SKKN ứng dụng của đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức

hoctoancapba.com
Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức

Đạo hàm là một khái niệm quan trọng của giải tích, nó là công cụ sắc bén
để nghiên cứu các tính chất của hàm số. Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất
đẳng thức cho phép giải quyết được một số dạng toán chứng minh bất đẳng thức.
Nhằm giúp cho một số đồng nghiệp có thêm tài liệu tham khảo trong giảng
dạy, học sinh THPT có thêm phương pháp giải toán về bất đẳng thức và hiểu biết
thêm về công dụng của đạo hàm. Nay tôi viết đề tài này không ngoài mục đích
nêu trên với tiêu đề của đề tài là:

Trong đề tài này tôi cố gắng đưa ra nhiều dạng bài tập có tính chọn lọc và
có hướng dẫn giải, cùng với đó là một số bài tập tương tự để người đọc tự giải.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng song không thể tránh khỏi những thiếu xót. Rất mong
nhận được sự góp ý chân thành từ các đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn.

Krông Bông, ngày 20 tháng 2 năm 2011.
Người viết

Phan Minh Phước

Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông.

Trang 1


hoctoancapba.com
Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức

Khi ứng dụng đạo hàm để chứng minh một bài toán về bất đẳng thức, vấn
đề cơ bản ở đây là cần đặt biến (nếu có) và chọn hàm số như thế nào cho hợp lý,

sau đó khảo sát sự biến thiên của hàm số này. Dựa vào sự biến thiên đó dẫn dắt
chúng ta đến bất đẳng thức cần chứng minh.
Tùy theo tính chất của từng bài toán, trong quá trình thực hiện có thể kết
hợp với nhiều bất đẳng thức khác nhau như: Bất đẳng thức Cauchuy,
Bunhiacôpski, Trêbưsép……kết hợp với chứng minh bằng quy nạp toán học.
Sau đây là một số bài toán về bất đẳng thức dùng phương pháp trên để giải:
Bài 1: Cho hai số a, b thỏa mãn:
Hướng dẫn: Đặt

. Chứng minh rằng:

.

. Khi đó

Xét hàm số:
Ta có:
BBT:

-

Vậy

1
0

+

2
BĐT được chứng minh.

Tổng quát hơn: 1/ Cho hai số a, b thỏa mãn: a + b = k. Chứng minh các bất đẳng
thức:
,

.

2/ Cho hai số a, b thỏa mãn
Chứng minh:

.

Bài 2: Cho a, b là các số không âm. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn: Ta có bất đẳng thức:
Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông.

Trang 2


hoctoancapba.com
Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức

- Nếu a = 0 thì (1) đúng với mọi
- Nếu a > 0 thì
Đặt
BBT:

-

1

0

+

1
Vậy

BĐT được chứng minh.

Bài 3: Cho

Chứng minh rằng:

Hướng dẫn: Với

.

ta có:

Cần chứng minh:

hay

Xét hàm số
Ta có

đồng biến trên

Do đó với

ta có

BĐT được chứng minh.

Bài 4: Chứng minh rằng: Nếu x > 0, n là số nguyên dương thì ta luôn có:

Hướng dẫn: Đặt

.

Cần chứng minh
- Ta có:
- Giả sử

Ta chứng minh

Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông.

Trang 3


hoctoancapba.com
Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức

Thật vậy:
. Do đó khi
Vậy

hàm số

đồng biến trên

ta có
BĐT được chứng minh.

Bài 5: Cho

có 3 góc nhọn, chứng minh rằng:

Hướng dẫn: BĐT (1)
Xét hàm số

. Ta có:

Xét hàm số

. Ta có:

hàm số

nghịch biến trên
hay hàm số

Suy ra
Từ đó nếu giả sử

thì

nghịch biến trên
hay

Áp dụng BĐT Trêbưsép cho 2 dãy số:

.
.

và (

ta có BĐT cần

chứng minh. hoctoancapba.com
Bài 6: Chứng minh rằng: Nếu phương trình
thì

có nghiệm

. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Hướng dẫn: Giả sử phương trình có nghiệm là x0 thì

Đặt

và

ta được phương trình:
. Do đó:
Xét hàm số:

, với

. Ta có BBT:

Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông.

Trang 4


hoctoancapba.com
Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức

+

Vậy

BĐT

. dấu đẳng thức xảy ra khi:

Bài 7: Chứng minh rằng: Nếu

thì

Hướng dẫn: Xét các hàm số:
Với

và

thì

hay

, dấu “=” xảy ra khi

.

, dấu “=” xảy ra

. Suy ra:
khi

.

Vậy

với

Bài 8: Gọi V, S là thể tích và diện tích xung quanh của một hình nón tròn xoay.
Chứng minh rằng:
Hướng dẫn: Ta có:

(

bán kính đáy;

đường sinh,

(1)
Đặt

xét hàm số:

. Ta có BBT:

+

0

Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông.

Trang 5


hoctoancapba.com
Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức

Vậy

ta có

Bài 9: Cho

BĐT được chứng minh.

thỏa mãn

Chứng minh rằng:
Hướng dẫn: Từ giả thiết suy ra:
(
Xét hàm số:

với

Tương tự bài 8 ta có:

Lần lượt thay

vào (2) rồi cộng vế theo vế ta được BĐT (1).

Bài 10: Chứng minh rằng:

Dấu đẳng thức xảy ra

khi nào? hoctoancapba.com
Hướng dẫn: BĐT đã cho

(1)

Xét hàm số:
Đặt
Nếu
Đặt

thì

thì
từ

và được hàm số
hàm số

đồng biến trên

BĐT được chứng minh.

Dấu đẳng thức xảy ra khi

hay

Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông.

Trang 6


hoctoancapba.com
Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức

Bài 11: Cho

Chứng minh rằng:

Hướng dẫn: BĐT (1)
Đặt

(1)
(2)

do

. BĐT (2)

nên

 Chứng minh:

.

Đặt
Do đó với

nghịch biến trên
thì

 Chứng minh:
Đặt

. Chứng minh tương tự ta được

đồng biến trên

hay
Từ đó suy ra BĐT cần được chứng minh.
Bài 12: Chứng minh rằng: Với

thì

Hướng dẫn: Đặt

. (1)
với mọi

.

Ta có: (1)

+
Vậy
Bài 13: Cho

0
0
BĐT cần chứng minh.
Chứng minh rằng:

+
ta đều có:

Hướng dẫn: Xét hàm số:
Ta có:
Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông.

Trang 7


hoctoancapba.com
Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức

Với

thì

hàm số

đồng biến trên
hàm số

Suy ra

đồng biến trên

Do đó
Vậy

BĐT được chứng minh.

Bài 14: Chứng minh rằng:
Áp

dụng

chứng

minh

rằng:

Nếu

2

số

thỏa

mãn

(1)

thì:

Hướng dẫn: Xét hàm số:
Ta có:

BBT:

x
-

0

+

BĐT (1)

Suy ra
được chứng minh.
Áp dụng: * Nếu
Nếu

thì (2) thỏa mãn

thì (2)

.

Đặt

thì ta có

Bài 15: Cho 3 số

BĐT (2) được chứng minh.

. Chứng minh rằng: hoctoancap ba.com

+
Hướng dẫn: Đặt

. Xét hàm số:
+

Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông.

Trang 8


hoctoancapba.com
Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức

trong đó

Ta có:

hàm số

đồng biến trên

Ta xét 3 trường hợp sau:
 TH 1:

,

Ta có:

 TH 2:

,

Ta có:

 TH 3:

có dấu thay đổi trên

-

. Ta có BBT:

0

+

Suy ra:

Mà

. Vậy

nên



Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông.

Trang 9


hoctoancapba.com
Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức

Bài 1: Chứng minh rằng: Với

Bài 2: Cho

ta có các bất đẳng thức:

(HD: Xét hàm số:

, với

.

(HD: Xét hàm số:

, với

.

có 3 góc nhọn, chứng minh rằng:

HD: Xét hàm số:
Bài 3: Cho
Bài 4: Cho

với
Chứng minh rằng:

.

. Chứng minh rằng:

HD: Xét hàm số:

với

.
và chứng minh

nghịch biến

trên
Bài 5: Cho
HD: Đặt

Chứng minh rằng:
. Xét hàm số:

Bài 6: Chứng minh rằng: Nếu
Bài 7: Với

,

. Chứng minh rằng:

Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông.

thì
+

, với

.

Trang 10


hoctoancapba.com
Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức



Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông.

Trang 11

hoctoancapba.com
Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức

Phan Minh Phước – Trường THPT Krông Bông.

Trang 12