skkn một số CÁCH GIẢI tìm GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của một BIỂU THỨC đại số

Trường THPT Vinh Xuân

Tổ Toán - Tin

MỘT SỐ CÁCH GIẢI
TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
Lý Thuyết: Giả sử A là một biểu thức đại số ( một biến hoặc nhiều biến).
Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của A nếu :
i ) A ≥ m với mọi giá trị của biến thuộc tập xác định của A .
ii ) Tồn tại một giá trị của biến để A nhận giá trị m .
Kí hiệu: MinA = m .
Bài 1:(Trích bài tập 12 chủ đề tự chọn nâng cao SGV lớp10).
Cho các số dương x, y , z thảo mãn xyz = 1
3

1 + x + y3
1 + y3 + z3
1 + z 3 + x3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S =
+
+
xy
yz
zx
Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức cauchy cho ba số không âm.
a+b+c 3
≥ a.b.c
3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Với a, b, c không âm ta có

(I)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương 1, x 3 , y 3 .
ta có: 1 + x 3 + y 3 ≥ 3. 3 x3 y 3 = 3 xy .
1 + x3 + y 3
3 xy
⇔
≥
=
xy
xy
Tương tự:

1 + y3 + z3
3 yz
≥
=
yz
yz
1 + z 3 + x3
3 xz
≥
=
xz
xz

Do đó: S =

3

xy

(1)

3
yz

(2)

3
xz

(3)

 1
1 + x3 + y 3
1 + y3 + z3
1 + z 3 + x3
1
1 
+
+
≥ 3
+
+
÷
 xy
xy
yz
xz

yz
xz ÷


1
≥ 3 3. 3
= 3 3 (4) vì xyz = 1 .
2 2 2
x y z

Vậy MinS = 3 3 đạt được khi và chỉ khi (1), (2), (3) và (4) xảy ra dấu bằng.
⇔ x = y = z = 1.
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức vectơ.
v v uu
v v v uv
r
v v uu
Với ba vectơ u , v, w ta có: u + v + w ≥ u + v + w
v v uu
v
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u , v, w cùng hướng.

(II)

Ta có:
S=

1 + x3 + y 3
1 + y3 + z3
1 + z 3 + x3

+
+
xy
yz
xz

Chuyên đề:“Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức” - Giáo viên thực hiện : Đỗ Văn Sơn

-1-


Trường THPT Vinh Xuân

=

Tổ Toán - Tin

1
x
y
+ 2+ 2 +
2
x y
y
x
2

1
y
z

1
z
x
+ 2+ 2 + 2 2+ 2+ 2
y z
z
y
x z
x
z
2 2

v  1
x y v  1
;
;v =  ;
Chọn ba vectơ: u =  ;
÷
÷
 yz
xy
y
x



v v v  1
y
1 1
x

+
+
Suy ra u + v + u =  + + ;
xy
yz
zy
y
z

Áp dụng bất đẳng thức (II) ta được:
1
x
y
1
y
z
S=
+ 2+ 2 +
+ 2+ 2 +
2 2
2 2
x y
y
x
y z
z
y

v  1
y z  uu

z x
;
; w =  ;
;
÷
÷
z
y ÷
xz
x
z ÷



y
z
z
x
;
+
+
÷
x x
y
z ÷

1
z
x
+ 2+ 2

2
z y
x
z
2

2

2

2

y
 1
1 1  x
z  y
z
x
(1)
≥  + + ÷ +
+
+
+
+
+
÷
÷
 x
÷
z

x ÷
y
z
 xy yz zx   y
 

2

2

2
 
xyz  
xyz 
3
3

÷

÷ = 9 + 9 + 9 = 3 3 (2) vì xyz = 1 .
+
3.
+
3.
÷
÷ 
÷

÷
xyz

xyz
 
 

Vậy MinS = 3 3 đạt được khi và chỉ khi (1) và (2) đồng thời xảy ra dấu bằng.
r r uu
r
x = y = z
u = v = w
⇔
⇔
⇔ x = y = z = 1.
 xyz = 1
 xyz = 1


1
≥  3. 3 2 2 2
x y z


Bài 2: Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn: xy + yz + zx = xyz.
P=

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 x2 + y 2
2 y2 + z2
2 z 2 + x2
+

+
xy
yz
zx

Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức vectơ.
Ta có: P =

2 x2 + y 2
2 y2 + z2
2 z 2 + x2
+
+
=
xy
yz
zx

2 1
2 1
2 1
+ 2 + 2+ 2 + 2+ 2
2
y
x
z
y
x
z

v  2 1  v  2 1  uu
v  2 1
; ÷
,
v
=
;
,
w
Chọn ba vectơ : u = 

÷
÷
 z y ÷ =  x ; z ÷
÷
y
x






v v v  2
2
2 1 1 1
+
+
; + + ÷
Suy ra u + v + u = 

y
z
x
x y z÷


Áp dụng bất đẳng thức (II) ta được:
2 x2 + y 2
2 y2 + z2
2z 2 + x2
P=
+
+
=
xy
yz
zx
2

2

2
1
2 1
2 1
+ 2 + 2+ 2 + 2+ 2
2
y
x
z

y
x
z
2

 2
1 1 1
 yz + zx + xy 
2
2  1 1 1
≥ 
+
+
+  + + ÷ = 3  + + ÷ = 3. 
÷
÷= 3
÷
z
x  x y z
xyz
x y z


 y
vì xy + yz + zx = xyz.
r
r uu
r
u = kv = l w
(k > 0, l > 0)

Vậy MinP = 3 đạt được khi và chỉ khi 
 xy + yz + zx = xyz
Chuyên đề:“Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức” - Giáo viên thực hiện : Đỗ Văn Sơn

-2-


Trường THPT Vinh Xuân

Tổ Toán - Tin

 1 k l 1+ k + l
y = z = x = x+ y+z

1 1 1
1 k l 1+ k + l
 = =
⇔ = = =
⇔ x y z
⇔ x= y= z=3
x y z x+ y + z
 xy + yz + zx = xyz

 xy + yz + zx = xyz


Cách2: Sử dụng bất đẳng thức được suy ra từ bất đẳng thức đã biết.
Với ba số dương a, b, c ta có: 2
a + b 2 ≥ 2ab, b 2 + c 2 ≥ 2bc, c 2 + a 2 ≥ 2ca
2

2
2
2
2
2
Suy ra 3 ( a + b + c ) ≥ ( a + b + c ) + 2ab + 2bc + 2ca

1
2
( a + b + c)
3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
⇔ a 2 + b2 + c 2 ≥

(III)

với x >, y > 0 .Áp dụng bất đẳng thức (III) .
2

2

2

2

2

2
1  1   1   1  1 1 1 1  1 2 1 
ta có 2 + 2 =  ÷ +  ÷  ÷ ≥  + + ÷ =  + ÷

y
x  y   y   x  3 y y x  3 y x 
2
1
32 1
⇔
+ 2 ≥
 + ÷ (1)
2
y
x
3  y x
Tương tự:

2 1
32 1
+ 2 ≥
 + ÷ (2)
2
z
y
3 z y
2 1
32 1
+ 2 ≥
 + ÷ (3)
2
x
z
3 x z

Cộng vế theo vế ta được:
 xz + yz + xy 
2
1
2 1
2 1
3 3 3 3
P=
+ 2 + 2+ 2 + 2+ 2 ≥
 + + ÷ = 3. 
÷ = 3 (4)
2
y
x
z
y
x
z
3 y x z
xyz


Vậy MinP = 3 đạt được khi và chỉ khi (1),(2),(3) và (4) đồng thời xảy ra dấu bằng.
1 1 1
 = =
⇔ x y z
⇔ x= y= z=3 .
 xy + yz + zx = xyz


Bài 3: (Trích đề thi ĐH năm 2007)
Cho x, y , z là ba số thực dương thay đổi.
x 1 
y 1  z 1 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = x  + ÷+ y  + ÷+ z  + ÷
 2 zx   2 xy 
 2 yz 
Cách1: Sử dụng đạo hàm.
x2 y 2 z 2 x
y
z x2 y2 z2 x2 + y2 + z 2
+ + + +
= +
+ +
Ta có: T = +
2
2 2 yz zx xy 2
2
2
xyz

Chuyên đề:“Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức” - Giáo viên thực hiện : Đỗ Văn Sơn

-3-


Trường THPT Vinh Xuân

Tổ Toán - Tin

x
y  x
z
 + ÷+  +
2
2   2 2
x
y
z
= +
+ +
2
2 2
xyz
2

2

2

2

2

2

2

 y
z 

÷+  + ÷
  2 2
2

2

x 2 y 2 z 2 xy + xz + yz  x 2 1   y 2 1   z 2 1 
+
+ +
=  + ÷+  + ÷+  + ÷
2
2 2
xyz
 2 x  2 y  2 z
2
t 1
Xét hàm số: f (t ) = +
với t > 0 .
2 t
( t − 1) . ( t 2 + t + 1)
Ta có f '(t ) = t − 12 =
t
t2
2
f '(t ) = 0 ⇔ t = 1 vì t + t + 1 > 0 ∀t > 0 .
T≥

Bảng biến thiên:
t
f '(t )

0

−
+∞

+∞
+

+∞

3
2

f (t )

Từ bảng biến thiên suy ra f (t ) ≥

1
0

3
∀t > 0 .
2

3 3 3 9
Do vai trò x, y , z như nhau nên ta được: T ≥ + + = .
2 2 2 2
9
Vậy MinT = đạt được ⇔ x = y = z = 1

2
Cách2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy.
2
x 1 
x y2 y z2 z
y 1  z 1  x
T = x  + ÷+ y  + ÷+ z  + ÷ = + +
+ + +
 2 zx   2 xy  2 yz 2 xz 2 xy
 2 yz 

.

 x2
y
z   y2
x
z   z2
y
x 
= +
+
+
+
÷+  +
÷+  +
÷
 2 2 xz 2 xy   2 2 yz 2 xy   2 2 xz 2 yz 

x 2 yz

y 2 xz
z 2 xy 3 3 3 9
3
3
≥ 3.
+ 3.
+ 3.
= + + = .
8 x 2 yz
8 xy 2 z
8 xyz 2 2 2 2 2
9
Vậy MinT = đạt được ⇔ x = y = z = 1
2
3

Bài 4: Cho x, y , z là ba số dương thỏa mãn x + y + z = 2 .
1
1
1
+
+
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
x + 2 y + z y + 2z + x z + 2x + y
Cách1: Sử dụng bất đẳng thức được suy ra từ bất đẳng thức đã biết.
1 1 1
Với ba số dương a, b, c ta chứng minh được. ( a + b + c )  + + ÷ ≥ 9
a b c
Chuyên đề:“Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức” - Giáo viên thực hiện : Đỗ Văn Sơn

-4-


Trường THPT Vinh Xuân

Tổ Toán - Tin

1 1 1
9
+ + ≥
a b c a+b+c
(IV)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c .
Áp dụng bất đẳng thức (IV) ta được:
1
1
1
9
9
9
A=
+
+
≥
=
=
x + 2 y + z y + 2z + x z + 2x + y 4x + 4 y + 4z 4 ( x + y + z ) 8
Suy ra:

Vậy MinA =

vì x + y + z = 2

x + y + z = 2
2
9
⇔x= y=z= .
đạt được ⇔ 
3
8
 x + 2 y + z = y + 2z + x = z + 2x + y

Bài 5: Cho hai số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thỏa mãn và thỏa mãn hệ thức x 2 + y 2 = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B =

2 ( x 2 + 6 xy )

.
1 + 2 xy + 2 y 2
Cách 1: Sử dụng phương pháp tìm miền giá trị của hàm số.
2 ( x 2 + 6 xy )
2 ( x 2 + 6 xy )
Ta có: B =
vì x 2 + y 2 = 1.
=
2
2
2
1 + 2 xy + 2 y
x + 2 xy + 3 y

y
=
tx
Đặt
điều kiện t ≠ 0 .
2 ( 1 + 6t )
Khi đó: B =
⇔ B ( 1 + 2t + 3t 2 ) = 2 + 12t
2
1 + 2t + 3t
⇔ 3Bt 2 + 2 ( B − 6 ) t + B − 2 = 0
( ∗)
B = 0
B = 0


Phương trình ( ∗) có nghiệm ⇔   B ≠ 0 ⇔   B ≠ 0
 ( B − 6 ) 2 − 3B ( B − 2 ) ≥ 0
 ∆ ≥ 0
 
B = 0

⇔  B ≠ 0
⇔ −6 ≤ B ≤ 3

2
  B + 3B − 18 ≤ 0

2


3
2

t = − 3
x
=
;
y
=
−

 2
13
13
2
Vậy MinB = −6 đạt được ⇔  x + y = 1 ⇔ 
−3
2

 y = tx
x=
;y=


13
13


Cách2: Sử dụng đạo hàm.
2 ( x 2 + 6 xy )

2 ( x 2 + 6 xy )
Ta có: B =
vì x 2 + y 2 = 1.
= 2
2
2
1 + 2 xy + 2 y
x + 2 xy + 3 y
Đặt y = tx điều kiện t ≠ 0 .
2 ( 1 + 6t )
Khi đó
B=
1 + 2t + 3t 2
−36t 2 − 12t + 8
2
Suy ra B '(t ) =
( 1 + 2t + 3t 2 )
Chuyên đề:“Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức” - Giáo viên thực hiện : Đỗ Văn Sơn

-5-


Trường THPT Vinh Xuân

Tổ Toán - Tin

 1
t = 3
2
B ' ( t ) = 0 ⇔ −36t − 12t + 8 = 0 ⇔ 

t = − 2

3
Bảng biến thiên:
2
1
t
−∞
−
+∞
3
3
− 0
−
B '(t )
+
0
3
0
0
B
−6
2


t = − 3
x =
 2
2
Vậy MinB = −6 đạt được ⇔  x + y = 1 ⇔ 


 y = tx
x =




3
2
;y=−
13
13
−3
2
;y=
13
13

Bài tập1:(Trích đề ĐH năm 2008) Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi .
( x − y ) ( 1 − xy )
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
2
2 .
( 1+ x) ( 1+ y)
Bài tập2: Cho x, y thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y = 1 .
x
y
+
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =
.

y +1 x +1
Bài tập3: Cho x, y , z là ba số dương thỏa mãn x + y + z ≤ 1 .
2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x +

1
1
1
+ y2 + 2 + z2 + 2
2
x
y
z

Bài tập4: Cho x, y , z là ba số dương thỏa mãn x + y + z = 2 − 2 .
1
1
1
+
+
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =
x + 2 y + z y + 2z + x z + 2x + y
Bài tập5: Cho x, y , z là ba số thực thỏa mãn x + y + z = 0 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( MinQ = 6 )
Q = 3 + 4 x + 3 + 4 y + 3 + 4z
Kết luận:
Bài toán“tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức” là dạng toán khó trong chương trình phổ
thông.
Trên đây là một số cách giải nhằm giúp cho học sinh cuối cấp THPT có thêm một số cách giải để

chuẩn bị cho các kỳ thi ĐH&CĐ.
Rất mong sự góp ý chân tình của đồng nghiệp để chuyên đề lần sau được tốt hơn.
Xin chân thành cám ơn !
----------------------------------------------Hết-----------------------------------------------Chuyên đề:“Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức” - Giáo viên thực hiện : Đỗ Văn Sơn

-6-