iv


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

GVHD: PGS.TS.Trương Tích Thiện

DANH SÁCH HÌNH VẼ

STT
(1)
1
2
3
4
5
6
7
8

9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22

Hình số
(2)

Tên hình
Trang
(3)
(4)
Biểu đồ ứng suất-biến dạng của thép ít cacbon
Hình 1.1
2
và của một số kim loại khác.
Các đường cong ứng suất - biến dạng lý tưởng
Hình 1.2
3
hóa

Hình 1.3
Modulus tiếp tuyến và modulus dẻo
5
Hình 1.4
Các quy luật biến cứng
7
Hình 2.1
Không gian ứng suất Haigh-Westergaard
8
Hình chiếu của trạng thái ứng điểm lên mặt
Hình 2.2
9
phẳng lệch
Các tiêu chuẩn chảy phù hợp trong kéo trên
Hình 2.3
11
mặt phẳng tọa độ 3 = 0.
Các tiêu chuẩn chảy trên mặt phẳng lệch 
Hình 2.4
12
Các bề mặt chảy trong không gian ứng suất
Hình 2.5
12
chính
Hình 3.1
Mô hình biến cứng song tuyến tính
24
Hình 3.2
Mô hình biến cứng phi tuyến
24

Hình 4.1
Phương pháp Newton – Raphson
33
Hình 4.2
Phương pháp Newton – Raphson hiệu chỉnh
35
Hình 4.3
Phương pháp tựa Newton
37
Hình 4.4
Phần tử đẳng tham số tứ giác 8 nút
40
Hình 4.5
Lưu đồ tính ma trân [k]e
43
Hình 4.6
Lưu đồ tính nội lực
44
Hình 4.7
Lực phân bố đều trên cạnh phần tử
44
Sự gia tăng ứng suất của điểm Gauss đã biến
Hình 4.8
46
dạng dẻo
Sự gia tăng ứng suất của điểm Gauss từ miền
Hình 4.9
47
đàn hồi sang miền biến dạng dẻo
Quá trình đưa trạng thái ứng suất của điểm

Hình 4.10
48
Gauss về mặt phẳng chảy
Lời giải giải tích cho bài toán ống trụ thành
Hình 5.1
50
dày

SVTH: Trần Thái Dương – Nguyễn Thái Hiền

Ghi chú
(5)

v


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

(1)
23
24
25

(2)
Hình 5.2
Hình 5.3
Hình 5.4

26

Hình 5.5

27

Hình 5.6

28

Hình 5.7

29

Hình 5.8

30

Hình 5.9

31

Hình 5.10

32
33

Hình 5.11
Hình 5.12

34

Hình 5.13

35

Hình 5.14

36

Hình 5.15

37
38

Hình 5.16
Hình 5.17

39

Hình 5.18

40

Hình 5.19

41

Hình 5.20

42
43

44
45
46
47

Hình 5.21
Hình 5.22
Hình 5.23
Hình 5.24
Hình 5.25
Hình 5.26

GVHD: PGS.TS.Trương Tích Thiện

(3)
Mô hình bài toán ống trụ thành dày
Biểu đồ chuyển vò mặt trong-áp suất
Đồ thò so sánh ứng suất(p=8 dN/mm2 : c/a = 0)
Đồ thò so sánh ứng suất
(p=14 dN/mm2 : c/a = 1,25)
Đồ thò so sánh ứng suất
(p=18 dN/mm2 : c/a = 1,75)
Kết quả tính biến dạng dẻo εp bằng chương
trình
Kết quả tính biến dạng dẻo εp bằng ANSYS
Đồ thò so sánh biến dạng dẻo ứng với 1 số giá
trò R
Mô hình bài toán kéo tấm kim loại có lỗ tròn
ở giữa
Biến dạng dẻo tương đương

Ứng suất von-Mises
Các nút phần tử được chọn để so sánh kết quả
giữa hai chương trình
Đồ thò so sánh biến dạng dẻo tương đương tại
một vài điểm nút
Đồ thò so sánh ứng suất von-Mises tại một số
điểm nút
Mô hình bài toán uốn tấm kim loại
Biến dạng dẻo tương đương
Các nút phần tử được chọn để so sánh kết quả
giữahai chương trình
Đồ thò so sánh biến dạng dẻo tương tương tại
một số điểm nút
Đồ thò so sánh ứng suất von-Mises tại một số
điểm nút
Chương trình EP2D
Hàm INYIELD
Hàm YIELD
Hàm FLOWPL
Hàm STIFF
Hàm RESIDU

SVTH: Trần Thái Dương – Nguyễn Thái Hiền

(4)
50
51
51

(5)

52
53
55
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
65
66
68
69
69
70
71
72

vi


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

GVHD: PGS.TS.Trương Tích Thiện

DANH SÁCH BẢNG BIỂU

STT

Bảng số

Tên Bảng

1

Bảng 4.1

Tọa độ điểm Gauss

2

Bảng 5.1

3

Bảng 5.2

4

Bảng 5.3

5

Bảng 5.4

6

Bảng 5.5

7

Bảng 5.6

8

Bảng 5.7

9

Bảng 5.8

Bảng sai số % giá trò ứng suất do chương trình
tính vớiø lý thuyết(p=8 dN/mm2 : c/a = 0)
Bảng sai số % ứng suất do chương trình tính
với lý thuyết (p=14 dN/mm2 : c/a = 1,25)
Bảng sai số % giá trò ứng suất do chương trình
tính với lý thuyết (p=18 dN/mm2 : c/a = 1,75)
Bảng sai số % biến dạng dẻo giữa chương trình
và ANSYS
Bảng sai số % biến dạng dẻo giữa chương trình
và ANSYS
Bảng sai số % ứng suất giữa chương trình và
ANSYS
Bảng sai số % biến dạng dẻo giữa chương trình

và ANSYS
Bảng sai số % ứng suất giữa chương trình và
ANSYS

SVTH: Trần Thái Dương – Nguyễn Thái Hiền

Trang Ghi chú
42
52
53
54
56
61
62
66
67

vii


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

SVTH: Trần Thái Dương – Nguyễn Thái Hiền

GVHD: PGS.TS.Trương Tích Thiện

viii


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

GVHD: PGS.TS.Trương Tích Thiện

CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU

1.1. Tầm quan trọng của chảy dẻo trong kết cấu
Việc thiết kế kỹ thuật các kết cấu lớn là một quá trình gồm hai giai đoạn. Trường
nội lực (ứng suất) bên trong vật liệu cấu trúc phải được xác đònh ở giai đoạn đầu
tiên, và giai đoạn thứ hai là xác đònh đáp ứng của vật liệu dưới tác động của trường
ứng suất đó. Giai đoạn một bao gồm một sự phân tích ứng suất tác động bên trong
các phân tố kết cấu; giai đoạn hai liên quan đến các đặc tính của vật liệu kết cấu.
Mối quan hệ tuyến tính giữa ứng suất và biến dạng bên trong vật liệu lý tưởng hóa
đã hình thành cơ sở toán học cho lý thuyết đàn hồi, lý thuyết này được áp dụng
rộng rãi cho những vật liệu thật để đánh giá ứng suất hoặc biến dạng trong các
phân tố kết cấu dưới điều kiện tải làm việc cụ thể. Các ứng suất này bò giới hạn
nhỏ hơn ứng suất cho phép, ứng suất này được tính như một phần của ứng suất chảy
vật liệu. Do đó, một thiết kế an toàn sẽ thu được không phải do tính toán và sự hiểu
biết các đặc tính vật liệu một cách đầy đủ mà dựa vào kinh nghiệm thu thập được
trong vài thập kỷ hay vài thế kỷ.
Một kết cấu thực là một vật thể rất phức tạp với một trạng thái ứng suất cực kỳ
phức tạp. Nhiều ứng suất thứ cấp xuất hiện do chế tạo, lắp ráp và đònh vò chi tiết.
Sự tổ hợp của ứng suất ban đầu chưa biết, các ứng suất thứ cấp, và sự tập trung ứng
suất và sự phân bố lại do những sự bất liên tục của kết cấu đã không tuân theo một
tính toán lý tưởng hóa dựa trên lý thuyết đàn hồi. Lý thuyết dẻo mô tả một sự mở
rộng cần thiết của lý thuyết đàn hồi và đề cập đến việc tính toán ứng suất và biến
dạng trong kết cấu biến dạng dẻo cũng như những phạm vi biến dạng đàn hồi. Nó
cung cấp các đánh giá thực tế hơn về các khả năng mang tải của kết cấu và cung
cấp một sự hiểu biết tốt hơn về ứng xử của kết cấu đối với các lực được gây ra
trong vật liệu. Do đó, một sự hiểu biết về vai trò của các biến số cơ học thích hợp,
SVTH: Trần Thái Dương – Nguyễn Thái Hiền

1


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

GVHD: PGS.TS.Trương Tích Thiện

chúng đònh nghóa sự phản ứng của vật liệu với lực tác động, là cần thiết cho kỹ sư
trong việc thiết kế cấu trúc.
1.2. Ứng xử dẻo trong kéo nén đơn trục
Hình 1.1a biểu diễn đường cong điển hình cho mẫu kéo đơn trục bằ ng thép ít

carbon. Miền đàn hồi đầu tiên nói chung xuất hiện như một đường thẳng OA với
điểm A xác đònh giới hạn tỷ lệ. Khi biến dạng tăng thêm, mối quan hệ giữa ứng
suất và biến dạng không còn tuyến tính nữa nhưng vật liệu vẫn còn đàn hồi, và theo
sự cất tải, mẫu trở lại chiều dài gốc của nó. Điểm ứng suất cực đại B, ở đó tải có
thể được tác động mà không gây ra bất cứ sự biến dạng thường xuyên nào, xác đònh

giới hạn đàn hồi. Điểm B cũng được gọi là điểm chảy, vì nó biểu thò sự bắt đầu
biến dạng dẻo hay biến dạng không hồi phục. Thông thường có sự khác nhau nhỏ
giữa giới hạn tỉ lệ, A, và giới hạn đàn hồi, B. Thép ít carbon cho điểm chảy trên B
và điểm chảy dưới C. Qua khỏi điểm C, biến dạng gia tăng trong điều kiện tải
hằng. Ứng xử vật liệu trong miền phẳng CD được xem như chảy dẻo.


B
C

E

°



E
°

ys

D

B

A°

O


(a)

O
0,1%


(b)

Hình 1.1. Biểu đồ ứng suất-biến dạng của thép ít carbon (a)
và của một số kim loại khác.

SVTH: Trần Thái Dương – Nguyễn Thái Hiền

2


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

GVHD: PGS.TS.Trương Tích Thiện

1.3. Mô hình ứng xử đơn trục trong chảy dẻo
1.3.1. Các đường cong ứng suấtbiến dạng kéo đơn trục đơn giản hóa
1.3.1.1. Mô hình đàndẻo lý tưởng (hình 1.2a)
Mối quan hệ ứng suất-biến dạng kéo đơn trục có thể được biểu diễn dưới dạng

for    0
E

    for    0
E


(1.1)

ở đây E là Young’s modulus, và  là số vô hướng, xác đònh và lớn hơn không.
1.3.1.2. Mô hình đàn hồibiến cứng tuyến tính (hình 1.2b)
Quan hệ ứng suất-biến dạng đối với trường hợp gia tải kéo đơn điệu có dạng

for    0
E

1

  0     0  for    0
E Et






0

0

(1.2)

1 Et

E

E

1

1

O



(a)


O
(b)




E
 = kn

1

0

b

O
(c)



O
a

(d)



Hình 1.2. Các đường cong ứng suất-biến dạng lý tưởng hóa.
SVTH: Trần Thái Dương – Nguyễn Thái Hiền

3


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

GVHD: PGS.TS.Trương Tích Thiện

1.3.1.3. Mô hình đàn hồibiến cứng hàm mũ (hình 1.2c)
Quan hệ ứng suất-biến dạng được khảo sát dưới dạng lũy thừa như sau
  E

for    0

  k n

for    0

(1.3)

trong đó k và n là hai hằng số đặc trưng của vật liệu, chúng được xác đònh sao cho
phù hợp tốt nhất với đường cong thu được từ thí nghiệm.
1.3.1.4. Mô hình RambergOsgood (hình 1.2d).
Đường cong ứng suất-biến dạng phi tuyến trong hình 1.4d có dạng biểu thức như
sau
 

   a 
E
b

n

(1.4)

trong đó a, b và n là những hằng số vật liệu. Độ dốc ban đầu của đường cong lấy
giá trò của Young’s modulus E ở  = 0, và giảm đơn điệu theo sự gia tăng của tải.
Do mô hình có ba thông số, nó cho phép mô hình phù hợp tốt hơn với những đường
cong ứng suất-biến dạng thực tế.
1.3.2. Modulus tiếp tuyến Et và modulus dẻo Ep
Chúng ta giả đònh rằng một gia tăng biến dạng, d, bao gồm hai phần: gia tăng biến

dạng đàn hồi, de, và gia tăng biến dạng dẻo, dp (xem hình 1.3a),
d  d e  d p

SVTH: Trần Thái Dương – Nguyễn Thái Hiền

(1.5)

4


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP



GVHD: PGS.TS.Trương Tích Thiện



1
B
A
°

Et

1
Ep

°
d
p

d

°
d

°

e

d

dp

d

E

1
O
(a)

O



(b)

p

Hình 1.3. Modulus tiếp tuyến và modulus dẻo.
Lượng gia tăng ứng suất d được liên hệ với lượng gia tăng biến dạng d theo dạng

d  Et d

(1.6)

với Et là modulus tiếp tuyến, nó thay đổi trong quá trình biến dạng dẻo.
Nếu chúng ta tách biến dạng dẻo p khỏi biến dạng tổng , thì lượng gia tăng biến
dạng dẻo dp và lượng gia tăng ứng suất d được liên hệ với nhau theo biểu thức
d  Ep d p

(1.7)

trong đó Ep được xem là modulus dẻo, nó bằng độ dốc của đường cong p trong
trường hợp kéo đơn trục (hình 1.3b). Đối với lượng gia tăng biến dạng đàn hồi de,
ta có mối quan hệ

d  Ed e

(1.8)

với E là modulus đàn hồi hay Young’s modulus.
Thay d trong đẳng thức (1.6), dp trong đẳng thức (1.7), và de trong đẳng thức (1.8)
vào đẳng thức (1.5) ta sẽ có mối quan hệ giữa ba modulus Et, E và Ep
1

Et



1

E

SVTH: Trần Thái Dương – Nguyễn Thái Hiền



1

Ep

(1.9)

5

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

GVHD: PGS.TS.Trương Tích Thiện

1.3.3. Các quy luật biến cứng
Hiện tượng mà nhờ đó ứng suất chảy gia tăng với sự gia tăng biến dạng dẻo được
gọi là biến cứng hay tái bền của vật liệu. Để mô tả ứng xử này, một thông số biến
cứng  được giới thiệu để đặc trưng cho các trạng thái biến cứng khác nhau, và

modulus dẻo Ep được cho là một hàm của thông số biến cứng  này như
E p  E p  

(1.10)

ở đây  có thể được lấy như là công chảy dẻo Wp
Wp    d p

(1.11)

hoặc biến dạng dẻo p hoặc, thực tế hơn, biến dạng dẻo tích lũy



 p   d p d p



12

nó là tổng của các gia tăng biến dạng dẻo tương đương được đònh nghóa bởi

d p  d p d p

(1.12)

Bởi vì đường cong kéo đơn trục  đối với một vật liệu nói chung thu được từ một
thí nghiệm đơn giản, dạng hàm của modulus dẻo Ep trong đẳng thức (1.10) có thể
được xác đònh từ thí nghiệm này dưới dạng đònh nghóa của thông số biến cứng .
Đối với một phân tố vật liệu dưới điều kiện gia tải nghòch đảo, ứng suất chảy tiếp
sau thường được xác đònh theo một trong ba quy luật đơn giản sau đây:

1.Quy luật biến cứng đẳng hướng: Quy luật biến cứng này có thể được biểu diễn
dưới dạng toán học như sau
    

SVTH: Trần Thái Dương – Nguyễn Thái Hiền

(1.13)

6


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

GVHD: PGS.TS.Trương Tích Thiện

ở đây () là một hàm của thông số biến cứng  và thông số  là số vô hướng, xác
đònh, không âm, như công chảy dẻo hoặc biến dạng dẻo tích lũy đã được đề cập ở
trên.

2.Quy luật biến cứng động học:. Quy luật biến cứng này có thể được biểu diễn dưới

dạng toán học như sau
  c     0

(1.14)

với c() là hàm của thông số biến cứng .




B
A



B
A

B
A

a’
O

O
C

A’



O
C

a
A’

B’
(a)

C





A’
B’
(b)

B’
(c)

Hình 1.4. Các quy luật biến cứng.

3.Quy luật biến cứng độc lập: có thể được biểu diễn dưới dạng toán học như sau
   t  t  nếu   0

   c  c  nếu   0

(1.15)

với t và c là các thông số biến cứng được tích lũy trong quá trình đặt tải kéo và
nén tương ứng.

SVTH: Trần Thái Dương – Nguyễn Thái Hiền

7


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

GVHD: PGS.TS.Trương Tích Thiện

CHƯƠNG 2 . LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG DẺO
2.1. Không gian ứng suất HaighWestergaard
Lấy ba ứng suất chính 1, 2, 3 như là ba tọa độ và biểu diễn trạng thái ứng suất ở
một điểm như là một điểm trong không gian ứng suất ba chiều này. Không gian này
được gọi là không gian ứng suất HaighWestergaard.
Mặt phẳng lệch

1

1 + 2 + 3 = const
P(1, 2, 3)



(s1, s2, s3)

arccos(1/ 3)



e1




n

Trục thủy tónh

N(p, p, p)

1 = 2 = 3

O
3



2

Hình 2.1. Không gian ứng suất Haigh-Westergaard.
Mặt phẳng lệch:
(2.1)

1   2   3  3

ở đây  là khoảng cách từ điểm gốc tọa độ đến mặt phẳng được đo dọc theo pháp
tuyến ON. Mặt phẳng lệch đặc biệt đi qua điểm gốc 0,

1   2   3  0

(2.2)

được gọi là mặt phẳng .

Chiều dài  của vector NP được cho bởi




  NP  s12  s22  s32

SVTH: Trần Thái Dương – Nguyễn Thái Hiền



12

 2J 2

(2.3)

8


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

GVHD: PGS.TS.Trương Tích Thiện



hoặc

(2.4)

  NP  3  oct
cos  

cos3 

3 s1
2 J

(2.5)
2

3 3 J3
2 J 23 2

(2.6)

1’

Q’

P



1
e1 
 2, 1, 1
6
2
3

2’

 cos  

3
s
2 1

N

2
3

3’

Hình 2.2. Hình chiếu của trạng thái ứng điểm lên mặt phẳng
lệch.
Phương trình (2.6) chỉ ra rằng giá trò của cos3 là một bất biến được liên hệ với các
bất biến của tensor ứng suất lệch J2 và J3. Bây giờ ta thấy rằng một trạng thái ứng
suất (1, 2, 3) có thể được biểu diễn bởi (, , ), chúng được xem như là các tọa

độ HaighWestergaard.
Các mối quan hệ giữa (1, 2, 3) và (, , ) :

 1   p 
cos
    2

J 2  cos   2
 2    p  
3
   p 

 3  
cos   2

 
cos
1  
2 

 cos   2
  
3 
3 
 
cos   2

SVTH: Trần Thái Dương – Nguyễn Thái Hiền




3

3  


3

3  

(2.7)

9


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

GVHD: PGS.TS.Trương Tích Thiện

2.2. Tiêu chuẩn chảy độc lập với ứng suất thủy tónh
2.2.1. Các khảo sát tổng quát
Điều kiện chảy có thể được biểu diễn tổng quát như





(2.8)

f  ij , k1 , k2 ,  0

ở đây k1, k2,  là những hằng số vật liệu, chúng được xác đònh từ thí nghiệm.
Đối với những vật liệu đẳng hướng, phương của các ứng suất chính thì không phụ
thuộc vào vật liệu, và những giá trò của các ứng suất chính đủ để mô tả trạng thái
ứng suất duy nhất. Do đó một tiêu chuẩn chảy có dạng quan hệ như sau
f  1 , 2 , 3 , k1 , k2 ,  0

(2.9)

Chúng ta đã biết rằng ba ứng suất chính 1, 2, và 3 có thể được biểu diễn dưới
dạng các tổ hợp của ba bất biến ứng suất I1, J2 và J3, ở đây I1 là bất biến thứ nhất
của tensor ứng suất ij và J2 và J3 là các bất biến thứ hai và thứ ba của tensor ứng
suất lệch sij. Do đó, phương trình (2.9) có thể được thay thế bởi
f  I1 , J 2 , J 3 , k1 , k2 ,  0

(2.10)

Hơn nữa, ba bất biến chính này được liên hệ trực tiếp với các tọa độ , ,  trong
không gian ứng suất. Do đó, phương trình (2.10) cũng có thể được viết như
f  ,  , , k1 , k2 ,  0

(2.11)

Các tiêu chuẩn chảy của các loại vật liệu nên được xác đònh bằng thực nghiệm.
Một sự kiện thí nghiệm quan trọng đối với các kim loại, được chỉ ra bởi Bridgman
và những người khác [xem Hill (1950)], là ảnh hưởng của ứng suất thủy tónh đến
chảy dẻo là không đáng kể. Sự không có ảnh hưởng của ứng suất thủy tónh có nghóa
là hàm chảy dẻo có thể được rút gọn đến dạng
f  J 2 , J 3 , k1 , k2 ,  0

SVTH: Trần Thái Dương – Nguyễn Thái Hiền

(2.12)

10


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

GVHD: PGS.TS.Trương Tích Thiện

Các tiêu chuẩn chảy rất hữu dụng là các tiêu chuẩn của Tresca và von Mises cho
kim loại.
2.2.2. Tiêu chuẩn chảy Tresca
Phát biểu tiêu chuẩn này theo các ứng suất chính , một nửa giá trò tuyệt đối lớn nhất
của các hiệu giữa các cặp ứng suất chính phải bằng k lúc chảy dẻo, nghóa là
Max

 12 1   2 , 12  2   3 , 12  3  1   k

(2.13)

ở đây hằng số vật liệu k có thể xác đònh từ thí nghiệm kéo đơn trục. Thế thì
k

0
2

(2.14)

trong đó 0 là ứng suất chảy trong thí nghiệm kéo đơn trục,
2
C(0,0)

B(0,0)

Lục giác Tresca

1

D
A(0,0)

von Mises Ellipse
E

F

Hình 2.3. Các tiêu chuẩn chảy phù hợp trong kéo trên mặt
phẳng tọa độ 3 = 0.

SVTH: Trần Thái Dương – Nguyễn Thái Hiền

11


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

GVHD: PGS.TS.Trương Tích Thiện

1’

Biên ngoài

A
Biên trong

B

Đường tròn von Mises J2 = k2
J23 – 2,25J32 = k6

F

O

60

Lục giác Tresca

2’

C

E

3’

D

Hình 2.4. Các tiêu chuẩn chảy trên mặt phẳng lệch .

Bề mặt chảy von Mises

3

Trục thủy tónh

Bề mặt chảy Tresca

2

Mặt phẳng 

1

Hình 2.5. Các bề mặt chảy trong không gian ứng suất chính.

SVTH: Trần Thái Dương – Nguyễn Thái Hiền

12


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

GVHD: PGS.TS.Trương Tích Thiện

Tiêu chuẩn chảy Tresca theo các bất biến ứng suất,


1 





f  J 2 ,   2 J 2 sin        0  0
3

 0    60 

(2.15)

hoặc theo các biến , , ,


1 





f   ,   2  sin        0  0
3

(2.16)

2.2.3. Tiêu chuẩn chảy von Mises
Tiêu chuẩn này phát biểu rằng chảy dẻo sẽ bắt đầu khi ứng suất tiếp bát diện đạt
đến giá trò giới hạn k. Tiêu chuẩn này có dạng

k

(2.17)

f  J 2   J 2  k2  0

(2.18)

 oct 

2J
3 2



2
3

nó được rút gọn về dạng đơn giản

hoặc được trình bày theo các ứng suất chính,

1   2    2   3    3  1 
2

2

2

 6k2

(2.19)

ở đây k là ứng suất chảy trong trượt thuần túy. Chảy dẻo sẽ xảy ra trong kéo đơn
trục khi 1 = 0, 2 = 3 = 0. Thay các giá trò này vào (2.19), ta tìm được
k

0
3

(2.20)

2.3. Các quan hệ ứng suất-biến dạng đối với các vật liệu biến cứng
Phương trình chủ yếu tổng quát đối với vật liệu biến cứng đàndẻo sẽ thu được
trong mục này dưới dạng
ep
d ij  Cijk
 d k

SVTH: Trần Thái Dương – Nguyễn Thái Hiền

(2.21)

13


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

GVHD: PGS.TS.Trương Tích Thiện

ep
ở đây Cijk
là tensor độ cứng đàndẻo của modulus tiếp tuyến, nó là hàm của trạng


thái ứng suất và lòch sử đặt tải. Phương trình này được cần đến trong phân tích số
bài toán chảy dẻo, như phân tích phần tử hữu hạn.
2.3.1 Quan hệ cơ bản đối với vật liệu biến cứng tổng quát
Biểu thức tổng quát của bề mặt chảy hay bề mặt đặt tải đối với vật liệu biến cứng
có dạng





f  ij ,  ijp , k  0

(2.22)

với k = k(p) là thông số biến cứng đẳng hướng. Gia số biến dạng dij được phân tích
thành hai phần,
d ij  d ije  d ijp

(2.23)

trong đó gia số biến dạng đàn hồi, d ije , được liên hệ với gia số ứng suất, dij, bởi
đònh luật Hooke tổng quát hóa như
d ij  Cijk d ke

(2.24)

ở đây Cijk là tensor của modulus đàn hồi; gia số biến dạng dẻo, d ijp , có thể được
biểu diễn một cách tổng quát bởi quy luật chảy không kết hợp dưới dạng

d ijp  d 







g
 ij

(2.25)



với g  g  ij ,  ijp , k , như đối với f  ij ,  ijp , k , là hàm thế năng dẻo, và d là hàm vô
hướng được xác đònh dưới đây bởi điều kiện kiên đònh df = 0. Thay gia số biến dạng
đàn hồi, d ije , từ phương trình (2.23) và gia số biến dạng dẻo, d ijp , từ phương trình
(2.25) vào đònh luật Hooke, ta có

SVTH: Trần Thái Dương – Nguyễn Thái Hiền

14


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

GVHD: PGS.TS.Trương Tích Thiện



d ij  Cijk  d k  d 


g 

 k 

(2.26)

Từ phương trình trên, ta nhận thấy rằng nếu ta biết hàm vô hướng d, quan hệ cơ
bản được xác đònh hoàn toàn.
Từ điều kiện kiên đònh đối với vật liệu biến cứng tổng quát
df 

f
f
f
d ij  p d ijp  dk  0
 ij
k
 ij

(2.27)

hàm vô hướng d trong phương trình (2.26) có thể được xác đònh một cách trực tiếp.

Phương trình (2.27) có thể được viết lại như sau:

df 

f
C d  hd   0
 ij ijk k

(2.28)

ở đây
h

f
g
f g f dk
g g
Cijk
 p

C
 ij
 k  ij  ij k d p
 ij  ij

(2.29)

Từ phương trình (2.28), hàm vô hướng d có thể được giải như

d 

1 f
1
Cijk d k  H k d k
h  ij
h

(2.30)

ở đây tensor bậc hai Hk được đònh nghóa liên kết với hàm chảy, f, dưới dạng

H k 

f
C
 ij ijk

(2.31)

Tương tự, ta sẽ đònh nghóa tensor bậc hai H*k được liên kết với hàm thế năng, g,
như:

H k 

g
C
 ij ijk

SVTH: Trần Thái Dương – Nguyễn Thái Hiền

(2.32)

15


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

GVHD: PGS.TS.Trương Tích Thiện

Mỗi lần hàm vô hướng d được xác đònh, gia số biến dạng dẻo, dpij, được xác đònh
từ quy luật chảy (2.25)

d ijp  d 

g 1 f
g
1
g

Cmnst
d st  Hst
d
 ij h  mn
 ij
h
 ij st

(2.33)

và gia số ứng suất tương ứng, dij, có thể được xác đònh từ phương trình (2.26) bằng

cách dùng phương trình (2.33)


d ij  Cijk  d k 


1 f
g
Cmnst
d st 
h  mn
 k




1 f
g 
 Cijk   sk t 
Cmnst
 d st
h




mn
k 



1 f
g 
  Cijst 
Cmnst Cijk
 d st
h




mn
k 


(2.34)

ep
 Cijst
d st

hoặc
ep
d ij  Cijk
 d k

(2.35)

Do đó, tensor độ cứng tiếp tuyến đàndẻo có thể được viết dưới dạng
ep
p

Cijk
  Cijk  Cijk

(2.36)

Với
p
Cijk
 

1 f
g
1
CmnkCijst
  Hk Hij
h  mn
 st
h

(2.37)

ở đây Cpijk được gọi là tensor độ cứng tiếp tuyến dẻo và mô tả sự suy giảm độ cứng
của vật liệu do chảy dẻo.
Tiêu chuẩn đặt tải theo các gia số biến dạng dij như dưới đây.
Đối với đặt tải dẻo, d là hệ số không âm và hd luôn dương. Do đó, từ điều kiện
kiên đònh (2.27), ta có thể suy ra
SVTH: Trần Thái Dương – Nguyễn Thái Hiền

16

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

GVHD: PGS.TS.Trương Tích Thiện

f
C d  0
 ij ijk k

(2.38)

Đối với đặt tải trung hòa, ta có dpij = 0, hay d = 0, và điều kiện kiên đònh (2.28)
dẫn đến
f
C d  0
 ij ijk k

(2.38)

Đối với việc cất tải từ trạng thái đàndẻo, trạng thái ứng suất trên bề mặt chảy
được di chuyển vào phía trong, kết quả là df < 0. Hơn nữa, đối với trường hợp này,
ta có d = 0. Bằng cách dùng điều kiện df < 0 và d = 0 trong đẳng thức (2.28), ta
có:

f
C d  0
 ij ijk k

(2.39)

Nói tóm lại, tiêu chuẩn đặt tải đối với gia số biến dạng đã cho dij có thể được biểu
diễn như sau
 0, đặt tải
f

Cijk d k  0, đặt tải trung hòa
 ij
 0, cất tải


(2.40)

Cuối cùng, quan hệ ứng suấtbiến dạng hoàn chỉnh đối với vật liệu biến cứng
đàndẻo có thể được biểu diễn trong dạng tổng quát như sau.
Đối với f(ij, pij, k) = 0, và (f/ij)Cijkdk > 0, ta có
ep
d ij  Cijk
 d k

(2.41)

ở đây Cepijk được cho trong các đẳng thức (2.36) và (2.37).
Đối với f(ij, pij, k) < 0, hoặc f(ij, pij, k) = 0 và (f/ij)Cijkdk  0, ta có
d ij  Cijk d k

SVTH: Trần Thái Dương – Nguyễn Thái Hiền

(2.42)

17