DA HSG TINH NGHE AN 12 TRON GOI

Sở Gd&Đt Nghệ an
Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12
Năm học 2008 - 2009
hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức
(Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang)
Môn: toán 12 THPT - bảng A
----------------------------------------------
Câu Nội dung Điểm
1 3.0
Phơng trình đã cho tơng đơng
2
3 4
4
4
cos x
cos x m
+
+ =

2
4 4 4 4 3cos x cos x m+ =
(1)
0.50
Đặt t = cos4x ta đợc:
2
4 4 3t t m+ =
, (2)
Với
;
4 4
x

thì
[ ]
1;1 .t
0.50
Phơng trình (1) có 4 nghiệm phân biệt
;
4 4
x





khi và chỉ khi phơng trình (2) có 2
nghiệm phân biệt t[-1; 1), (3)
0.50
Xét g(t) =
2
4t t+
với
[ 1;1)t
, g(t) = 8t+1.
g(t) = 0 t =
1
8

0.50
Bảng biến thiên
0.50
Dựa vào bảng biến thiên suy ra (3) xảy ra
1
4 3 3
16
m <

47 3
64 2
m<

Vậy giá trị m cần tìm là:
47 3
64 2
m<
.
0.50
2 3,0
Đặt
t x=
từ (1) và điều kiện suy ra 3 4t
Khi đó 4y t= y = t
2
8t +16.
0.50
Khi đó bất phơng trình (2) trở thành

2 2
7 8 23 ,t t t a+ + +
(3)
Đặt
2 2
( ) 7 8 23f t t t t= + + +
.
0.50
Ycbt bất phơng trình (3) có nghiệm t [3;4]
[3;4]
min ( )f t a
( )
2 2
4
'
7 8 23
t t
f t
t t t

= +
+ +
0,50
Trang 1/ 17 - 12 THPT - Bảng A
3
g(t) 0 +
t 1
g(t)
5
1

16

( ) ( )
2 2
' 0 8 23. 4 7f t t t t t t= + = +
( ) ( )
( )
2 2
2 2
4 7 . 4 7 2,.t t t t t

+ = + =

0,50
Ta có
( ) ( )
3 4 8; 4 23 7f f= + = +
0,50
Từ đó suy ra
[3;4]
min ( ) (3) 4 8f t f= = +
. Vậy a
4 8+
0.50
3 3.0
( )
0
( ) (0)
' 0 lim
x

f x f
f
x


=
0.5
( )
2 23
2
0 0
2
2 2 23
3
1 sin 1 sin
lim lim
1 sin 1 sin 1
x x
x x x x
x
x x x x x

+
= =

+ + + +


0.5

( )
2
0
2 23
3
sin 1
limsin . .
1 sin 1 sin 1
x
x
x
x
x x x x

=
+ + + +
0.5
0.
=
0.5
Mặt khác với
0x

, ta có
( )
( )
( ) ( )
2
2
2 23

3
sin
0 0 .
1 sin 1 sin 1
x
f x f x f
x x x x
= =
+ + + +
0.5
Vì
( )f x
liên tục trên R nên từ đó suy ra
( )
f x
đạt cực tiểu tại
0.x
=
0.5
4 3,0
Đặt
( )
, , ; , , 0; .x a y b z c x y z= = = +
Khi đó:
2 2 2
.
3 3 3
yz zx xy
P
x yz y zx z xy

= + +
+ + +
0.50
Ta có
2 2 2
3 3 3
3
3 3 3
yz zx xy
P
x yz y zx z xy
= + +
+ + +
2 2 2
2 2 2
3 3
3 3 3
x y z
Q
x yz y zx z xy

= + + =
ữ
+ + +

0.50
áp dụng bđt BCS ta đợc
( )
2
2 2 2

2 2 2
2 2 2
3 3 3
3 3 3
. 3 3 3
x y z
x yz y zx z xy
x yz y zx z xy
Q x y z xy yz zx

ữ
+ + + + +
ữ
+ + +

+ + + + +
0.50
( )
( )
2
2
x y z
Q
x y z xy yz zx
+ +

+ + + + +
. Mặt khác
( )
2

3
x y z
xy yz zx
+ +
+ +
0.50
Suy ra
3
4
Q
, do đó
9 3
3 .
4 4
P P
0.50
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
.a b c
= =
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng
3
.
4
0.50
5 3.0
Ta có với 0x ,
( ) ( )
0
1 , 1
n

n
k n k
n
k
x C x

=
+ =

0.5
Đạo hàm hai vế của (1) ta đợc
( )
1
1
1
0
1 ( )
n
n
k n k
n
k
n x n k C x



=
+ =

0.5

Trang 2/ 17 - 12 THPT - Bảng A
Suy ra
( ) ( ) ( )
1
1
0
1 , 2 .
n
n
k n k
n
k
nx x n k C x
−
−
−
=
+ = −
∑
1,0
§¹o hµm hai vÕ cña (2) ta ®îc
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 2 2
1
0
1 1 1 . , 3 .
n
n n
k n k

n
k
n x n x n k C x
−
− −
− −
=
 
+ + − + = −
 
∑
0.5
Thay 1x = vµo (3) ta ®îc ®pcm 0.5
6 3.0
Gäi K vµ I lÇn lît lµ giao ®iÓm cña MN víi CD vµ BC, ta cã CK =
3
2
CD, CI =
3
2
CB
0.25
d(P,(ABC)) =