Sáng kiến kinh nghiệm: xây dựng bài tập điện tích, điện trường dùng để bồi dưỡng học sinh giỏi THPT

Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: ThS. Tạ Hồng Sơn

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, từ lâu đã được
Đảng và Nhà nước ta xác định là nhân tố hàng đầu trong sự nghiệp công nghiệp
hóa – Hiện đại hóa đất nước. Trong đó, giáo dục và đào tạo phải có nhiệm vụ
tạo ra những nhân tố đó. Với các trường phổ thông, việc phát hiện và bồi dưỡng
học sinh giỏi là bước đầu quan trọng góp phần đào tạo các em trở thành những
nhân tài của đất nước. Có thể nói, việc bồi dưỡng học sinh giỏi và kết quả của
nó còn là thước đo để đánh giá chất lượng dạy học, và đó cũng là cách để nâng
cao vị thế, hình ảnh của nhà trường.
Đối với giáo viên, việc dạy bồi dưỡng học sinh giỏi là công việc không hề
đơn giản, nó đòi hỏi sự đam mê, tâm huyết và kiên trì của giáo viên. Để có được
kết quả tốt, ngoài việc giáo viên phải tìm kiếm, phát hiện những học sinh có
năng khiếu môn học, họ còn phải đọc, nghiên cứu rất nhiều những tài liệu
chuyên sâu thì mới đủ kiến thức bồi dưỡng cho các em.
Với bộ môn vật lí, là môn thuộc lĩnh vực khoa học tự nhiên, vấn đề bồi
dưỡng học sinh giỏi lại càng khó khăn hơn. Với học sinh, nó yêu cầu các em
phải có năng lực tư duy toán học tốt, óc sáng tạo cao và khă năng làm việc độc
lập. Với giáo viên thì ngoài kiến thức chuyên môn sâu, họ còn phải xây dựng
được một hệ thống bài tập có chất lượng để bồi dưỡng, rèn luyện cho các em.
Chính vì vậy, việc biên soạn tài liệu để dạy bồi dưỡng là vô cùng quan trọng.
Nhận thấy bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi vật lí chương “Điện tích. Điện
trường” ở vật lí lớp 11, tuy đã khá nhiều trong các sách bồi dưỡng nhưng lại
chưa được sắp xếp, phân loại rõ ràng. Chính điều này làm cho các em còn lúng
túng trong việc giải bài tập chương này. Xuất phát từ thực tế đó, tôi chọn đề tài “
Xây dựng hệ thống bài tập chương “Điện tích. Điện trường” dùng cho bồi dưỡng
học sinh giỏi vật lí trung học phổ thông.

1.2. Mục đích nghiên cứu

1


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: ThS. Tạ Hồng Sơn

Xây dựng hệ hệ thống bài tập chương “Điện tích. Điện trường” trong
chương trình vật lí lớp 11 nhằm bồi dưỡng học sinh giỏi.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các bài tập dùng để bồi dưỡng học sinh giỏi vật lí chương “Điện tích.
Điện trường” trong chương trình vật lí lớp 11.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp thu thập, tổng hợp tài liệu.
Thu thập, tổng hợp các tài liệu tham khảo từ các nguồn: đề thi học sinh
giỏi vật lí, sách bồi dưỡng học sinh giỏi vật lí và các sách tham khảo khác.
Phương pháp phân tích, tổng hợp lí thuyết.
Trên cơ sở tài liệu thu thập được, tiến hành phân tích, đánh giá để lựa
chọn bài tập phù hợp đối tượng học sinh giỏi.
1.5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Hệ thống bài tập chương “Điện tích. Điện trường” dùng để bồi dưỡng học
sinh giỏi vật lí THPT.
Cung cấp cho giáo viên và học sinh tài liệu tham khảo hữu tích cho việc
dạy, học bồi dưỡng học sinh giỏi vật lí.

2

Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: ThS. Tạ Hồng Sơn

PHẦN 2: NỘI DUNG
CHỦ ĐỀ 1: ĐIỆN TÍCH. TƯƠNG TÁC GIỮA CÁC ĐIỆN TÍCH
ĐỊNH LUẬT CULÔNG
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. ĐIỆN TÍCH
1. Có hai loại điện tích: Điện tích dương và điện tích âm.
2. Tương tác giữa các điện tích
+ Hai điện tích cùng dấu: Đẩy nhau.
+ Hai điện tích trái dấu: Hút nhau.
3. Định luật bào toàn điện tích
- Trong một hệ cô lập về điện, tổng đại số các điện tích là một hằng số
q1 + q 2 + ... + q n = const

- Mật độ điện tích phân bố trong thể tích hay mật độ điện khối, kí hiệu là
ρ được định nghĩa là: ρ = dq
dV

(C/m3)

trong đó dq là điện tích chứa trong yếu tố thể tích dV của vật mang điện.
- Mật độ điện tích mặt phân bố trên bề mặt hay mật độ điện mặt, kí hiệu là
σ , được định nghĩa là: σ =

dq
dS

(C/m2)

đó dq là điện tích chứa trong yếu tố diện tích bề mặt dS của vật mang điện.
- Mật độ điện tích phân bố dọc theo chiều dài hay mật độ điện dài, kí hiệu
là λ , được định nghĩa là: λ =

dq
dl

(C/m)

trong đó dq là điện tích chứa trong yếu tố chiều dài d l của vật mang điện.
II. ĐỊNH LUẬT CULÔNG
1. Định luật culông
Lực tương tác giữa 2 điện tích điểm q 1, q2 đứng yên đặt cách nhau một
khoảng r trong môi trường hằng số điện môi ε có:
- Điểm đặt: trên điện tích đang xét.
- Phương: trùng với đường nối 2 điện tích.
3


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: ThS. Tạ Hồng Sơn

- Chiều: hướng ra xa nhau nếu q1.q2 > 0
hướng vào nhau nếu q1.q2 < 0
- Độ lớn: F = k
Với k =
ε0 =

q1 q 2

εr 2

1
= 9.109 (Nm 2C −2 ) : là hệ số tỉ lệ;
4πε 0

1
= 8,85.10−12 (F/m): là hằng số điện;
9
36π.10

ε : là hằng số điện của môi trường.
- Biểu diễn:
q1

q2

q2

q1

Chú ý:
Định luật culông chỉ áp dụng được cho:
+ Các điện tích điểm

+ Các điện tích phân bố đều trên những vật dẫn hình cầu (coi như điện
tích điểm ở tâm).

2. Nguyên lý chồng chất lực điện
Giả sử có n điện tích điểm q 1, q2,….,qn tác dụng lên điện tích điểm q
những lực tương tác tĩnh điện F1 , F2 ,....., Fn thì lực điện tổng hợp do các điện tích
điểm trên tác dụng lên điện tích q tuân theo nguyên lý chồng chất lực điện:
F = F1 + Fn + ..... + Fn =

∑F

i

F có thể được xác định theo một trong hai cách sau:

a) Cộng lần lượt hai vectơ theo quy tắt cộng hình học
- Nếu F1 , F2 cùng phương, cùng chiều:

r
F1

+ F cùng chiều với F1 , F2

r
F

r
F2

+ Độ lớn của F: F = F1 + F2
- Nếu F1 , F2 cùng phương, ngược chiều :
+ F có chiều của F1 (nếu F1 > F2)
+ Độ lớn của F: F = |F1 - F2|

4

r
F2

r
F

r
F1


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: ThS. Tạ Hồng Sơn

- Nếu F1 vuông góc với F2
F2
+ F hợp với F1 góc α với tan α =
F1

r
F

r
F1

α

+ Độ lớn của F: F = F12 + F22

r
r
- Nếu F1 hợp với F2 góc α :

r
F2

r
F

r
F1

F2 = F12 + F22 − 2F1F2 cos β

α

Hay F2 = F12 + F22 + 2F1F2 cos α với α = π − β
b. Phương pháp hình chiếu

r
F2

Chọn hệ trục tọa độ Oxy vuông góc và chiếu các vectơ lên các trục tọa độ.
Ta có:

{

∑ Fix
Fy = F1y + F2 y +...= ∑ Fiy

Fx = F1x + F2 x +...=

Suy ra: F = Fx2 + Fy2
u
r
* Ngoài lực điện và trọng lực P (P = mg) vật mang điện (quả cầu mang điện
chẳng hạn) còn có thể chịu tác dụng của những lực khác như:
ur
- Lực căng dây T ;
- Lực đẩy Ac-si-met: FA = VDg (với V là thể tích của khối lỏng bị vật
chiếm chỗ; D là khối lượng riêng của chất lỏng, g là gia tốc trọng trường);
- Lực đàn hồi của lò xo: Fñh = k.∆l = k(l − l0 )
B. HỆ THỐNG BÀI TẬP
q3 = q4 = q5 = q6 = q7 = 10-7C được nối với nhau bằng
các sợi dây có hệ số đàn hồi như nhau (hình vẽ bên).

q2

q1

Bài 1: Bảy điện tích có cùng độ lớn q = q 1 = q2 =

q7

q6

q3

Khoảng cách giữa các điện tích cạnh nhau đều bằng
l = 1cm . Xác định lực căng của mỗi dây khi các điện

tích ở trạng thái cân bằng, bỏ qua trọng lượng các điện tích.
Hướng dẫn giải

5

q5

q4


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: ThS. Tạ Hồng Sơn

Có thể nhận thấy rằng lực căng trên mỗi dây nối các điện tích là như
nhau.
Giả sử ta xét điện tích số 6 như hình vẽ.
Do lực căng do ba sợi dây tác dụng lên q6 như
như nhau nên TA = TB = TC = T (T là lực căng mỗi
dây).

q2

q1

q6

ur
Gọi T 6 là hợp lực của ba lực căng tác dụng lên

ur
Tu
A
r

u
rT C
TB

q7
q3

q
q6, ta có:
q
ur ur
ur ur
ur
ur
T 6 = T A + T B + T C = 2T C = 2T
r r r r r r
Gọi F1 ,F2 ,F3 ,F 4 ,F5 ,F7 là lực điện do q1, q2, q3, q4, q5, q7 tác dụng lên q6.
4

5

Hợp lực các lực điện tác dụng lên q6 là:
r r r
r r
r r

F = (F1 + F5 ) + (F2 + F4 ) + (F3 + F7 )
Trong đó

kq 2 1 kq 2
0
F15 = 2 F1cos 60 = 2 2 . = 2
l 2 l
kq 2
3 kq 2
F24 = 2 F2cos300 = 2
.
=
( l 3 )2 2 l 2 3

r
F5
r
rF4
r F24
F15 r
F2
r
F1

q2

q1

q6

q7
q3

q5

q4

kq 2
kq 2
Còn F7 = 2 và F3 = 2
l
4l
Vậy F =

kq 2 kq 2 kq 2 kq 2 kq 2 
1 
+
+
+
=
2
,
25
+

÷
l2 l2 3 l2
4l 2
l2 
3

Do điện tích q6 ở trạng thái cân bằng nên F = T6
kq 2 
1 
Hay 2  2,25 +
÷ = 2T
l 
3
kq 2 
1 
kq 2
2
,
25
+
=
T
≈
1
,
41
≈ 1,27 N
Vậy lực căng mỗi dây là: 2 
÷
2l 
l2
3
Bài 2: Hai quả cầu nhỏ giống nhau khối lượng riêng ρ1 được treo bằng
hai dây nhẹ cùng chiều dài vào cùng một điểm. Cho hai quả cầu nhiễm điện
6

Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: ThS. Tạ Hồng Sơn

giống nhau, chúng đẩy nhau và các dây treo hợp nhau góc α1 . Nhúng hệ vào
chất điện môi lỏng có khối lượng riêng ρ2 , góc giữa hai dây treo là α 2 < α1
a. Tính ε của điện môi theo ρ1 , ρ2 , α1 , α 2
b. Định ρ1 để α 2 = α1
Hướng dẫn giải

r
l α u
T
1
1

a/ Tính ε của điện môi theo ρ1 , ρ2 , α1 , α 2
Xét quả cầu 1, ta xét 2 trường hợp sau:

q
u
r1
P

q2

Trong không khí:

r
F1

ur
r
u
r
+ Các lực tác dụng vào một quả cầu: trọng lực P , lực căng dây T1 , lực điện F1 .
u
r ur r r ur
u
r r
Khi quả cầu ở vị trí cân bằng thì P + T1 + F1 = 0 ⇒ T1 = −(P + F1 )
α1
q2
α
F1 = P.tan ⇒ k
= mg tan 1
Từ hình vẽ, ta có:
α
2
2
(2lsin 1 ) 2
2

(1)

Trong điện môi ε :

u

r
u
r r
l α T
+ Các lực tác dụng vào một quả cầu: trọng lực P ,
2
2
FAr
ur
r
r
lực căng dây T 2 , lực điện F2 , lực đẩy Acsimet FA
q1 F2
q2
u
r'
u
r ur r r
r
P
Khi quả cầu ở vị trí cân bằng thì P + T 2 + F2 + FA = 0
u
r

P

Từ hình vẽ, ta có:
α2
q2
α

F2 = (P − FA ).tan
⇒k
= (ρ1 − ρ2 )Vg tan 2
α
2
2
ε(2lsin 2 ) 2
2
- Từ (1) và (2) suy ra:
α2
α1
α1
2 α1
tan
sin
.tan
2 = ρ1 .
2 ⇒ ε = ρ1 .
2
2
ε
α
α
ρ1 − ρ2 sin 2 α 2 .tan α 2
sin 2 1 ρ1 − ρ2 tan 2
2
2
2
2
sin 2

b. Định ρ1 để α 2 = α1
Khi α1 = α 2 thì ε =

ρ1
ε.ρ2
⇒ ρ1 =
ρ1 − ρ2
ε −1
7

(2)


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: ThS. Tạ Hồng Sơn

Vậy giá trị của ρ1 để α1 = α 2 là ρ1 =

ε.ρ2
ε −1

Bài 3: Hai quả cầu nhỏ giống nhau, mang điện tích dương q đặt cố định
tại A và B (AB = 2l) trong chân không. Tại trung điểm O của AB đặt một quả
cầu nhỏ mang điện tích –q, khối lượng m (các quả cầu coi như điện tích điểm).
Kéo quả cầu này lệch khỏi vị trí O một đoạn x ( x <vuông góc với AB tại O. Chứng minh quả cầu này dao động điều hòa và tính
chu kỳ dao động của nó?
Hướng dẫn giải

Nhận xét: để chứng minh chất điểm mang điện dao động điều hòa, ta cần
chứng minh lực hồi phục tác dụng vào chất điểm đó tỉ lệ bậc nhất với độ lệch
khỏi vị trí cân bằng và chiều của lực tác dụng có hướng về vị trí cân bằng.
Lấy O làm gốc tọa độ và chiều dương như hình vẽ
Giả sử điện tích –q lệch khỏi vị trí cân bằng ở vị trí x
Điện tích –q chịu tác dụng của hai lực hút của hai
điện tích q tại A và B.
q2
Ta có: FA = FB = k 2
( l + x2 )
r r
r
Hợp lực F = FA + FB hướng về vị trí cân bằng O.
F = −2 FA sin α = −

2

-qr

r M
FA

FB

r
F
q
A

O

x

α

q
B

2

2kq
x
2kq
.
=−
.x
2
2 32
l +x
l 2 + x2


x
l 3 1 + 2 ÷
l 

2

x2
Do x << l nên 1 + 2 ≈ 1

l
2kq 2
Vậy F = − 3 .x
l
Ta nhận thấy lực tổng hợp F tác dụng lên điện tích –q tỉ lệ thuận với x và
hướng về vị trí cân bằng O nên điện tích –q dao động điều hòa với tần số góc là
ω=

2kq 2
.
ml 3
8


Sáng kiến kinh nghiệm

Chu kì dao động: T =

Giáo viên: ThS. Tạ Hồng Sơn

2π
1 ml
= 2π
ω
q 2k

Bài 4: Hai quả cầu kim loại nhỏ giống nhau được treo vào một điểm bởi hai
sợi dây nhẹ không dãn, dài  = 20 cm. Truyền cho hai quả cầu điện tích bằng
nhau có điện tích tổng cộng Q = 8.10 -7 C thì chúng đẩy nhau các dây treo hợp
với nhau một góc 2α = 900. Lấy g = 10 m/s2.

a. Tìm khối lượng mỗi quả cầu.
b. Truyền thêm điện tích q’cho một quả cầu, hai quả cầu vẫn đẩy nhau nhưng
góc giữa hai dây treo giảm đi còn 600. Tính q’?
Hướng dẫn giải
a. Khối lượng mỗi quả cầu
Q 8.107
q= =
= 4.10−7 C
2
2

u
r
- Các lực tác dụng lên quả cầu: trọng lực P , lực căng
q
ur
r
dây T và lực điện F
u
r r ur r ur
r u
r
- Quả cầu nằm cân bằng nên P + F + T = 0 ⇒ T = −(F + P)

u
r
l α T
r q

u

rα
P

r
F

- Từ hình vẽ, suy ra:
q2
F = P tan α ⇔ k 2 = mg.tan 450 (r = l 2)
r
2
kq
kq 2
9.109.(4.10−7 ) 2
⇒m=
= 2
=
= 1,8.10−3 kg = 1,8g
0
−1 2
2
0
2l g tan 45
2.(2.10 ) .10.1
(l 2) g.tan 45
Vậy khối lượng của mỗi quả cầu là m = 1,8g
b. Điện tích truyền thêm cho mỗi quả cầu
- Khi truyền cho một quả cầu điện tích q’ thì góc
giữa hai quả cầu giảm nên q’ < 0. vì hai quả cầu vẫn đẩy
nhau nên (q+q’) > 0

q

- Điện tích của quả cầu được truyền thêm điện tích (q+q’)
- Tương tự như câu a, ta có:

9

r
β u
T' r
q +q'

r'

u
rβ
P

F'


Sáng kiến kinh nghiệm

F' = P tan β ⇔ k

=

Giáo viên: ThS. Tạ Hồng Sơn

| q.(q + q ') |
mg tan 300.l 2
0
=
mg.tan
30
⇒
|
q
+
q
'
|
=
( r ' = l)
r '2
kq

3
.(2.10−1 ) 2
3
= 1,15.10−7 C
9
−7
9.10 .4.10

1,8.10−3.10.

Vì q > 0; q < 0 nên q’ = 1,15.10-7 – 4.10-7 = -2,85.10-7C
Vậy điện tích truyền thêm cho một quả cầu là q’ = -2,85.10-7C

Bài 5: Hai quả cầu cùng khối lượng m, tích điện giống nhau q, được nối
với nhau bằng lò xo nhẹ cách điện, độ cứng K, chiều dài tự nhiên l0. Một sợi chỉ
mảnh, nhẹ, cách điện, không dãn, có chiều dài 2L, mỗi đầu sợi chỉ được gắn với
r

1 quả cầu. Cho điểm giữa (trung điểm) của sợi chỉ chuyển động thẳng đứngalên
r
g
với gia tốc a , a = thì lò xo có chiều dài l và l0 < l < 2L. Tính q.
2
Hướng dẫn giải
Vì hệ có tính đối xứng nên ta chỉ cần xét

y

một quả cầu như hình vẽ.

u
r
Các lực tác dụng lên quả cầu: trọng lực P ,
u
r
u
r
u
r
lực điện F ñ , lực đàn hồi F ñh , lực quán tính F qt ,
ur
lực căng dây T .
- Trong hệ quy chiếu quán tính gắn với quả cầu,

hệ cân bằng.

O
u
r
F®

q

O
x
u
r α

Tu
r
F ®h
u
r
F qt
u
r
P

u
r ur u
r
u
r
u

r r
- Điều kiện cân bằng: P + T + F ñh + F qt + F ñ = 0
- Chiếu lên hệ trục xOy:
Ox : −F® + F®h + T sin α = 0 F® − K(l - l0 ) = T sin α
⇒

Oy
:
T
cos
α
−
P
−
F
=
0
qt
T cos α = mg + ma = m(g + a)

l
F − K(l - l0 )
l
2
⇒ tan α = ®
=
=
2
m(g + a)
4L2 − l 2

l
2
L − ÷
2
10

L
q

l;k


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: ThS. Tạ Hồng Sơn

q2
3mgl
1  3mgl

⇒ k 2 = K(l - l0 ) +
⇒
q
=
l
+ K(l - l0 ) 
2
2
2
2


l
k  2 4L − l
2 4L − l

Bài 6: Có ba quả cầu cùng khối lượng m = 10g được treo bằng ba sợi dây
mảnh cùng chiều dài l = 5cm vào cùng một điểm O. Khi tích điện cho mỗi quả
cầu điện tích q thì chúng đẩy nhau, cách nhau một đoạn a = 3 3 cm . Tính q, lấy
g = 10m/s2.
Hướng dẫn giải
Khi ba quả cầu cách nhau đoạn a nên hệ cân

O

bằng. Hệ có tính đối xứng nên ta chỉ cần xét một quả
cầu, giả sử quả cầu thứ 3 như hình vẽ
- Các lực tác dụng lên quả cầu là: các lực điện
u
r u
r
u
r
ur
F13 ,F 23 , trọng lực P , lực căng dây T .

Vì

quả

cầu

nằm

cân

bằng

nên:

u
r
u
r
u
r ur r
F13 + F 23 + P + T = 0
u
r u
r ur r
⇒F+P+T=0

u
r u
r
u
r
Vậy lực tổng hợp của F13 ,F 23 là F sẽ theo

q1

u
r
αT

q2

u
r
F
r
q3 23 u
F
u
r
F13

α

u
r
P

phương ngang và có độ lớn:
q2
F = 2F13 cos 30 = 3k 2 (1)
a
u
r u
r
(vì F13 ,F 23 có độ lớn bằng nhau và hợp nhau góc 600)

0

u
r u
r ur r
F
- Từ điều kiện F + P + T = 0 ⇒ tan α =
P

(2)

với α la góc lệch dây treo so với phương thẳng đứng.
2 a 3
.
Mặt khác:
3
2 (3)
sin α =
l
(đường thẳng đứng vẽ từ điểm treo sẽ đi qua trọng tâm của tam giác tạo thành
bởi ba quả cầu ).
11


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: ThS. Tạ Hồng Sơn

Từ (1), (2) và (3), suy ra:
q =a

mga
3k l 2 −

a
3

2

= 3 310
.

0,0110
. .3 310
. −2

−2

3.910
.

(3 310
. −2 ) 2
(510
. ) −
3

= 1,1410
. −7 C

−2 2

9

CHỦ ĐỀ 2: ĐIỆN TRƯỜNG
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. CƯỜNG ĐỘ ĐIỆN TRƯỜNG CỦA ĐIỆN TÍCH ĐIỂM
1. Khái niệm điện trường: là môi trường tồn tại xung quanh điện tích và tác
dụng lực lên điện tích khác đặt trong nó.
2. Cường độ điện trường: là đại lượng đặc trưng cho điện trường về khả năng
tác dụng lực.

 F
E=
q
r

3. Véctơ cường độ điện trường E điện tích điểm Q gây ra tại một điểm M cách
Q một đoạn r có:
- Điểm đặt: tại điểm M.
- Phương:

đường nối điểm M và điện tích Q

- Chiều:

hướng ra xa Q nếu Q > 0
hướng vào Q nếu Q <0

- Độ lớn:

Q
E=k 2
ε .r

 N .m 2 
 2 ÷
9 C

với k = 9.10

- Biểu diễn:

r
EM

r
Q >0

r
Q<0

M

12

r
EM

M

Sỏng kin kinh nghim

Giỏo viờn: ThS. T Hng Sn

4. Lc tỏc dng lờn mt in tớch t trong in trng:
r
ur
F = q.E
r
ur
q > 0 : F cựng hng vi E
r
ur
q < 0 : F ngc hng vi E
5. Nguyờn lý chng cht in trng
Gi s cú cỏc in tớch q1, q2,..,qn gõy ra ti M cỏc vect cng in
trng E1 , E n ,....., E n thỡ vect cng in trng tng hp do cỏc in tớch
tớch trờn gõy ra tuõn theo nguyờn lý chng cht in trng.
E = E1 + E n + ..... + E n = Ei

II. CNG IN TRNG CA VT MANG IN
xỏc nh cng in trng do mt vt mang in cú kớch thc
bt k gõy ra, ta ỏp dng nguyờn lý chng cht in trng. Ta tng tng
phõn chia vt mang in thnh nhiu phn cú kớch thc rt nh sao cho in
tớch q ca mi phn ú cú th xem l in tớch im.
r
uur
uur

1 q r
. .
Vy cng in trng E ca q l: E =
40 r 2 r
Cng in trng ca vt mang in mang in l:
r
ur
uur
1 q r
E = E =
. 2.
r
toaứn boọ vaọt 4 0 r
V mt toỏn hc, biu thc trờn cú th vit di dng tớch phõn:
r
ur
1 dq r
E=
. 2.
4

r r
toaứn boọ vaọt
0
III. NH Lí ễ-XTRễ-GRT-XKI GAO-X
1. in thụng
in thụng (thụng lng in trng) N qua din tớch S l i lng
ur r
vụ hng cú giỏ tr bng: N = E.Scos = E. S = E.S0
r

ur
Vi S0 = Scos l hỡnh chiu ca S trờn mt vuụng gúc vi E .
13


Sỏng kin kinh nghim

Giỏo viờn: ThS. T Hng Sn

xỏc nh in thụng N qua mt S bt k, ta chia mt ú thnh cỏc
nguyờn t din tớch S . Khi ú, in thụng qua mt S l:
N = N = E.Scos

(V.m)

2. nh lý ễ-xtrụ-grỏt-xki Gao-x
a. nh lý ễ-xtrụ-grỏt-xki Gao-x trong chõn khụng
in thụng qua mt mt kớn trong chõn khụng bng tng i s cỏc in
tớch cú mt bờn trong mt ú chia cho 0 :



N=

E.Scos =

toaứn boọ
maởt kớn

1

q
0 i i

b. nh lý ễ-xtrụ-grỏt-xki Gao-x trong mụi trng in mụi
N=



E.Scos =

toaứn boọ
maởt kớn

1
q
0 i i

3. P dng nh lý ễ-xtrụ-grỏt-xki Gao-x
a. Cng in trng ca mt phng rng vụ hn,

M

tớch in u vi mt in tớch mt > 0 ti im
M trờn trc, cỏch tõm mt on x:
E=


20

u

r
E

x

+

u
r
E

b. Cng in trng ca thanh di vụ hn, tớch in u
vi mt in tớch di > 0 ti im M cỏch thanh on a l:
E=

Ma


20a

c. Cng in trng gõy bi khi cu tõm O, bỏn kớnh a, tớch in u vi
mt in tớch khi > 0
- in trng ti im M nm ngoi khi cu:
E ngoaứi

a3
=
2
3 0 rngoaứ
i

u
r
En

O

- in trng ti im M nm trong khi cu:
14

aM

u
r
Et

M


Sáng kiến kinh nghiệm

E trong

Giáo viên: ThS. Tạ Hồng Sơn

ρa3
=
2
3εε0 rtrong

B. HỆ THỐNG BÀI TẬP
Bài 1: Xác định cường độ điện trường gây ra bởi một khối cầu bán kính R
tích điện đều với mật độ điện tích khối ρ ( ρ là điện tích có trong một đơn vị thể
tích). Vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của cường độ điện trường E vào khoảng
cách r từ điểm khảo sát đến tâm O, E = E (r).
Hướng dẫn giải
Vì sự phân bố điện tích có tính đối xứng cầu

u
r
E

nên đường sức điện trường là những đường thẳng
trùng với phương bán kính, hướng ra xa tâm O của
khối cầu nếu ρ > 0 hoặc hướng về tâm O nếu ρ< 0

A

u
rB
E

.Tại các điểm cách đều tâm O cường độ điện trường

S2

S1
R

có giá trị như nhau.

Chọn mặt kín S (mặt Gaox) là mặt cầu đồng tâm với khối cầu và chứa
điểm khảo sát.
- Điểm B nằm bên trong quả cầu: r1 < R
+ Điện thông qua mặt S1 (bán kính r1) là: N = ES1 = E.4 πr12
+ Áp dụng định lí Ôxtrôgratxki – Gaox (định lí O – G): N =

1
∑ qi
ε0

4
ρ. πr13
ρr
Suy ra: E.4πr 2 = ρV = 3
⇒E= 1
1
ε0
ε0
3ε 0
Nhận xét: ta thấy ở bên trong khối cầu cường độ điện trường tại một điểm có độ
lớn tỉ lệ với khoảng cách từ điểm đó đến tâm O của khối cầu.
- Điểm A nằm bên ngaoì quả cầu: r2 ≥ R
+ Điện thông qua mặt S2 (bán kính r2) là: N = ES2 = E.4 πr22
+ Áp dụng định lí Ôxtrôgratxki – Gaox (định lí O – G): N =

15

1
∑ qi
ε0

Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: ThS. Tạ Hồng Sơn

4
ρ. πR 3
ρR 3
Suy ra: E.4πr 2 = ρV = 3
⇒E=
2
ε0
ε0
3ε0 r22
Nhận xét: ta thấy ở bên ngoài khối cầu điện trường có tính chất giống như điện
trường của một điện tích điểm q đặt tại tâm quả cầu.
Vậy đồ thị biểu diễn E = E (r) có dạng như hình bên:
Bài 2: Một bản phẳng rất lớn (vô hạn) đặt thẳng đứng, tích điện đều với
mật độ điện mặt là σ .

ur
a/ Xác định cường độ điện trường E do

E

mặt phẳng gây ra tại điểm cách mặt phẳng đoạn h.
Nêu đặc điểm của điện trường này.
b/ Một quả cầu nhỏ khối lượng m, điện tích

O

r=R

r

q cùng dấu với mặt phẳng được treo vào một điểm cố định gần mặt phẳng bằng
dây nhẹ không dãn, chiều dài l .Coi q không ảnh hưởng đến sự phân bố điện tích
trên mặt phẳng và khi cân bằng dây treo nghiêng góc α so với phương thẳng
đứng. Tính q?
Hướng dẫn giải
a/ Cường độ điện trường do bản phẳng gây ra
Giả sử ta cần tính cường độ điện trường tại điểm A

+
cách mặt phẳng đoạn h và ta cũng giả sử σ > 0 .
A +
Chọn mặt kín S (mặt Gaox) là mặt của một hình trụ ∆S +
+
(biểu diễn đường nét đứt như hình vẽ) có đường sinh vuông
góc với mặt phẳng, hai đáy song song (đáy trên chưa điểm

u
r
E

A) cách mặt phẳng khoảng h và có diện tích ∆S .
- Điện thông qua mặt S là: N = N1 + N2
+ Phần điện thông qua mặt bên: N1 = 0 vì α = 900 nên cosα = 0
+ Phần điện thông qua hai đáy: N2 = 2E. ∆S . cosα = 2E.∆S

Suy ra: N = 2E ∆S
Theo định lí O – G:
16

+
+
+h∆S
+

u
r
E


Sáng kiến kinh nghiệm

N=

Giáo viên: ThS. Tạ Hồng Sơn

1
1
σ
q i ⇒ 2E∆S = σ.∆S ⇒ E =
∑
ε0
ε0
2ε0

Vậy cường độ điện trường do mặt phẳng gây ra tại một điểm cách mặt phẳng

một đoạn h:
+ là điện trường đều, có hướng vuông góc với bản phẳng và có độ lớn
E=

σ
2ε0
+ không phụ thuộc vào khoảng cách từ điểm ta xét tới mặt phẳng.

b/ Tính điện tích q

u
r
- Các lực tác dụng lên điện tích q: trọng lực P ,
r
ur
lực điện trường F , lực căng dây T .
u
r r ur r
Theo định luật II Niu – tơn thì P + F + T = 0
u
r r
ur
Suy ra: P + F = −T nên dựa vào hình vẽ, ta có

+
A +
∆S +
+

u

r
E

được
tan α =

+
+α
+
+

u
r
T

q
u
r
u
rP
E

r
F

F |q|E |q|σ
2mgε0 tan α
=
=
⇒q=

P mg 2mgε 0
σ

Vậy độ lớn điện tích q là: q =

2mgε0 tan α
σ

Bài 3: Hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a trong chân không. Hai
điện tích q1 = q2 = q > 0 đặt tại A và C; hai điện tích q 3 = q4 = -q đặt tại B’ và D’.
Tính cường độ điện trường tại tâm O của hình lập phương.
Hướng dẫn giải

ur
Gọi E O là vectơ cường độ điện trường tổng
hợp tại tâm O hình lập phương
ur
ur
ur ur
ur
ur
ur
Ta có: E O = E A + E C + E B' + E D ' = E AC + E B'D '
Theo hình vẽ, ta có:

A

a

A’

AC' = A 'C = AA '2 + A 'C'2 = a 2 + (a 2) 2 = a 3

D

a

17
D’

a 2

C

u
r O u
r
E C α1E A
u
r
α1
E AC
C’
a 2

B

O u
u
r

r
E D ' α 2E B '
u
r
α2
EB'D'
B’


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: ThS. Tạ Hồng Sơn

Suy ra AO = CO = B'O = D'O =
Nên cosα1 = cosα 2 =

AC' a 3
=
2
2

CC'
a
3
=
=
CA ' a 3 3

Vì q1 = q 2 = q 3 = q 4 = q > 0 nên
4 k|q|

E A = E C = E B' = E D ' = k
=
2
3 a2
a 3

÷
2



A

|q|

B

D

C
O

4 k|q| 3 8 3 k|q|
Vậy E AC = 2E A cosα1 = 2. . 2 .
=
. 2
3 a
3
9
a

A’
D’

Và

B’

u
r
EO

C’

4 k|q| 3 8 3 k|q|
E B' D ' = 2E B'cosα 2 = 2. . 2 .
=
. 2
3 a
3
9
a
ur
ur
Vì E AC cùng chiều với E B' D ' nên
E O = E AC + E B' D ' =

8 3 k | q | 8 3 k | q | 16 3 k | q |
. 2 +
. 2 =

. 2
9
a
9
a
9
a

Vậy độ lớn cường độ điện trường tại tâm O hình lập phương là
EO =

16 3 k | q |
. 2
9
a

Bài 4: Tính cường độ điện trường gây bởi hai mặt phẳng rộng vô hạn:
a/ Đặt song song, mật độ điện mặt σ > 0 và −σ .
b/ Hợp với nhau góc α và có cùng mật độ điện mặt σ > 0
Hướng dẫn giải
Nhận xét: đối với bài toán này ta sẽ sử dụng định lí O – G để tính cường
độ điện trường do từng mặt phẳng vô hạn gây ra, rồi sau đó vận dụng nguyên lí
chồng chất điện trường.
a/ Trường hợp hai mặt phẳng đặt song song
- Với một mặt phẳng:
18


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: ThS. Tạ Hồng Sơn

Chọn mặt kín S (mặt Gaox) là mặt của
một hình trụ (biểu diễn đường nét đứt như
hình vẽ) có đường sinh vuông góc với mặt
phẳng, hai đáy song song, cách mặt phẳng
khoảng h và có diện tích ∆S .

+
+
h+
+

u
r
E1

+
+
+
+

−
−
h−
−

u
ru
r

E1E 2

−
−
−
−

u
r
E2

- Điện thông qua mặt S là: N = N1 + N2
+ Phần điện thông qua mặt bên: N1 = 0 vì α = 900 nên cosα = 0
+ Phần điện thông qua hai đáy: N2 = 2E1. ∆S . cosα = 2E1.∆S
Suy ra: N = 2E1 ∆S
Theo định lí O – G:
N=

1
1
σ
q i ⇒ 2E1∆S = σ.∆S ⇒ E1 =
= E2
∑
ε0
ε0
2ε0

ur ur ur
- Với hai mặt phẳng: theo nguyên lí chồng chất điện trường E = E1 + E 2

ur
ur
+ Bên trong hai mặt phẳng: do E1 và E 2 cùng chiều nên
E = E1 + E 2 = 2

σ
σ
=
2ε0 ε0

ur
ur
+ Bên ngoài mặt phẳng: do E1 và E 2 ngược chiều nên
E = E1 − E 2 =

σ
σ
−
=0
2ε0 2ε 0

b/ Trường hợp hai mặt phẳng hợp với nhau góc α
Vì E1 = E2 nên:

u
r
E

+ Bên trong hai mặt phẳng:
E = 2E1 sin

α
σ
α σ
α
=2
.sin = sin
2
2ε 0
2 ε0
2

u
r
E

+ Bên ngoài hai mặt phẳng:
E = 2E1cos

α
σ
α σ
α
=2
.cos = cos
2
2ε 0
2 ε0
2

Bài 5: Hai dây dẫn thẳng dài vô hạn đặt song song trong không khí cách
nhau đoạn a, tích điện cùng dấu với mật độ điện dài λ .

19


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: ThS. Tạ Hồng Sơn

ur
a/ Xác định cường độ điện trường E tại một điểm trong mặt phẳng đối xứng
giữa hai dây, cách mặt phẳng chưa hai dây đoạn h.
b/ Tính h để cường độ điện trường E cực đại và tính giá trị cực đại này.
Hướng dẫn giải
a/ Cường độ điện trường tại một điểm trong mặt

(1)

(2)

u
r
u
r E
u
r
E2
E
1

r

phẳng đối xứng giữa hai dây
Chọn hai mặt Gaox là hai hình trụ có trục

h

là các dây dẫn, hai đáy các hình trụ là các hình
tròn có bán kính r, chiều cao l .
2

2

a
a
Vì r1 = r2 = r = h +  ÷ = h 2 +
4
2
2

Và λ1 = λ 2 = λ nên E1 = E 2 = E =

a

λ
(theo kết quả như bài trên đã chứng
2πε0 r

minh)
ur ur ur

ur
Gọi E là vectơ cường độ điện trường tổng hợp thì ta có: E = E1 + E 2
E = 2E1cosα = 2
Theo hình vẽ, ta có:

⇒E=

λ
.
πε 0

λ h
hλ
. =
2πε0 r r πε0 r 2

h
a2
(h + )
4
2

Vậy cường độ điện trường tại một điểm trong mặt phẳng đối xứng giữa hai dây,

cách mặt phẳng chưa hai dây đoạn h là:

E=

b/ Giá trị h để E cực đại
Từ

E=

λ
.
πε0

h
(h 2 +

2

a
)
4

⇒E=

λ
1
.
πε0 
a2 
 h + 4h ÷




a2 
Vậy để E=Emax thì M =  h +

÷
4h min

20

λ
.
πε0

h
a2
(h + )
4
2


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: ThS. Tạ Hồng Sơn


a2 
a
Theo bất đẳng thức Cô – si thì M =  h +
÷ khi h =
4h min
2

E max =
Khi đó

λ
1
λ
.
=
πε0 
 πaε0
2
a a ÷
 + a÷
2 4 ÷

2

Vậy giá trị của h để E cực đại là h =

λ
a
và E max =
πaε0
2

Bài 6: Xác định cường độ điện trường gây bởi một dây dẫn thẳng dài vô
hạn tích điện đều (mật độ điện dài λ ) tại điểm cách dây đoạn r.
Hướng dẫn giải
Vì sự phân bố điện tích có tính đối xứng trục nên ở mọi điểm cách đều sợi
dây cường độ điện trường có độ lớn bằng nhau. Đường sức điện trường là các
đường thẳng cắt trục của dây, có chiều hướng ra xa dây nếu λ > 0 (như hình vẽ
bên) hoặc hướng về phía dây nếu λ < 0 .

Chọn mặt Gaox là mặt của hình trụ đồng trục với dây, có bán kính bằng r,
chiều dài l.
- Điện thông qua mặt Gaox: N = N1 + N2
+ Phần điện thông qua hai đáy: N1 = 0 vì cosα = 0
+ Phần điện thông qua mặt bên: N2 = E.2πrl

u
r
E

u
r
E
r

M

Vậy điện thông toàn phần qua mặt Gaox: N = 2πrl
Theo định lí O – G:
N=

1
1
λ
qi ⇒ 2 E πrl = λl ⇒ E =
∑
ε0
ε0
2πε 0 r

Nhận xét: cường độ điện trường do dây dẫn thẳng dài vô hạn tích điện
đều gây ra tại một điểm M có độ lớn tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ M đến dây
và có độ lớn E =

λ
2πε 0 r

Bài 7: Vòng dây dẫn mảnh bán kính R mang điện tích q > 0 đặt trong
không khí.
21


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: ThS. Tạ Hồng Sơn

a/ Tính cường độ điện trường tại tâm O của vòng dây
b/ Tính cường độ điện trường tại điểm M trên trục vòng dây cách O đoạn h. định
h để đạt giá trị cực đại và tính giá trị cực dại này.
Hướng dẫn giải
Chia vòng dây thành từng phần nhỏ có độ dài ∆s ( ∆s << R) sao cho mỗi
phần tử nhỏ mang điện tích ∆q xem như một điện tích điểm. Khi đó, vòng dây
được xem như là tập hợp các điện tích điểm.
a/ Tại tâm vòng dây
Nhận xét: hai điện tích điểm ∆q nằm ở vị trí đối
xứng qua tâm O gây ra hai điện trường có cùng độ lớn
∆E1 = ∆E 2 = k

∆q1 uuu
r

∆E 2
u
r
Ouu
∆E1

∆q
nhưng có chiều ngược nhau nên cường
R2

∆q 2

độ điện trường tổng hợp tại tâm của chúng là ∆E = ∆E1 − ∆E 2 = 0 .
Do đó, cường độ điện trường tổng hợp do cả vòng dây gây ra tại tâm O là:
E O = ∑ ∆E i = 0
b/ Tại điểm M trên trục vòng dây
Xét hai điện tích điểm ∆q1 = ∆q 2 = ∆q nằm ở vị trí đối xứng qua tâm O của
vòng dây. Cường độ điện trường do hai điện tích điểm gây ra tại M là:
∆E1 = ∆E 2 = k

∆q1

∆q
.
r2

Cường độ điện trường tổng hợp
của ∆q1 và ∆q 2 tại M là:
uuu

r uuur uuuu
r
∆E = ∆E1 + ∆E 2

R
O

h α

r

u
r
∆E2

M

u
r
∆ E1

∆q 2

uuu
r
Do ∆E1 = ∆E 2 nên ∆E nằm trên

OM và hướng ra xa O và có độ lớn là:
∆E = 2E1.cosα = 2.

k∆q h 2k∆q.h
. =
r2 r
r3

Cường độ điện trường tổng hợp do cả vòng dây gây ra tại M là:
22

u
r
∆E


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: ThS. Tạ Hồng Sơn

ur
uuu
r
E M = ∑ ∆E nằm trên OM và hướng ra xa O và có độ lớn:
h
kqh
kqh
 2k.∆q.h 
E M = ∑ ∆E = ∑ 
÷ = k. 3 ( ∑ 2∆q ) = 3 = 2
3
r
r

(R + h 2 )3 2
 r

* Tìm h để EM đạt cực đại
Từ E M =

kqh
2
2 32
ta
thấy
để
E
đạt
giá
trị
cực
đại
thì
R
+
h
M
(
) phải
(R 2 + h 2 )3 2

đạt giá trị nhỏ nhất.
Theo bất đẳng thức côsi thì:

(R

2

+h

)

2 3

3

 R2 R2
R2 R2 2
2
=
+
+ h ÷ ≥ 27 . .h
2
2 2
 2


Dấu “=” xảy ra khi h =

Suy ra

EM ≤

Vậy E M = ( E M ) max =

R
2

kqh
2kq
=
2
R
3 3.R 2
3 3. .h
2

2kq
R
h
=
khi
3 3R 2
2

Bài 8: Một sợi dây cách điện có dạng là nửa đường tròn
bán kính R, cung phần tư phía trên tích điện +q, cung phần tư
phía dưới tích điện –q (như hình vẽ). Tính cường độ điện trường
tại tâm đường tròn.

+
+
+

+

+
++

–
–
–
––

Hướng dẫn giải

O

––

Nhận xét: vì sự phân bố điện tích trên cung tròn là đồng đều nên ta xét
điện tích một đoạn rất nhỏ và coi như là điện tích điểm. Áp dụng công thức tính
cường độ điện trường cho điện tích điểm tại tâm đường tròn và sử dụng nguyên
lí chồng chất điện trường để tìm cường độ điện trường tổng hợp tại tâm.
Trên cung phần tư phía trên mang điện dương, xét một đoạn rất nhỏ, vì

điện tích phân bố đều nên mật độ điện tích dài là

23

λ=

q
1

πR
2

=

2q
πR .


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: ThS. Tạ Hồng Sơn

Tương tự, trên cung phần tư phía dưới mang điện âm,

y

tồn tại một đoạn rất nhỏ đối xứng với đoạn nhỏ cung phần tư
phía trên. Hai điện tích điểm này tạo ra hai cường độ điện

+
+
+

+

+
++

uuu

rθ O uuu
rx
– ∆Eθ
−
∆E + = ∆E − và thành phần của chúng trên trục Ox sẽ bằng 0, –
uuu
r ∆E +
–
––
chỉ còn lại thành phần trên trục Oy.
– ∆E y
trường có phương, chiều như hình vẽ. Nếu xét về độ lớn thì

–

Theo nguyên
uuu
r uuu
r uuu
r
∆E y = ∆E + + ∆E −

lý

chồng

chất

điện

trường:

Áp dụng công thức tính cường độ điện trường của điện tích điểm theo
chiều âm trên trục Oy với ∆Q = R∆θ.λ , ta được:
∆E y = 2

k.R∆θ.λ
2kλ∆x
.sin θ =
2
R
R2

Vậy cường độ điện trường tổng hợp tại tâm O là:
E = E y = ∑ ∆E y = ∑

2kλ∆x 2kλ
2kλ
4kq
= 2 ∑ ∆x = 2 .R =
2
R
R
R
πR 2

Bài 9: Một mặt đồng hồ có các điện tích điểm âm –q, –2q, –3q,..., –12q
được cố định ở các vị trí của các số tương ứng. Các
kim đồng hồ không làm nhiễu loạn điện trường tổng
hợp của các điện tích điểm. Hỏi ở giờ nào thì kim chỉ

giờ cùng chiều với vectơ cường độ điện trường tại
tâm của mặt đồng hồ.

-11q

-1q

-10q

-2q
-3q

-9q

-4q

-8q
-7q

Hướng dẫn giải

-12q

-6q

-5q

Nhận xét: hai điện tích đối tâm q 1 và q2 của mặt đồng hồ luôn cùng dấu
sao cho q1 − q 2 = 6q và các vectơ cường độ điện trường gây bởi hai điện tích
đối tâm luôn ngược hướng nhau.

Cường độ điện trường tổng hợp của hai điện tích đối tâm q 1 và q2 tại tâm
có độ lớn:
24


Sáng kiến kinh nghiệm

Giáo viên: ThS. Tạ Hồng Sơn

E12 = k

q1
q
6q
− k 22 = k 2
2
R
R
R

Vậy các vectơ cường độ điện trường do từng
đôi điện tích đối tâm gây ra tại tâm mặt đồng hồ có

-10q

độ lớn bằng nhau và có chiều nằm dọc theo các bán

-9q

kính như hình vẽ.

-12q

-11q

-1q
-2q
-3q
-4q

-8q

Như vậy trên mặt đồng hồ, sẽ có 6 vectơ

-7q

-5q

-6q

cường độ điện trường có cùng độ lớn và hợp với

nhau những góc 300. Khi tổng hợp các vectơ cường độ điện trường đó lại thì
chúng sẽ nằm theo trục đối xứng của chúng, nghĩa là nằm theo đường phân giác
của góc tạo bởi hai bán kính từ 9h đến 10h. Khi kim chỉ giờ đồng hồ trùng với
trục này thì nó chỉ 9h30 phút.
Bài 10: Đặt tại sáu đỉnh của hình lục giác đều

3q

-2q

các điện tích q >0, -2q, 3q, 4q, -5q và x (như hình vẽ).

R

Định giá trị x để cường độ điện trường tại tâm của lục

O

q

4q

giác bằng 0.
Hướng dẫn giải

ur
Gọi E 25 là vectơ cường độ điện trường tổng
hợp của điện tích -2q và -5q tại tâm O hình lục giác,
ur
vectơ cường độ điện trường E 25 hướng từ tâm O về

3q

-2q
R

q

3q
điện tích -5q như hình vẽ và có độ lớn: E 25 = k 2
R
ur
Gọi E14 là vectơ cường độ điện trường tổng

-5q

x

u
r
E14

O

u
r
E1245
x

u
r
E16
u
r
E 25

4q

-5q

hợp của điện tích q và 4q tại tâm O hình lục giác, vectơ cường độ điện trường
ur
3q
E14 hướng từ tâm O về điện tích 4q như hình vẽ và có độ lớn: E14 = E 25 = k 2
R
ur
ur
ur
Gọi E1245 là vectơ cường độ điện trường tổng hợp của E 25 và E14 , ta có:
ur ur
ur
ur
ur
0
E1245 = E14 + E 25 vì E 25, E14 = 120

(

)

Nên E1245 = E 25 = E14
25