các phương pháp số giải phương trình vi phân ngẫu nhiên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG

CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN
S

K

C

0

0

3

9

5

9

MÃ SỐ: T2010 - 47

S KC 0 0 3 0 0 1

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2010


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG

CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN NGẪU NHIÊN
Mã số: T2010-47

Chủ nhiệm đề tài: ThS.Hoàng Thị Minh Thảo

TP.HCM, tháng 11 năm 2010


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG

CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN NGẪU NHIÊN
Mã số: T2010-47

Chủ nhiệm đề tài: ThS.Hoàng Thị Minh Thảo
Thành viên đề tài: ThS.Hoàng Thị Minh Thảo

TP.HCM, tháng 11 năm 2010


1

Mục lục

Trang

Mục lục............................................................................................................... 1
Bảng kí hiệu ...................................................................................................... 2
Thông tin kết quả nghiên cứu ............................................................................ 3
Mở đầu .............................................................................................................. 5
Chương 1. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN....... 7
§1.1. Không gian xác suất và biến ngẫu nhiên .......................................... 7
§1.2. Quá trình ngẫu nhiên ........................................................................ 10
Chương 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN .............................. 14
§2.1. Tích phân Wiener.............................................................................. 14
§2.2. Tích phân Ito ..................................................................................... 17
§2.3. Quá trình Ito ..................................................................................... 21
§2.4. Phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito).............................................. 24
Chương 3. KHAI TRIỂN ITO-TAYLOR ......................................................... 25
§3.1. Khai triển Taylor tất định ................................................................. 25

§3.2 Khai triển Ito-Taylor của quá trình Ito ............................................. 27
Chương 4. PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN .............................. 29
§4.1. Một số khái niệm ............................................................................. 29
§4.2. Các phương pháp số tìm xấp xỉ Taylor ............................................ 31
4.2.1 Phương pháp Euler-Maruyama ............................................... 31
4.2.2 Phương pháp Milstein ............................................................ 32
4.2.3 Phương pháp Taylor mạnh bậc 1.5 ........................................ 34
§4.3. Sai số tuyệt đối ................................................................................. 38
Kết luận và kiến nghị ........................................................................................ 42
Tài liệu tham khảo ............................................................................................. 43


2

Bảng kí hiệu
∅

tập hợp rỗng

Rd

không gian Euclide d-chiều

R ≡ R1

không gian Euclide 1-chiều, tập số thực

A⊆ B

tập A chứa trong tập B

A\ B

phần bù của tập B trong tập A

a∈ A

a là phần tử của tập A

UA

phần hội các tập Ai

i

i

IA

i

phần giao các tập Ai

i

∑a

i

tổng các số hạng ai

i

∏a

tích các thừa số ai

!

phép toán giai thừa

i

i

b

∫ f ( x ) dx

tích phân Riemann

a

L2 ([0, T ])

không gian các hàm số bình phương khả tích trên [a, b]

L2 ( Ω )

không gian các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích

IA

hàm chỉ tiêu của tập A

h.c.c

hầu chắc chắn

l.i.m

giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình


3

ĐH SPKT TP HCM
Đơn vị: Khoa KHCB

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
1. Thông tin chung:
- Tên đề tài: CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
NGẪU NHIÊN
- Mã số: T2010 - 47
- Chủ nhiệm: ThS. Hoàng Thị Minh Thảo
- Cơ quan chủ trì: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh
- Thời gian thực hiện: từ tháng 12 năm 2009 đến tháng 12 năm 2010
2. Mục tiêu: Nghiên cứu các phương pháp số giải phương trình vi phân ngẫu nhiên
như phương pháp Euler, phương pháp Milstein, phương pháp Taylor mạnh bậc 1.5.

Áp dụng các phương pháp này để giải phương trình vi phân ngẫu nhiên với phần
mềm Matlab.
3. Tính mới và sáng tạo: Minh họa sự khác nhau về bậc hội tụ mạnh của các
phương pháp được nghiên cứu và tính phù hợp giữa bậc hội tụ mạnh với sự biến
thiên sai số tuyệt đối theo bước thời gian trong từng phương pháp.
4. Kết quả nghiên cứu: Phương pháp Euler, phương pháp Milstein, phương pháp
Taylor mạnh bậc 1.5 và ví dụ minh họa việc áp dụng các phương pháp này để giải
phương trình vi phân ngẫu nhiên.
5. Sản ph m: Báo cáo đề tài nghiên cứu khoa học “CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN”.
6. Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp
dụng: Sản phNm có thể dùng làm tài liệu tham khảo thích hợp cho sinh viên trường
Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM.
Ngày 01 tháng 12 năm 2010
Trưởng Đơn vị
(ký, họ và tên, đóng dấu)

Chủ nhiệm đề tài
(ký, họ và tên)

TS.Võ Thanh Tân

Hoàng Thị Minh Thảo


4

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS
1. General information:
Project title: Numerical methods for stochastic differential equation

Code number: T2010 - 47
Coordinator: Hoang Thi Minh Thao, M.S.
Implementing institution: Ho Chi Minh City University of Technical
Education
Duration: from December 2009 to December 2010
2. Objective(s): Researching numerical methods for stochastic differential equation
such as Euler method, Milstein method, order 1.5 strong Taylor method. Applying
these methods to solve stochastic differential equation with Matlab.
3. Creativeness and innovativeness: Illustrating the difference of strong
convergence order of researched methods and the correspondence between the
strong convergence order and the dependence of the absolute error on the step size.
4. Research results: Euler method, Milstein method, order 1.5 strong Taylor
method and the examples of applying these methods to solve stochastic differential
equation.
5. Products: Report of scientific research “NUMERICAL METHODS FOR
STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATION”
6. Effects, transfer alternatives of reserach results and applicability: Report of
scientific

research

“NUMERICAL

METHODS

FOR

STOCHASTIC

DIFFERENTIAL EQUATION” can be used as suitable reference for students of Ho

Chi Minh City University of Technical Education.


5

Mở đầu
1. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài ở trong và ngoài nước
Giải tích ngẫu nhiên nói chung và phương pháp số giải phương trình vi phân
ngẫu nhiên nói riêng đã và đang là lĩnh vực được các nhà nghiên cứu xác suất thống
kê ở khắp các quốc gia trên thế giới quan tâm, nhưng đáng tiếc rằng ở Việt Nam
đến nay vẫn chưa có nhiều nghiên cứu về lĩnh vực này.
Đến nay, một phần trọng yếu của vấn đề giải gần đúng phương trình vi phân
ngẫu nhiên đã được giải quyết và kết quả chính là các phương pháp số cho phép xấp
xỉ nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên.
2. Tính cấp thiết của đề tài
Phương trình vi phân ngẫu nhiên có nguồn gốc phát sinh từ mô hình toán của
các hệ thống vật lý có nhiễu bản chất và tính không ổn định. Tiếp đó, các mô hình
toán có liên quan đến phương trình vi phân ngẫu nhiên tương tự như thế trở nên phổ
dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học ứng dụng như sinh học, dịch tễ học, cơ học,
kinh tế học và tài chính, v.v… Tuy nhiên, hầu hết các phương trình vi phân ngẫu
nhiên phát sinh từ thực tế nghiên cứu của các ngành khoa học ứng dụng lại không
thể được giải một cách chính xác. Do đó, việc xây dựng phương pháp để xấp xỉ
nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên một cách hiệu quả với sự trợ giúp của
máy điện toán là rất cần thiết.
3. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài
Nghiên cứu khai triển Ito-Taylor của quá trình Ito và các phương pháp số cho
phương trình vi phân ngẫu nhiên như phương pháp Euler-Maruyama, phương pháp
Milstein, phương pháp Taylor mạnh bậc 1.5. Thực hiện các phương pháp này để
giải phương trình vi phân ngẫu nhiên với phần mềm Matlab.
4. Cách tiếp cận

Nghiên cứu cơ sở lý thuyết, các bước xây dựng khai triển Ito-Taylor, phương
pháp Euler-Maruyama, phương pháp Milstein, phương pháp Taylor mạnh bậc 1.5
qua các công trình khoa học đã được công bố trên thế giới.


6

5. Phương pháp nghiên cứu, đối tượng và phạm vi nghiên cứu, nội dung
nghiên cứu
-

Phương pháp nghiên cứu: thu thập và tổng hợp tài liệu về các phương pháp
số được nghiên cứu, áp dụng từng phương pháp số được nghiên cứu để giải
gần đúng phương trình vi phân ngẫu nhiên cụ thể, từ đó thNm định bậc hội tụ
của phương pháp qua mối liên hệ giữa sai số tuyệt đối với bước thời gian.

-

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: trong đề tài khoa học này, chúng tôi
nghiên cứu các bước xây dựng khai triển Ito-Taylor (còn gọi là khai triển
Taylor ngẫu nhiên) của quá trình ngẫu nhiên Ito và một số phương pháp số
được xây dựng trên cơ sở khai triển Ito-Taylor như phương pháp Euler,
phương pháp Milstein, phương pháp Taylor mạnh bậc 1.5, các phương pháp
số này cho phép tìm xấp xỉ Taylor của quá trình ngẫu nhiên Ito thỏa mãn
phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito.

-

Nội dung nghiên cứu: đề tài gồm 4 chương có nội dung tổng quan như sau:
Chương 1 trình bày một số khái niệm cơ bản trong lý thuyết xác suất và quá

trình ngẫu nhiên sẽ được đề cập đến nhiều lần trong nội dung các
chương tiếp theo của đề tài.
Chương 2 trình bày một số kiến thức quan trọng về tích phân ngẫu nhiên và
phương trình vi phân ngẫu nhiên làm cơ sở cho việc nghiên cứu các
phương pháp số bao gồm tích phân Wiener, tích phân Ito, quá trình
Ito, phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito) và nghiệm của nó.
Chương 3 xây dựng khai triển Ito-Taylor của quá trình Ito. Khai triển ItoTaylor được ví như chiếc chìa khóa mở cánh cửa dẫn tới các phương
pháp số xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên.
Chương 4 trình bày các phương pháp số cho phép tìm xấp xỉ rời rạc thời gian
của quá trình ngẫu nhiên Ito thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu
nhiên (Ito). Các phương pháp số này được xây dựng trên cơ sở giản
lược khai triển Ito-Taylor của quá trình ngẫu nhiên Ito, chỉ giữ lại
một số lượng thích hợp những số hạng đầu trong khai triển. Xấp xỉ
cho bởi các phương pháp số này được gọi là xấp xỉ Taylor của quá
trình Ito.


7

Chương 1. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
VÀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
§1.1. KHÔNG GIAN XÁC SUẤT VÀ BIẾN NGẪU NHIÊN

Cho tập hợp Ω ≠ ∅ , đặt P ( Ω ) là tập hợp tất cả các tập con của Ω.
Định nghĩa 1.1.1 Lớp A ⊂ P ( Ω ) được gọi là một σ-đại số nếu:

i)

Ω∈A

(1.1.1)

ii)

A ∈ A ⇒ Ac = (Ω \ A) ∈ A

(1.1.2)

iii)

An ∈ A ( n = 1, 2,...) ⇒ U An ∈ A

∞

(1.1.3)

n =1

Định nghĩa 1.1.2 Cho A là một σ-đại số các tập con của Ω, hàm tập P xác định

trên A được gọi là độ đo xác suất σ-cộng tính trên A nếu:
i)

P ( A) ≥ 0, ∀A ∈A

(1.1.4)

ii)

P (Ω) = 1

(1.1.5)

iii)

An ∈ A ( n = 1, 2,...) , Ai ∩ Aj = ∅, i ≠ j,

∞

U A ∈A
n

n =1

∞
 ∞
⇒ P  U An  = ∑ P ( An )
 n =1  n =1

(1.1.6)

Định nghĩa 1.1.3 (Hệ tiên đề Kolmogorov) Ta gọi bộ ba (Ω,A,P) là không gian

xác suất, với

a) Ω là tập hợp bất kỳ (khác ∅), được gọi là không gian các biến cố sơ cấp;
b) A là σ-đại số các tập con của Ω;
c) P là độ đo xác suất σ-cộng tính trên A (gọi tắt là xác suất trên A).
Định nghĩa 1.1.4 Biến ngẫu nhiên X xác định trên không gian xác suất (Ω,A,P) là

ánh xạ X : Ω → R
sao cho:
ω a X (ω )
X −1 ( B ) = {ω ∈ Ω X (ω ) ∈ B} ∈A , ∀B ∈B (B là σ-đại số Borel trên R)

(1.1.7)


8

Định nghĩa 1.1.5 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X xác định trên

không gian xác suất (Ω,A,P) là hàm số
FX ( x ) = P ({ω ∈Ω X (ω ) < x}) ,

(1.1.8)

x∈R

Định nghĩa 1.1.6 Cho X là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất

(Ω,A,P), khi đó:
a)

Kỳ vọng của X là EX = ∫ X (ω ) dP

(1.1.9)

Ω

b)

Moment gốc bậc n của X là EX n

c)

Phương sai của X là VarX = E ( X − EX ) = EX 2 − ( EX )

2

2

(1.1.10)

Định nghĩa 1.1.7 Cho X là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất

(Ω,A,P) và A ∈ A sao cho P( A) > 0 , khi đó kỳ vọng của X với điều kiện A là
E ( X / A) =

1
XdP
P ( A) ∫A

(1.1.11)

Định nghĩa 1.1.8 Cho không gian xác suất (Ω,A,P) và F là một σ-đại số con của A.

a) Kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên X ≥ 0 đối với F là biến ngẫu nhiên
suy rộng không âm E ( X F ) : Ω → [ 0, ∞ ] sao cho:
i)

E ( X F ) là F-đo được;

ii)

∀A ∈ F ,

∫ XdP = ∫ E ( X F )dP
A

(1.1.12)

A

b) Giả sử X là biến ngẫu nhiên bất kỳ sao cho hầu chắc chắn ta có



min  E  X + F , E  X − F   < ∞ , khi đó kỳ vọng có điều kiện của X đối với F
 

 

(

) (

được xác định bởi E ( X F ) = E X + F − E X − F

)

(1.1.13)

Sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên

Cho biến ngẫu nhiên X và dãy các biến ngẫu nhiên ( X n ) cùng xác định trên
không gian xác suất cố định (Ω,A,P).


9

Định nghĩa 1.1.9 (Hội tụ hầu chắc chắn) Dãy biến ngẫu nhiên ( X n ) được gọi là

hội tụ h.c.c đến biến ngẫu nhiên X khi

({

})

P ω ∈ Ω : lim X n (ω ) − X (ω ) = 0 = 1
n →∞

(1.1.14)

Định nghĩa 1.1.10 (Hội tụ bình phương trung bình) Dãy biến ngẫu nhiên ( X n )
được gọi là hội tụ bình phương trung bình đến biến ngẫu nhiên X khi

(

lim E X n − X

n →∞

2

)=0

(1.1.15)

Định nghĩa 1.1.11 (Hội tụ theo xác suất) Dãy biến ngẫu nhiên ( X n ) được gọi là

hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X khi
lim P ({ω ∈ Ω : X n (ω ) − X (ω ) ≥ ε }) = 0 ,
n →∞

∀ε > 0

(1.1.16)

Sự hội tụ của dãy hàm phân phối
Định nghĩa 1.1.12 Dãy hàm phân phối ( FX

n

)

xác định trên R được gọi là hội tụ

căn bản đến hàm phân phối FX khi
FX ( x ) → FX ( x ) , ∀x ∈ C ( FX )

(1.1.17)

n

(trong đó C ( FX ) là tập hợp các điểm liên tục của hàm FX )
Định nghĩa 1.1.13 Dãy hàm phân phối ( FX

n

) được gọi là hội tụ yếu đến hàm phân

phối FX (trong R d ) khi

∫

f ( x)dFX ( x ) →
n

Rd

∫

f ( x)dFX ( x ),

∀f ∈ Cb ( R d )

(1.1.18)

Rd

( Cb ( R d ) là tập hợp các hàm số liên tục bị chặn trong R d )
Định lý giới hạn trung tâm

Giả sử ( X n ) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối và có phương
sai hữu hạn. Đặt m = EX 1 , σ 2 = VarX 1 , khi đó với mọi a, b∈ R ta có :

1



lim P a ≤
n →∞



σ

∑(
n
n

k =1


1 b −x
X − m ≤ b =
e dx
k
2π ∫a


)

1 2
2

(1.1.19)


10

§1.2. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Định nghĩa 1.2.1 Xét tập hợp vô hạn T ⊂ R , một quá trình ngẫu nhiên là một họ

các biến ngẫu nhiên { X t }t∈T xác định trên không gian xác suất (Ω,A,P).
Chú ý : Có thể xem một quá trình ngẫu nhiên như một hàm hai biến X : T x Ω → R

mà với mỗi t cố định thuộc T ta có một biến ngẫu nhiên X ( t , ω ) , và với mỗi ω cố
định thuộc Ω ta có một hàm X ( t , ω ) mà đồ thị của nó theo t được gọi là một quỹ
đạo (hay một đường mẫu) của X t .
Định nghĩa 1.2.2 Quá trình ngẫu nhiên { X t }t∈T được gọi là quá trình Gauss khi

phân phối của vector ngẫu nhiên ( X t ,..., X t
1

n

)

là Gauss với mọi tập con hữu hạn

I = {t1 ,..., tn } ⊂ T .
Đặc biệt, nếu m ( t ) = EX t = const và R ( t , s ) = cov ( X t , X s ) = R ( t − s ) với mọi

t , s ∈ T thì { X t }t∈T được gọi là quá trình Gauss dừng.
Định nghĩa 1.2.3 Quá trình ngẫu nhiên { X t }t∈T (T ⊂ R ) là quá trình số gia độc lập

khi các số gia của nó trên các khoảng thời gian rời nhau là các biến ngẫu nhiên độc
lập, tức là với mỗi phân hoạch hữu hạn t0 < t1 < ... < tn ( tk ∈ T , k = 0,1,..., n ) các số
gia X t , X t − X t ,..., X t − X t
0

1

0

n

n−1

là các biến ngẫu nhiên độc lập.

Định nghĩa 1.2.4 Quá trình ngẫu nhiên {Wt }t∈[0,∞ ) là quá trình Wiener khi :

( h.c.c ) ;

i)

W0 = 0

(1.2.1)

ii)

{Wt }t∈[0,∞ ) là quá trình số gia độc lập;

iii)

Biến ngẫu nhiên Wt − Ws , 0 ≤ s ≤ t có phân phối chu n với kỳ vọng 0 và
phương sai ( t − s ) ;

iv)

Hầu hết các quỹ đạo của {Wt }t∈[0,∞ ) là hàm liên tục.

Định nghĩa 1.2.5 (tương đương với định nghĩa 1.2.4) Quá trình ngẫu nhiên

{Wt }t∈[0,∞ ) được gọi là quá trình Wiener với tham số phương sai σ 2 khi {Wt }t∈[0,∞ ) là
2
quá trình Gauss thỏa mãn E (Wt ) = 0 và R ( t , s ) = E (WW
t
s ) = σ min ( t , s ) , ∀t , s ≥ 0 .


11

Định nghĩa 1.2.6 Quá trình Wiener tiêu chu n là quá trình Wiener với tham số

phương sai σ 2 = 1 .
Đặc điểm quỹ đạo của quá trình Wiener : Xét Wt là một quỹ đạo (tương ứng với

một ω cố định thuộc Ω) của quá trình Wiener, ta có :
i)

Wt liên tục h.c.c;

ii)

Wt không đơn điệu trên bất kỳ đoạn [a, b] ⊂ [0, ∞) nào;

iii)

Wt không khả vi tại bất kỳ điểm nào.

Chú ý : Quá trình Wiener có đạo hàm suy rộng là nhiễu trắng - thường được ký
•

hiệu bởi W t - là quá trình Gauss dừng có hàm tương quan R ( t , s ) = δ ( t − s ) , trong
0
đó δ là hàm Dirac tức là δ thỏa mãn δ (t ) = 
 +∞

(

,∀t ≠ 0
,t=0

+∞

và

∫ δ (t )dt = 1 ).

−∞

Định nghĩa 1.2.7 Xét không gian xác suất (Ω,A,P) và tập hợp T ⊂ R

a)

Họ các σ-đại số At ⊂ A (t ∈ T ) được gọi là bộ lọc nếu nó thỏa mãn các
điều kiện sau:

•

As ⊆ At , ∀s ≤ t; s, t ∈ T (họ không giảm)

(1.2.2)

•

At = I Au (họ liên tục phải)

(1.2.3)

u >t

• Nếu A∈ A và P( A) = 0 thì A∈ A0
b)

(1.2.4)

Quá trình ngẫu nhiên { X t }t∈T được gọi là tương thích với họ {At }t∈T nếu
• Họ {At }t∈T không giảm.
•

c)

X t là At -đo được, ∀t ∈ T .

Cho quá trình ngẫu nhiên { X t }t∈T tương thích với bộ lọc {At }t∈T và thỏa
mãn các điều kiện sau:
•

E X t < ∞, ∀t ∈ T

•

E ( X t A )s = X s P-h.c.c,

(1.2.5)
∀s ≤ t; s, t ∈ T

Khi đó, { X t , At , t ∈ T } là martingale.

(1.2.6)


12

Định nghĩa 1.2.8 Cho (Ω,A,P) là không gian xác suất đầy đủ (tức là, A chứa tất cả

các tập có xác suất 0) và {At }t∈T là họ các σ-đại số con của A sao cho mỗi At chứa
tất cả các tập có xác suất 0. Ta gọi biến ngẫu nhiên τ : Ω → [0, ∞) là thời điểm
dừng khi và chỉ khi

{ω :τ (ω ) ≤ t} ∈ At , ∀t ∈ T

(1.2.7)

Ví dụ 1.2.1

Chúng ta xét một ví dụ đơn giản về việc mô phỏng quỹ đạo của quá trình
Wiener Wt với t ∈ [0, T ] .
Phân hoạch [0,T ] thành N đoạn con bằng nhau: 0 = t0 < t1 < L < t N −1 < t N = T ,
mỗi đoạn con như vậy đều có độ dài dt =
Đặt W ( t j ) = W ( j ) với mỗi t j = jdt

T
.
N

( j = 0,1,..., N ) .

Dựa vào đặc điểm của quá trình Wiener ta chọn W ( 0 ) = 0 và

W ( j ) = W ( j − 1) + dW ( j ) ,

j = 1,..., N

trong đó mỗi dW ( j ) là một biến ngẫu nhiên độc lập có dạng

dt N ( 0;1) .

Giả sử T = 1 và N = 500 ta có một quỹ đạo mô phỏng của quá trình Wiener Wt
như Hình 1.2.1
1

0.5

W(t)
0

-0.5

0

0.2

0.4

0.6

t
Hình 1.2.1

0.8

1

13

Matlab code:
randn('state',100)
T = 1; N = 500; dt = T/N;
dW = zeros(1,N);
W = zeros(1,N);
dW(1) = sqrt(dt)*randn;
W(1) = dW(1);
for j = 2:N
dW(j) = sqrt(dt)*randn;
W(j) = W(j-1) + dW(j);
end
plot([0:dt:T],[0,W],'r-')
xlabel('t','FontSize',16)
ylabel('W(t)','FontSize',16,'Rotation',0)

Ví dụ 1.2.2

Trên không gian xác suất (Ω,A,P) cho quá trình ngẫu nhiên X = { X t , t ∈ T } .
Với mỗi t ∈ T và B là σ-đại số Borel của R ta có σ-đại số σ ( X t ) = X t−1 (B ) .
Ký hiệu σ ({ X t , t ∈ T } ) là σ-đại số con bé nhất của A chứa tất cả các σ-đại số

σ ( X t ) , t ∈ T và gọi σ ({ X t , t ∈ T } ) là σ-đại số sinh bởi X.
Đặt σ ≤Xt = σ ({ X s , s ≤ t} ) ( s, t ∈ T ) ta có {σ ≤Xt , t ∈ T } là họ σ-đại số con không

giảm của A và quá trình ngẫu nhiên X tương thích với họ này.
Ví dụ 1.2.3

Cho { X t , t ∈ T } là quá trình số gia độc lập tương thích với bộ lọc {At , t ∈ T }

sao cho E X t < ∞ , ∀t ∈ T và E ( X t − X s ) = 0 , ∀s < t ; s, t ∈ T . Khi đó ta có X s
độc lập với các số gia X t − X s (s < t ) nên X t − X s độc lập với As , hơn nữa, X s

là As -đo được. Vì vậy

E ( X t | As ) = E ( X t − X s | As ) + E ( X s | As )
= E( X t − X s ) + X s
= Xs
Suy ra { X t , At , t ∈ T } là martingale.
Ví dụ 1.2.4 Cho quá trình Wiener {Wt , t ∈ T } tương thích với bộ lọc {At , t ∈ T } , khi
đó {Wt , At , t ∈ T } là martingale.


14

Chương 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN
VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN
§2.1. TÍCH PHÂN WIENER

Cho không gian xác suất (Ω,A,P), số T không âm và quá trình Wiener

{W , t ∈ [0, T ]} .
t

L2 ( Ω ) là không gian các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích

L2 ( Ω ) =  X : Ω → R


∫ X (ω )

Ω

2


dP (ω ) < ∞ 


(2.1.1)

L2 ([0, T ]) là không gian các hàm số bình phương khả tích

L2 ([ 0, T ]) =  f : [ 0, T ] → R


T

∫
0

2

f (t ) dt < ∞ 


(2.1.2)

Định nghĩa 2.1.1 Hàm số f : [ 0, T ] → R được gọi là hàm đơn giản trên [ 0,T ] khi

nó có dạng

n −1

f = cI{0} + ∑ ck I Ak

(2.1.3)

k =0

trong đó 0 = t0 < t1 < ... < tn = T là phân hoạch của [ 0,T ] ;
c, ck ( k = 0,..., n − 1) là các số thực ;
Ak = ( tk , tk +1 ] , k = 0,..., n − 1;
1
I A (t ) = 
0

khi t ∈ A
là hàm chỉ tiêu của tập A
khi t ∉ A

Ký hiệu S là không gian các hàm đơn giản trên [ 0,T ] thì S là không gian tuyến tính
đồng thời là tập trù mật trong không gian Hilbert L2 ([0, T ]) .
Định nghĩa 2.1.2 Với f ∈ S và có dạng (2.1.3), tích phân Wiener của f trên [ 0,T ]
được định nghĩa bởi:
T

n −1

0

k =0

(

I ( f ) = ∫ f ( t ) dWt := ∑ ck Wtk +1 − Wtk

)

(2.1.4)


15
t

t

s

∫ f ( u ) dW = ∫ f ( u ) dW − ∫ f ( u ) dW

Hơn nữa, với 0 ≤ s ≤ t ≤ T ta có

u

u

u

0

s

(2.1.5)

0

Tích phân (2.1.4) có các tính chất cơ bản sau:
(i)

I ( f ) là biến ngẫu nhiên có phân phối chuNn với kỳ vọng bằng 0 và
T

phương sai bằng

∫

2

f (t ) dt

0

(ii)

I : S → L2 ( Ω ) là ánh xạ tuyến tính, tức là
T

T

T

∫ ( af + bg ) dWt = a ∫ fdWt + b∫ gdWt
0

(iii)

0

, ∀f , g ∈ S , ∀a, b ∈ R

(2.1.6)

0

I : S → L2 ( Ω ) bảo toàn tích vô hướng của hai không gian Hilbert
L2 ([0, T ]) và L2 ( Ω ) , tức là ∀f , g ∈ S ta có :

T
T
 T
I ( f ) , I ( g ) L2 Ω := E  ∫ f ( t ) dWt ∫ g ( t ) dWt  = ∫ f ( t ) g ( t ) dt =: f , g
( )
0
0
 0

L2 ([0,T ])

(2.1.7)

Bây giờ xét hàm tất định bất kỳ f ∈ L2 ([0, T ]) .

Vì S là tập trù mật trong không gian Hilbert L2 ([0, T ]) nên tồn tại dãy f n ∈ S sao
cho:

fn − f
Chú ý rằng

L2 ([ 0,T ])

→0

(2.1.8)

{ f n } là dãy Cauchy trong L2 ([ 0, T ]) , từ các tính chất (ii) và (iii) nêu

trên ta suy ra I ( f n ) − I ( f m )

→ 0 khi n, m → ∞ .
L2 ( Ω )

Vậy { I ( f n )} là dãy Cauchy trong L2 ( Ω ) (là không gian đủ) nên tồn tại giới hạn
T

theo nghĩa bình phương trung bình l.i.m ∫ f n ( t ) dWt .
n →∞
0

Định nghĩa 2.1.3 Tích phân Wiener của hàm tất định f đang xét là biến ngẫu nhiên
T

T

I ( f ) = ∫ f ( t ) dWt := l.i.m ∫ f n ( t ) dWt
n →∞

0
t

Với 0 ≤ s ≤ t ≤ T ta có

t

s

∫ f (u )dW = ∫ f (u )dW − ∫ f (u )dW
u

s

u

0

(2.1.9)

0

u

0

(2.1.10)


16

Ví dụ 2.1.1

Cho T > 0, quá trình Wiener {Wt , t ∈ [0, T ]} và hàm hằng f ≡ 1 , ta có
T

T

∫ f ( t ) dW = ∫ dW
t

0

t

= WT

0

Ví dụ 2.1.2

Cho T > 0, quá trình Wiener {Wt , t ∈ [0, T ]} và hàm số f : [0, T ] → R khả vi
liên tục thuộc L2 ([0, T ]) , ta có
T

∫ f (T ) dW

t

T

= f (T ) WT − ∫ f ′ ( t ) Wt dt

0

0

Thật vậy, xét phân hoạch gồm n đoạn bằng nhau 0 = t0n < t1n < L < tnn−1 < tnn = T
Đặt f n ( t ) = f ( t nj ) khi t ∈ t nj , t nj +1 ) , j = 0,..., n − 1 , ta có dãy hàm đơn giản { f n ( t )} và
T

∫
0

T

f ( t ) dWt = l.i.m ∫ f n ( t ) dWt
n →∞

(

n −1

= l.i.m ∑ f n ( t nj ) Wt n − Wt n

0

n →∞

j =1

j +1

j

)

n −1


= l.i.m  f n ( T ) WT − f n ( 0 ) W0 − ∑ Wt n f n ( t nj +1 ) − f n ( t nj ) 
j +1
n →∞
j =0



(

T

= f ( T ) WT − ∫ f ′ ( t ) Wt dt
0

)

17

§2.2. TÍCH PHÂN ITO

Cho không gian xác suất (Ω,A,P) và số T không âm.
Giả sử đã cho họ không giảm các σ-đại số At ⊂ A ( t ∈ [ 0, T ]) và quá trình Wiener

{Wt }t∈[0,T ]

tương thích với họ {At } sao cho số gia Wu − Wt ( u > t ) sau thời điểm t

độc lập với σ-đại số At .

Ký hiệu NT là lớp các hàm ngẫu nhiên f : [ 0, T ] x Ω → R thỏa mãn:
•

f ( t , ω ) là hàm đo được (theo hai biến);

•

ft là tương thích đối với At (nghĩa là, ft là At -đo được);
T

•

2

∫ E f ( t, ω ) dt < ∞
0

2.2.1 Tích phân Ito của hàm ngẫu nhiên thuộc lớp N T

Hàm ϕ ∈ N T là hàm sơ cấp khi nó có dạng:
n −1

ϕ ( t , ω ) = λ I{0} + ∑ λk (ω ) I A

(2.2.1)

k

k =0

trong đó, 0 = t0 < t1 < ... < tn = T là phân hoạch của [ 0,T ] ,

λ là biến ngẫu nhiên A0 -đo được,
λk (ω ) là các biến ngẫu nhiên At -đo được ( k = 0,..., n − 1) ,
k

Ak = ( tk , tk +1 ] , k = 0,..., n − 1, và I A là hàm chỉ tiêu của tập A.

Định nghĩa 2.2.1 Với ϕ ∈ N T là hàm sơ cấp có dạng (2.2.1), tích phân Ito của ϕ
được định nghĩa bởi:
T

n −1

0

k =0

(

I (ϕ ) = ∫ ϕ ( t , ω ) dWt := ∑ λk (ω ) Wtk +1 − Wtk

)

(2.2.2)

Đẳng cự Ito đối với hàm sơ cấp :

EI (ϕ ) = 0

(2.2.3)

T

2
EI (ϕ ) = E  ∫ ϕ ( t , ω ) dt 
0


(2.2.4)

2


18

Từ các xấp xỉ:
a) Với g ∈ N T bị chặn và g ( ⋅, ω ) liên tục với mỗi ω thì tồn tại dãy hàm
T

2
sơ cấp ϕn ∈ N T sao cho lim E  ∫ (ϕn − g ) dt  = 0
n →∞
0


(2.2.5)

b) Với h ∈ N T bị chặn thì tồn tại dãy hàm g n ∈ N T bị chặn và g n ( ⋅, ω )
T

2
lim
E
liên tục với mỗi ω sao cho n→∞  ∫ ( g n − h ) dt  = 0
0


f ∈ NT

c) Với

hn ∈ N T

tồn tại dãy hàm

(2.2.6)

bị chặn sao cho

T

2
lim E  ∫ ( hn − f ) dt  = 0
n →∞
0


(2.2.7)

ta kết luận rằng với f ∈ N T tồn tại dãy hàm sơ cấp ϕn ∈ N T bị chặn sao cho

T

2
lim E  ∫ (ϕ n − f ) dt  = 0 . Do đó I (ϕn ) là dãy Cauchy trong L2 (Ω) .
n →∞
0

Định nghĩa 2.2.2 Tích phân Ito của f ∈ N T được định nghĩa bởi:
T

T

I ( f ) = ∫ f ( t , ω ) dWt := l.i.m ∫ ϕ n ( t , ω ) dWt
n →∞

0

(2.2.8)

0

(ký hiệu l.i.m chỉ giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình)
2

Đẳng cự Ito :

T

T

2
E  ∫ f ( t , ω ) dWt  = E  ∫ f (t , ω ) dt 
0

0


(2.2.9)

Hơn nữa, với 0 ≤ s ≤ t ≤ T ta định nghĩa :
t

t

s

∫ f ( u, ω ) dW = ∫ f ( u, ω ) dW − ∫ f ( u, ω ) dW
u

u

0

s

u

(2.2.10)

0

Ví dụ 2.2

Cho {Wt , t ≥ 0} là quá trình Wiener tiêu chuNn với W0 = 0 và T > 0 , ta có
T

∫ Wt dWt =
0

1
WT2 − T )
(
2

Thật vậy, với phân hoạch gồm n đoạn bằng nhau 0 = t0 < t1 < L < tn−1 < tn = T


19
n −1

đặt

f n ( t , ω ) = ∑ Wt j (ω ) I t

 j ,t j +1

j =0

)(

t)

ta nhận được

 n −1 t j+1
T

2
E  ∫ ( f n − Wt ) dt  = E  ∑ ∫ Wt j − Wt
 j =0 t j
0

t j +1

n −1

=∑

∫

j =0 t j

(

)

(

)

2


dt 


2
E  Wt j − Wt  dt



t j +1

n −1

∫ ( t − t ) dt

=∑

j

j =0 t j
n −1

2
1
t j +1 − t j )
(
j =0 2

=∑
Khi làm mịn phân hoạch thì
T

∫ W dW
t

t

0

=

T2

2n

T2
dần đến 0, vì vậy
2n
T

n −1

(

= l.i.m ∫ f n dWt = l.i.m ∑ Wt j Wt j+1 − Wt j
n →∞

n →∞

0

n −1

j =0

(

)

(

)(

)

Chú ý rằng W0 = 0 nên WT = WT − W0 = ∑ Wt j+1 − Wt j và
j =0

n −1

(

)

(

)

WT2 = ∑ Wt j+1 − Wt j
j =0

n −1

= ∑ Wt j +1 − Wt j
j =0

n −1

2

+ 2∑∑ Wt j+1 − Wt j Wti+1 − Wti
j =0 i< j

n −1

2

(

)

+ 2∑ Wt j+1 − Wt j Wt j
j =0

n −1

(

Ta có WT2 không phụ thuộc vào phân hoạch và l.i.m ∑ Wt − Wt
n →∞

j =0

Do đó
n −1

(

)

WT2 = T + 2 l.i.m ∑ Wt j+1 − Wt j Wt j
n →∞

T

j =0

= T + 2 ∫ Wt dWt
0
T

Suy ra

∫ W dW
t

0

t

=

1
WT2 − T )
(
2

)

j +1

j

)

2

=T −0 =T .


20

2.2.2 Các tính chất cơ bản của tích phân Ito của hàm ngẫu nhiên thuộc lớp N T

i)

I : N T → L2 ( Ω ) là ánh xạ tuyến tính

ii)

T

T

2
E  ∫ f ( t , ω ) dWt  = E  ∫ f ( t , ω ) dt  , ∀s ∈ [ 0, T )
s

s


2

(2.2.11)

s

iii)

E  I ( f ) As  = ∫ f ( u, ω ) dWu

h.c.c

(2.2.12)

0

iv)

Đặc biệt, EI ( f ) = 0, ∀f ∈ N T

(2.2.13)

T

E  I ( f ) I ( g )  = E  ∫ f ( t , ω ) g ( t , ω ) dt 
0


(2.2.14)

T

v)

Với 0 ≤ s < u ≤ T ,

u

T

∫ f ( t, ω ) dW = ∫ f ( t, ω ) dW + ∫ f ( t , ω ) dW
t

s

t

s

t

u

(2.2.15)


21

§2.3. QUÁ TRÌNH ITO

Giả sử trên không gian xác suất (Ω,A,P) đã cho {At }t∈[0,T ] là họ các σ-đại số con
của A và quá trình Wiener {Wt , t ∈ [ 0, T ]} thỏa mãn các điều kiện sau:

•

{At }t∈[0,T ]

là họ không giảm (tức là, As ⊆ At , ∀s ≤ t ; s, t ∈ T );

• Mỗi σ-đại số At ( t ∈ [ 0, T ]) là đầy đủ đối với P (tức là, nếu B ⊂ A ∈At
và P ( A) = 0 thì B ∈At );
•

{W , A , t ∈ [0, T ]} lập thành martingale.
t

t

Định nghĩa 2.3 Quá trình Ito là quá trình ngẫu nhiên liên tục { X t } trên (Ω,A,P) có

dạng:
t

t

0

0

X t = X 0 + ∫ a ( s, ω ) ds + ∫ b ( s, ω ) dWs với mỗi t ∈ [ 0, T ]

(2.3.1)

trong đó {at } , {bt } là các quá trình ngẫu nhiên tương thích với {At } sao cho


P ω :


T


và P ω :


T



∫ a ( t , ω ) dt < ∞  = 1

(2.3.2)


2
b
t
,
ω
dt
<
∞
(

)
 =1
∫0


(2.3.3)

0

Ta cũng nói X t trong định nghĩa 2.3 có vi phân ngẫu nhiên Ito và viết :

dX t = adt + bdWt

(2.3.4)

Bây giờ giả sử g ( t , x ) là hàm thuộc C 2 ([ 0, ∞ ) xR ) (tức là, g ( t , x ) hai lần khả vi
liên tục trên [ 0, ∞ ) xR ), đặt Yt = g ( t , X t ) .
Công thức Ito. Nếu X t là quá trình Ito dạng

dX t = adt + bdWt

(2.3.5)

 ∂g
∂g 1 2 ∂ 2 g 
∂g
dYt =  + a
dt + b dWt
+ b
2 

∂x 2 ∂x 
∂x
 ∂t

(2.3.6)

thì Yt là quá trình Ito và


22

tức là,
t

∂g
 ∂g

Yt = Y0 + ∫  ( s, X s (ω ) ) + a ( s, ω ) ( s, X s (ω ) )  ds
∂s
∂x

0 
∂2 g
∂g
1
+ ∫ b 2 ( s, ω ) 2 ( s, X s (ω ) ) ds + ∫ b ( s, ω ) ( s, X s (ω ) ) dWs
20
∂x
∂x
0

t

t

(2.3.7)

2

Chú ý : Vì dt.dt = dt.dWt = dWt .dt = 0 và ( dWt ) = dWt .dWt = dt nên (2.3.6) có thể

viết lại thành

∂g
∂g
1 ∂2 g
dYt =
dt +
dX t +
(dX t )2
2
∂t
∂x
2 ∂x

(2.3.8)

Sau đây là một số ví dụ áp dụng công thức Ito.
Ví dụ 2.3.1 (Làm lại ví dụ 2.2 bằng cách dùng công thức Ito)

x2

′′ = 1
Xét hàm g ( t , x ) =
ta có gt′ = 0, g ′x = x, g xx
2
Wt 2
Đặt Yt = g ( t ,Wt ) =
với Wt là quá trình Wiener tiêu chuNn có W0 = 0
2

Hiển nhiên dWt = 0dt + 1dWt , do đó công thức Ito cho ta :
T

T

1
YT = ∫ dt + ∫ Wt dWt
20
0
W2 T
⇔ T = + ∫ Wt dWt
2
2 0
T

T

⇒ ∫ Wt dWt =
0

1

WT2 − T )
(
2

Ví dụ 2.3.2

Cho f ( t ) là hàm số thực chỉ phụ thuộc biến t và có biến phân bị chặn trên

[ 0,T ] (tức

là tồn tại hằng số C sao cho với mọi phân hoạch
n

0 = t0 < t1 < L < tn = T đều có bất đẳng thức

∑ f (t ) − f (t ) ≤ C )
k

k =1

Xét hàm g ( t , x ) = xf ( t ) ta có gt′ = xft ′, g ′x = f ( t ) , g xx′′ = 0
Cho Wt là quá trình Wiener có W0 = 0 .

k −1