skkn “ một số bài toán liên quan đến cực trị của hàm số bậc ba

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THỪA THIÊN HUẾ
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VINH XUÂN
------------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
ĐẾN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC BA
f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 )”

l
Lĩnh vực/môn: Toán học
Họ và tên tác giả: ĐỖ VĂN SƠN
Giáo viên môn: Toán

Vinh Xuân, tháng 3 năm 2015
trang 1


MỤC LỤC
Trang
Phần A -

ĐẶT VẤN ĐỀ…………………………........……......……..........2

1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu đề tài
3. Phạm vi nghiên cứu đề tài
4. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
5. Phương pháp nghiên cứu đề tài
Phần B -

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ ...…….….……………..........……..…..3

1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT..……… …………………….........…………............ 3
2. “MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC
BA y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d , (a ≠ 0) ”.........................................4
3. BÀI TẬP………………………………………...…..........…......…….. .......14
Phần C -

KẾT LUẬN ……………………………………………………....15

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………..16
− − − − − —– − − − − −

trang 2


PHẦN A . ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Nhắc đến cực trị của hàm số là nói đến những ứng dụng của nó trong
chương trình toán phổ thông và ở lớp 12 nói riêng, khi biết được cực trị của đồ
thị hàm số, do đó đề tài “Một số bài toán liên quan đến cực trị của hàm số bậc
ba ” đề cập đến vị trí hai giá trị cực trị của hàm bậc ba nằm phía trên trục
hoành , dưới trục hoành hay ở hai phía đối với trục hoành để suy ra được số
giao điểm của đồ thị hàm bậc ba cắt trục hoành tại một, hai hay ba giao điểm.
Còn biết được các điểm cực trị của hàm số nằm bên trái, bên phải hoặc hai
phía đối với trục tung thì ta suy ra được hoành độ các điểm cực trị đều âm, đều
dương hay trái dấu nhau….
Mặt khác còn giúp cho chúng ta vẽ đồ thị của hàm bậc ba dễ dàng nếu biết
hai cực trị của nó.

2. Mục đích nghiên cứu đề tài
Đề tài “ Một số bài toán liên quan đến cực trị của hàm số bậc ba”
nhằm giúp học sinh hệ thống lại các mối quan hệ giữa cực trị của đồ thị hàm
số bậc ba và sự tương giao của nó với trục hoành, cũng như giúp cho học sinh
khối 12 giải quyết một số bài toán tìm tham số để đồ thị hàm số có các hoành
độ cực trị đều dương, đều âm hay lớn hơn hoặc nhỏ hơn một số α cho trước.
3. Phạm vi nghiên cứu đề tài
- Chương trình toán trung học phổ thông
4. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
Chuyên đề “ Một số bài toán liên quan đến cực trị của hàm số bậc ba”, cung
cấp cho học sinh về phương pháp tổng quát, kỹ năng và hệ thống các bài tập về
cực trị của hàm số bậc ba, để chuẩn bị cho học sinh khối 12 khi gặp bài toán
này giải một cách dễ dàng hơn.
5. Phương pháp nghiên cứu đề tài
Đề tài được nghiên cứu bằng phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết.

trang 3


PHẦN B .

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Xét hàm số y = f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d , (a ≠ 0) trên R
Ta có y ' = 3ax 2 + 2bx + c
b 
2
b2  
bc 

1
y
Thực hiện phép chia cho y ' ta được y =  x + ÷ y '+  c − ÷x +  d −
÷
9a 
3
3a  
9a 
3

Hàm số y = f ( x ) có cực đại và cực tiểu ⇔ 3ax 2 + 2bx + c = 0 (1) có hai nghiệm
a ≠ 0
a ≠ 0
⇔ 2
phân biệt ⇔ 
(*)
 ∆ ' > 0  b − 3ac > 0
Với điều kiện (*) thì hàm số có hai cực trị x1 , x2 là nghiệm của phương trình (1)
Theo định lý Vi ét x1 + x2 = −

2b
c
, x1x2 =
3a
3a

Gọi A( x1 ; y1 ); B( x2 ; y2 ) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x)
Vì y '( x1 ) = y '( x2 ) = 0 suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A, B là:
2
b2 

bc 

d : y =  c − ÷x +  d − ÷
3
3a 
9a 


2
b2 
k =  c − ÷
3
3a 

hay d : y = kx + q với 
 q =  d − bc 

÷

9a 


Tích giá trị cực đại và cực tiểu là
y1. y2 = ( kx1 + q ) ( kx2 + q ) = k 2 x1 x2 + kq ( x1 + x2 ) + q 2

⇒

y1. y2 =

k 2c 2bqk

−
+ q2
3a
3a

và tổng y1 + y2 = kx1 + q + kx2 + q = k ( x1 + x2 ) + 2q = −
Vậy y1 + y2 = −

2bk
+ 2q
3a

2bk
+ 2q
3a

trang 4


2. “ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC
BA y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d , (a ≠ 0) ”
Bài toán 1: Đồ thị hàm số y = f ( x ) có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với


2
b2 
b − 3ac > 0
k =  c − ÷
3
3a 

∆ ' > 0
 2

⇔  k c 2bqk
trục hoành khi và chỉ khi 
với

−
+ q2 < 0
 y1. y2 < 0
 q =  d − bc 

3a
 3a

÷

9a 

2

Hoặc phương trình hoành độ f ( x) = 0 có ba nghiệm phân biệt
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m − 2 có đồ thị (Cm) . Tìm m để đồ thị
(Cm) của hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.

Giải: Theo bài toán 1, để (Cm) có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục

b 2 − 3ac > 0
∆
'

>
0


⇔  k 2c 2bqk
hoành ⇔ 
(1)
2
y
.
y
<
0
−
+
q
<
0
 1 2

3a
 3a
ta có k =

2
2
4
2
( m − 3) , q = ( m − 3) ⇒ kq = ( m − 3) thay vào (1) ta được
3

9
3

9 − 3m > 0
m < 3


⇔
⇔m<3
4
4
24
4
2
2
3
2
m
−
3
m
−
m
−
3
+
(
m
−
3)

<
0
m
−
3
<
0
(
)
(
)
(
)
 27
 27
27
9

Vậy m < 3 thì đồ thị (Cm) có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục
hoành.
Cách khác: Hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành là nghiệm phương trình
2
x 3 + 3 x 2 + mx + m − 2 = 0 ⇔ ( x + 1)( x + 2 x + m − 2) = 0

 x = −1
⇔ 2
 x + 2x + m − 2 = 0

Để (Cm) có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành
⇔ g ( x ) = x 2 + 2 x + m − 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác −1 .

trang 5


∆ ' > 0
3 − m > 0
⇔
⇔
⇔m<3
 g (−1) ≠ 0
m − 3 ≠ 0

Vậy m < 3 thì đồ thị (Cm) có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục hoành.
Bài toán 2: Đồ thị hàm số y = f ( x ) có cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía
∆ ' > 0
đối với trục hoành khi và chỉ khi 
 y1. y2 > 0

2
b2 
b − 3ac > 0
k =  c − ÷
3
3a 
 2

⇔  k c 2bqk
với

−
+ q2 > 0


 q =  d − bc 
3a
 3a

÷

9a 

2

Ví dụ 2: Cho hàm số y = 2 x 3 − 6 x 2 + mx có đồ thị (Cm) . Tìm m để đồ thị (Cm)
của hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục hoành.
Giải: Theo bài toán 2, để đồ thị (Cm) có cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía
b 2 − 3ac > 0
∆ ' > 0

⇔  k 2 c 2bqk
đối với trục hoành ⇔ 
(2)
−
+ q2 > 0
 y1. y2 > 0

3a
 3a

ta có k =

2

m
2
( m − 6 ) , q = ⇒ kq = m ( m − 6 ) thay vào (2) ta được
3
9
3

m < 6
m < 6
36 − 6m > 0

9
9



2
⇔
⇔
⇔ 2
 22
m >

12
m
2
2
2
 27 ( m − 6 ) .m + 27 m(m − 6) + 9 > 0  m  3 m − 3 ÷ > 0 


 
(m ≠ 0)

Vậy

9
< m < 6 thì đồ thị (Cm) có cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với
2

trục hoành.
Đặc biệt: Đồ thị (Cm) có một cực trị nằm trên trục hoành

trang 6


m < 6
m < 6
m = 0

∆ ' > 0

m = 0
⇔
⇔  22
⇔

9



y
.
y
=
0
m
m
−
3
=
0
m
=
9
 1 2

÷

m =

2

 3
 
2

Vậy m =

9
hoặc m = 0 thì đồ thị (Cm) có một cực trị nằm trên trục hoành.

2

Bài toán 3: Đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị nằm phía trên trục hoành


b 2 − 3ac > 0
∆ ' > 0


 2bk
+ 2q > 0
khi và chỉ khi  y1 + y2 > 0 ⇔  −
với
3
a
 y .y > 0

 1 2
 k 2c 2bqk
2
 3a − 3a + q > 0



2
b2 
k =  c − ÷
3
3a 



 q =  d − bc 

÷

9a 


Ví dụ 3: Cho hàm số y = 2 x 3 − 6 x 2 + mx có đồ thị (Cm) . Tìm m để đồ thị (Cm)
của hàm số có hai điểm cực trị nằm phía trên trục hoành .
Giải: Theo bài toán 3, để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm phía trên trục hoành

b 2 − 3ac > 0
∆ ' > 0


 2bk
+ 2q > 0
(3)
 y1 + y2 > 0 ⇔  −
3
a
 y .y > 0

 1 2
 k 2c 2bqk
2
 3a − 3a + q > 0


ta có k =

2
m
2
( m − 6 ) , q = ⇒ kq = m ( m − 6 ) thay vào (3) ta được
3
3
9




36 − 6m > 0
m < 6
m < 6


2
9
4

⇔  2(m − 4) > 0
⇔ m > 4 ⇔ < m < 6
 (m − 6) + m > 0
3
2
3



9

2
2 2
2
m  m − 3 ÷ > 0 m >
12
m
2
m
−
6
.
m
+
m
(
m
−
6)
+
>
0
(
)

2
 27

  3

27
9

trang 7


Vậy

9
< m < 6 thì đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm phía trên của trục hoành .
2

trang 8


Bài toán 4: Đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị nằm phía dưới trục hoành


b 2 − 3ac > 0

2
b2 
∆ ' > 0

k =  c − ÷
3
3a 

 2bk


+ 2q < 0
khi và chỉ khi  y1 + y2 < 0 ⇔ −
với 
 y .y > 0
 3a
q =  d − bc 
 1 2

÷
 k 2c 2bqk

2
9a 

−
+
q
>
0
 3a
3a

Ví dụ 4: Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + (m − 6) x + m − 10 có đồ thị (Cm) . Tìm m để đồ
thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm phía dưới trục hoành.
Giải: Theo bài toán 4, để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm phía dưới trục


b 2 − 3ac > 0
∆ ' > 0



 2bk
+ 2q < 0
hoành là  y1 + y2 < 0 ⇔  −
(4)
3
a
 y .y > 0

 1 2
 k 2 c 2bqk
2
 3a − 3a + q > 0

ta có k =

2
4
8
2
( m − 9 ) , q = (m − 9) ⇒ kq = ( m − 9 ) thay vào (4) ta được
3
9
3



b 2 − 3ac > 0
9 − 3( m − 6) > 0



8
 2bk
4
+ 2q < 0
⇔  (m − 9) + ( m − 9) < 0
−
3
 3a
3
2
16
16
 k c 2bqk
4
2
2
2
2
 3a − 3a + q > 0
 27 (m − 9) (m − 6) + 9 (m − 9) + 9 ( m − 9) > 0


trang 9




9 − 3(m − 6) > 0
9 − m > 0



8
4
⇔  (m − 9) + (m − 9) < 0
⇔ 4(m − 9) < 0
3
3
4
2
16
16
4
 ( m − 9 ) ( m + 18 ) > 0
2
2
2
 27
 27 (m − 9) (m − 6) + 9 (m − 9) + 9 (m − 9) > 0
m < 9
m < 9

⇔ m − 9 < 0 ⇔ 
⇔ −18 < m < 9
m
>
−
18

m + 18 > 0



Vậy −18 < m < 9 thì đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm phía dưới trục hoành.
Bài toán 5: Hàm số y = f ( x) có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục
tung khi và chỉ khi y ' = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 trái dấu

⇔ x1.x2 <0 ⇔

c
< 0 ⇔ ac < 0
3a

Ví dụ 5: Cho hàm số y = − x 3 + (2m + 1) x 2 − (m 2 − 3m + 2) x − 4 có đồ thị (Cm) .
Tìm m để đồ thị (Cm) có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục tung.
Giải: Theo bài toán 5, để đồ thị (Cm) có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối
với trục tung là : ac < 0 ⇔ m 2 − 3m + 2 < 0 ⇔1 < m < 2 .
Vậy 1 < m < 2 thì đồ thị (Cm) có hai cực trị trái dấu.
Bài toán 6: Hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị nằm về cùng một phía đối với trục
tung khi và chỉ khi y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cùng dấu
∆' > 0
⇔
x1.x2 >0

b 2 − 3ac > 0
b 2 − 3ac > 0

⇔ c
⇔
ac > 0
3a > 0



1 3
2
Ví dụ 6: Cho hàm số y = x − mx + (2m − 1) x − 3 có đồ thị (Cm) . Tìm m để đồ thị
3
(Cm) có cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.
trang 10


Giải: Theo bài toán 6, để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm về cùng một phía
đối với trục tung là
( m − 1) 2 > 0
 m 2 − (2m − 1) > 0
m ≠ 1
2
b − 3ac > 0
 m − 2m + 1 > 0



⇔ 1
⇔
⇔
⇔

1
1
ac
>

0
2
m
−
1
>
0
(2
m
−
1)
>
0


 3
m >
m > 2

2
2

1
Vậy m > và m ≠ 1 thì đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm về cùng một phía của
2

trục tung.
Bài toán 7: Hàm số y = f ( x) có hai điểm cực trị có hoành độ đều dương ( nằm
phía bên phải của trục tung ) khi và chỉ khi y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2


b 2 − 3ac > 0
∆
'
>
0
b 2 − 3ac > 0



 2b

>0
⇔ ab < 0
đều dương ⇔ x1 + x2 > 0 ⇔ −
x .x >0
 3a
ac > 0
 1 2

c
>
0

3a

Ví dụ 7: Cho hàm số y = (m + 2) x 3 + 3x 2 + mx − 5 , (m ≠ −2) có đồ thị (Cm) . Tìm
m để đồ thị (Cm) của hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ đều dương.
Giải: Theo bài toán 7, để đồ thị (Cm) có hai cực trị có hoành độ đều dương là
b 2 − 3ac > 0

−m 2 − 2m + 3 > 0
9 − 3m( m + 2) > 0



⇔ 3(m + 2) < 0
⇔ m + 2 < 0
ab < 0
ac > 0
m(m + 2) > 0
m < 0



−3 < m < 1

⇔ m < −2 ⇔ −3 < m < −2
m < 0


Vậy −3 < m < −2 thì đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị có hoành độ đều dương.

trang 11


Bài toán 8: Hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị có hoành độ đều âm ( nằm phía
bên trái của trục tung ) khi và chỉ khi y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 đều
âm



b 2 − 3ac > 0
b 2 − 3ac > 0
∆ ' > 0


 2b

⇔ x1 + x2 < 0 ⇔ −
<0
⇔ ab > 0
x .x >0
 3a
ac > 0
 1 2

c
>
0

3a
Ví dụ 8: Cho hàm số y = x 3 + (1 − 2m) x 2 + (2 − m) x + m + 2 có đồ thị (Cm) . Tìm m
để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị có hoành độ đều âm.
Giải: Theo bài toán 8, để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị có hoành độ đều âm là
4m 2 − m − 5 > 0
b 2 − 3ac > 0
(1 − 2m) 2 − 3(2 − m) > 0

1




⇔ 1 − 2m > 0
⇔ m <
ab > 0
2
ac > 0
2 − m > 0




m < 2

  m < −1

m > 5
⇔ 
4 ⇔ m < −1

m < 1

2

Vậy m < −1 thì đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị có hoành độ đều âm.
Bài toán 9: Hàm số y = f ( x) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1 và x2 sao
cho x1 < α < x2 khi và chỉ khi y ' = 0 có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn x1 < α < x2
∆' > 0
⇔
( x1 −α)( x2 −α) < 0

∆' > 0
⇔
2
x1 x2 −α( x1 + x2 ) + α < 0

b 2 − 3ac > 0

⇔ 1
2
 3a ( 3aα + 2bα + c ) < 0

trang 12


1 3
2
Ví dụ 9: Cho hàm số y = x + ( m − 2) x + (5m + 4) x + 3m + 1 có đồ thị (Cm) . Tìm
3

m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1 và x2 sao cho

x1 < 2 < x2
Giải: Theo bài toán 9 với α = 2 , để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị lần lượt có
hoành độ x1 và x2 sao cho x1 < 2 < x2 là
b 2 − 3ac > 0
(m − 2) 2 − 5m + 4 > 0

⇔
1
12

a
+
4
b
+
c
<
0
(
)
 4 + 4( m − 2) + 5m + 4 < 0
 3a
(m − 2) 2 − 5m + 4 > 0
m 2 − 9m + 8 > 0
⇔
⇔
4 + 4(m − 2) + 5m + 4 < 0
9m < 0
m < 1

⇔   m > 8 ⇔ m < 0
m < 0


Vậy m < 0 thì đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị thỏa mãn bài toán.
Bài toán 10: Hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1 và x2
sao cho x1 < x2 < α khi và chỉ khi y ' = 0 có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn
x1 < x2 < α
∆' > 0
∆' > 0



⇔ ( x1 −α) + ( x2 −α) < 0 ⇔ x1 + x2 − 2α < 0
( x −α)( x −α) > 0
x x − α ( x + x ) + α 2 > 0
 1
2
 1 2
1
2


b 2 − 3ac > 0

 2b
⇔ − − 2α < 0
 3a
1
2
 3a ( 3aα + 2bα + c ) > 0

trang 13


Ví dụ 10: Cho hàm số y =

m 3
x + (m − 2) x 2 + (m − 1) x + 2 , (m ≠ 0) có đồ thị (Cm) .
3

Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1 và x2 sao cho

x1 < x2 < 1
Giải: Theo bài toán 10 với α = 1 , để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị lần lượt có

hoành độ x1 và x2 sao cho x1 < x2 < 1 là


b 2 − 3ac > 0

 2b
−2 < 0
−
3
a

1
( 3a + 2b + c ) > 0

3a


4



m
<
−3m + 4 > 0
(m − 2) 2 − m(m − 1) > 0

3

m < 0


 −4m + 4
  m < 0
 2( m − 2)
⇔
< 0 ⇔ 
⇔ 5
⇔ −
−2<0
4
 m
 m
m > 1

3
4
 4m − 5
m < 0
1
 m > 0

 m ( m + 2m − 4 + m − 1) > 0
  m > 5 / 4

Vậy m < 0 hoặc

5
4
< m < thì đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị thỏa mãn bài toán.
4
3

Bài toán 11: Hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1 và x2
sao cho α < x1 < x2 khi và chỉ khi y ' = 0 có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn
α < x1 < x2
∆' > 0
∆' > 0


⇔ ( x1 −α) + ( x2 −α) > 0 ⇔ x1 + x2 − 2α > 0
( x −α)( x −α) > 0
x x −α( x + x ) +α 2 > 0
 1
2
 1 2
1
2

trang 14



b 2 − 3ac > 0

 2b

⇔ − − 2α > 0
 3a
1
2
 3a ( 3aα + 2bα + c ) > 0
1 3
2
2
Ví dụ 11: Cho hàm số y = x − mx + (m − m + 1) x + 1 có đồ thị (Cm) . Tìm m để
3

đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1 và x2 sao cho 1 < x1 < x2
Giải: Theo bài toán 11 với α = 1 , để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị lần lượt có
hoành độ x1 và x2 sao cho 1 < x1 < x2 là

b 2 − 3ac > 0
m 2 − (m 2 − m +1) > 0


 2b
−2 > 0
⇔ 2m − 2 > 0
−
 3a

2
( 1 − 2m + m − m +1) > 0
1
( 3a + 2b + c ) > 0


3a

m > 1
m − 1 > 0


⇔ m > 1
⇔ m < 1 ⇔ m > 2
m 2 − 3m + 2 > 0
m > 2



Vậy m > 2 thì đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị thỏa mãn bài toán.
− − − − − —– − − − − −

trang 15


3. BÀI TẬP
1 3
2
2
1. Cho hàm số y = x + (m − 2) x + (5m + 4) x + m + 1 có đồ thị (Cm) . Tìm m
3

để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1 và x2 sao cho
x1 < −1 < x2
1 3
2

2
2. Cho hàm số y = x + (m + 3) x + 4(m + 3) x + m − m có đồ thị (Cm) . Tìm
3

m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1 và x2 sao cho
−1 < x1 < x2
1 3 1 2
2
3. Cho hàm số y = x − mx + (m − 3) x có đồ thị (Cm) . Tìm m để đồ thị
3
2
(Cm) có hai điểm cực trị có hoành độ đều dương.

4. Cho hàm số y = x 3 + (1 − 2m) x 2 + (2 − m) x + m + 2 , ( m ≠ 0) có đồ thị (Cm) .
Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1 và x2 sao
cho x1 < x2 < 1
5. Cho hàm số y = 4 x 3 + mx 2 − 3x có đồ thị (Cm) . Tìm m để đồ thị (Cm) có
cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục hoành.
6. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 − mx + 2 có đồ thị (Cm) . Tìm m để đồ thị (Cm) có
cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục hoành.
7. Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 + m có đồ thị (Cm) . Tìm m để đồ thị (Cm) có hai
điểm cực trị nằm phía trên trục hoành .

trang 16


PHẦN C. KẾT LUẬN
Qua đề tài “Một số bài toán liên quan đến cực trị của hàm số bậc ba”. Nhằm
hệ thống lại và khắc sâu một số dạng toán tìm tham số để hàm bậc ba có hai cực trị
lần lượt có hoành độ âm, dương và so sánh hai hoành độ của điểm cực trị với một

số α nào đó. Hoặc tìm tham số để hàm bậc ba có các giá trị cực trị đều dương,
đều âm hay trái dấu .
Làm cơ sở cho học sinh trung học phổ thông có mối liên hệ giữa các kiến
thức trong chương trình phổ thông và vận dụng vào giải bài toán liên quan đến
cực trị trong kỳ quốc gia sắp tới.
Đây cũng là tài liệu nhằm giúp cho học sinh khối 12 chuẩn bị một phần kiến
thức về cực trị của hàm số bậc ba.
Trong khi viết chuyên đề này, tôi chân thành cám ơn quý thầy cô giáo trong tổ
đã đóng góp nhiều ý kiến giúp đỡ để chuyên đề được hoàn thành. Rất mong quý
thầy cô trong tổ và đồng nghiệp có nhiều ý kiến hơn nữa, để chuyên đề lần sau tôi
viết tốt hơn.
Chân thành cám ơn!
Vinh Xuân, ngày 20 tháng 03 năm 2015
Người thực hiện

Đỗ Văn Sơn

trang 17


DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đại số 10 Nâng cao, Nhà xuất bản Giáo Dục 2006
2. Giải tích 12 Nâng cao, Nhà xuất bản Giáo Dục 2008
3. Giải tích 12, Nhà xuất bản Giáo Dục 2008
4. Nguyễn Phú Khánh, “ Khảo sát hàm số và ứng dụng đạo hàm”, Nhà
xuất bản Đại học Sư phạm, 2013.
5. www. Violet.vn
6. www.moet.edu.vn

trang 18

NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI
CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
NHẬN XÉT:……………………………

Vinh Xuân, ngày 20 tháng 3 năm 2015
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………
…………………………………………

Đỗ Văn Sơn

ĐIỂM:…………………………………..
XẾP LOẠI: …………………………….
TỔ TRƯỞNG

NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI
CỦA HỘI ĐỒNG KH-SK CỦA ĐƠN VỊ

NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA
HỘI ĐỒNG KH-SK NGÀNH GD&ĐT

NHẬN XÉT:……………………………

NHẬN XÉT:………………………………

…………………………………………

……………………………………………

…………………………………………

……………………………………………

…………………………………………

……………………………………………

…………………………………………

……………………………………………

ĐIỂM:…………………………………..

ĐIỂM:…………………………………..

XẾP LOẠI: …………………………….

XẾP LOẠI: …………………………….

CHỦ TỊCH HĐ KH-SK CỦA ĐƠN VỊ

CHỦ TỊCH HĐ KH-SK NGÀNH GD&ĐT

trang 19


trang 20