Chuyên đề hàm số hay

Gia sƣ Thành Đƣợc

www.daythem.edu.vn

Đạo hàm
VD 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
1
3

1, y  2x4  x3  2 x  5
3, y 

1

x 
5

2

2

x x 
4

3

3

3

2, y  ( x3  2)(1 x2 )

x

4, y 

x  4x  5
2

6, y 



4

2

5, y  x5  4 x3  2 x  3 x ;

4

x

3

3



x

2

x

2

x b
a2 3
 2 c x 
 b ( a , b , c là hằng số)
a x
2

VD 2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
1, y 

2x  1
1 3x

2x  1

2x2  4 x  5

7, y 
10, y 

2

x  x 1

x 1

( x  x  1)
2

x 1

12, y 

1

2, y 



2

2x  1
VD 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

1 

4, y   x 

x




9, y 

11, y  x  1 

1, y  (2 x3  3x 2  6 x  1) 2

1 x  x2

1 x  x2
 1

 1
6, y  x  1 
 x 

3
2x  5

8, y 

x 1

10, y 

3, y 

5, y  x(2 x  1)(3x  2)

4, y  (2 x  3)( x5  2 x)
7, y 

x 2  3x  3

x 1

2, y 

5x  3
x  x 1
2

3, y  ( x2  x  1)3 ( x2  x  1)2

5

2

5, y  1  2 x  x 2



x x x

8, y  x  x 2  1

( x  1)2

6, y  x 2  1  1  x 2 ;



5

9, y  ( x2  x  1)4
12, y  1  1  2x 

11, y  ( x  2) x2  3

( x  1)3

3

VD 4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
2, y 

1, y  2sin 3x cos 5 x
4, y  (sin x  cos x)

sin x  cos x

5, y  tan x  cot x

2

2
3

sin x  cos x

1
5

6, y  tan2x  tan3 2x  tan5 2x



3, y 

2
1  tan 3 x
2
1  tan 3 x

3, y 

sin 2 x  cos 2 x
2 sin 2 x  cos 2 x

;



7, y  tan 2 sin cos3 2 x 


VD 5. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
sin x
x
sin 3 x  cos 3 x

1, y 
2, y 
sin x  cos x

x
sin x
sin 2 x  cos 2 x

4, y  4 sin x cos 5 x.sin 6 x

5, y 

4
4
7, y  cos x  sin x

8, y  (sin x  cos x) 3

sin 2 x  cos 2 x

1

6, y 

sin x  x cos x
cos x  x sin x

9, y  sin 3 2 x cos3 2 x


Gia sƣ Thành Đƣợc

www.daythem.edu.vn

10, y  sin  cos3 x 

VD 7. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :



 

1, y  3 sin 4 x  cos 4 x  2 sin 6 x  cos6 x



8

6

6

 x3

 x2

12, y  cot 5 cos2 


2

.


2, y  cos 4 x  2cos 2 x  3  sin 4 x  2sin 2 x  3
sin 4 x  3cos 4 x  1
4, y  6
sin x  cos 6 x  3cos 4 x  1
 x 
tan    .1  sin x 
 4 2
6, y 
sin x
   
8, y  2  2  2  2cos x ,  x   0 ;   .
  2 

3, y  3  sin x  cos x   4  cos x  2sin x   6sin x
8



11, y  sin 2 cos 2  cos3 x  

4

 2

 2

 x   cos 2 
 x
 3


 3

sin x  sin 2 x  sin 3 x  sin 4 x
7, y 
cos x  cos 2 x  cos3 x  cos 4 x
VD 8. Cho hàm số y  x sin x chứng minh :

5, y  cos 2 x  cos 2 

y'
 x  tan x .
cos x
VD 9. Cho các hàm số : f x   sin 4 x  cos4 x , g x   sin 6 x  cos6 x . Chứng minh : 3 f '  x   2 g '  x   0

1, xy  2  y ' sin x   x  2cos x  y   0

2,

VD 10. 1, Cho hàm số y  x  1  x 2 . Chứng minh : 2 1  x 2 . y'  y .
2, Cho hàm số y  cot 2 x . Chứng minh : y ' 2 y 2  2  0 .
VD 11. Giải phƣơng trình y '  0 biết :
2, y  cos 2 x  sin x

1, y  sin 2 x  2 cos x

3, y  3sin 2 x  4 cos 2 x  10 x

f  x   x / 3  2 x  mx  5 . Tìm m để :

VD 12. Cho hàm số :

3

2

1, f   x   0 x 

2, f   x   0 , x  0;    ;

3, f   x   0 , x   0; 2 

4, f   x   0 , x     ; 2

VD 13. Cho hàm số : f  x  
1, f   x   0 , x 

;

m 3 m 2
x  x   4  m  x  5m  1 . Tìm m để :
3
2
2, f   x   0 có hai nghiệm cùng dấu.

1
3

VD 14. Cho hàm số y  x3   2m  1 x 2  mx  4 . Tìm m để :
1, y '  0 có hai nghiệm phân biệt
3, y '  0 , x  1 ; 2 

2, y '  0 , x 
4, y '  0 , x  0 .

1
3

VD 15. Cho hàm số y   mx3   m  1 x 2  mx  3 . Xác định m để :
1, y '  0 , x 

2, y '  0 có hai nghiệm phân biệt cùng âm

.

3, y '  0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện : x12  x22  3 .

BµI: PH¦¥NG TR×NH TIÕP TUYÕN
2


Gia sƣ Thành Đƣợc

www.daythem.edu.vn

1, Khi biết tiếp điểm : Tiếp tuyến của đồ thị  C  : y  f  x  tại M  x0 ; y0  , có phƣơng trình là :
y  f '  x0  .  x  x0   y0 ( 1 ) .

2, Khi biết hệ số góc của tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến của đồ thị  C  : y  f  x  có hệ số góc là k thì ta
gọi M 0  x0 ; y0  là tiếp điểm  f '  x0   k

(1)

 Giải phƣơng trình (1) tìm x0 suy ra y0  f  x0 

 Phƣơng trình tiếp tuyến phải tìm có dạng : y  k  x  x0   y0
 Chú ý :
 Hai đường thẳng song song với nhau thì hệ số góc của chúng bằng nhau .
 Hai đường thẳng vuông góc nếu tích hệ số góc của chúng bằng 1 .
3, Biết tiếp tuyến đi qua điểm A  x1 ; y1 
VD 1. Cho đƣờng cong  C  : y  f  x   x3  3x 2 . Viết phƣơng trình tiếp tuyến của  C 
1, Tại điểm M 0 1 ;  2 
3, Tại giao điểm của  C  với trục hoành .
VD 2.Cho đƣờng cong  C  : y 

2, Tại điểm thuộc  C  và có hoành độ x0  1
4, Biết tiếp tuyến đi qua điểm A  1 ;  4 

3x  1
1 x

1, Viết PTTT của  C  biết tiếp tuyến song song với  d  : x  4 y  21  0 .
2, Viết PTTT của  C  biết tiếp tuyến vuông góc với    : 2 x  2 y  9  0 .
VD 3. 1, Cho hàm số y  x3  3x 2  9 x  5  C  . Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
2, Cho hàm số y   x3  3x 2  9 x  5  C  . Tìm tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.
VD 4. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 

x2
2x  3

1 biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành,

trục tung lần lƣợt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
VD 5.Cho  C  là đồ thị của hàm số y  6 x  x 2 . CMR tiếp tuyến tại một điểm bất kì của  C  cắt trục
tung tại một điểm cách đều gốc tọa độ và tiếp điểm .
VD 6.Cho hàm số  C  : y  x3  2 x  3 . Viết phƣơng trình tiếp với  C  :
1, Tại điểm có hoành độ x0  2
2, Biết tiếp tuyến song song với: x  y  9  0 ;
VD 7.Cho hàm số : y 

3x  1
1 x

C  .

1, Viết PTTT của  C  tại điểm M  1 ; 1 .

2, Viết PTTT của  C  tại giao của  C  với Ox

3, Viết PTTT của  C  tại giao của  C  với Oy.

4, Viết PTTT của  C  bết TT //  d  : 4 x  y  1  0 .

5, Viết PTTT của  C  biết tiếp tuyến vuông góc với    : 4 x  y  8  0
VD 9.Cho hàm số y  1  x  x 2  C  .Tìm phƣơng trình tiếp tuyến với  C  :
1
2
3
VD 10.Cho hàm số y  x  3mx 2   m  1 x  1

2, Song song với:  d  : x  2 y  0 .

1, Tại điểm có hoành độ x0 

1 . Tìm các giá trị của
hàm số (1) tại điểm có hoành độ x  1 đi qua điểm A 1 ;2  .

VD 11.Cho hàm số y 

3x  1
x 1

m để tiếp tuyến của đồ thị của

1 . Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của
3


Gia sƣ Thành Đƣợc

www.daythem.edu.vn

đồ thị của hàm số (1) tại điểm M  2 ; 5 .
VD 12.Cho hàm số y  3x3  4  C  . Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị  C  biết tiếp tuyến tạo
với đƣờng thẳng  d  : 3 y  x  6  0 góc 300 .
VD 13.Cho hàm số y 

2x  1
x 1

 C  . Gọi I 1 ; 2  . Tìm điểm

M   C  sao cho tiếp tuyến của  C  tại

M vuông góc với đƣờng thẳng IM .
2x
VD 14. Cho hàm số y 
 C  . Tìm điểm M   C  , biết tiếp tuyến của  C  tại M cắt hai trục tọa độ
x 1

tại A , B và tam giác OAB có diện tích bằng

1
. (Khối D - 2007)
4

x
 C  . Viết phƣơng trình tiếp tuyến    của  C  sao cho    và hai
x 1
đƣờng  d1  : x  1 ;  d 2  : y  1 cắt nhau tạo thành một tam giác cân.

VD 15. Cho hàm số : y 

2x  1
. Viết PTTT với đồ thị (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 5.
x2
3x  2
VD 17. Cho hàm số y 
(C). Viết PTTT với (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với y  4 x  10 .
x 1
3x  2

VD 18.Cho hàm số y 
(C ) . Viết phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm A (2; 0).
x 1
VD 19. Cho hàm số y  x3  3x  1 (C). Viết PTTT của (C) biết hệ số góc bằng 9 (TN THPT 2013)
x 1
VD 20.Cho hàm số y 
(C). Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm P(3;1).
x 1

VD 16.Cho hàm số y 

VD 21. Cho hàm số y  x 3  3x  2 (C)
1, Viết PTTT (C) tại điểm M  2;4  .

2, Viết PTTT (C) tại điểm có hoành độ x 

3, Viết PTTT của (C) tại các điểm có tung độ y  0 .
VD 22. Cho hàm số y = - 2x 3 + 3x 2 - 1
(C)
2
3

1, Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với  d  : y   x  2015
2, Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua M  1;  và tiếp xúc với đồ thị (C).
 4
4
2
VD 23 Cho hàm số y  x  2 x (C)
1, Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x  2 .
2, Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y  8 .

3,Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24 .
1

4

1
.
2


Gia sƣ Thành Đƣợc

www.daythem.edu.vn

Bµi: Hµm sè ®ång biÕn, NGHÞCH BIÕN
Bài toán: Xét sự biến thiên của hàm số y = f(x).
P2: Ta cần thực hiện các bƣớc sau:
B1: Tìm miền xác định của hàm số.
B2: Tính đạo hàm f ‟(x), rồi giải phƣơng trình f „(x) = 0.
B3: Lập bảng biến thiên của hàm số.
B4: Kết luận.
VD 1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
1, y = 3x2 – 8x3

2, y = x3 – 6x2 + 9x

4, y  x3  x 2  8 x  1

5, y = x2(4 – x2)
1

8, y  x 4  x 3  x  5
2

7, y  x3  6 x2  17 x  4

1
3, y  x3  2 x 2  1
3
6, y = x4 + 8x2 + 1
4
5

9, y  x3  x 5  8

VD 2. Lập bảng biến thiên và tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
x2  x  2
2, y 
2 x

3  2x
1, y 
x7

4, y 

1
2
x  4x  3

5, y 

7, y  x2  2x  5

2x 1
x2  x  1

8, y  x x2  4

3, y 

x2
x  x 1

6, y 

x2  1
x3

2

9, y  x  2x  x2

Bài toán: Xác định m để hàm số y = f(x, m) đồng biến (hay nghịch biến) trên khoảng D.
B1: Tìm miền xác định của hàm số.
B2: Tính đạo hàm f‟(x).
B3: Lập luận cho các trƣờng hợp
 f ‟(x)  0 với x  D  min f '(x)  0 .
xD

 f ‟(x)  0 với x  D  max f '(x)  0

xD

VD 3. Tìm m sau cho hàm số:
1, y = x3 – 3(m – 1)x2 + 3m(m-2)x + 1 ĐB / R.
3, y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m NB/  1;1 .
5, y =

2, y = mx3 – (2m – 1)x2 + (m – 2)x ĐB / R.
4, y = (m2 + 5m)x3 + 6mx2 + 6x đơn điệu / R.

m 1 3
x + mx2 + (3m – 2)x ĐB / R.
3

1
3

6, y = - x3 + (m – 1)x2 + (m + 3)x ĐB /(0; 3)

7, y = x3 – 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2 ĐB /(2; +  ).
8, y = x3 – (m+1)x2 – (2m2 – 3m + 2)x + 2m(2m – 1) đồng biến khi x  2 .
9, y = x3 – 3mx2 + m – 6 đồng biến trong khoảng (-  ; 0).
VD 4. Tìm m sau cho hàm số:
1, y = (2m + 3)sin2x + (2 – m)x ĐB / R.
2, y = 2x + mcosx, tăng trên R.
3, y = x + msinx, đồng biến trên R.
4, y = (m – 3)x – (2m + 1)cosx, nghịch biến trên R.
VD 5. Tìm m sau cho hàm số:
x 2  2( m  1)  2
ĐB/ (0; +  ).

x 1
2 x 2  3x  m
y

4,
ĐB / (3; +  ).
x 1

mx  2
luôn nghịch biến.
x  m3
2 x 2  3 x  m
1
y

3,
NB/ ( ; )
2x 1
2

2, y 

1, y 

5


Gia sƣ Thành Đƣợc

www.daythem.edu.vn

Bµi: cùc trÞ cña Hµm sè
VD 1. Tìm cực trị của hàm số
1
3

4
3

1
3

4
3

1, y  x3  x 2  3x  .

2, y  x3  x 2  3x  .

3, y  2 x3  9 x 2  12 x  3

4, y  5 x3  3x 2  4 x  5

5, y  3x 4  4 x3  24 x 2  48 x  3

6, y  x  3 

2, y  x 3  x

3, y  x  x  2 

9
;
x2

VD 2. Tìm cực trị của hàm số
1, y 

x
;
x 4
2

VD 3. Tìm a , b , c để hàm số y  x3  ax 2  bx  c đạt cực tiểu tại x  1 , y 1  3 và đồ thị của hàm
số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 .
VD 4. Cho hàm số y   x3  3x 2  4 . Với giá trị nào của m để đƣờng thẳng nối hai điểm cực trị của
hàm số tiếp xúc với đƣờng tròn (C) :  x  m    y  m  1  5
2

VD 5. Cho hàm số y =
VD 6.

2

1 3
x + ( m – 1 )x2 + (2m – 2 )x (1). Tìm m để hàm số (1) có hai cực trị .
3

Tìm m để hàm số y   m  2  x3  3x 2  mx  5 có cực đại, cực tiểu.

VD 7. Cho hàm số y = x3 + ( 1 – 2m )x2 + 3x + 1 – m (1). Tìm m để hàm số ( 1) không có cực trị.
3
VD 8. Cho hàm số: y   m  2  x  mx  2 . Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số không có
điểm cực đại và điểm cực tiểu.
1 3
2
2
VD 9. Cho hàm số: y  x  mx  m  m  1 x  1 . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=1.
3



VD 10. Cho hàm số y =



1 3
x + mx2 + (m2 – 4 )x +2 (1) . Tìm m để hàm số ( 1 ) đạt cực đại tại x = 1
3

VD 11. Cho hàm số y  x  3x  3x  2
1, Tìm cực trị của hàm số.
2, Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua các điểm cực trị.
3
2
VD 12. Cho hàm số y  x  6 x  3  m  2  x  m  6 . Xác định m sao cho:
1, Hàm số có cực trị.
2, Hàm số có hai cực trị cùng dấu.
3

2

1
3

1
3

VD 13. Tìm m để hàm số y  mx3   m  1 x 2  3  m  2  x  đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thoả

x1  2 x2  1
x3 x 2
  mx đạt cực đại và cực tiểu có hoành độ lớn hơn m.
3 2
VD 15. Cho hàm số: y  f  x   2 x3  3  m  1 x 2  6  m  2  x  1 (1). Tìm m để (1) có cực đại, cực tiểu
và đƣờng thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu song song với đƣờng thẳng y  3x  4
VD 14. Tìm m để hàm số y 

x 2  3x  5
VD 16. Cho hàm số: y 
. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua các điểm cực trị.
x2
x 2  mx  m
VD 17. Cho hàm số: y 
 m  0  . Tìm m để có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu . Viết
xm
phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua các điểm cực trị.
6

Gia sƣ Thành Đƣợc

www.daythem.edu.vn

VD 19. Tìm m để hàm số y =

1 3
x - ( m + 1 )x2 + (m2 + 2 )x + 1 – m đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa
3

x12 + x22 = 10 .
1 1
 0
 x1 x2 

VD 20. Tìm m để y = x3 – 3mx2 – 2 (2m+3)x + 1 đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa x1  x2  3 
VD 21. Cho hàm số y =

2 3
2
x – mx2 – 2 (3m2 – 1 )x +
3
3

(1)

Tìm m để hàm số (1) đạt cực trị tại x1, x2 thỏa x1x2 + 2(x1 + x2 ) = 1
VD 22. Cho hàm số y = 2x3 – ( 9m + 3 )x2 + 12m(m+1)x – m3
Tìm m để hàm số ( 1) đạt cực trị tại x1, x2 thỏa x1 – x2 = 4.
VD 24. Cho hàm số y = x3 – (2m – 1 )x2 + (2 – m )x + 2 (1). Tìm các giá trị của m để hàm số ( 1 )

có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số ( 1) có hoành độ dƣơng .
VD 25. Tìm m để
1, Đồ thị hàm số y = x3 – (2m + 1 )x2 + (m2 – 3m + 2 )x + 4 có cực đại, cực tiểu và điểm cực đại,
cực tiểu của đồ thị hàm số nằm về hai phía đối với trục tung.
2, Đồ thị hàm số y  2 x3  3x 2  6mx  m có hai điểm cực trị ở cùng một phía đối với trục hoành
VD 26. Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3m3 (1). Tìm m để (Cm) có 2 điểm cực trị A và B sao cho
tam giác OAB có diện tích bằng 48.
VD 27. Cho hàm số y = -x3 + 3x2 + 3(m2 – 1 )x – 3m2 – 1 ( 1). Tìm m để hàm số ( 1 ) có cực đại,
cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số ( 1 ) cách đều gốc tọa độ O.
VD 28. Cho hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m+1)x + 1
(1 ). Tìm m để hàm số ( 1 ) có cực
trị . Khi đó chứng minh rằng khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó không đổi.
VD 29. Cho hàm số y  x3  3mx 2  3(m2  1) x  m3  m (1). Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời
khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm
cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O.
1 3 5 2
x  mx  4mx  4 (1). Tìm m để hàm số ( 1 ) có cực trị tại x1, x2 thỏa
3
2
2
x 2  5mx1  12m
m
 2
biểu thức A  2
đạt giá trị nhỏ nhất.
x1  5mx2  12m
m2

VD 30.

Cho hàm số y =

VD 33. Tìm m để hàm số y  2 x3  3(m  1) x 2  6mx  m3 có cực đại , cực tiểu : yCĐ – yCT  8
VD 34. Cho hàm số y  x3  (m  1) x 2   m2  4 x  3 x . Với giá trị nào của m để hàm số có cực đại
2
3

cực tiểu x1 , x2 Tìm GTLN A = x1 x2  2( x1  x2 )
3
2

VD 36. Cho hàm số y  x3  mx 2  m . Tìm m để điểm cực đại và điểm cực tiểu của dồ thị hàm số
nằm về hai phía của d : x  2 y  0
VD 37. Tìm m để y  x3  2(m  1) x 2  (m2  4m  1) x  2(m2  1) có cực trị tại x1 , x2 sao:
1 1 1
   x1  x2 
x1 x2 2

7


Gia sƣ Thành Đƣợc

www.daythem.edu.vn

VD 39. Cho hàm số : y  x3  3(m  1) x 2  9 x  m . Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại các
điểm có hoành độ x1 ; x2 : x1  x2  2
VD 40. Cho hàm số y  x3  (1  2m) x 2  (2  m) x  m  2 . Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và
cực tiểu, đồng thời hoành độ của cực tiểu nhỏ hơn 1
VD 41.

[ĐHB11] Cho hàm số y  x 4  2  m  1 x 2  m . Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị

A , B , C sao cho OA  BC ; trong đó A thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.

VD 42.

[ĐHA12] Tìm m để đồ thị hàm số y  x 4  2  m  1 x 2  m2 có ba điểm cực trị tạo thành ba

đỉnh của một tam giác vuông.
VD 43. Cho hàm số y  x 4 – 2mx 2  2m  m4 ( m là tham số). Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại và
cực tiểu lập thành một tam giác đều.
VD 46. Tìm m để đồ thị hàm số y  x 4  2mx 2  m  1. có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có
diện tích bằng 1
VD 47. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  m  1. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một
tam giác có bán kính đƣờng tròn ngoại tiếp bằng 1

Bµi: øng dông cña ®¹o hµm
Phần 1: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
1, ĐN:

Cho hàm số xác định trên D
 f ( x)  M , x  D
+Nếu 
thì max f ( x)  M
xD
xo  D : f ( xo )  M

8

Gia sƣ Thành Đƣợc

www.daythem.edu.vn

 f ( x)  m, x  D
+Nếu 
thì min f ( x)  m
xD
xo  D : f ( xo )  m

2, PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Bài toán 1. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là -∞, b có thể là +∞). Hãy tìm max f ( x)
( a ;b )

và min f ( x) (nếu chúng tồn tại).
( a ;b )

Cách giải. Lập bảng biến thiên.
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] Hãy tìm max f ( x) và min f ( x) .

Bài toán 2.

[ a ;b ]

[ a ;b ]

Cách giải

1, ì các đi

tới h n

1,

x2, ….,

n

của (

t n đo n a;b].

2, ính (a , ( 1), f(x2 , …, ( n), f(b).
3, max f ( x)  max  f  a  , f  x1  , f  x2  ,..., f  b  ; min f ( x)  min  f  a  , f  x1  , f  x2  ,..., f  b 
[ a ;b ]

[ a ;b ]

3, B I T P ÁP D NG

VD 1. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
1, y  f  x   2 x3  6 x 2  1 trên đoạn  1;1

2, y  f  x   2 x 4  4 x 2  3 trên đoạn  0; 2

3, y  f  x    x3  x 2  2 x  1 trên đoạn  1;0
1
3

VD 2. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
1, y  f  x   x3  x 2 trên đoạn 1;3

2, y  f  x    x 4  x 2 

5
3, y  f  x   2 x3  3x 2  12 x  1 trên đoạn  2; 

4, y  f  x   x3  3x 2  5 trên đoạn  1; 4

5, y  f  x   x 4  8 x 2  16 trên đoạn  1;3

1
6, y  f  x   x 4  x 2  1 trên đoạn 0; 
 2

1
3

1
2



2

1
trên đoạn  0; 2
2

VD 3. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
1, y  f  x  

2x 1
trên đoạn  2; 4
1 x

2, y  f  x  

2x 1
trên đoạn
x2

 1 
  2 ;1

x2  2x  3
4, y  f  x  
trên đoạn  0;3
x2

4
3, y  f  x    x  1 
trên đoạn  1; 2
x2

VD 4. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
1, y  x  4  x2

2, y  x 2  x  1  x 2  x  1, x   1;1

3, y   x  6  x 2  4 trên đoạn  0;3

4,

5, y 

x 1
x2  1

6, y   3  x  x 2  1 trên đoạn  0; 2

trên đoạn  1; 2

VD 5. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
 
1, y  f  x   sin 2 x  x trên đoạn   ; 


2, y  f  x   x  2 cos x trên đoạn 0; 
 2

 2 2

9


Gia sƣ Thành Đƣợc

www.daythem.edu.vn

3
3, y  f  x   2sin x  sin 2 x trên đoạn 0; 


4, y  f  x   2 cos 2 x  4sinx trên 0; 
 2

5, y  f  x   2sin 3 x  cos 2 x  4sin x  1

6, y  f  x  



2 

s inx
trên đoạn  0;  
2  cos x

VD 6. Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
1
1
1
 x2  2  x 
3
x
x
x
4

3
2
x  4 x  8x  8x  5
4, y 
x2  2 x  2

1, y  x  1  3  x  ( x  1)(3  x)
3, y  1  x2  3 1  x 2 
5, y 

2, y  x3 

2

 x  0

2 1  x4  1  x2  1  x2  3
1  x2  1  x2  1

VD 7. Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
1  sin 6 x  cos 6 x
1  sin 4 x  cos 4 x
sin x  1
3, y 
2
sin x  sin x  1

1, y 

2, y = sin4x +cos4x +sinx.cosx +1

4, y = sinx + cosx + sinx cosx
6, y 

5, y  1  2cos x  1  2sin x
7, y 

3 cos4 x  4 sin 2 x
3 sin 4 x  2 cos2 x

2 cos 2 x  cos x  1
cos x  1
1
2

8, y  2(1  sin 2 x cos 4 x)  (cos 4 x  cos8 x)

Phần 2: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
1, Phương pháp giải
Để tìm GTLN, GTNN của một biểu thức có chứa nhiều hơn một biến số nào đó ta có thể dùng
phƣơng pháp đổi biến số nhƣ sau:
Bước 1. Biểu diễn các biến số của biểu thức ban đầu theo một biến số mới.
10


Gia sƣ Thành Đƣợc

www.daythem.edu.vn

Bước 2. Tìm điều kiện cho biến số mới (dựa trên điều kiện của các biến số ban đầu).

Bước 3. Tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới tƣơng ứng với điều kiện của nó.
2, Một số bất đẳng thức cơ sở thường sử dụng:
a, Với a, b, c bất kỳ, ta có:
1, a 2  b 2  2ab

2, (a  b) 2  4ab

3, 2(a 2  b 2 )  (a  b) 2

4, a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca

5, (a  b  c) 2  3( ab  bc  ca)

6,3(a 2  b 2  c 2 )  ( a  b  c) 2 .

b, BĐT Côsi - Với a, b, c không âm, ta có: a  b  2 ab , a  b  c  3 3 abc ,  a  b  c   27abc
3

ab
a2  b2
. ab  
 
2
 2 
1
1
11 1
.

   

a  b 2 ab 4  a b 
3
ab  a  b   a  b  a3  b3
.

 
2
2
 2 
2

(a  0, b  0)
(a  0, b  0)
(a  0, b  0)

. (a  c) 2  (b  d ) 2  a 2  b 2  c 2  d 2
1
2
 1
1  a  1  b  1  ab
.
2
 1  1 
 1  a 1  b 1  ab

(a, b  R)

(0  ab  1)
(ab  1)

3, Tìm GTLN, NN của biểu thức M có 2 tính chất sau:
Tính chất 1: M phụ thuộc vào 2 trong 3 đại lƣợng: x + y + z, xy + yz + zx hoặc x2 + y2 + z2.
Tính chất 2: Giả thiết cho trƣớc giá trị của một trong 3 đại lƣợng: x + y + z, xy + yz + zx
hoặc x2 + y2 + z2.
Cách giải:
1. Giả sử biểu thức M có mặt 2 trong 3 đại lƣợng nêu trên, khi đó có thể đặt một trong hai đại
lƣợng của biểu thức M là ẩn phụ t rồi dùng giả thiết của bài toán đã cho và kết hợp hằng đẳng thức
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx để biểu diễn đại lƣợng còn lại theo t.
2. Tìm ĐK cho t ta thƣờng dùng một trong ba BĐT sau:
x2 + y2 + z2  xy + yz + zx hoặc (x + y + z)2  3(xy + yz + zx) hoặc 3(x2 + y2 + z2)  (x + y + z)2
3. Quy về bài toán đơn giản.
a 4 b4  a 2 b2  a b
VD 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của F  4  4   2  2    Với a,b 0
b
a b
a  b a
4 1
5
VD 2. Cho x, y là hai số thực dƣơng thỏa mãn x  y  . Tìm GTNN của biểu thức P  
.
x 4y
4

VD 3. Cho hai số thực x, y thoã mãn: x ≥ 0, y ≥ 1 , x+y = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức : P = x3 + 2y2 +3x2 + 4xy - 5x
11


Gia sƣ Thành Đƣợc

www.daythem.edu.vn

VD 4. Cho x, y, z là các số dƣơng. Tìm GTNN của biểu thức P 
1

3 xyz
x yz

.
3 xyz
x yz

1

VD 5.

Tìm GTLN, NN của A   x  y     . Biết x, y thoả mãn điều kiện 1  x  y  2.
x y

VD 6.

Tìm GTNN của Q  xy 

VD 8.

Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 = 2, Tìm GTLN, NN của M = 2 (x3 + y3) – 3xy.





1

  x  y 2






1
1 
 với x, y dƣơng và x khác y.

x2 y 2 


 x, y  0
. Tìm GTLN, GTNN P  ( x 2  1)( y 2  1)  x 2  y 2  1
x  y  1

VD 9. Cho x, y thỏa mãn 

 x, y  0
x
y
6


. Tìm GTLN, GTNN của P 

x  2 y  2 xy  1
 x  y  xy  3

Cho x, y thỏa 

VD 10.

VD 11. Cho x, y là hai số thực không âm thỏa mãn x3  y 3  xy  1 . Tìm GTLN, GTNN của biểu
thức P  x 2  y 2  xy
 x, y  0
x2
y2
1


VD 12. Cho x, y thỏa 
. Tìm GTLN, GTNN P 
y 1 x 1 x  y  3
 x  y  xy  3
x
y

.
VD 13.
Cho các số thực dƣơng thoả: x + y = 1. Tìm GTNN của: P 
1 x
1 y

VD 15. Cho y  0, x 2  x  y  12. Tìm GTLN, NN của: P=xy + x + 2y +17.
Cho x, y là các số thực không âm thay đổi và thỏa mãn điều kiện

4( x  y  xy )  1  2( x  y ) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  xy  x  y  x 2  y 2
VD 22. Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn x 2  y 2  z 2  3 .
VD 21.
2

2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  xy  yz  zx 

5
.
x yz

VD 23.

Cho x, y , z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 1. Tìm GTLN, NN của R = x3 + y3 + z3 – 3xyz.

VD 24.

Cho x, y , z > 0 và x + y + z  . Tìm GTNN của M = x + y + z  

1
x

3
2

1 1
 .
y z

VD 25.
Cho các số x, y , z thuộc khoảng (0 ; 1) và thỏa xyz + (x – 1)(y – 1)(z – 1)=0.
Tìm GTNN của N = x2 + y2 + z2.
VD 26.

Cho x, y, z  0, x  y  z  1 . Chứng minh:

x2 

1
1
1
 y 2  2  z 2  2  82 (ĐH- A-03)
2
x
y
z

VD 28. Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa x+y+z=1. Tìm GTLN của: P=xy+yz+zx-2xyz.
VD 29.

Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa x+y+z=1. Tìm GTNN của P  x3  y 3  z 3 

VD 30.

Cho x, y, z  1; 2 . Tìm GTLN của biểu thức P  ( x  y  z )  

1
x

12

1 1
 
y z

15
xyz
4


Gia sƣ Thành Đƣợc

www.daythem.edu.vn

VD 31.

Cho 1  x, y, z  3 và x  y  z  6 . Tìm GTLN của P  x 2  y 2  z 2

VD 32.

Cho x 2  y 2  z 2  1 . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P  x  y  z  xy  yz  zx

VD 33. Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa x+y+z=1.

VD 34.

7
27

Cho 0  x, y, z  2 và x  y  z  3 . Tìm GTLN của P  x3  y 3  z 3

VD 35.

Cho x, y, z  0 và x  y  z  3 . Tìm GTLN của P  9 xy  10 xz  22 yz

VD 36.

Cho ba số thực dƣơng a, b, c thỏa a  b  c  1 . Tìm GTNN của P  a 3  b3  c3

Chứng minh: 0  xy  yz  zx  2 xyz 

1
4

Phần 3: Chứng minh bất đẳng thức bằng phƣơng pháp tiếp tuyến
Xét bài toán: “Cho a1 , a2 , a3 ,..., an  D thoả mãn a1  a2  a3  ...  an  nα , với α  D , cần chứng minh
bất đẳng thức f  a1   f  a2   ...  f  an   nf  α  , đẳng thức xảy ra khi a1  a2  a3  ...  an  α ”.
VD 1. Cho bốn số dƣơng a, b, c, d thoả a  b  c  d  1 . CMR: 6  a 3  b3  c3  d 3   a 2  b 2  c 2  d 2  .
1
8

VD 3.

Cho ba số thực dƣơng a, b, c thoả a  b  c  1 . CMR: 10  a3  b3  c3   9  a5  b5  c5   1 .

VD 4.

 2a  b  c    2b  c  a    2c  a  b 
Cho các số thực dƣơng a, b, c . CMR: 2

2
2
2
2a   b  c  2b 2   c  a  2c 2   a  b 

VD 5.

Cho ba số thực dƣơng a, b, c thoả a  b  c  1 . CMR:

2

13

2

2

1
1
1
27



.
1  ab 1  bc 1  ca 8

8

Gia sƣ Thành Đƣợc

www.daythem.edu.vn

VD 6.

Cho ba số thực dƣơng x , y , z thỏa x  y  z  12 . CMR:

VD 7.

Cho bốn số thực dƣơng a, b, c, d thỏa a + b + c + d = 4 ,

CMR:

a
5 + 3a 2

VD 9.

+

b
5 + 3b2

+

c
5 + 3c 2

+

d
5 + 3d 2

£

1
1
1
1


 .
8 x 8 y 8 z 2

1
.
2

Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a  b  c  1 .CMR: a 2  1  b2  1  c 2  1  10

 a  b  c  a  c  b  c  b  a 
là các số thực dƣơng. CMR: 2
2
2
2
c  b  a  b2   a  c  a 2  b  c 
2

VD 10.

Cho a,b,c

Bµi: kh¶o s¸t hµm sè
1, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
*) TXĐ: D.
*) SBT:
 CBT: Tính y‟. Dấu y‟ và suy ra CBT.
14

2

2



3
5


Gia sƣ Thành Đƣợc

www.daythem.edu.vn

 Cực trị.
 Giới hạn.
 Bảng biến thiên,
*) Vẽ đồ thị.
2, Biện luận số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị (C ): y=f(x)
- Đƣa phƣơng trình về dạng f(x) = A(m).

- Số nghiệm của phƣơng trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đƣờng thẳng y = A(m).
- Vẽ hai đồ thị lên cùng một hệ trục tọa độ và biện luận kết quả.
VD 1. Cho hàm số y   x3  3x 2  1
1, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
2, Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phƣơng trình x3  3x2  m  0 .
1
3

VD 2. Cho hàm số y  x3  x 2
1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2, Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm trên (C) có tung độ bằng 0.
3, Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3.
VD 3. Cho hàm số y  2 x3  3(m2  1) x 2  6mx  2m
1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2, Tìm giá trị của m để hàm số đạt cực trị tại x = 1. Khi đó xác định giá trị cực trị của hàm số tại đó.
VD 4. Cho hàm số y   x3  3x 2  4 có đồ thị (C).
1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2, Viết phƣơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với d : y  9 x  7 .
3, Tìm GTLN, GTNN của hàm số y   x3  3x 2  4 trên [1; 3].
VD 5. Cho hàm số y  x3  mx 2  m  1 , m là tham số.
1, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số khi m = 3.
1
3

1
3

2, Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với d : y  x  .
3, Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2.
VD 7. Cho hàm số y  x 4  2 x 2 có đồ thị (C ).

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ).
2, Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 = 2.
VD 8. Cho hàm số y   x 4  3x 2  1 có đồ thị (C)
1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
2, Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phƣơng trình x 4  3x 2  m  0 có 4 nghiệm phân biệt.
3, Tìm GTLN, GTNN của hàm số y   x 4  3x 2  1 trên [0; 2].
VD 9. Cho hàm số y  x 4  mx 2  (m  1) có đồ thị (Cm).
1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = -2.
2, Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm M(-1;4).
3, Tìm m để hàm số y  x 4  mx 2  (m  1) có cực đại và cực tiểu.
1
4

VD 10. Cho hàm số y  x 4  3x 2 

3
có đồ thị (C).
2

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2, Viết phƣơng trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 = 2.
15


Gia sƣ Thành Đƣợc

www.daythem.edu.vn

3, Tìm m để phƣơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x4  12 x2  1  m  0
1

4

VD 11. Cho hàm số y  x 4 

m 2 3
x 
(Cm ) .
2
2

1, Khảo sát hàm số khi m = 1.
2, Biện luận theo m số nghiệm của phƣơng trình x 4  2 x 2  6  4m  0 .
3, Tìm điều kiện của m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
VD 12.

Cho hàm số y 

3x  2
x2

1, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2, Tìm các điểm trên đồ thị của hàm số có tọa độ là những số nguyên.
VD 13.

Cho hàm số y 

x 1
x 1

1, Khảo sát hàm số.

2, Cho d : 2x-y+m = 0. CMR d luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A, B phân biệt với mọi m.
3, Tìm m để AB ngắn nhất.
VD 14.

Cho hàm số y 

2x  3
có đồ thị (C).
2x 1

1, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
2, Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
VD 15.

Cho hàm số y 

3  2x
x 1

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2, Tìm m để đƣờng thẳng y  mx  2 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.
VD 16. Cho hàm số y 

2x  3
có đồ thị (C).
1 x

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2, Viết phƣơng trình các đƣờng thẳng song song với d: y   x  3 và tiếp xúc với đồ thị (C).
VD 17. Cho hàm số y  x 3  3x  2

(C)
1, Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2, Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm thực của phƣơng x 3  3x  2  m  0 .
3, Tìm m để phƣơng trình x3  3x  m3  3m  0 có 3 nghiệm phân biệt.
4, Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x 

1
.
2

5, Viết phƣơng trình của (C) tại các điểm có tung độ y  0 .
VD 18. Cho hàm số y  4x 3  3x  1 (C)
1, Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
3
4

2, Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm thực phƣơng trình : x 3  x  m  0
3, Biện luận số nghiệm phƣơng trình 4x 3  3x  4m 3  3m theo m.
4, Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C) , biết tiếp tuyến đi qua điểm M 1, 4  .
VD 19. Cho hàm số y = 2x 3 - 3x 2 - 1
1, Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .

(C)
16


Gia sƣ Thành Đƣợc

www.daythem.edu.vn
2

3

2, Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với  d1  : y  x  2015
3, Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua M  2;3 và tiếp xúc với đồ thị (C).
4, Tìm m để đƣờng thẳng  d 2  : y  mx  1 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt .
5, Tìm m để đƣờng thẳng  d 3  : y  m  x  1 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt .
VD 20. Cho hàm số y = (2 - x )(x + 1)2
(C)
1, Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2, Tìm m để đồ thị (C‟) y   2  x  m  2  cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt .
3
8

3, Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đƣờng thẳng  d1  : y   x  2
4, Tìm m để đƣờng thẳng  d 2  : y  m  x  1 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt .
VD 21.

2
3

Cho hàm số y  x3  mx 2  2(3m 2  1) x 

2
3

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
2, Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1; x2 sao cho x1x2 + 2(x1 + x2 ) = 1
VD 22.

2

3

Cho hàm số y  x3  (m  1) x 2  (m 2  4m  3) x 

1
2

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = -3
2, Với giá trị nào của m hàm số có CĐ, CT x1; x2 . Tìm GTNN của x1 x2  2( x1  x2 )
VD 23.

Cho hàm số y 

x3 1
 (m  3) x 2  2( m  1) x  1
3 2

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
2, Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có hai điểm cực trị với hoành độ lớn hơn 1
VD 24. Cho hàm số y  x3  x 2  mx  1
1, Khảo sát hàm số với m = - 1
2, Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1; x2 sao cho

y ( x1 ) y ( x2 )

3
x1
x2

VD 25. Cho hàm số y   x3  (m  1) x 2  2(m  2) x  4

1, Khảo sát hàm số với m = 2
2, Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1; x2 sao cho P  x1  x2 

1
x1 x2

VD 26. Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y  x3  3mx 2  3x  3m  2 cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có
hoành độ là x1, x2, x3 thỏa mãn x12  x22  x32  15
VD 27. Cho hàm số y  x3  2 x 2  (1  m) x  m
1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1
2, Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y  x3  2 x 2  (1  m) x  m cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành
độ là x1, x2, x3 thỏa mãn x12  x22  x32 < 4
VD 28. Cho hàm số y   x 4  2 x 2  1
(C)
1, Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2, Biện luận theo m số nghiệm thực của phƣơng trình x 4  2 x 2  m .
3, Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x  2 .
4, Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24,
5, Tìm m để y=m cắt (C) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
17


Gia sƣ Thành Đƣợc

VD 29. Cho hàm số y 

www.daythem.edu.vn
2x  1
(C)
x 1

1, Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
5
3

2, Tìm m để đƣờng thẳng  d  : y  mx   2m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt .
3, Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến tạo với hai đƣờng tiệm cận một tam giác có chu vi min.
x 1
x 1

VD 30. Cho hàm số y 

(C)

1, Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2, Tìm m để  d  : y  mx  2m 
VD 31. Cho hàm số y 

1
cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dƣơng
3

3x  1
(C)
1 x

1, Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2, Tìm m để  d  : y  mx  2m  7 cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt . Tìm tập hợp trung điểm I
của đoạn thẳng AB .
3, Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên .

VD 32. Cho hàm số y 

2x 1
(C) .
x2

1, Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số.
2, Tìm phƣơng trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M thuộc (C) và có hoành độ x o= 1.
3, Tìm N sao cho PTTT tại N của (C) cách tâm đối xứng I đoạn
VD 33. Cho hàm số y 

2x  3
(C)
 x3

3 10
.
5

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số
2, Tìm M sao cho PTTT tại M của (C) cách tâm đối xứng I đoạn LN.
VD 34. Cho hàm số y 

3  2x
, (C).
x 1

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2, Tìm m để d: y = mx + 2 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt M, N: MN 
VD 35. Cho hàm số y 

2x  4
C  .
1 x

5 11
.
2

1, Khảo sát hàm số.
2, Gọi (d) là đƣờng thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k. Tìm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai điểm M,
N và MN  3 10 .
VD 36. Cho hàm số y 

2x  1 (1)
x 1

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2, Tìm k để đƣờng thẳng d: y  kx  3 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm M, N sao cho tam giác OMN
vuông góc tại O. ( O là gốc tọa độ)
VD 37. Cho hàm số : y 

2x
x 1

(1)
18


Gia sƣ Thành Đƣợc

www.daythem.edu.vn

1, Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2, Chứng minh rằng đƣờng thẳng d: y = 2x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm M và N phân biệt với
mọi m. Xác định m để đoạn thẳng MN ngắn nhất.
MỘT SỐ B I HỆ PHƢƠNG TRÌNH HAY
Nh÷ng lóc suy t-...
3
2
 y (3x  2x  1)  4y  8
1.  2 3
2
2
 y x  4y x  6y  5y  4

3
2

4x  12x  9x  1  (2  y) 2y  1
2. 
2
2

2x  5x  3  2y  3y  1  0

9

 x  1  2 y  1  y 4
3. 

x 1
y 1
1



1  y  1 1  x  1 3

2
2
2
2

 x  xy  2y  2x  xy  y  2(x  y)
4. 

(8 y 6) x  1  (2  y  2)(y 4 x  2  3)

2

 x  y 2  x  2y  2
6. 

2( x  2  4y)  8 y xy  2y  34  15x

2
2

2x  5xy  3y  49(2y  3x  1)
5.  2

2

5 x  2xy  10y  637

2y3  12y2  25y  18  (2x  9) x  4
7. 
2
2
3x  14x  8  3x  1  6  4y  y
 x 3  y3  x y 2 x 2  y 2



9. 
4 x  x 2  1  9(y  1) 2x  2

x x 2  y  y  x 4  x3  x

11. 
9
 x  y  x  1  y(x  1) 
2


2x 2  5xy  y2  1
8. 
2
2
 y( xy  2y  4y  xy)  1
3

2
2
2
2
2

 x(4y  3y  5y  x )  y (x  4y  8)
10. 
2

 x  12  2x  2y  2 y  4





 2x  4x 2  1 (y  1  y 2 )  1

12. 
 x x  y  xy  1  2xy  x  y  1

MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH HAY
1, (3x + 1) 9x 2 + 6x + 2 - x + 1 = 4x 16x 2 + 1

2, - 10x 3 + 12x 2 - 5x + 1 = 2x 2. 3 7x 3 - 7x 2 + 2x

3, - 2x 3 + 10x 2 - 17x + 8 = 2x 2. 3 5x - x 3

4, x 3 + 3x 2 + 4x + 2 = (3x + 2) 3x + 1

5, 8x 3 - 36x 2 + 53x - 25 =

3

3x - 5

6,

7, 27x 3 -27x 2 + 13x - 2 = 2. 3 2x-1
9,

3

2

(x - 1)

11, x

(

x+ 1- 2
3

2x + 1 - 3

=

1
x+ 2

8, 4x 3 + 18x 2 + 27x + 14 =

3

4x+ 5

- 2 3 x - 1 - (x - 5) x - 8 - 3x + 31 = 0 10, (s inx - 2)(sin 2 x - s inx + 1) = 3 3 3 s inx - 1 + 1

x+ 1+

)

x+ 3 =

(

2. 1 +

1 + x2

)

(

12, 2x 3 1 +

)

4x 2 + 1 = x +

x2 + 1

13, 4x 2 + 1 .x + (x - 3). 5 - 2x = 0

14, 2 x3  x2  3x  1  2(3x 1) 3x 1

15,  x  3 x  1   x  3 1  x  2 x  0

16, x 3 - 15x 2 + 78x - 141 = 5 3 2x - 9

(

)

19


Gia sƣ Thành Đƣợc

www.daythem.edu.vn
3

18, (x + 6) + x + 6 - x 6 - 12x 5 - 48x 4 - 64x 3 - x 2 - 4x = 0

17, x 3 + 6x 2 - 171x - 40 (x + 1) 5x - 1 + 20 = 0

19, 27x 3 + 54x 2 + 39x + 10 = (x 2 + x + 2) x 2 + x + 1
20, 2x + (x + 1) x 2 + 2x + 3 + (x + 2) x 2 + 4x + 6 + 3 = 0

(

)

21, x 3 2 + 2 4x 2 + 1 = x +
23, (x + 5) x + 1 + 1 =

3

x2 + 1

22,

3

(x - 1)

- 8x 3 + x + 32x 2 + 2

24, x 3 - 3x 2 - 2x - 1 -

3x + 4

(

3

)

x - 1 - 23x = - 23

3x 2 + 3x + 1 = 0

26,

x 2 + 2x - 8
= (x + 1)
x 2 - 2x+ 3

æ1
ö
x ÷
4(1 + 1 + 4x )
ç
÷
=
27, çç
÷
ççè x x + 1÷
÷
x + 1 + x 2 + 3x + 2
ø

28,

x+ 3
= (x + 2) x + 2
x3 + x

29, x (4x 2 + 1) - (x 2 + x + 1) 2x 2 + 2x + 1= 0

30, x 3 + 9x 2 - 156x-144 = 20 (x + 2) 5x + 4

25, 17 5 - x + 6x 4 - 2x = 14 4 - 2x + 3x 5 - x

(

x+ 2- 2

)

2

20