SKKN GIÚP học SINH học tốt CHỦ đề ỨNG DỤNG của TÍCH PHÂN

Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

LỜI GIỚI THIỆU
Vấn đề diện tích của các hình quen thuộc như tam giác , tứ giác , ngũ giác , lục giác,… gọi chung là đa giác
học sinh đều đã biết công thức tính diện tích từ các lớp dưới . Cũng tương tự như vậy vấn đề thể tích các khối
như ( khối hộp chữ nhật , khối lập phương , khối lăng trụ , khối chóp , ….gọi chung là khối đa diện ) học sinh
đều được học công thức tính thể tích . Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó vốn không đơn giản
đối với các học sinh có tư duy hình học yếu , đặc biệt là tư duy cụ thể hoá , trừu tượng hoá .Việc dạy và học các
vấn đề này ở chương trình toán lớp dưới 8 , 9 , 10 , 11 vốn đã gặp rất nhều khó khăn bởi nhiều nguyên nhân ,
trong đó yếu tố “trực quan và thực tế” trong các sách giáo khoa đang còn thiếu .
Do đó khi học về vấn đề mới : vấn đề diện tích của các hình phẳng , vấn đề thể tích của các vật thể tròn
xoay ở chương trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn .Hầu hết các em học sinh thường có cảm giác
“sợ” bài toán tính diện tích hình phẳng cũng như bài toán tính thể tích của vật thể tròn xoay . Khi học vấn đề
này nhìn chung các em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích , thiếu tư duy thực
tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn , học không giải được , đặc biệt là những bài toán cần phải có hình
vẽ để “chia nhỏ” diện tích mới tính được. Thêm vào đó trong sách giáo khoa cũng như các sách tham khảo có
rất ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp học sinh học tập và khắc phục “những sai lầm đó”.Càng khó
khăn hơn cho những học sinh có kỹ năng tính tích phân còn yếu và kỹ năng “đọc đồ thị” còn hạn chế.
Tài liệu “ GIÚP HỌC SINH 12 HỌC TỐT VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN” nhằm giúp cho
học sinh 12 rèn kỹ năng tính tích phân , đặc biệt là tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối , rèn kỹ năng đọc đồ
thị của hàm số , từ đó khắc phục những khó khăn , sai lầm khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng cũng như
tính thể tích của vật thể tròn xoay. Từ đó giúp học sinh phát huy tốt kiến thức về diện tích và thể tích mà học
sinh đã học ở lớp dưới , thấy được tính thực tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề này trong chương các lớp học ,
học sinh sẽ cảm thấy hứng thú , thiết thực và học
tốt vấn đề ứng dụng của tích phân. Đây làm một tài liệu tham khảo rất tốt cho học sinh cũng như giáo viên để
luyện thi và ôn tập thi TN THPT , ôn thi ĐH , CĐ .
Tài liệu này gồm các phần :
- Phần một :
Thực trạng và giải pháp chung giúp học sinh 12 học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân hiện nay .
1/ Những khó khăn và sai làm mà học sinh thường mắc phải .
2/ Hướng khắc phục .

- Phần hai
Diện tích của hình phẳng
I.Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành.
1/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f(x) và trục hoành .
2/ Một vài ví dụ minh họa cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối .
3/ Các bài toán minh họa và bài tập tương tự .
4/ Diện tích của hình tròn và hình elip.
II . Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số .
1/ Cách tìm giao điểm của hai đồ thị.
2/ Một vài ví dụ về cách tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số .
3/ Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số .
- Phân ba: Thể tích của vật thể tròn xoay.
I. Công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay .
1/ Vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một hình phẳng quanh trục hoành.
2/ Vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một vật thể quanh trục tung.
II . Thể tích của khối cầu , khối trụ .
1/ Thể tích khối cầu
2/ Thể tích khối trụ
Dù tác giả đã rất cố gắng , song bài viết này cũng khó tránh khỏi những thiếu sót,rất
1

WWW.ToanCapBa.Net


Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

mong nhận được sự góp ý của học sinh và quý bạn đồng nghiệp.
Xin chân thành cám ơn .

PHẦN MỘT

Thực trạng và giải pháp chung giúp học sinh 12 học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân hiện
nay .
1/ Những khó khăn và sai lầm mà học sinh thường mắc phải .
Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình toán giải tích lớp 12 .
Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân , đặc biệt là tính diện
tích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số ,tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một
hình phẳng quanh trục hoành hoặc trục tung. Đây cũng là một nội dung thường gặp trong các đề thi học kì II , ,
đề thi TN THPT , đề thi CĐ , ĐH . Nhìn chung khi học vấn đề này , đại đa số học sinh
(kể cả học sinh khá giỏi ) thường gặp những khó khăn , sai lầm sau :
- Nếu không có hình vẽ thi học sinh thường không hình dung được hình phẳng (hay vật thể tròn xoay ) .
Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” hơn so với khi học về diện tích của hình phẳng đã học trước đây ( diện
tích đa giác , thể tích các khối đa diện …).Học sinh không tận dụng được kiểu “tư duy liên hệ cũ với mới” vốn
có của mình khi nghiên cứu vấn đề này .
-Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ chưa đủ” để giúp học sinh rèn luyện tư
duy từ trực quan đến trừu tượng . Từ đó học sinh chưa thấy sự gần gũi và thấy tính thực tế của các hình phẳng ,
vật tròn xoay đang học .
-Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác nhẹ nhàng khi học vấn đề này , trái lại học sinh có cảm giác
nặng nề ,khó hiểu .
- Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng ( thể tích vật tròn xoay ) một cách máy móc ,
khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo ,đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xét dấu các biểu thức , kỹ năng “ chia
nhỏ” hình phẳng để tính ; kỹ năng cộng , trừ diện tích ; cộng , trừ thể tích . Đây là một khó khăn rất lớn mà
học sinh thường gặp phải .
-Học sinh thường bị sai lầm trong việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối .
b

Chẳng hạn , thường áp dụng sai công thức :

I = ∫ f ( x) dx =
a

b

∫ f ( x)dx
a

Học sinh không biết rằng : công thức trên chỉ đúng trong trường hợp biểu thức f(x) không đổi dấu
trong khoảng (a ; b).
3

Ví dụ :

S = ∫ x 2 − 3 x + 2 dx
0

3

Học sinh viết sai là :

S = ∫ ( x 2 − 3 x + 2)dx
0

2/ Hướng khắc phục .

2

WWW.ToanCapBa.Net


Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

- Giúp học thành thạo kỹ năng phá dấu giá trị tuyệt đối một cách linh hoạt tùy thuộc vào từng tình huống cụ thể
bằng một trong các cách sau :
+ Hoặc bằng cách xét của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối .
+ Hoặc dựa vào hình vẽ (đồ thị ) để xét dấu của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối .
+ Hoặc dùng công thức sau :
b

I = ∫ f ( x) dx =
a

b

∫ f ( x)dx
a

Với điều kiện f(x) không đổi dấu trên khoảng (a ;b) .
- Đưa ra nhiều bài tập minh họa có lời giải chi tiết để giảng dạy trong các giờ dạy phụ đạo và để học sinh tham
khảo . Qua đây rèn luyện cho học sinh kỹ năng đọc đồ thị và vận dụng vào giải toán . Giúp học có hình ảnh trực
quan về các hình phẳng .Từ đó học sinh có cảm giác nhẹ nhàng , gần gũi thực tế hơn , hứng thú hơn .
- Đưa ra hệ thống bài tập tương tự có hình vẽ kèm theo hoặc không có hình vẽ để học sinh luyện tập từ dễ tới
khó . Giáo viên chọn bài tập tiêu biểu để giảng giải , số còn lại để học sinh tự thảo luận làm nhóm ở nhà và nộp
bài làm cho giáo viên.
PHẦN HAI

DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG
I/ HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH
1/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường
thẳng x = a , x = b
Chú ý : Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [ a ; b] .

Khi đó hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b
có diện tích là S và được tính theo công thức :
b

S = ∫ f ( x) dx

(1)

a

 Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1) , muốn vậy ta phải “phá” dấu giá trị tuyệt đối .
•
•

b

b

a

a

b

b

a

a

Nếu f ( x ) ≥ 0 , ∀x ∈ [ a ; b] thì S = ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x)dx
Nếu f ( x ) ≤ 0 , ∀x ∈ [ a ; b] thì S = ∫ f ( x) dx = ∫ ( − f ( x) ) dx

 Muốn “phá” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức f(x) . Thường có hai cách làm như sau :
-Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bật nhất” , định lí “dấu của tam thức bậc hai” để xét dấu các biểu
thức f(x) ; đôi khi phải giải các bất phương trình f(x) ≥ 0 , f(x) ≤ 0 trên đoạn [ a ; b]
-Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn [ a ; b] để suy ra dấu của f(x)
trên đoạn đó .
• Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hoành thì f ( x ) ≥ 0 , ∀x ∈ [ a ; b]
• Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hoành thì
f ( x) ≤ 0 , ∀x ∈ [ a ; b]

3

WWW.ToanCapBa.Net


Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
b

-Cách 3 Nếu f(x) không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có : S = ∫ f ( x) dx =
a

b

∫ f ( x)dx
a

2/ Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối
0

Vd 1 : Tính I =

∫ 2 x + 4 dx

−2

Xét dấu nhị thức bậc nhất f(x) = 2x + 4
x
-∞
f(x)=2x + 4
-

-2
0

0
+ 

+∞
+

Suy ra 2 x + 4 ≥ 0 , ∀x ∈ [ - 2;0]
0

Do đó I =

∫

−2

0

2 x + 4 dx = ∫ ( 2 x + 4)dx = ( x 2 + 4 x)
−2

[

]

0
= 0 − ( −2) 2 + 4(−2) = 4
−2

3

2
Vd 2 : J = ∫ − x + 2 x − 2 dx
0

Xét dấu tam thức f(x) = - x2 + 2x – 2 , có ∆' = 12 − (−1)(−2) = 1 − 2 = −1 < 0 , a = - 1 < 0
Suy ra f(x) < 0 ∀x ∈ R
x
f(x)= -x2 + 2x - 2

-∞

0
-2

-

-

3
-5

+∞
-

Suy ra f ( x) < 0 , ∀x ∈ [ 0;3]
3

3

0

0

J = ∫ − x 2 + 2 x − 2 dx = ∫ ( x 2 − 2 x + 2)dx = (

=

3
x3
− x 2 + 2 x)
0
3

 03

 27
33
− 3 2 + 2.3 −  − 0 2 − 2.0 =
−9+6−0 = 6
3
3
 3
2

2
Vd 3 K = ∫ x − 3x + 2 dx
0

x = 1
2
Cách 1 Xét dấu tam thức f(x) = x2 – 3x + 2 , có a = 1 > 0 ; và x − 3 x + 2 = 0 ⇔ 
x = 2
x
-∞
0
1
2
+∞
f(x)= x2 - 3x + 2
+
2
+
0
0
+

Suy ra f ( x) ≥ 0 , ∀x ∈ [ 0;1] và f ( x) ≤ 0 , ∀x ∈ [1;2]
2

1

2

0

1

2
2
2
Do đó : K = ∫ x − 3x + 2 dx = ∫ ( x − 3 x + 2)dx − ∫ ( x − 3 x + 2)dx
0

=(

1
2 5
x
3x
x
3x
1
−
+ 2 x) − ( −
+ 2 x) = - (− ) =1
0

1 6
3
2
3
2
6
3

2

3

2

Cách 2

2

1

2

K = ∫ x − 3x + 2 dx = ∫ ( x − 3 x + 2)dx + ∫ ( x 2 − 3 x + 2)dx =
2

0

2

0

1

3/ Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành.
4

WWW.ToanCapBa.Net

5 −1
+
=1
6
6


Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Bài toán 1 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x + 4 , trục hoành , các đường thẳng
x=-2 ,x=0.
y
4
f (x) = 2⋅x+4

x

-2
O

1

Hình 1
Giải
0

Diện tích S của hình phẳng trên là S =

∫ 2 x + 4 dx

−2

Từ hình vẽ , suy ra 2 x + 4 ≥ 0 , ∀x ∈ [ - 2;0]
0

[

0

]

0
= 0 − (−2) 2 + 4(−2) = 4 (đvdt)
−
2
−2
−2
Bài toán 2 . Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y= - 2x - 4 , trục hoành Ox, trục tung Oy
và đường thẳng x = - 2 .
Do đó S =

2

∫ 2 x + 4 dx = ∫ (2 x + 4)dx = ( x + 4 x)

y
-2

1

O

x

f( x ) = -2 ⋅ x-4

4

Hình 2
Giải
Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -2x – 4 , trục hoành và hai đường thẳng x = - 2 , x = 0 .
0

Diện tích S của hình phẳng trên là S =

∫ − 2 x − 4 dx

−2

Từ hình vẽ , suy ra − 2 x − 4 ≥ 0 , ∀x ∈ [ - 2;0]
0

0

[

]

0
= 0 − (−2) 2 + 4(−2) = 4 (đvdt)
−
2
−2
−2
Bài toán 3 . Tính diện tích của hình phẳng (được tô màu ) sau đây :
Do đó S =

5

∫

− 2 x − 4 dx = ∫ ( 2 x + 4)dx = ( x 2 + 4 x)

WWW.ToanCapBa.Net


Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
y
4

O

-2

f( x ) = x

A

1

3

x

B

Hình 3
Giải : Hình phẳng trên được giới hạn bởi bốn đường y = x ,trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = 3.
3

Vì x ≥ 0 , ∀x ∈ [ 0;3]

Diện tích S của hình phẳng trên là S = ∫ x dx
0

3

S=∫
0

3

x 2 3 32 0 2 9

x dx = ∫ xdx = ( ) =
−
=
2 0 2
2 2
0

(đvdt)

Bài toán 4. Tính diện tích của hình phẳng (có tô màu ) sau đây .
y
f( x ) = x 2

4

O

-2

A

1B

3

x

Hình 4
Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 , trục hoành và hai đường thẳng
x = 0 , x = 2.

2

2
Diện tích S của hình phẳng trên là S = ∫ x dx

Vì x ≥ 0 , ∀x ∈ [ 0;2]

0

2

2

2

x 3 2 23 03 8
) =
−
=
(đvdt)
3 0 3
3 3
0
0
Bài toán 5 . Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - x2 , trục hoành Ox và hai đường
thẳng x = -1 ; x = 2 .
S = ∫ x dx = ∫ x 2 dx = (
2

6

WWW.ToanCapBa.Net


Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
y

-2

A O
-1

B

1

3x

-4
f( x ) = -x 2

Hình 5
Giải
2

Diện tích S của hình phẳng trên là S =

∫−x

2

dx

−1

Từ hình vẽ , suy ra x 2 ≤ 0 , ∀x ∈ [ - 1;2]
S=

2

2

−1

−1

2
2
∫ − x dx = ∫ x dx = (

x3 2
2 3 (−1) 3 8 1
) =
−
= + =3
3 −1 3
3
3 3

(đvdt)

Bài toán 6.
Hình thang sau được giới hạn bởi các đường thẳng y = -x – 2 , y = 0 , x = 0 và x = 3.
Hãy tính diện tích hình thang đó .
y

-2 -1

A
O

1

2

3
B

x

f( x) = -x-2

-4

Hình 6
Giải
3

Diện tích S của hình phẳng trên là S = ∫ − x − 2 dx
0

Từ hình vẽ , suy ra − x − 2 ≤ 0 , ∀x ∈ [ 0;3]
3

3

0

0

S = ∫ − x − 2 dx = ∫ ( x + 2)dx = (

3 32
 02
 9
x2
21
+ 2 x) =
+ 2.3 −  + 2.0 = + 6 =
0 2
2
2
2
 2

(đvdt)

Bài toán 7.
Cho hàm số y = -x2 +2x – 2 có đồ thị (C ) .Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) , trục hoành
và hai đường thẳng x =0 , x = 3

7

WWW.ToanCapBa.Net


Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
y
A
O

-2 -1

2

1

3
B

x

f( x ) = ( -x2+2⋅ x) -2

-4
(C)

Hình 7
Giải
Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -x2 +2x - 2 , trục hoành và các đường thẳng x = 0 , x = 3 .

3

2
Diện tích S của hình phẳng trên là S = ∫ − x + 2 x − 2 dx
0

Từ hình vẽ , suy ra − x + 2 x − 2 ≤ 0 , ∀x ∈ [ 0;3]
2

3

3

S = ∫ − x + 2 x − 2 dx = ∫ ( x 2 − 2 x + 2)dx = (
2

0

=

0

3
x3
− x 2 + 2 x)
0
3

 03
 27

33
− 3 2 + 2.3 −  − 0 2 − 2.0 =
− 9 + 6 − 0 = 6 (đvdt)
3
3
 3

Bài toán 8. Hãy tính diện tích của hình phẳng (có tô màu ) sau đây:
y

f( x ) = x2+2⋅ x+2

6
4

A
-2 -1

B
O

1

3

x

2

Hình 8

Giải
Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 +2x +2 , trục hoành và các đường thẳng x = -1 , x = 1 .
1

Diện tích S của hình phẳng trên là S =

∫x

2

+ 2 x + 2 dx

−1

Từ hình vẽ , suy ra x 2 + 2 x + 2 ≥ 0 , ∀x ∈ [ - 1;1]

8

WWW.ToanCapBa.Net


Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
1

S=

∫x

2

2

−1

+ 2 x + 2 dx = ∫ ( x 2 + 2 x + 2)dx = (
−1

1
x
+ x 2 + 2 x)
−1
3
3

 (−1) 3
 1
13 2
−1
1
1
14
+ 1 + 2.1 − 
+ (−1) 2 − 2 = + 3 − ( + 1 − 2) = + 3 + + 1 =
(đvdt)
3
3
3
3
3
 3

 3
Bài toán 9.Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) của hàm số
y = x3 –x2 + 2 , trục hoành Ox và các đường thẳng x = - 1 ; x = 2 .
=

y

f( x) = ( x3-x2) +2

6
4

A
-2 -1

B
2

1

O

x

3

Hình 9
2

Giải : Diện tích S của hình phẳng trên là S =

∫x

3

− x 2 + 2 dx

−1

Từ hình vẽ , suy ra x − x + 2 ≥ 0 , ∀x ∈ [ - 1;2]
3

2

S=

∫

−1

=

2

2

x 3 − x 2 + 2 dx = ∫ ( x 3 − x 2 + 2)dx = (
−1

2

x4 x3
−
+ 2 x)
−1
4
3

2 2
(−1) (−1) 3
16 8
1 1
8
1 1
85
− + 2.2 − (
−
− 2) = − + 4 − ( + − 2) = 4 − + 4 − − + 2 =
(đvdt)
4 3
4
3
4 3
4 3
3
4 3
12
4

3

4

Bài toán 10. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) =
đường thẳng x = -1 ; x = 0 .
y

f( x ) =

-x-2
x-1

-2 -1 A O

x

B
1

2

3

-4

Hình 10
Giải
0

Diện tích S của hình phẳng trên là S =
Từ hình vẽ , suy ra

9

−x−2
dx
x −1
−1

∫

−x−2
≥ 0 , ∀x ∈ [ - 1;0]
x −1

WWW.ToanCapBa.Net

−x−2
, trục hoành và các
x −1


Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
0
−x−2
−x−2
− ( x − 1) − 3
3
S=∫
dx = ∫ (
)dx = ∫
)dx = ∫ (−1 −

) dx
x
−
1
x
−
1
x
−
1
x
−1
−1
−1
−1
−1
0

0

= (− x − 3 ln x − 1 )

0

0
−1

= (−0 − 3 ln 1) − (1 − 3 ln 2) = −0 − 3. ln 1 − 1 + 3 ln 2 == 3 ln 2 − 1 (đvdt)

Bài toán 11 . Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành và các đường thẳng x

= -1 , x =

3
.
2
y
4
f( x) = x3

-2

A O
-1

3x

B
1 3/2

Hình 11
Giải
Diện tích S của hình phẳng trên là S =

3
2

∫x

3

dx

−1

 3

3
Từ hình vẽ , suy ra x 3 ≤ 0 , ∀x ∈ [ - 1;0] và x ≥ 0 , ∀x ∈ 0; 
 2

3
2

0

3
2

0

3
2

−1

−1

0

−1

0

S = ∫ x 3 dx = ∫ x 3 dx + ∫ x 3 dx = ∫ − x 3 dx + ∫ x 3 dx = ( −

3
x4 0
x4
)
+( ) 2
4 −1
4
0

Ghi nhớ :
Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x1 , x2 , …, xk thuộc (a ; b) thì trên mỗi khoảng (a ;
x1 ) , (x1 ; x2) , …, (xk ; b) biểu thức f(x) có dấu không đổi .
b

Khi đó để tính tích phân S = ∫ f ( x) dx ta có thể tính như sau :
a

b

S = ∫ f ( x) dx =
a

x1

∫

a

f ( x)dx +

x2

∫

b

f ( x)dx + ... +

x1

∫ f ( x)dx

xk

3
( )4
0 (−1)
04
1 81
1 81 97
= −( −
) + 2 − = −(0 − ) + − 0 = +
=
4
4
4

4
4 64
4 64 64
Bài toán 12 Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2 có đồ thị (C ) (Hình 12) .
4

10

4

WWW.ToanCapBa.Net

(đvdt)


Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

y
4
f( x) = ( x 3-3 ⋅ x2) +2

-2

-1

A

O1

x

2
B

3

(C)

Hình 12
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2 .
Giải
Trục tung có phương trình x = 0
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , trục hoành và hai đường thẳng
x = 0 , x = 2 được tính bởi công thức :
2

S = ∫ x 3 − 3 x 2 + 2 dx
0

Cách tính 1
Dựa vào đồ thị , suy ra trên đoạn [ 0 ; 2 ] đồ thị (C ) cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ x = 1 .
Hơn nữa x3 -3x2 + 2 ≥ 0 ∀ x ∈ [ 0 ; 1 ] và x3 -3x2 + 2 ≤ 0 ∀x∈ [ 1 ; 2 ]
2

1

2

0

0

1

3
2
3
2
3
2
Do đó S = ∫ x − 3x + 2 dx = ∫ ( x − 3x + 2)dx − ∫ ( x − 3 x + 2)dx

=(
=

1
2 1
 24

x4
x4
1
− x 3 + 2 x) − ( − x 3 + 2 x) = − 1 + 2 − 0 −  − 2 3 + 2.2 − ( − 1 + 2)
0
1 4
4
4
4
4


1
1
5
+1− 4 + 8 − 4 + −1+ 2 =
4
4
2

(đvdt)

Cách tính 2
2

1

2

0

1

S = ∫ x 3 − 3 x 2 + 2 dx = ∫ ( x 3 − 3 x 2 + 2)dx + ∫ ( x 3 − 3 x 2 + 2)dx
0

1
x
− x 3 + 2 x) +
0
4

4
2
Bài toán 13 Cho hàm số y = x - 3x + 2
=(

11

4

2
x
5 −5 5 5 5
− x 3 + 2 x)
= +
= + =
1
4
4
4
4 4 2
có đồ thị ( C ) . (Hình 13 )
4

(

WWW.ToanCapBa.Net

(đvdt)

Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

y
4
f( x) = ( x4-3 ⋅ x2) +2

(C)

B
-2

O 1

-1 A

x

2
3

Hình 13
Hãy tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C ) , trục hoành , và hai đường thẳng x = - 1 , x = 1.
Giải
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , trục hoành và hai đường thẳng x = -1 , x = 1 được tính bởi
công thức :
1

S=

∫x

4

− 3 x 2 + 2 dx

−1

Dựa vào đồ thị , suy ra x4 -3x2 + 2 ≥ 0 ∀ x ∈ [ -1 ; 1 ]
1
1
1
x5
12
4
2
4
2
3
Do đó S = ∫ x − 3 x + 2 dx = ∫ ( x − 3x + 2)dx = ( − x + 2 x) =
(đvdt)
−
1
5
5
−1
−1
Bài toán 14 . Cho hàm số y = -x4 + 5x2 - 4 có đồ thị (C ) (Hình 14)
y

-2

A

-1 O 1

2
B

x
3

f( x ) = ( -x 4+5⋅ x 2) -4

(C)
-4

Hình 14
a/ Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (C ) với trục hoành .
b/Tính diện tích của hình phẳng được tô màu ở trên .

Giải
x = 1
 x = ±1
− x 4 + 5x 2 − 4 = 0 ⇔  2
⇔
a/ Ta có
 x = ±2
 x = 4
Dựa vào đồ thị ta có đồ thị (C ) cắt trục hoành tại bốn điểm có toạ độ lần lượt là
( -2 ; 0) , ( -1 ; 0) , ( 1 ; 0) , (2 ; 0) .
b/ Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị (C ) ,trục hoành và hai đường thẳng x =- 2 ,

x = 2.
2

12

WWW.ToanCapBa.Net


Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Giải
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , trục hoành và hai đường thẳng
x = -2 , x = 2 được tính bởi công thức :
2

S=

∫x

4

− 3 x 2 + 2 dx

−2

Dựa vào đồ thị , suy ra -x +5x - 4 ≥ 0 ∀ x ∈ [ -2 ; -1] ∪[ 1; 2]
- x4 + 5x2 – 4 ≤ 0 ∀ x ∈ [ -1 ; 1 ]
4

2

2

Do đó
S=

S=

∫−x

4

+ 5 x − 4 dx =
2

−2

−1

∫

−2

1

2

(− x + 5 x − 4)dx + ∫ ( x − 5 x + 4)dx + ∫ (− x 4 + 5 x 2 − 4)dx
4

2

4

2

−1

1

22 76 22
+
+
= 8 (đvdt)
15 15 15

Bài toán 15 . Cho hàm số y = -x3 - x + 1 có đồ thị ( C) (Hình 15)
a/ Xét chiều biến thiên của hàm số đó.
b/ Tính diện tích của hình phẳng (màu đen ) ở Hình 15.
y
4

-2

-1
A

O 1
B

x

2
3
f( x) = (

-x3-x

) +1

(C)

Hình 15
Giải
a/ Vì y’ = -3x2 – 1 < 0 ∀ x∈ (- ∞ ; + ∞)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( - ∞ ; + ∞)
b/ Vì -x3 –x + 1 ≥ 0 ∀ x ∈ [ - 1 ; 0 ]
0
0
7
S = ∫ − x 3 − x + 1dx = ∫ (− x 3 − x + 1) dx =
(đvdt)
4
−1
−1
Bài toán 16 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx , trục hoành , trục tung và
đường thẳng x = e . Hình 16

13

WWW.ToanCapBa.Net


Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
y

Gi aoDiem

f( x ) = x ⋅ ln( x)

3 x

A

O

1

e

Hình 16
Giải
Trục tung có phương trình x = 0
e

e

1

1

Diện tích S cần tìm là S = ∫ x ln x dx = ∫ x ln xdx
1

du = dx

u = ln x

x
⇒
Đặt 
2
dv = xdx v = x

2
e
2
e e x2 1
e e
x
x2
e2 x2 e e2 + 1
ln x − ∫ . d x =
ln x − ∫ xdx =
−
=
Do đó S = ∫ x ln xdx =
(đxdt)
1 1 2 x
1 1

2
2
2
4 1
4
1
x2 + x − 2
có đồ thị ( C ).
x +1
a/ Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (C ) với trục hoành .
b/Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) và các đường thẳng y =0 , x = 0 , x = 3 .
Bài toán 17. Cho hàm số y =

y
4

f( x) =

( x2+x) -2
x+1

Gi aoDiem

x
-2

-1

O

1

3

Hình 17
 x = 1
x 2 + x − 2 = 0
x = 1
x2 + x − 2

=0⇔
⇔  x = −2 ⇔ 
Giải :a/ Ta có y ' = 0 ⇔
x +1
 x = −2
x + 1 ≠ 0
 x ≠ −1

Đồ thị (C ) cắt trục hoành tại hai điểm có toạ độ lần lượt là ( - 2 ; 0) và ( 1 ; 0)

14

WWW.ToanCapBa.Net


Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

b/ Diện tích S cần tìm là
3
1

3
x2 + x − 2
x2 + x − 2
x2 + x − 2
S=∫
dx = ∫
dx + ∫
dx
x +1
x +1
x +1
0
0
1
1

3
1
3
2
2
x2
x2
= ∫ (x −
)dx + ∫ ( x −
) dx = ( − 2 ln x + 1 ) + ( − 2 ln x + 1 )
0
1
x +1
x +1

2
2
0
1

=

1
9
1
9
− 2 ln 2 + − 2 ln 4 − + 2 ln 2 = − 4 ln 2 (đvdt)
2
2
2
2

Bài toán 18 .
Tính diện tích hình phẳng sau,biết rằng đồ thị (C ) là đồ thị của hàm số y = e2x .
y
f( x) = e2⋅ x

(C)

x
-2

-1

1

O

Hình 18
Giải :
Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e2x , trục hoành y = 0 , trục tung x = 0 và đường
thằng x = -1 .
Vì e2x > 0 với mọi x thuộc R nên e2x > 0 x ∈ [ − 1;0] nên diện tích S của hình phẳng đã cho là :
0
0
1
1
1
1
S = ∫ e 2 x dx = e 2 x
= (e 0 −e −1 ) = (1 − )
(đvdt)
−1 2
2
2
e
−1
Bài toán 19.
Tính diện tích của hình phẳng sau , biết rằng đồ thị (C ) là đồ thị của hàm số y = 5 x + 4
y 4 (C)

f( x ) =

5 ⋅ x+4

x
-2 -1

O 1B

Hình 19
Giải
15

WWW.ToanCapBa.Net


Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 5 x + 4 , trục hoành , và hai đường thẳng x = 0 , x =
1.

Vì y = 5 x + 4 ≥ 0 với mọi x ∈ [ 0;1]
1

S = ∫ 5 x + 4dx . Đặt u = 5x + 4

=> du = 5dx

0

Khi x = 0 => u = 4
Khi x =1 => u = 9
1

9

1

9

1
2

3
2

1 u 9

9

2

2

2

38

3
3
3
Do đó S = 5 ∫ u du = 5 ∫ u = 5 . 3 4 = 15 u 4 = 15 ( 9 − 4 ) = 15 (27 − 8) = 15 (đvdt)
4
4

2

Bài toán 20. Tính diện tích của hình phẳng sau đây :
y

O
-2

x

1

-1
(C)

f( x) = - 5⋅ x+4

-4

Hình 20
Giải :
Hình phẳng đã cho được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = − 5 x + 4 , trục hoành , trục tung và đường thẳng x
=0 ,x=1.
1
1
38
S = ∫ − 5 x + 4 dx = ∫ 5 x + 4dx =
(đvdt)
15

0
0
Bài toán 21 .
2
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x − 3 x + 2 , trục hoành , trục tung và đường
thẳng x = 3
y
f( x ) =

4

( x2-3⋅ x) +2

(C)

x
-2

-1

O

1

2

Hình 21
16

WWW.ToanCapBa.Net

Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Giải
3

2
Ta có S = ∫ x − 3 x + 2 dx
0

Vì x − 3 x + 2 ≥ 0 ∀x ∈ ( − ∞;1] ∪ [ 2;+∞ ) và x 2 − 3 x + 2 < 0 ∀ x ∈ (1;2)
2

3

3

1

2

3

0

0

0

1

2

S = ∫ x 2 − 3 x + 2 dx = ∫ x 2 − 3 x + 2 dx = ∫ ( x 2 − 3 x + 2)dx − ∫ ( x 2 − 3x + 2)dx + ∫ ( x 2 − 3 x + 2)dx

=

5 − 1 5 11
−
+ =
(đvdt)
6 6 6 6

Bài toán 22 . Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
thẳng x = - 4 , x = 0.

x+2
x −1

, trục hoành , và hai đường

y
4

(C)

f( x ) =

-4

-2

-1

x+2
x-1

x

O
1

2

Hình 22
Giải :
x+2

0

Diện tích S cần tìm là S =

∫

−4

x −1

dx

Ta có x + 2 ≥ 0 ∀ x ∈ [ − 2 ;0] và x + 2 ≤ 0 ∀ x ∈ [ − 4 ;−2]
0

S=

∫

−4

x+2
x −1

dx =

−2

0

−x−2
x+2
∫−4 x − 1 dx + −∫2 x − 1 dx =

−2

−x−2
∫−4 x − 1 dx +

0

x+2

∫ x − 1 dx =

A+B

−2

−2
−2
−2
−x−2
− ( x − 1) − 3
3
dx = ∫
dx = ∫ (−1 −
)dx = (− x − 3 ln x − 1 )
Mà A = ∫
−4
x −1
x −1
x −1
−4
−4
−4
= (2 − 3 ln 3) − (4 − 3 ln 5) = 3 ln 5 − 3 ln 3 − 2 = 3(ln 5 − ln 3) − 2
−2

0

0
0
0
x+2
x −1 + 3
3
B= ∫
dx = ∫
dx = ∫ (1 +
)dx = ( x + 3 ln x − 1 )
= 0 − (−2 + 3 ln 3) = 2 − 3 ln 3
−2
x −1
x −1
x −1
−2
−2
−2

S = A + B = 2 − 3(ln 5 − ln 3) + 2 − 3 ln 3 = 4 − 3 ln 5
4/ Diện tích hình tròn , hình elip :
a) Diện tích hình tròn : Trong hệ toạ độ Oxy cho đường tròn có phương
x2 + y2 = r2 ( r > 0)
Khi đó hình tròn đó có diện tích là : S = πr 2
Giải : Ta có

17

x2 + y2 = r 2 ⇔ y = ± r 2 − x2

WWW.ToanCapBa.Net


Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

y
(P)

4

2

x

-2

-r

O

-1

2

1

r

3

-1

Hình 23
Với y ≥ 0 ta có : y =

r −x
2

r

Và có diện tích

S1 =

có đồ thị là nửa đường tròn phía trên trục hoành.
r

∫

r − x dx = 2 ∫
2

−r

Do đó S = 2S1 = π .r
b) Diện tích của elip

2

2

0

π .r 2
r − x dx =
2
2

2

2

Trong hệ toạ độ Oxy cho elíp có phương trình :

x2 y2
+
=1
a2 b2

,

0
y
4

b (P)

x
-a

-2

-1

O

1

2

a

r

-1
-b

Hình 24 a
Chứng minh tương tự ta có diện tích của elip là : S = a.bπ (đvdt)
Bài toán 23 . Cho hình phẳng sau . Biết rằng hình phẳng đó được giới hạn bởi parabol (P) :
nửa elip ( E ) và trục tung .
18

WWW.ToanCapBa.Net

y=

1 2
x −3

3

;


Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
y

(P)
(E)

1
x

O

-3

3

1

-3

Hình 24 b
a/ Hãy viết phương trình của (E) .
b/ Tính diện tích của hình phẳng đó .
Giải : Nửa elíp (E) cắt trục hoành tại các điểm ( - 3 ; 0) và ( 3 ; 0) .
(E ) cắt trục tia Oy tại điểm ( 0 ; 1) .
Suy ra (E ) có nửa trục lớn a = 3 , và nửa trục bé b = 1 .

Phương trình của nửa (E ) là :

x2
+ y 2 = 1 với
9

y ≥ 0 hay (E ) :

y=

1
9 − x2
3

Gọi S1 là diện tích của hình phẳng giới hạn bửa nửa elip (E) , trục hoành , trục tung .
1
3π
Ta có S1 = .3.1.π =
(đvdt)
4
4
Gọi S2 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 ; x = 3 .
3

3

1 2
1 2
21
Ta có S 2 = ∫ ( x − 3) dx = ∫ ( x − 3) dx =

(đvdt)
3
3
2
0
0
3π 21 3π + 42
Diện tích của hình phẳng cần tìm là S =

4

+

2

=

4

(đvdt)

Bài tập tương tự :
1/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :
a) y = x2 , trục hoành và hai đường thẳng x = -2 , x = 1
b) y = -x2 + 2 , y = 0 và hai đường thẳng x = - 1 ; x = 1
c) y = ex , y = 0 , và hai đường thẳng x = 0 , x = 2
d) y = x2 – 4 và trục hoành .
e) y = x2 - 4x + 3 , y = 0 , x = 0 , x = 3
f) y = x3 - 4x , y = 0 , x = -2 , x = 1
g) y = x3 – 4x + 3 , y =0 , x = - 2 , x = 1

h) y = x3 – x2 – 4x + 4 , y =0
i) y = x4 – 5x2 + 4 , y = 0 , trục tung và đường thẳng x = 2
2/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :
a/ y = lnx , y = 0 , x = 1 , x = e
b/ y = ln(2x + 1) , y = 0 , x = 0 , x = e
c/ y =2x , y =1
π
d/ y = sinx , y = 0 , x = −
, x =π
2

19

WWW.ToanCapBa.Net


Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

II/ HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1/ Cách tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
Cho hai hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) , y = g(x) có đồ thị là (C’ ).
Nếu hai đồ thị (C ) và (C’) có điểm chung là điểm M(x0 ; y0) thì cặp số (x0 ; y0) là nghiệm của hệ phương
 y = f ( x)
trình 
(1)
 y = g ( x)
 Hoành độ x0 của điểm chung M là một nghiệm của phương trình f ( x) = g ( x) (*)
Giải phương tình (*) ta sẽ được hoành độ x0 của giao điểm của hai đồ thị.
Phương trình (*)được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
Thay x = x0 vào một trong hai phương trình của hệ (1) ta tìm được tung độ của giao điểm .

2/ Một vài ví dụ minh hoạ về cách tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
Vd1: Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = x 2 − 3 x và y = x − 3
Giải :
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là : x 2 − 3 x = x − 3
x = 1
 y = −2
⇔ x 2 − 3x − ( x − 3) = 0 ⇔ x( x − 3) − ( x − 3) = 0 ⇔ ( x − 3)( x − 1) = 0 ⇔ 
⇒
x = 3  y = 0
Vậy hai đồ thị trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt có toạ độ lần lượt là:
(1 ; - 2) và (3 ; 0)
Vd 2: Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = xlnx và y = x
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là : x ln x = x ⇔ x ln x − x = 0 ⇔ x(ln x − 1) = 0
Vì x > 0 nên x(ln x − 1) = 0 ⇔ ln x − 1 = 0 ⇔ ln x = 1 ⇔ x = e
Vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là x = e .
Vd3: Cho hai hàm số y = x 3 − 3 x 2 − x + 3 và y = − x 3 − 4 x 2 + x + 4
Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho.
Giải: Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là nghiệm của phương trình :
x 3 − 3 x 2 − x + 3 = − x 3 − 4 x 2 + x + 4 ⇔ 2 x 3 + x 2 − 2 x − 1 = 0 ⇔ x 2 (2 x + 1) − (2 x + 1) = 0
−1

2 x + 1 = 0
x=

⇔ (2 x + 1)( x − 1) = 0 ⇔  2
⇔
2

x −1 = 0

 x = ±1
Vậy hai đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là :
1
x = −1 , x = , x =1
2
3/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số :
2

Cho hai đồ thị của hai hàm số y = f(x) , y = g(x) và hai đường thẳng x = a , x =b (a
Hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y = f(x) , y = g(x) và hai đường thẳng
x = a, x = b có diện tích S được tính theo công thức :
b

S = ∫ f ( x) − g ( x) dx .
a

20

WWW.ToanCapBa.Net


Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Bài toán 23 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx , y = x và hai đường thẳng x =
1 ,x=e
Giải :
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là : x ln x = x ⇔ x ln x − x = 0 ⇔ x(ln x − 1) = 0
Vì x > 0 nên x(ln x − 1) = 0 ⇔ ln x − 1 = 0 ⇔ ln x = 1 ⇔ x = e
Vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là x = e .

Trên đoạn [1 ; e] phương trình xlnx – x = 0 chỉ có một nghiệm x = e
Hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y =xlnx , y = x và hai đường thẳng
x = 1, x = e có diện tích S được tính theo công thức :
e

S = ∫ x ln x − x dx
1

e

e

e

e

1

1

1

1

Vì x ln x − x < 0 ∀x ∈ [1; e] nên S = ∫ x ln x − x dx = ∫ (− x ln x + x)dx = − ∫ x ln x + ∫ xdx
e +1 x e
e2 + 1 e2 1 e2 − 3
=−
+
=−

+
− =
(đvdt)
4
2 1
4
2 2
4
Bài toán 24 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số :
y = x 3 − 3 x 2 − x + 3 , y = − x 3 − 4 x 2 + x + 4 và hai đường thẳng x = 0 , x = 2 .
2

2

2

2

2
Giải: S = ∫ x − 3 x + 3 − (− x − 4 x + x + 4) dx = ∫ (2 x + 1)( x − 1) dx
3

2

3

2

0

0

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là nghiệm của phương trình :
x 3 − 3 x 2 − x + 3 = − x 3 − 4 x 2 + x + 4 ⇔ 2 x 3 + x 2 − 2 x − 1 = 0 ⇔ x 2 (2 x + 1) − (2 x + 1) = 0
−1

 x = 2 ∉ [ 0;2]
2 x + 1 = 0

⇔ (2 x + 1)( x 2 − 1) = 0 ⇔  2
⇔  x = 1 ∈ [ 0;2]
x −1 = 0
 x = −1 ∉ [ 0;2]


1

2

0

1

S = ∫ (2 x + 1)( x 2 − 1)dx + ∫ (2 x + 1)( x 2 − 1)dx =

− 7 35
+
= 7 (đvdt)
6
6

Bài toán 25.
y

(C)

x
-2

f( x) = ( -x 4+5 ⋅ x 2) -4

-1

O

1

B

-4

Hình 25
4

2

Cho hàm số y = - x + 5x – 4 có đồ thị ở hình trên.
Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đó với trục hoành.
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho với trục hoành .
21

WWW.ToanCapBa.Net


Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

x2 = 1
 x = ±1
4
2
⇔
Giải : Xét phương trình : − x + 5 x − 4 = 0 ⇔  2
 x = 4
 x = ±2
Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại bốn điểm có toạ độ lần lượt là :
(-2 ;0) , (-1;0) , (1 ; 0) , (2 ; 0).
2

4
2
Diện tích hình phẳng cần tìm là : S = ∫ (− x + 5 x − 4) dx
0

Từ hình đồ thị suy ra : − x + 5 x − 4 ≤ 0 , ∀x ∈ [ 0;1] và − x 4 + 5 x 2 − 4 ≥ 0 , ∀x ∈ [1;2]
4

2

2

1

2

S = ∫ (− x + 5 x − 4) dx = ∫ ( x − 5 x + 4)dx + ∫ (− x 4 + 5 x 2 − 4)dx =
4

2

4

0

2

0

1

38 22
+
=4
15 15

Bài toán 26.
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 -3x + 2 và đường thẳng y = x – 1 .
y
(C)

4

3
2
1
x

-3

-2

-1

O
-1

1

2

3

4

-2
d
-3

Hình 26
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 -3x + 2 và đường thẳng
x = 1

2
2
y = x – 1 là : x − 3 x + 2 = x − 1 ⇔ x − 4 x + 3 = 0 ⇔ 
x = 3
3

3

2
Suy ra diện tích của hình phẳng trên là : S = ∫ x − 3 x + 2 − ( x − 1) dx = ∫ x − 4 x + 3 dx
2

1

1

Cách 1 : Dựa vào đồ thị ta có x – 3x + 2 ≤ x – 1 ∀ x ∈ [1 ; 3 ] .
Do đó x2 – 4x + 3 ≤ 0 ∀ x ∈ [1 ; 3]
3
3
x3
−4 4
2
S = − ∫ ( x − 4 x + 3)dx = −( − 2 x 2 + 3 x) = −
=
(đvdt)
1
3
3
3

1
Cách 2 : Xét dấu tam thức x2 - 4x + 3 ta có :
x
-∞
1
3
x2 – 4x + 3
+
0
0
2
Do đó x – 4x + 3 ≤ 0 ∀ x ∈ [1 ; 3]
3
3
x3
−4 4
S = − ∫ ( x 2 − 4 x + 3)dx = −( − 2 x 2 + 3 x) = −
=
1
3
3
3
1
2

3

Cách 3 : S = ∫
1

22

+∞
+

3

3
x3
x − 4 x + 3 dx = ∫ ( x − 4 x + 3)dx = ( − 2 x 2 + 3x )
1
3
1
2

2

WWW.ToanCapBa.Net

=

−4 4
=
3
3


Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Bài toán 27 . Cho hình phẳng ở hình 25

a/ Viết phương trình của đường thẳng d .
b/ Tính diện tích của hình phẳng đó , biết rằng đồ thị (C ) có phương trình
y = x3 – 3x + 2 .
y
4
(C)

3
2
1
x

-3

-2

-1

d

O
-1

1

2

3

4

-2
-3

Hình 27
Giải : a/ Phương trình của đường thẳng d có dạng y = ax + b.
Vì đường thẳng d đi qua hai điểm (- 2 ; 0) và ( 0 ;2) nên ta có :
0 = −2a + b
a = 1
⇔

2 = 2.0 + b
b = 2
Vậy đường thẳng d : y = x + 2
b/ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d là :
x = 0
x 3 − 3 x + 2 = x + 2 ⇔ x 3 − 4 x = 0 ⇔ x ( x 2 − 4) = 0 ⇔ 
 x = ±2
Diện tích của hình phẳng trên là :
0

S=

∫x

2

3

−2

0

0

S=

∫x

−2

− 3x + 2 − ( x + 2) dx + ∫ x 3 − 3 x + 2 − ( x + 2)dx
2

3

− 4 x dx + ∫ x 3 − 4 x dx
0

Áp dụng cách đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài ta có :
S=

0

2

−2

0

3
3
∫ ( x − 4 x)dx + ∫ ( x − 4 x)dx = 4 + − 4 = 8

(đvdt)

Bài toán 28. Cho hàm số y = x3 – 3x + 2 có đồ thị (C )
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho .
b/ Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 2 .
c/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , đường thẳng x = 1 và tiếp tuyến ∆ .

23

WWW.ToanCapBa.Net


Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

y

3

(C)
2
1
-3

x

-1 -1 O 1

-2

2

3

4

-2
-3

-5

Hinh 28
Giải :
b/ y = x3 – 3x + 2
Khi x = 2 ta có y(2) = 8 – 6 + 2 = 4
y’ = 3x2 - 3
y’(2) = 12 – 3 = 9
Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm (2 ; 4 ) là y = 9(x -2) + 4 hay y = 9x - 14
c/ Diện tích của hình phẳng cần tìm là :
2
2
2
7
3
3
S = ∫ x − 3x + 2 − (9 x − 14) dx = ∫ x − 12 x + 16 dx = ∫ ( x 3 − 12 x + 16)dx =
4

1
1
1
Bài toán 29
Hình phẳng sau được giới hạn bởi đồ thị (C ) : y =

x
3 x 2 + 4 và đường thẳng y = x
4

Hãy tính diện tích của hình phẳng đó .
y
4
3
2
1
x

O
-3

-2

d

-1

1

2

-2
(C)

24

-1

-3

WWW.ToanCapBa.Net

3

4


Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Hình 29
Giải :
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là :
x = 0
x = 0
x = 0
x
1
3 x 2 + 4 = x ⇔ x( 3 x 2 + 4 − 1) = 4 ⇔  2
⇔ 2
⇔

4
4
 x = ±2
3x + 4 = 16
x = 4
Diện tích của hình phẳng đã cho là :
0

2

0

2

0
x
x
1
1
S=∫
3 x 2 + 4 dx + ∫
3 x 2 + 4 dx = . ∫ x 3x 2 + 4dx + ∫ x 3 x 2 + 4dx A = ∫ x 3x 2 + 4dx
4
4
4 −2
4 0
−2
0
−2

,

2

B = ∫ x 3 x 2 + 4dx
0

Đặt u = 3x2 + 4 => du = 6xdx
Khi x = 0 => u = 4
Khi x = -2 => u =16
16

16

1
2

3
2

1
1
1 u 16
1 3 16
1
56
u = − ∫ u du = −
=−
u
= − ( 16 3 − 4 3 ) = −

4
6
64
6 3 4
9
9
9
4
2
56
Tương tự ta có B =
9
1 − 56 1 56 56 + 56 112 28
S=
+
=
=
=
(đvdt)
4 9
4 9
9 .4
9 .4
9
x2 − x +1
Bài toán 30 . Cho hàm số y =
có đồ thị (C )
x −1
a/ Tìm tiệm cận xiên ∆ của đồ thị hàm số đó .
b/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , tiệm cận xiên ∆ và các đường thẳng x = 2 , x = 3 .

A = −∫

y
4
3
2
1
x

O
-3

-2

-1 -1

d

1

2 3

-2
-3

(C)

Hình 30
Giải :
x 2 − x + 1 x( x − 1) + 1

1
=
= x−
x −1
x −1
x −1
1
1
lim ( y − x ) = lim ( x −
− x ) = lim (−
)=0
x → +∞
x → +∞
x
→
+∞
x −1
x −1

a/ Ta có y =

25

WWW.ToanCapBa.Net