nghiên cứu tương tác giữa lưu chất và kết cấu bằng phương pháp biên nhúng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP SINH VIÊN

NGHIÊN CỨU TƯƠNG TÁC GIỮA LƯU CHẤT
VÀ KẾT CẤU BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG
S

K

C

0

0

3

9

5

9

MÃ SỐ: SV2010 - 57

S KC 0 0 2 8 4 9

Tp. Hồ Chí Minh, 2010

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP SINH VIÊN

NGHIÊN CỨU TƯƠNG TÁC GIỮA LƯU CHẤT
VÀ KẾT CẤU BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG

MÃ SÔ: SV2010-57

SVTH: NGUYỄN VĂN NAM
PHAN THÁI DƯƠNG

TP.HỒ CHÍ MINH, 2011


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP SINH VIÊN 2010

Phaàn 1:

ĐẶT VẤN ĐỀ
I.

ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu tương tác giữa lưu chất và kết cấu bằng phương pháp biên nhúng (Immersed
Boundary Methods - IBMs)

II. TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU TRONG VÀ NGỒI NƢỚC
Ngày nay, việc ứng dụng phương pháp số để giải quyết các bài toán trong thực tế rất
quan trọng. Việc này tốn rất nhiều thời gian cũng như chi phí tính tốn. Mỗi phương pháp số
khác nhau thì có những ưu nhược điểm khác nhau và tùy trong mỗi bài toán mà ta chọn
phương pháp thích hợp nhất. Với sự phát triển của khoa học và cơng nghệ thì u cầu đặt ra là
các phương pháp phải thỏa mãn những yếu tố cơ bản như: Kết quả chính xác cao, sự ổn định
của phương pháp và thời gian tính tốn phải nhanh.
Trong lĩnh vực tính tốn động lực học lưu chất (CFD) hay tương tác giữa lưu chất và
kết cấu (FSI) đã có sự tiến bộ đáng kể về phương pháp tính tốn chính xác và hiệu quả đối với
những hình dạng phức tạp bất kỳ hay biên di chuyển. Phương pháp biên nhúng (Immersed
Boundary Methods - IBMs) gần đây đã được đưa ra để áp dụng đối với những dạng hình học
phức tạp hay biên di chuyển trong khi yêu cầu tính tốn ít hơn so với các phương pháp khác
mà vẫn đảm bảo được sự chính xác. Những ưu điểm chính của IBMs là tiết kiệm bộ nhớ và
CPU, tạo lưới dễ hơn và không cần chia lưới lại khi vật thể thay đổi hay biên di chuyển.
IBMs lần đầu tiên được giới thiệu bởi Peskin (1972). Gần đây, đã được Goldstein
(1993) và Saiki & Biringen (1996) mở rộng. Ứng dụng của IBMs là tập trung chủ yếu vào
dòng chảy với sự di chuyển của các biên và mô phỏng dịng chảy xung quanh những vật thể
có dạng hình học phức tạp và có biên di chuyển.
Đây là một phương pháp mới trong việc giải quyết các vấn đề về tương tác giữa lưu
chất và kết cấu. Các nhà khoa học trên thế giới đang nghiên cứu và tiến tới thống nhất cơ sở lí
thuyết cho phương pháp, từ đó sẽ giải quyết các bài tốn trong thực tế. Trong nước đây là
phương pháp còn khá mới mẻ, một số ít người đã và đang nghiên cứu phương pháp này dưới
dạng lí thuyết, giải một số bài tốn đơn giản để kiểm tra tính chính xác của phương pháp.

III. NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN TỒN TẠI
Cơ học lưu chất là một vấn đề rộng lớn và rất khó khăn trong việc giải quyết vấn đề vì
các tính chất của chúng (tính liên tục, tính nén được, khơng nén được, tính nhớt…). Chúng ta
chỉ nghiên cứu lưu chất trong một số trường hợp mà các tính chất của nó xem như là lí tưởng.
Một vấn đề cần quan tâm khi giải quyết bài tốn tương tác là chi phi tính tốn. Đa số các

phương pháp trong CFD có chi phí tính tốn rất cao. Do đó phương pháp biên nhúng đưa ra
như một giải pháp để giảm chi phí tính tốn cho bài tốn tương tác vì những ưu điểm của
phương pháp này so với các phương pháp cịn lại. Ngồi ra chúng ta chỉ mới giải quyết các
bài tốn có mơ hình đơn giản, các mơ hình phức tạp tốn chi phí rất cao, đặc biệt tại các bài
tốn có hệ số Reynolds lớn.

1

SVTH: Nguyễn Văn Nam
Phan Thanh Dương


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP SINH VIÊN 2010

Phần 2:

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I.

MỤC ĐÍCH ĐỀ TÀI
 Tìm hiểu tổng quan về phương pháp Immersed Boundary Methods (IBMs) trong
tính tốn động lực học lưu chất.
 Tìm hiểu các phương pháp IBMs trong bài toán 1D.
 Vận dụng phương pháp IBMs giải quyết bài toán 1D với tấm phẳng di chuyển.
 Đánh giá sai số của các phương pháp IBMs trong bài toán 1D.
 Tìm hiểu phương pháp IBMs trong bài tốn 2D.
 Vận dụng phương pháp IBMs giải một số bài toán 2D cụ thể.
 Khảo sát các hệ số lực nâng và lực cản của tấm phẳng đặt nghiêng một góc alpha.

II. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

 Tìm đọc các tài liệu có liên quan đến đề tài.
 Trên cơ sở lý thuyết đã có, tiến hành lập trình để giải bài toán cụ thể bằng phương
pháp IBMs.
 Dựa vào kết quả tìm được đánh giá kết quả tìm được.

III. NỘI DUNG:
1. Giới thiệu về phƣơng pháp biên nhúng
Trong tính tốn động lực học lưu chất, các vấn đề cần quan tâm là sự chính xác, hiệu suất
tính tốn, và đặc biệt là xử lý được các dạng hình học phức tạp. Có rất nhiều phương pháp cho
việc giải các bài tốn dịng khơng nén được trong miền hình học phức tạp. Trong một số ứng
dụng, phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) trên lưới phi cấu trúc thì được sử dụng rộng rãi.
Sự chính xác của FEM có thể được cải thiện bằng cách sử dụng các hàm nội suy bậc cao. Tuy
nhiên, tạo ra lưới phi cấu trúc theo yêu cầu bằng FEM đòi hỏi một kỹ thuật cao và tốn kém.
Hơn nữa, để giải các bài toán với một biên chuyển động, người ta phải chia lưới lại sau mỗi
lần di chuyển của biên. Điều này thì có thể rất tốn kém.
Đã có sự tiến bộ đáng kể của các phương pháp trong việc tính tốn chính xác và hiệu
quả đối với những hình dạng phức tạp bất kỳ. Phương pháp nhúng biên (Immersed Boundary
Methods - IBMs) gần đây đã được đưa ra để áp dụng đối với những dạng hình học phức tạp
trong khi u cầu tính tốn ít hơn so với các phương pháp khác mà vẫn đảm bảo được sự
chính xác. Phương pháp quy định một lực khối (body force) để thay thế sự hiện diện của một
bề mặt mà khơng làm thay đổi lưới tính tốn. Những ưu điểm chính của IBM là tiết kiệm bộ
nhớ và CPU, tạo lưới dễ hơn. Những vật thể có hình dạng bất kỳ có thể xử lý được.
IBMs lần đầu tiên được giới thiệu bởi Peskin (1972). Gần đây, đã được Goldstein
(1993) và Saiki & Biringen (1996) mở rộng thêm. Trong phương pháp IBMs, chúng ta tính
tốn trên lưới Cartesian mà lưới này thì khơng bám theo biên dạng của vật thể trong lưu chất.
Điều kiện biên trên bề mặt vật thể thì khơng được áp đặt một cách trực tiếp mà thay vào đó là
một hàm lực được đưa vào phương trình điều khiển hoặc một thuật tốn riêng khi tính tốn
các ơ lưới gần biên.

2

SVTH: Nguyễn Văn Nam
Phan Thanh Dương


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP SINH VIÊN 2010
Charles S.Peskin, người phát đầu tiên triển kỹ thuật này vào năm 1972 để nghiên cứu
lưu lượng máu quanh van tim. Phát biểu của ông gồm một lưới Đềcác (hệ tọa độ Eluerian- cố
định trong khơng gian) để giải quyết các phương trình dòng chảy và lưới cong phi tuyến (hệ
tọa độ Larangian- di chuyển với vận tốc dòng chảy địa phương) được gắn vào các biên đàn
hồi (thành trái tim). Các thông tin về vị trí của biên và lực đàn hồi tác động lên chất lỏng sau
đó sẽ được chuyển giao cho lưới Đềcác để có được một lời giải cho dòng chảy.
Ứng dụng của IBMs là tập trung chủ yếu vào lưu chất có di chuyển của các biên, tương
tác giữa lưu chất và kết cấu và mơ phỏng dịng chảy xung quanh những vật thể có dạng hình
học phức tạp.

2. Giải bài toán 1D bằng phƣơng pháp Immersed Boundary
Trong phần này chúng ta sẽ áp dụng phương pháp biên nhúng (IBMs) để giải bài toán
1D. Đối tượng của bài tốn là dịng chảy Poiseuille trong kênh. Mơ hình bài toán là kênh được
giới hạn bởi hai tấm phẳng dài vô hạn, cố định, cách nhau một khoảng là H. Ở vị trí y0 trong
kênh có một tấm phẳng dài vô hạn chuyển động đều với vận tốc Up=-0.2. Hệ trục được chọn
trùng với vị trí tấm dưới (như hình 1). Dòng chảy trong kênh là chảy tầng, ổn định và khơng
nén được.
Mơ hình bài tốn dịng chảy trong kênh.

Tường

Uplate

Tấm phẳng

H
y

o

y0

x
Tường

Phƣơng trình điều khiển
Phương trình Navier-Stokes là:
  2u  2u 
 u
u
u 
p
   u  v   X     2  2 
x
y 
x
y 
 t
 x

  2v  2v 
 v
v
v 

p
   u  v   Y     2  2 
x
y 
y
y 
 t
 x

(1.2a)

Giả sử dòng chảy tầng, tĩnh và đều đi qua hai tấm song song:
1. Chỉ có vận tốc u, cịn v=0
2. Đây là dịng chảy tĩnh nên u là khơng thay đổi theo thời gian u / t  0
3. Khơng có lực khối, X  0 , Y  0

3

SVTH: Nguyễn Văn Nam
Phan Thanh Dương


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP SINH VIÊN 2010

4. Đây là dịng đều, nên u khơng thay đổi theo phương x, u / x   2u / x2  0
d 2u 1 dp

(1.2b)
dy 2  dx
Hoặc có thể chứng minh bằng cách xét sự cân bằng của các lực động trên các bề mặt

của một vi phân khối lượng có các cạnh dx và dy trong dòng lưu chất như hình vẽ:

Thay vào phương trình (1.2.a): 

Tường


y

o

p

d
dy
p

dy

dp
dx
dx

dx



x

Tường

Wall
Vì khơng có sự thay đổi động lượng giữa hai bề mặt, nên ta có:

dp 
d 

pdy   p  dx dy  dx   
dy dx  0
dx 
dy 


d dp


dy dx
du
Mà theo cơng thức tính ứng suất tiếp   
dy
Vì vậy có được phương trình điều khiển như sau:
d 2u dp
 2 
dy
dx


Gọi



d 2u 1 dp

dy 2  dx

L là chiều dài của tấm theo chiều của dòng chảy
p là độ chênh lệc áp suất.

dp p

dx
L
Tích phân hai lần phương trình (1.2b) ta sẽ nhận được phương trình sau:
1 dp 2
u
y  c1 y  c2
2 dx

Từ đó sẽ có quan hệ sau: 

(1.2c)

Sử dụng điều kiện biên u=0 tại y=0 và y= h thì ta có

4

SVTH: Nguyễn Văn Nam
Phan Thanh Dương


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP SINH VIÊN 2010

1 dp

H
c1  
2 dx

c  0
 2

(1.2d)

1 dp
 y  H y
2 dx

(1.2e)

Thay (1.2d) vào (1.2c) ta suy ra:

u

Khi xét tấm phẳng nằm ở giữa kênh cách biên bên dưới 1 khoảng y 0  0.77 và chuyển động với
vận tốc U plate . Ta được:





u y  

U .y
1 dp 2
y  yy0  plate
2 dx
y0

u y  

U
1 dp 2
y  yy0  yH  Hy0  plate  y  H 
2 dx
y0  H





0  y  y0

(1.2f)

y0  y  H

(1.2g)

 Các phƣơng pháp IBMs
Một lưới cách đều được sử dụng, với kích thước lưới khơng phụ thuộc vào vị trí của
biên nhúng. Số điểm lưới được ký hiệu là N, do đó khoảng cách giữa các điểm lưới là h=H/N.

Điểm đầu và cuối của điểm lưới trùng với tường trên và tường dưới, để việc xử lý đơn giản
hơn cho các điều kiện biên không trượt tại tường. Tuy nhiên, biên nhúng nói chung sẽ khơng
trùng với một điểm lưới.

2.1. Phƣơng pháp điều kiện biên rõ ràng (Explicit boundary condition
method)
a. Giới thiệu
Phương pháp này có thể xem là một loại của phương pháp cưỡng bức liên tục, bởi vì các
điều kiện biên được tích hợp trong phương trình điều khiển mà rời rạc chuẩn là như nhau
trong mỗi phần của miền.
Ý tưởng chung của phương pháp này là miền vật lý có thể được chia ra thành 3 phần
quan trọng: miền chất lỏng  f , miền các bức tường w , miền biên nhúng b
Phương trình phân biệt cho các miền là:
 2u 1 dp

thuộc miền  f
(2.1a)
y 2  dx
u  u  0
thuộc miền w và b
(2.1b)
Phương trình (2.1a) là một dạng khác của phương trình điều khiển và (2.1b) là điều kiện
biên khơng trượt trên tường. Khi thực hiện mơ phỏng dịng chảy, điều quan trọng để chọn
phương trình chính xác tùy thuộc vào vị trí của tấm bên trong kênh. Điều này thì lại khơng
phù hợp cho các điều kiện biên tại tường bởi vì các điều kiện biên tại tường được kết hợp dễ
dàng với các phương pháp số do định nghĩa về lưới.
Phương pháp nhúng biên được sử dụng bằng cách định nghĩa một hàm  mà nó sẽ giúp
cho q trình giải chuyển đổi chính xác giữa phương trình (2.1a) và phương trình (2.1b):
1, y  y0
(2.1c)

   y  y0   
0
,
y

y
0


5

SVTH: Nguyễn Văn Nam
Phan Thanh Dương


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP SINH VIÊN 2010
Để tránh tăng thêm những thành phần mâu thuẩn với kích thước, thì phương trình (2.1b)
được chia với bình phương của kích thước của cell (h):
u u

0
h2 h2
Và nhân với hàm  :
u
u
  y  y0  2    y  y0  2  0
h
h
Phương trình (2.1a):
 2u 1 dp


y 2  dx

 2u 1 dp
 2
0
y
 dx
  2u 1 dp 
  2u 1 dp 
   y  y0  2 
0
  2 
 dx 
 dx 
 y
 y
  2u 1 dp 
  0
 1   y  y0  2 

y

dx



  2u 1 dp 
u
u

  C. y  y0  2  C. y  y0  2
 1   y  y0  2 
 dx 
h
h
 y

(2.1d)

b. Hàm phân bố (Distribution functions)
Phương trình (2.1d) cần được rời rạc trên lưới cách đều. Nhưng điều này làm phát sinh
một vấn đề là vì hàm  chỉ khác 0 tại tại vị trí của biên nhúng và biên nhúng lại không trùng
với điểm lưới nên ảnh hưởng của nó lên dịng chảy sẽ khơng được tính đến.
Do đó, hàm  phải được thay thế bằng một sự phân bố D nào đó mà nó sẽ giúp cho việc
mở rộng sự hiện diện của tấm đến các điểm lưới lân cận. Có rất nhiều sự phân bố, nhưng để
đơn giản thì hai hàm phân bố

D1 (hàm mũ) và D2 (hàm cosin) được chọn như sau:
 1    y  y0   

y  y0
 cos
y  y0  h
  1
1 
h
D1  
hoặc D2   2  
h
 


0
y  y0  h
y  y0  h
0


6

y  y0  h

SVTH: Nguyễn Văn Nam
Phan Thanh Dương


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP SINH VIÊN 2010
Lưu ý rằng độ rộng của các hàm phân bố là 2h và cả hai đều bằng 1 tại vị trí của tấm.
Đều này nói lên rằng ln có một điểm lưới ở mỗi bên của tấm sẽ ảnh hưởng của điều kiện
biên không trượt, trừ những trường hợp hiếm hoi khi mà vị trí của tấm và điểm lưới trùng
nhau. Khi điều này xảy ra thì đều kiện biên trên tấm sẽ được thực hiện tại chính điểm lưới đó
và hai điểm lưới kề cận sẽ khơng bị ảnh hưởng gì.

c. Phƣơng pháp số
Cuối cùng, phương trình (2.1d) đã sẵn sàng để thực hiện việc rời rạc hóa. Đạo hàm bậc
 2u
hai
được thay thế bằng xấp sĩ sai phân của đạo hàm bậc hai (dùng khai triển Taylor):
y 2

ui

1  2ui 2 1  3ui 3
4
ui 1  ui  y h  2! y 2 h  3! y 3 h   h


2
3
u  u  ui h  1  ui h 2  1  ui h 3   h 4
i
 i 1
y
2! y 2
3! y 3
Cộng hai phương trình:
 2u
ui 1  ui1  2ui  2i h 2   h 4
y
Bỏ đi vô cùng bé bậc bốn và chuyển vế thì:
 2ui ui1  2ui  ui1

y 2
h2
Vậy:
 2

1   y  y0   u2  1 dp   C. y  y0  u2  C. y  y0  u2
 dx 
h
h
 y

 

 

 

 u  2ui  ui 1 1 dp 
u
u
  C. y  y0  2i  C. y  y0  2
 1   y  y0  i 1

2
 dx 
h
h
h

ui 1  2ui  ui 1


2


h


ui 1  2ui  ui 1  
u

1 dp 1 dp 

    y  y 0 

    y  y 0 
  C. y  y0  2
2
 dx  dx 
h
h

 
u


 C. y  y0  2i


h





1   y  y0  
ui 1 


2


h





u
1 dp
  2  (C  2). y  y0   
  u i 
 C. y  y0  2
  1   y  y0 
2

 dx
h
h





1   y  y0  
 ui 1 


2

h






(2.1e)

Trong đó  là hàm phân bố được chọn theo D1 hoặc D2.
Để thỏa mãn các điều kiện biên tại tường thì phương trình (2.1e) được thay thế bởi u1  0 và
un1  0 tại điểm lưới đầu và cuối.

7

SVTH: Nguyễn Văn Nam
Phan Thanh Dương


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP SINH VIÊN 2010

H  1
 dp

 0.01
 dx
Ví dụ như cho: 
 y 0  0.77
U
 0.2
 plate
   0.008




d.Lƣu đồ giải thuật:
BEGIN
Khai báo biến, i=1

y=i*h

D  y  y0  =0

y  y0  h
S
Đ

D  y  y0   D2

Tính [K],[F]

i=i+1
Đ
iS
Giải phương
trình (2.1e)

END

8

SVTH: Nguyễn Văn Nam

Phan Thanh Dương


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP SINH VIÊN 2010

e. Kết quả
Tại N=20:

Tại N=70:

9

SVTH: Nguyễn Văn Nam
Phan Thanh Dương


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP SINH VIÊN 2010

f. Nhận xét:
Với số lưới chia là 20, vận tốc tính tốn so với vận tốc lý thuyết :
+ Độ lệch lớn nhất là: 0.0871 m/s
+ Độ lệch nhỏ nhất là: 0.0027 m/s
Với số lưới chia là 70, vận tốc tính tốn so với vận tốc lý thuyết :
+ Độ lệch lớn nhất là: 0.0079 m/s
+ Độ lệch nhỏ nhất là : 4.2911e-005 m/s

2.2.

Phƣơng pháp thay thế (Alternative method)

Tiến hành rời rạc trực tiếp đạo hàm cấp hai của phương trình điều khiển (1.2b):

y

i+2
i+1

plate

i

k+1
k

yo

i-1
i-2
h

X

u  ui
 du 
 du  ui  ui 1
   y0
và
  
h
 dy k

 dy k 1 y0  yi
u y0  ui ui  ui 1
 du 
 du 
    

2
 u y 0  ui ui  ui 1  1 dp
 d u   dy k 1  dy k
2
y0  yi
h
(2.2a)

 
  2  



y0  yi yi  yi 1 y0  yi 1  y0  yi
yk 1  yk
h

dx
 dy i


2
2
Vậy phương trình dưới biên nhúng (2.1a) trở thành:

 u y0  u i u i  u i 1  1 dp
2



  dx
y 0  y i 1  y 0  y i
h

 u y  u i u i  u i 1  1 dp  y 0  y i 1 

  0


  dx 
h
2

 y0  yi

u y0
 1
1  1 dp  y 0  y i 1 
1

 u i 1    u i 
  


y0  yi

2
h

 y 0  y i h   dx 

Thay điều kiện u y0  U plate
10

SVTH: Nguyễn Văn Nam
Phan Thanh Dương


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP SINH VIÊN 2010

 1
 1 
1  1 dp  y0  yi1 
1

ui1    ui 
  

  U plate 
2 
h
 y0  yi h   dx 
 y0  yi 
Tương tự ta có phương trình trên biên nhúng:
ui  2  ui 1 ui 1  u y 0


2
 ui  2  ui 1 ui 1  u y 0
d u
2
h
yi 1  y0

  2  


yi  2  y0 
h
yi 1  y0
 dy i 1 yi  2  yi 1  yi 1  y0
2
2
ui 1  u y0  1 dp  yi  2  y0 
u u

  i  2 i 1 


h
yi 1  y0   dx 
2


thì:

(2.2b)

 1 dp
 
  dx




1
1
1
 1  1 dp  yi  2  y0 
  ui 1 
u y0 
   ui  2   


2
 h   dx 

 yi 1  y0 
 yi 1  y0 h 
Thay điều kiện u y0  U plate thì:




1
1
1

 1  1 dp  yi2  y0 

ui1  
   ui2   

  U plate 
y

y
h
h

dx
2
y

y




0
0 
 i1

 i1

11

(2.2c)

SVTH: Nguyễn Văn Nam
Phan Thanh Dương


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP SINH VIÊN 2010

a. Lƣu đồ giải thuật
BEGIN

Khai báo L, i=0

i=i+1

Tính [K],[F]
Đ
i S
Giải phương trình
(2.2b)
i=i+1

Tính [K],[F]

i
Đ

S
Giải phương trình

(2.2c)

END

12

SVTH: Nguyễn Văn Nam
Phan Thanh Dương


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP SINH VIÊN 2010

b. Kết quả
Tại N=20:

Tại N=70:

13

SVTH: Nguyễn Văn Nam
Phan Thanh Dương


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP SINH VIÊN 2010

c. Nhận xét:

Với số lưới chia là 20, vận tốc tính tốn so với vận tốc lý thuyết :
+ Độ lệch lớn nhất là: 6.9215e-016 m/s
+ Độ lệch nhỏ nhất là: 0 m/s

Với số lưới chia là 70, vận tốc tính tốn so với vận tốc lý thuyết :
+ Độ lệch lớn nhất là: 7.4940e-016 m/s
+ Độ lệch nhỏ nhất là: 0 m/s

2.3.

Phƣơng pháp ô ảo (Ghost cell method)

Phương pháp ô ảo là phương pháp khá tốt của IBMs, chủ yếu là do sự đơn giản và dễ dàng
của nó. Đối với bài tốn dịng chảy Poiseuille thì các phép ngoại suy bậc hai và tuyến tính sẽ
được nghiên cứu.
Để đơn giản bây giờ chúng ta chỉ xét dịng chảy phía dưới tấm phẳng. Tiêu chuẩn rời rạc
hố trung tâm của phương trình điều khiển sẽ gặp phải một vấn đề duy nhất ở những điểm lân
cận với biên nhúng, điểm lưới i như hình vẽ, điểm này sẽ sử dụng vận tốc tại điểm G nằm
ngay trên biên nhúng. Từ hình vẽ và chú ý dịng chảy phía dưới tấm phẳng thì điểm này là
điểm đầu tiên nằm vượt qua khỏi biên nhúng và do đó nó trở thành điểm ảo. Điểm này sẽ có
một vận tốc giả tạo u G được bổ xung để sử dụng cho phương pháp số, tuy nhiên vận tốc này
khơng ảnh hưởng gì đến vận tốc thực tại điểm của dịng chảy phía trên tấm phẳng. Vận tốc giả
tạo tại điểm ảo này được xác định bằng cách ngoại suy từ vận tốc tại biên nhúng.

y

G
i

plate

yo

i-1

i-2
h

X
Khi điểm G nằm gần tấm phẳng (xem như chúng gần trùng nhau) thì:
d 2u 1 dp
u  2ui  ui 1 1 dp

 G

(2.3a)
2
dy
 dx
h2
 dx

14

SVTH: Nguyễn Văn Nam
Phan Thanh Dương


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP SINH VIÊN 2010

a. Ngoại suy tuyến tính (Linear extrapolation)
Xét khai triển Taylor cho vận tốc xung quanh biên nhúng y0 :
2

 du 


yG  y0   d 2u 
 2     yG  y0 3


uG  u y0   yG  y0   
2!
 dy  y0
 dy  y0


2
2
u  u   y  y  du    yi  y0   d u     y  y 3
y0
i
0 
i
0

 dy 2 
 i
2!
 dy  y0

 y0

Trong xấp xỉ tuyến tính thì trong biểu thức khai triển trên ta chỉ cần xét đến số hạng thứ hai
của nó.


 du 
uG  u y0   yG  y0  
 dy  y0


u  u   y  y  du 
y0
i
0 

 i
 dy  y0

Như đã chứng minh ta thì:
 du 
y  yi
y  yG
y  yi  du 
y  yG  du 
   0
 
u y0  0
uG  0
ui     0
h
h
h  dy G
h  dy i
 dy  y0









Nếu khai triển ngược lại thì:
u y0  uG  uG  u y0
uG  u y0

 du 
 du 


u y0  uG   y0  yG  
  
 dy G

 dy G y0  yG   yG  y0  yG  y0


u  u   y  y  du 
 du   u y0  ui
y
i
0
i



0

 dy 
 dy i

 i y0  yi





Vậy:

 du 
y  y i u G  u y0 y 0  y G u y 0  u i
   0

h
yG  y 0
h
y0  yi
 dy  y0
Từ đây ta thế vào khai triển taylor cho uG và cho u y 0  0 thì:

(2.3b)

 y  yi u G
y  y0 ui 
 uG   yG  y0  0

 G

h
y 0  yi 
 h yG  y0
uG
y 0  yi
y  y0 ui


uG  G
yG  y 0 h y G  y 0 
h
y 0  yi
 h  y 0  yi 
yG  y 0 u i
 uG 

h
y 0  yi
  yG  y0 h 
 y  yi  y 0  yi 
yG  y 0 u i
 uG  G

h
y 0  yi
  yG  y0 h 
y  y0 ui
1

 uG     G
h
y 0  yi
h
y  y0
 uG   G
ui
y 0  yi
Thế vào phương trình điều khiển (2.3a)

15

SVTH: Nguyễn Văn Nam
Phan Thanh Dương


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP SINH VIÊN 2010

uG  2ui  ui 1 1 dp

h2
 dx
 2 y  y0 
1 dp
1
  2  ui 1   2  G
 ui 
y0  yi 
 dx
h 

h

(2.3c)

b. Ngoại suy bậc hai (Quadratic extrapolation)
Xét khai triển Taylor cho vận tốc xung quanh biên nhúng y0 :


 du 
 yG  y0 2  d 2u     y  y 3




u

u

y

y

 G
y0
G
0 
G
0

 dy 2 

2!
 dy  y0

 y0


2
2
u  u   y  y  du    yi  y0   d u     y  y 3
y0
i
0 
i
0

 dy 2 
 i
2!
 dy  y0

 y0

Trong xấp xĩ bậc 2 thì trong biểu thức khai triển trên ta chỉ cần xét đến số hạng thứ ba của nó.
2

 du 

yG  y0   d 2u 
 2 
uG  u y0   yG  y0   

dy
2
!
  y0
 dy  y0


2
2
u  u   y  y  du    yi  y0   d u 
y0
i
0 

 dy 2 
 i
2!
 dy  y0

 y0








u  u y0
 du 

   i
 dy  y0  yi  y0 

uG  u y 0   yG  y0 

ui  u y0

 yi  y0 

 d 2u 
2
  2  
2
 dy  y 0  yG  y0 



2

yG  y0   d 2u 




2!

 dy 2 

 y0

ui  u y 0 

 uG  u y 0   yG  y0  

yi  y0 






 d 2u 
2  uG  u y 0 ui  u y 0 
  2  



yi  y0 
 dy  y 0 yG  y0  yG  y0
 d 2u 
2  uG  u y0 u y0  ui 
  2   


y0  yi 
 dy  y 0 h  yG  y0
2
 du 

yi 1  y0   d 2u 

 2     yi 1  y0 3
ui 1  u y 0   yi 1  y0   
2!
 dy  y 0
 dy  y 0





 y0  yi uG  u y0 y0  yG u y 0  ui   yi 1  y0 2 2  uG  u y 0 u y 0  ui 
 ui 1  u y 0   yi 1  y0 





yG  y0
h
y0  yi 
2!
h  yG  y0
y0  yi 
 h

16

SVTH: Nguyễn Văn Nam
Phan Thanh Dương

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP SINH VIÊN 2010

1


   yi 1  y0  y0  yi   yi 1  y0 2  


 uG 
 

yi 1  y0  y0  yi  




h
y

y
h
y

y


G
0
G

0  
 
h yG  y0 



2 
  yi 1  y0  y0  yG   yi 1  y0   



  ui 

   u y 0    yi 1  y0  y0  yG    0
h y0  yi 
h y0  yi   


h y0  yi 





 ui 1
2
2


  yi 1  y0    yi 1  y0  



 h yG  y0  h y0  yi  



   yi 1  y0  y0  yi  yi 1  y0  


 uG 
 


h yG  y0 
 
1
 















y

y
y

y

y

y
y

y
y

y

y

y


G
i 1
0
i 1
0
0
i

i 1
0
  ui  i 1 0 0
0
   u y0  




h
y

y
h
y

y
0
i
G
0








  yi 1  y0  y0  yG  yi 1  y0 

 ui 1




h y0  yi 







  y  yi 1  


uG  0







1
  yG  y0  







  y0  yi 1  yG  yi 1   
y0  yi 1 




 ui 
   u y0


h
y

y
y

y




0
i
G
0


 





ui 1
y0  yi 1  yG  yi 1  






h  y0  yi 






  y  y  y  y  
 y  y  
 y  y 
 y  y  y  y  
 uG    G i 1 G 0  ui   G 0  ui 1    G 0  1  G i 1 G 0  u y0
h  y0  yi 
h  y0  yi 


  y0  yi 1  
  y0  yi 1 


(2.3.d)
Thế vào phương trình điều khiển (2.3c), thì sẽ có phương trình dưới tấm phẳng
1 dp




 dx


1  
   yG  y0 
1
  2  yG  yi 1  yG  y0 

yG  y0  
 h 2  h 2  y  y  ui 1   h 2 
ui    h 2  y  y   h 2   (2.3e)
h3  y0  yi 
0
i 1
0
i 1 



 
u 
   yG  yi 1  yG  y0  y 0 

 
 
h3  y0  yi 
 
 
Phương trình trên tấm phẳng
1 dp




 dx


 

y0  yG 
1  
  2  yi 1  yG  y0  yG  
1

y0  yG  
 2 
ui   2  2
ui 1    h 2  y  y   h 2   (2.3f)
h3  yi  y0 
h  yi 1  y0  
i 1
0
h


h
 
u 
   yi 1  yG  y0  yG   y 0 
 
 
h3  yi  y0 
 
 

17

SVTH: Nguyễn Văn Nam
Phan Thanh Dương


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP SINH VIÊN 2010

c. Lƣu đồ giải thuật
BEGIN

Khai báo L, i=0

i=i+1

Tính [K],[F]
Đ
i S

Giải phương trình
(2.3e)
i=i+1

Tính [K],[F]

Đ

iS
Giải phương trình
(2.3f)

END

18

SVTH: Nguyễn Văn Nam
Phan Thanh Dương


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP SINH VIÊN 2010

d. Kết quả
Tại N=20:

Tại N=70:

19

SVTH: Nguyễn Văn Nam
Phan Thanh Dương


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP SINH VIÊN 2010

e. Nhận xét:
Với số lưới chia là 20, vận tốc tính tốn so với vận tốc lý thuyết :
+ Độ lệch lớn nhất là: 4.1078e-015 m/s
+ Độ lệch nhỏ nhất là: 8.3267e-017 m/s
Với số lưới chia là 70, vận tốc tính tốn so với vận tốc lý thuyết :
+ Độ lệch lớn nhất là : 7.4940e-016 m/s
+ Độ lệch nhỏ nhất là: 0 m/s

2.4.

Phƣơng pháp cắt ô (Cut cell method)

Tất cả các phương pháp trên điều dựa trên sai phân hữu hạn. Tuy nhiên phương pháp
cắt ơ là một phương pháp thể tích hữu hạn. Sự khác biệt đầu tiên của phương pháp này so với
các phương pháp trước chính là grid. Để thuận tiện cho việc áp đặt các điều kiện biên tại
tường và cho phép so sánh chính xác giữa các phương pháp thì điểm gird bắt đầu và kết thúc
bằng một nữa của ơ. Gird này nói chung cho phép đạo hàm xấp xĩ với thể tích hữu hạn, cịn
việc xử lý những điểm lân cận biên nhúng sẽ được nói sau.

a. Phƣơng pháp số
 2u 1 dp

y 2  dx
Biểu thức này có thể viết lại bằng tốn tử Nabla  , định nghĩa như một véctơ các đạo

  
:
hàm của các tọa độ khác nhau j 
 x 
 j
1 dp
.u 
 dx
Chú ý là .u như là đạo hàm của gradient vận tốc u. Lấy tích phân suốt phần tử thể tích hữu
hạn  i , hoặc “ô” là:
1 dp
i .u.d  i  dx
Sử dụng định lý phân kỳ (định lý Guass), thì vế trái của phương trình trên trở thành:
 .u.d   u.nˆ.dS

Phương trình điều khiển:

i

i

Trong đó i là biên của ơ, nˆ là vectơ pháp tuyến đơn vị hướng ngoại trên biên i và S là tọa
độ dọc theo biên i .
Vậy:

20

SVTH: Nguyễn Văn Nam
Phan Thanh Dương

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP SINH VIÊN 2010

1 dp
 i  dx
du
1 dp
.nˆ.dS  

i  dx
dy

 u.nˆ.dS  
i



i



du
du
1 dp


h
dy i  1 dy i  1  dx
2

2

Rời rạc hóa trung tâm phương trình trên thì:
ui 1  ui ui  ui 1 1 dp


h
h
h
 dx
u  2ui  ui 1 1 dp
 i 1

h
 dx
Điều này tương tự như sai phân hữu hạn như đã được dùng ở các phần trước.

b. Xử lý IBMs cho phƣơng pháp cắt ơ
Các ơ bị cắt bởi biên nhúng thì được chia tại tấm phẳng.

Ô trung tâm bị chia thành 2 phần. Thành phần chứa ô trung tâm vẫn là một ô grid độc
lập và trở thành “ô cắt” (cut cell), nhưng thành phần khác sẽ kết hợp với gird lân cận với nó
để tạo thành “ơ kết hợp” (merged cell). Điều này có nghĩa là kích thước ơ khơng cịn là hằng
số. Xét dịng chảy ở dưới tấm phẳng thì phương trên điều khiển thay đổi:
du
1 dp
i dy .nˆ.dS  i  dx



Với

du
dy


y0

du
dy


i

1
2


1 dp 
 y0  y 1 

i 
 dx 
2 

yi  yi 1

 yi  1 
2
 2

 du
u  ui 1

 i
h
 dy i  1
2


21

SVTH: Nguyễn Văn Nam
Phan Thanh Dương


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP SINH VIÊN 2010

du
dy


y0

ui  ui 1 1 dp 
y  yi 1 

 y0  i

h
 dx 

2 

c. Ngoại suy bậc hai
Đạo hàm bậc nhất được rời rạc hóa trung tâm trở thành:
u u
du
 i i
dy y0 2 y0  yi 
biểu thức trên sử dụng i  là đối xứng của điểm i qua biên nhúng như hình dưới

Khoảng cách giữa hai điểm này là 2 y0  yi  . Vận tốc ui là vận tốc của điểm i  mà nó có
thể được xác định bằng cách sử dụng ngoại suy bậc hai như đã nói ở phương pháp ơ ảo
Xét khai triển Taylor cho vận tốc xung quanh biên nhúng y0 :


 du 
 yi  y0 2  d 2u     y  y 3




u

u

y

y

 i

y0
i
0 
i
0

 dy 2 
2!
 dy  y0

 y0


2
2
u  u   y  y  du    yi  y0   d u     y  y 3
y0
i
0 
i
0
 dy 2 
 i
dy  y0
2!



y
0


Trong xấp xĩ bậc 2 thì trong biểu thức khai triển trên ta chỉ cần xét đến số hạng thứ ba
của nó và yi  y0  y0  yi










 du 
 y0  yi 2  d 2u 




u

u

y

y

 i
y0
0

i 

 dy 2 
2!
 dy  y0

 y0


2
2
u  u   y  y  du    yi  y0   d u 
y0
i
0 

 dy 2 
 i
2!
 dy  y0

 y0


ui  u y0
 du 
u u
   i i 
 dy  y0 2 y0  yi   yi  y0 

 du 
 y  yi 
ui  u y0   y0  yi    0
2!
 dy  y0

2

 d 2u 
 2 
 dy  y0

ui  u y0 

 d 2u 
2


  2  
u

u

y

y


i
y

0
i
2
0
 yi  y0 
 dy  y0  y0  yi  





 d 2u 
2
  2  
ui  2u y0  ui
2
 dy  y0  y0  yi 



22



SVTH: Nguyễn Văn Nam
Phan Thanh Dương


NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP SINH VIÊN 2010
 du 

 y  y0 
 u y0   yi 1  y0    i 1
2!
 dy  y0

2

ui 1



 d 2u 
 2     yi 1  y0 3
 dy  y0




 u  u   y  y0 2 
1
 ui 1  u y0   yi 1  y0  i i   i 1
ui  2u y0  ui 

2
2!
 2 y0  yi  
  y 0  yi 







  y  y0   yi 1  y0 2  

 ui   i 1
2  

 2 y0  yi  2 y0  yi   


  y  y0   yi 1  y0 2  

 yi 1  y0 2   0

  ui  i 1


u
1


y0 
2 
 y0  yi 2 
 2 y0  yi  2 y0  yi   





 ui 1









  y  y0  yi 1  yi 
ui   i 1



2
2 y0  yi 






  yi 1  y0  yi  yi 1  2 y0  
 2 yi 1  y0 2 

  u i 

u



1 
0
y
2
0
 y0  yi 2 
2 y0  yi 






 ui 1









  y  y0 h 
ui  i 1


2 



 2 y0  yi  


  yi 1  y0  yi  yi 1  2 y0  
  yi 1  y0 2 

  u i 

u

0
y 0 1 
2
 y0  yi 2 
2 y0  yi 






 ui 1







 2 y0  yi 2 
 2 y0  yi 2 2 yi 1  y0  
 y  yi 1  2 y0 
 ui   i
u

u





u y0
i 1
 i
h
h


 h yi 1  y0  
 h yi 1  y0 

2
2
 2 y0  yi  
 2 y0  yi 1  2 y0  yi  
 y  yi 1  2 y0 
 ui   i
u


u





u y
i
i

1

h
h
h y0  yi 1  0


 h y0  yi 1 


Vậy:

du
dy

y0

 yi  yi 1  2 y0 
 2 y0  yi 2 
 2 y0  yi 1  2 y0  yi 2  

u

u



u y0   ui
 i  h y  y  i 1 


h
h
h
y

y


0
i

1
0
i

1



 


2 y0  yi 

 y  yi 1  2 y0

  y 0  yi  
  y0  yi 1 
 y 0  yi  u
1
 i


ui  
ui 1  
 y0
2 y0  yi 
 2 h y 0  y i 
 h y0  yi 1 
 h y0  yi  h y0  yi 1 
 y  yi 1 
  y 0  yi  
  y0  yi 1 
 y 0  yi   u
  0

ui  
ui 1  
 y0
 h y 0  y i  
 h y0  yi 1 

 h y0  yi  h y0  yi 1 
Ta có:

23

SVTH: Nguyễn Văn Nam
Phan Thanh Dương