Luận văn Nghiên cứu tính toán tấm trên nền và nền cọc bằng phương pháp phần tử hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ NÔNG NGHIỆP VÀ PTNT
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THUỶ LỢI







LÊ THỊ HUỆ




NGHIÊN CỨU TÍNH TOÁN TẤM TRÊN NỀN VÀ NỀN
CỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN








LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT

HÀ NỘI - 2010

Bộ Giáo dục và đào tạo Bộ Nông nghiệp và PTNT
Trờng đại học Thuỷ lợi






Lê thị huệ



NGHIấN CU TNH TON TM TRấN NN V NN CC BNG
PHNG PHP PHN T HU HN



Chuyên ngành : xây dựng công trình thuỷ
Mã số : 60-58-40


Luận văn thạc sĩ kỹ thuật



Ngời hớng dẫn khoa học:

Hà Nội, 2010
1
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2
MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

MỞ ĐẦU 4

1. Sự cần thiết của đề tài 4

2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài 6

2.1. Mục đích 6

2.2. Nhiệm vụ 6

3. Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu 6
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ KẾT CẤU DẠNG TẤM, NỀN VÀ
CỌC 7

1.1. Phương trình cơ bản tính toán tấm chịu uốn [9] 7

1.2. Các phương pháp giải bài toán tấm 12

1.2.1. Phương pháp giải tích [9] 12

1.2.2. Các phương pháp số [10] 16

1.3. Tổng quan về nền [16, 7] 19

1.3.1. Đặc điểm của nền đất yếu 19

1.3.2. Các loại nền đất yếu chủ yếu và thường gặp 20

1.3.3. Một số biện pháp xử lý nền đất yếu 20

1.4. Móng cọc [13, 14] 23

1.4.1. Phân loại cọc 24

1.4.2. Cọc đóng 24

1.4.3. Cọc nhồi 26

1.4.4. Sự làm việc của móng cọc và đất bao quanh cọc 27

CHƯƠNG 2 28

CÁC MÔ HÌNH NỀN VÀ CỌC 28

2.1. Mô hình nền đàn hồi tuyến tính [4, 6] 28

2.1.1. Mô hình nền biến dạng đàn hồi cục bộ - mô hình nền Winkler 28

2.1.2. Mô hình nền biến dạng đàn hồi tổng quát 31

2
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2
2.1.3. Mô hình hỗn hợp 32

2.2. Mô hình nền hai hệ số của Pasternak 35

2.3. Mô hình cọc [6, 12] 36

CHƯƠNG 3: TÍNH TOÁN TẤM, TẤM TRÊN NỀN VÀ NỀN CỌC BẰNG
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 39

3.1. Giải bài toán tấm bằng phương pháp phần tử hữu hạn 39

3.1.1. Trình tự giải bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn 39

3.1.2. Tính kết cấu theo mô hình tương thích 41

3.2. Mô hình các loại phần tử và xây dựng các ma trận độ cứng, véc tơ tải phần
tử trong bài toán tính tấm trên nền đàn hồi hai hệ số 46

3.2.1. Mô hình các loại phần tử trong bài toán tính tấm trên nền đàn hồi hai hệ
số……………………………………………………………………………… 46

3.2.2. Ma trận độ cứng của các loại phần tử tấm trên nền và nền ngoài phạm vi
tấm 46

3.3. Mô hình các loại phần tử và xây dựng các ma trận độ cứng, véc tơ tải phần
tử trong bài toán tính tấm làm việc đồng thời với nền và cọc 61

3.3.1. Đường lối chung để thiết lập thuật toán 61

3.3.2. Ma trận cứng của cọc 61

3.3.3. Ma trận độ cứng của hệ 62

3.4. Giới thiệu về phần mềm sử dụng trong luận văn: SAP 2000 63

3.4.1. Hệ thống đơn vị (Unit Sytem) – SAP2000 64

3.4.2. Hệ thống toạ độ (Coordinate Systems) 65

3.4.3. Chọn cửa sổ màn hình (Windows) 66

3.4.4. Tạo hệ lưới phẳng và không gian 67

3.4.5. Chức năng vẽ các phần tử thanh và phần tử vỏ 67

3.4.6. Chọn đối tượng để thực hiện các lệnh tiếp theo (xóa, gán, sao chép, nhân
bản, di chuyển, ) 68

3.4.7. Xoá một số bộ phận của kết cấu đã vẽ hoặc khôi phục bộ phận vừa xoá . 68

3.4.8. Nhân bản một bộ phận của kết cấu 68

3
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2
3.4.9. Chức năng chia phần tử tấm lớn thành nhiều phần tử nhỏ 68

3.4.10. Chức năng chia phần tử dầm thành nhiều phần tử nhỏ 69

3.4.11. Chức năng di chuyển nút 69

3.4.12. Kết cấu mẫu 69

3.4.13. Định nghĩa đặc trưng hình học và vật liệu của các phần tử 70

3.4.14. Gán các đặc trưng hình học và vật liệu vào các phần tử của kết cấu 70

3.4.15. Gán liên kết 70

3.4.16. Định nghĩa trường hợp tải trọng 70

3.4.17. Gán tải trọng vào kết cấu 71

3.4.18. Tổ hợp tải trọng (Load Combinations) 73

3.4.19. Sắp xếp lại mã nút và mã phần tử (Change Labels) 73

3.4.20. Kiểm tra số liệu nhập vào 74

3.4.21. Phân tích kết cấu đã mô hình hoá 74

3.4.22. Hiển thị hình dạng biến dạng của kết cấu 75

3.4.23. Hiển thị nội lực hoặc ứng suất của các thành phần kết cấu 75

CHƯƠNG 4: ÁP DỤNG CHO CÁC VÍ DỤ BẰNG SỐ 77

4.1. Số liệu đầu vào 77

4.2. Trường hợp tấm khi chưa có lỗ 77

4.3. Trường hợp tấm được ngàm cứng tại 4 cạnh biên 83

4.4. Trường hợp tấm có lỗ và các sườn 86

4.5. Nhận xét 92

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 93

TÀI LIỆU THAM KHẢO 94


4
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2
MỞ ĐẦU
1. Sự cần thiết của đề tài
Ngày nay, do nhu cầu phát triển kinh tế của xã hội, các công trình xây dựng đã
và đang xuất hiện với một tốc độ nhanh chóng. Nhiệm vụ quan trọng trước mắt của
các chuyên gia về xây dựng là tìm tòi, ứng dụng các phương pháp tính toán và thiết
kế công trình hoàn thiện hơn, tiết kiệm hơn, từ đó nâng cao khả năng chịu lực, độ
tin cậy cũng như hiệu quả của công trình.
Các công trình xây dựng thường nằm trên nền đất tự nhiên. Tính dễ biến dạng
của nền mà hệ quả của nó là độ lún không đều thường gây ra các ứng suất bổ sung
trong kết cấu xây dựng nằm trên nền đất. Độ lớn của các ứng suất này phụ thuộc
vào đặc điểm của kết cấu công trình. Nếu như trong hệ siêu tĩnh, các ứng suất bổ
sung này khá lớn và cần phải được tính đến thì ngược lại, trong hệ tĩnh định chúng
không đáng kể và có thể bỏ qua. Đối với hệ siêu tĩnh, độ lún cho phép của công
trình được xác định bởi tải trọng giới hạn xuất hiện trong các kết cấu. Với hệ tĩnh
định, việc xác định độ lún giới hạn được xuất phát từ yêu cầu về độ ổn định chung

của công trình và yêu cầu về công nghệ.
Mặt khác độ cứng của công trình trên nền cũng ảnh hưởng rất lớn đến sự phân
bố ứng suất tại mặt tiếp xúc giữa công trình và nền, nó xác định khả năng tự cân đối
độ lún của công trình. Công trình có độ cứng càng lớn càng đảm bảo độ lún được
phân bố đều, ngược lại độ cứng công trình càng nhỏ càng dễ dẫn đến sự lún không
đều và biến dạng của công trình càng tăng lên.
Vì vậy, trong quá trình thiết kế, việc tính đến sự làm việc đồng thời giữa nền
và công trình nằm trên nó là vô cùng cần thiết. Nghiên cứu sự làm việc của tấm nói
chung và tấm có lỗ nói riêng trên nền là một bài toán kết cấu rất hay gặp trong thực
tế. Tấm làm việc trên nền được sử dụng rộng rãi trong các công trình như tấm mặt
đường, đường sân bay, móng bè trong các công trình xây dựng (móng nhà dân
dụng). Trong công trình thủy lợi, kết cấu tấm làm việc trên nền rất được phổ biến
như móng trạm bơm, móng cống … Tính tấm có lỗ trên nền đàn hồi và cọc là một
bài toán tiếp xúc phức tạp nếu xét từ góc độ của lý thuyết đàn hồi. Tuy nhiên, trong
5
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2
thời đại ngày nay, với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin, việc giải các
bài toán kết cấu bằng phương pháp số đã trở nên dễ dàng. Mô hình nền thường được
sử dụng trong tính toán là mô hình có một hoặc hai hệ số nền. Các phần mềm
thương mại tính toán kết cấu của nước ngoài đã giải quyết được bài toán này bằng
phương pháp phần tử hữu hạn, tuy nhiên chúng lại có giá thành khá cao so với khả
năng tài chính của nhiều cơ quan thiết kế trong nước. Ở nước ta, tính toán tấm trên
nền có hai hệ số cũng đã được một số tác giả giải bằng phương pháp sai phân hữu
hạn nhưng kết quả để ứng dụng thực tế còn hạn chế do chúng chưa giải được các
bài toán có điều kiện biên phức tạp. Gần đây đã xuất hiện một số công trình nghiên
cứu giải bài toán này bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Trong khuôn khổ luận
văn này, tác giả đề cập đến việc tính toán tấm chữ nhật đẳng hướng trên nền đàn hồi
và cọc theo mô hình nền hai hệ số bằng phương pháp phần tử hữu hạn và ứng dụng
để tính toán một ví dụ cụ thể.
Trong khuôn khổ của Luận văn, mục tiêu đặt ra được giới hạn cụ thể trong

những nội dung sau:
Về mặt kết cấu, xem xét bài toán tấm đặt trên nền và trên cọc;
Về mặt chuyển vị, chỉ giới hạn nghiên cứu bài toán chuyển vị nhỏ. Điều kiện
này đặt ra chỉ nhằm đảm bảo chặt chẽ về mặt lý thuyết;
Về vật liệu của kết cấu, chỉ đề cập đến dạng mô phỏng vật liệu của kết cấu là
liên tục, đồng chất, đẳng hướng và đàn hồi tuyến tính;
Về nền chỉ xét dạng: Đàn hồi tuyến tính;
Trường hợp nền được xử lý bằng cọc trong nghiên cứu chỉ đề cập đến cọc ma
sát, trong đó sức kháng lún của cọc bao gồm hai phần: ma sát dọc theo thân cọc và
sức chống ở đầu mũi cọc.
Về mặt ứng xử của tấm, thiết lập phương trình cơ bản và thuật toán để phân
tích chuyển vị và nội lực của tấm trong điều kiện tấm làm việc ở dạng chỉnh thể
(toàn khối) hay có lỗ khoét có xét đến tương tác của tấm với cọc và nền trong đó vật
liệu kết cấu, vật liệu nền và cọc được trình bày ở trên [11, 12].
6
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2
Như vậy có thể thấy: Phương pháp PTHH tuy có nhược điểm là phức tạp trong
tính toán nhưng lại có ưu điểm nổi bật là có thể xét bài toán ở dạng tổng thể, không
cần quá nhiều giả thiết nên việc nghiên cứu bài toán bằng phương pháp PTHH
không chỉ có ý nghĩa khoa học mà còn mang lại hiệu quả kinh tế và kỹ thuật.
2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài
2.1. Mục đích
Nghiên cứu xác định trạng thái ứng suất, biến dạng của tấm khi có kể đến sự
tương tác với nền và cọc.
2.2. Nhiệm vụ
- Lựa chọn sơ đồ tính, thiết lập các phương trình cơ bản;
- Lập thuật toán giải;
- Áp dụng cho một số ví dụ cụ thể
3. Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết và sử dụng phương pháp tính toán hiện đại – phương

pháp phần tử hữu hạn kết hợp sử dụng phần mềm cho bài toán đặt ra


.





7
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ KẾT CẤU DẠNG TẤM, NỀN VÀ
CỌC
1.1. Phương trình cơ bản tính toán tấm chịu uốn [9]
Trong khuôn khổ luận văn này chúng ta chỉ xét các tấm chịu uốn chữ nhật
đẳng hướng. Nếu gọi h là chiều dày của tấm, a là kích thước bé của mắt tấm và
W
max
là độ võng lớn nhất của tấm thì theo định nghĩa, tấm được coi là mỏng khi
ax
W
1 1
à
5 5
m
h
v
a h
 
. Trong trường hợp tấm mỏng chịu uốn và chỉ giới hạn xét tấm

trong phạm vi của lý thuyết đàn hồi tuyến tính, ta có một số giả thiết như sau:
1 - Đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình trước biến dạng vẫn thẳng và
vuông góc với mặt đàn hồi khi biến dạng. Đây là giả thuyết đoạn thẳng của
Kirchoff. Với giả thuyết này, các lớp mỏng của tấm được coi như không trượt lên
nhau khi biến dạng.
2 - Khi bị uốn, mặt trung bình chỉ cong đi chứ không co giãn và những điểm ở
mặt trung bình không có chuyển vị trong mặt phẳng tấm và chỉ có độ võng w.
3 - Các lớp mỏng song song với mặt trung bình không kéo hoặc ép lên nhau
khi biến dạng và có thể bỏ qua ứng suất pháp
z

.
Từ những giả thiết trên, chúng ta có những nhận xét sau:
- Tấm được coi như gồm các lớp mỏng làm việc trong các trạng thái ứng suất
phẳng, trên mặt phẳng tấm chỉ tồn tại các ứng suất
, à ,
x y xy
v
  
còn
0
z xz yz
  
  
;
- Biến dạng trong mặt phẳng tấm tỉ lệ bậc nhất với tọa độ z;
- Chuyển vị theo phương z tại những điểm trên đoạn thẳng vuông góc với mặt
trung bình là không đổi theo chiều dày của tấm và bằng độ võng của mặt trung bình.
Thay cho ứng suất phân bố trên toàn bộ bề dày h, ta dùng hợp của nó tại mặt trung
bình là nội lực. Nội lực của tấm gồm: lực cắt (Q

x
và Q
y
), mô men uốn (M
x
và M
y
)
và mô men xoắn ( M
xy
và M
yx
) như hình 1.1.



8
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2
z
y

M
x

M
yx


P(x, y)
M

xy
Q
x
M
x

Q
y
M
y
M
xy
X
Z
Y
``
Hình 1.1. Các thành phần nội lực của tấm
Các giá trị nội lực, ứng suất đều có thể tính thông qua độ võng của mặt trung
bình W(x,y).
Vì thế năng biến dạng đàn hồi của tấm do lực cắt gây nên nhỏ không đáng kể,
thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy trong tấm chỉ do tác dụng của mô men uốn và
mô men xoắn.
Các biểu thức cơ bản của kết cấu tấm chịu uốn:
Các biểu thức của định luật Hooke trong bài toán ứng suất phẳng có dạng:

)
1
(
x x y
E

  
 

1
( )
y y x
E
  
 
(1.1)

2(1 )
xy
xy xy
G E


 

 
Hoặc:
9
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2

2
2
( )
1
( )
1

x x y
y y x
E
E
  

  

 

 

(1.2)

2(1 )
xy xy
E
 




Trong đó:

- hệ số poisson;
E - mô đun đàn hồi của tấm đẳng hướng.
Mặt khác theo lý thuyết đàn hồi ta có:
2
2
w

x
z
x


 


2
2
w
y
z
y


 



xy


-2z
2
w
x y

 

hay: {

}= -z
2
2
2
2
2
w
w
w
2
x
y
x y
 

 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 
= -z
2
x
y
xy



 
 
 
 
 
(1.3)
Trong đó:
x


2
2
w
x


- độ cong của mặt trung bình theo phương của trục x
y



2
2
w
y


- độ cong của mặt trung bình theo phương trục y

xy


2
w
x y

 
- độ xoắn của mặt trung bình.
Thay các biểu thúc biến dạng vào ứng suất ta được:
10
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2

2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
w w
( )
1
w w
( )

1
x
y
Ez
x y
E
y x
 

 

 
  
  
 
  
  
(1.4)

1
xy
Ez


 

2
w
x y


 

Hay {

}=
2
1
Ez
















2
1
00
01
01




2
2
2
2
2
w
w
w
2
x
y
x y
 

 

 
 

 
 

 
 

 
 
 

 
=
2
1
Ez
















2
1
00
01
01



2

x
y
xy



 
 
 
 
 
(1.5)
Nội lực của tấm trên mặt trung bình được biểu diễn qua các biểu thức sau:
M
x
=
/2
/ 2
h
X
h
zdz



; M
y
=
/ 2
/ 2

h
y
h
zdz



; M
xy
= M
yx
=
/ 2
/ 2
h
xy
h
zdz




Q
x
=
/2
/ 2
h
xz
h

dz



; Q
y
=
/2
/ 2
h
yz
h
dz



(1.6)
Nếu thay các biểu thức tính ứng suất (1.4) vào biểu thức tính nội lực ở (1.6)
Và lấy tích phân theo chiều dày h của tấm ta được:
M
x
= - D(
2
2
w
x


+
2

2
w
y



)
M
y
= - D(
2
2
w
y



+

2
2
w
x


)
M
xy
= M
yx

= - D(1 -

)
2
w
x y

 
(1.7)
Q
x
= - D
)(
2
w
x




Q
y
= - D
)(
2
w
y




Trong đó:
D: độ cứng chống uốn của tấm
11
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2
D =
3
2
12(1 )
Eh


(1.8)
Viết lại dưới dạng ma trận ta được:
{M}=










xy
y
x
M
M

M
=














2
1
00
01
01
)1(12
2
3




Eh
2

2
2
2
2
w
w
w
2
x
y
x y
 


 

 
 

 

 

 
 

 

 
 

 
= - [D]
2
x
y
xy



 
 
 
 
 
(1.9)
Trong đó [D] - ma trận hằng số đàn hồi trong bài toán ứng suất phẳng
[D] =















2
1
00
01
01
)1(12
2
3




Eh
(1.10)
Ngoài ra, với tấm chịu uốn liên hệ giữa góc xoay và độ võng được biểu diễn bằng
công thức sau:
x
w
x





y
w
y





(1.11)
Thế năng của phần tử tấm chịu uốn có dạng:


=
1
2
 
T
v


{

}dV -
( , )wd
p x y



(1.12)
Thay giá trị của {

},{

} từ (1.3) và (1.5) vào (1.12) và lấy tích phân theo chiều
dày tấm, ta có thể biểu diễn thế năng phần tử tấm thông qua độ võng mặt trung bình
như sau:


=
1
2
D
0
a

0
b


2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
0 0
w w w w w
2 2(1 ) ( , )wdxdy
a b
dxdy p x y
x y x y x y
 
 
     
    
 
    
     
     
 

     
 
 
(1.13)
Có thể biểu diễn véc tơ biến dạng và véc tơ ứng suất của tấm thông qua độ cong và
nội lực của mặt trung bình như sau:
12
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2
{

}=
2
2
2
2
2
w
w
w
2
x
y
x y
 


 

 
 


 

 

 
 

 

 
 
 
= -
2
x
y
xy



 
 
 
 
 
; {

}={M}=











xy
y
x
M
M
M
=-[D]
2
x
y
xy



 
 
 
 
 
=[D] {


} (1.14)
Nếu thay giá trị của {

},{

} từ (1.14) vào biểu thức thế năng phần tử tấm chịu
uốn (1.12) ta cũng nhận được (1.14).
Phương trình để giải bài toán tấm là phương trình vi phân cân bẳng Sophie
Gerrmain-Lagrange
4
w
=
2 2
2 2
x y
 
 

 
 
 
2 2
2 2
w w
x y
 
 

 
 

 
=
4
4
w
x


+2
4
2 2
w
x y

 
+
4
4
w
y


=
p
D
(1.15)
Giải phương trình (1.15) ta sẽ nhận được lời giải tổng quát của tấm chịu uốn.
Lời giải này chỉ có thể là lời giải của bài toán cụ thể khi nó thỏa mãn các điều kiện
biên của bài toán.
1.2. Các phương pháp giải bài toán tấm

Có hai phương pháp giải bài toán tấm:
- Phương pháp giải tích
- Phương pháp số
1.2.1. Phương pháp giải tích [9]
Nội dung của phương pháp này là giải trực tiếp phương trình Sophie
Gerrmain-Lagrange với những điều kiện biên cụ thể cho từng bài toán. Xét về khía
cạnh toán học, đây là một nhiệm vụ hoàn toàn không đơn giản. Ở đây, chúng ta chỉ
nhắc đến lời giải của Navier và Levy đối với tấm chữ nhật chịu uốn và phương pháp
biến phân.
a. Lời giải của Navier cho tấm có biên tựa
+ Xét tấm chữ nhật có biên tựa, chịu tải trọng phân bố q(x, y).
Khi đó ta có các điều kiện biên như sau:
- Tại x = 0 và x = a w = 0 và
2
2
w
x


= 0
13
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2
- Tại y = 0 và y = b w = 0 và
2
2
w
y


= 0

Navier đề nghị khai triển hàm độ võng w(x, y) và hàm tải trọng q(x, y) thành các
chuỗi lượng giác kép:
W(x,y) =
1 1
m n
 
 

A
mn
sin
m x
a

sin
n y
b

(1.16)
Q(x,y) =
1 1
m n
 
 

B
mn
sin
m x
a


sin
n y
b

(1.17)
Trong đó:
A
mn
và B
mn
, là các hằng số.

A
mn
=
2
2 2
4
2 2
4
m n
Dab
a b

 

 
 
0 0

( , )sin sin
a b
m x n y
q x y dxdy
a b
 

(1.18)
B
mn
=
4
ab
0 0
( , )sin sin
a b
m x n y
q x y dxdy
a b
 

(1.19)
Biết được độ võng w, ta có thể tìm được nội lực trong tấm.
b. Lời giải của Levy cho tấm có hai bên tựa song song
Xét tấm chữ nhật có hai biên tựa song song và hai biên tựa còn lại có điều kiện
biên bất kỳ, chịu tải trọng phân bố q(x, y).
Ta có điều kiện biên sau:
Tại y = 0 , y = b w = 0 và
2
2

w
y


= 0 (1.19)
Levy đề nghị khai triển hàm độ võng w(x, y) và hàm tải trọng q(x, y) thành chuỗi
lượng giác đơn.
W(x, y) =
1
( )
m
m
Y y



sin
m x
a

(1.20)
q(x, y) =
2
aD

1
0
( , )sin
a
m

m x
q x y dx
a





(1.21)
14
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2
Thay (1.20) và (1.21) vào phương trình Sophie Germain-Lagrange ta nhận được
phương trình vi phân.

4
4
m
d Y
dy
-2
2
m
a

 
 
 
2
2
m

d Y
dy
+
4
m
a

 
 
 
Y
m
=
2
aD
0
sin
a
m x
q dx
a


(1.22)
Nghiệm của phương trình (1.22) là
Y
m
(y)=A
m
sh

m y
a

+B
m
ch
m y
a

+C
m
ysh
m y
a

+D
m
ych
m y
a

+f
m
(y) (1.23)
Trong đó:
A
m,
B
m,
C

m,
D
m
là các hằng số được xác định theo các điều kiện biên còn lại;
f(y) là hàm số một biến y và được xác định theo tải trọng q(x, y) và độ cứng D.
Lời giải (1.20) và (1.23) của Levy có tính tổng quát hơn, cho kết quả hội tụ tốt hơn
nhưng phức tạp hơn lời giải của Navier đã trình bày ở trên.
c. Phương pháp biến phân
Bài toán biến thân là bài toán tìm cực trị của phiếm hàm. Phiếm hàm là một
đại lượng mà giá trị của nó phụ thuộc vào một hoặc nhiều hàm số của một hoặc
nhiều biến số độc lập. Trong cơ học nói chung và trong lý thuyết đàn hồi nói riêng,
năng lượng của hệ là những phiếm hàm của các đối số nội lực, chuyển vị và biến
dạng. Nguyên lý biến phân của lý thuyết đàn hồi là các điều kiện cực trị (điều kiện
dừng) của những phiếm hàm này. Bài toán biến phân liên quan đến nguyên lý năng
lượng cực tiểu trong cơ học nói chung và trong lý thuyết đàn hồi nói riêng. Theo
nguyên lý tổng quát thì trường ứng suất, biến dạng và chuyển vị thực là trường làm
phiếm hàm năng lượng toàn phần đạt giá trị cực tiểu. Để giải bài toán này, người ta
thiết lập trực tiếp các điều kiện cực trị của phiếm hàm khảo sát bằng cách giả thiết
dạng của các hàm dừng.
Các phương pháp biến phân là các phương pháp gần đúng để giải bài toán tấm
nói riêng và bài toán kết cấu nói chung.
Chúng ta sẽ đề cập đến hai phương pháp giải trực tiếp bài toán biến phân,
đó là phương pháp Ritz-Timoshenko và phương pháp Boubnov-Galerkin.
Phương pháp Ritz-Timoshenko
15
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2
Nội dung của phương pháp này là: để tìm cực trị của phiếm hàm thế năng toàn
phần

(thường được biểu diễn dưới dạng tích phân xác định) là hàm của độ võng

w, ta chọn nghiệm dưới dạng:
w(x,y)=
1
( , )
n
i
i
a f x y


(1.24)
với a
i
là các hàm số tạm thời chưa xác định, f(x, y) là các hàm tọa độ tự chọn thỏa
mãn các điều kiện biên của tấm, n là số bậc tự do của tấm. Thay (1.24) vào biểu
thức của phiếm hàm thế năng toàn phần, sau khi tích phân ta nhận được giá trị
phiếm hàm

là một hàm của các trị số a
i
. Điều kiện cực trị của

được biểu diễn
bởi hệ các phương trình đại số

i
a


=0 với i=1,2,3…,n. (1.25)

Giải hệ phương trình ta tìm được các hệ số a
i
, thay chúng trở lại quan hệ (1.24)
Ta tìm được nghiệm w(x, y) của bài toán biến phân.
Phương pháp Boubnov-Galerkin
Chọn hàm độ võng có dạng (1.24). Từng số hạng f
i
(x, y) của chuỗi này phải
thỏa mãn các điều kiện biên về động học và tĩnh học nhưng không nhất thiết phải
thỏa mãn phương trình Sophie Germain-Lagrange
D
4

w = p
z
(x,y)
Vì phương trình Sophie Germain-Lagrange chính là phương trình cân bằng nội
lực và ngoại lực theo phương z nên tổng các công của chúng trên những chuyển vị
khả dĩ vô cùng nhỏ
w

phải bằng 0.



[D
4

w - p

z
(x,y)]
wdxdy

= 0 (1.26)
Đây là phương trình biến phân của tấm chịu uốn. Từ phương trình này và từ
những điều kiện bắt buộc đối với các hàm f
i
(x, y), ta nhận được hệ phương trình



(D
4

w - p
z
)f
i
(x,y)
dxdy
= 0
…………………… (1.27)
16
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2



(D
4


w - p
z
)f
n
(x,y)
dxdy
= 0
Từ hệ n phương trình đại số này ta tìm được các hệ số a
1
, a
2,
a
3
… a
n
và tìm
được độ võng w và giải được bài toán biến phân.
1.2.2. Các phương pháp số [10]
Việc tính toán kết cấu cho các công trình xây dựng nói chung và công trình
thủy điện nói riêng ngày càng trở nên phức tạp vì hình dạng công trình phong phú,
nhiều loại vật liệu mới được áp dụng và yêu cầu về độ chính xác ngày càng cao.
Trong rất nhiều trường hợp, phương pháp chính xác đã không thể đáp ứng được các
yêu cầu trên và do đó phương pháp số (phương pháp rời rạc hoá) đã ra đời. Các
phương pháp rời rạc hoá bao gồm hai nhóm chính là:
+ Các phương pháp rời rạc kiểu toán học: Trong phương pháp này nghiệm của
bài toán không phải được mô tả qua các hàm mà được thay bằng nghiệm gần đúng
mô tả qua một số hữu hạn đối với việc chọn tương ứng hệ hàm xấp xỉ. Ví dụ
phương pháp lưới ta đã thay các vi phân bằng các sai phân.
+ Các phương pháp rời rạc kiểu vật lý: Bản chất của phương pháp này là ở chỗ

ta thay thế hệ thực (hệ liên tục) bằng một mô hình vật lý gần đúng (bằng một số hữu
hạn các phần tử) mà lời giải của nó được xác định bằng số hữu hạn số.
a. Phương pháp sai phân hữu hạn
Phương pháp sai phân hữu hạn (PP SPHH) là một phương pháp số, gần đúng
để giải phương trình vi phân.
Khi giải bài toán tấm bằng PP SPHH, ta phủ lên bề mặt trung bình S của tấm
mạng lưới các đường song song với các trục, tạo thành lưới chữ nhật có các cạnh

x
,
y

. Trị số

x
,
y

gọi là bước sai phân.
Phương trình Sophie Germain-Lagrange đối với độ võng w đúng trên toàn bộ
mặt S nên cũng đúng tại các nút lưới, chẳng hạn tại điểm “0”

4

w
0
=
p
D

Thay đạo hàm bằng tỷ số các lượng hữu hạn, viết lại phương trình dưới dạng
sai phân khi lấy

x
=

y
=


ta sẽ nhận được
17
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2
20
0 1 2 3 4
w 8(w w w w )
   
+2
5 6 7 8
(w w w w )
  
+
9 10 11 12
w w w w
  
=
4
p
D


Viết lại tất cả n nút lưới nằm bên trong tấm những phương trình tương tự, ta
nhận được hệ n phương trình đại số tuyến tính chứa n ẩn số w tại các nút và cả một
số giá trị w tại những nút nằm trên chu vi tấm cũng như những nút nằm ngoài cách
chu vi một bước sai phân. Những trị số trên và ngoài chu vi tấm được xác định theo
các điều kiện biên (có thể làm biên tựa hoặc biên tự do…).
b. Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH)
Phương pháp phần tử hữu hạn ra đời vào cuối những năm 50 nhưng rất ít được
sử dụng vì công cụ toán còn chưa phát triển. Vào cuối những năm 60 phương pháp
phần tử hữu hạn đặc biệt phát triển nhờ vào sự phát triển nhanh và sử dụng rộng rãi
của máy tính điện tử. Đến nay có thể nói rằng phương pháp PTHH được coi là
phương pháp có hiệu quả nhất để giải các bài toán cơ học vật rắn nói riêng và cơ
học môi trường liên tục nói chung như các bài toán thuỷ khí lực học, bài toán về từ
trường và điện trường.
Phương pháp PTHH ta thay thế môi trường liên tục bằng môi trường gồm một
số hữu hạn các phần tử. Phương pháp này có thể coi là một dạng riêng của phương
pháp biến phân Ritz -Timoshoenko, trong đó các hàm xấp xỉ được chọn trong phạm
vi từng phần tử chứ không phải trong phạm vi toàn kết cấu. Điều này đặc biệt thuận
lợi đối với những bài toán mà miền xác định gồm nhiều miền con có những đặc tính
khác nhau, ví dụ như bài toán phân tích ứng suất trong đập, trong nền không đồng
chất…[1, 2, 3, 8, 9].
Cách phân chia như vậy hoàn toàn mang tính tương đối. Thực chất các
phương pháp này không khác nhau về bản chất mà chỉ khác nhau về cách đi theo
lôgic của con người để đạt đến nghiệm thực. Ví rằng lời giải của mọi mô hình vật lý
đã được chọn thay cho mô hình thực đều có thể xem như là sự vận dụng của một
phương pháp rời rạc toán học nào đó. Ngược lại, sự ứng dụng đơn thuần một
phương pháp rời rạc toán học sẽ dẫn tới nghiệm tương ứng một cách chính xác với
lời giải một mô hình vật lý nhất định.
18
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2
Khi tính bằng phương pháp PTHH, người ta chia kết cấu làm nhiều phần nhỏ,

mỗi phần được gọi là một phần tử. Trường hợp kết cấu là dầm, dàn hoặc khung các
phần tử có thể chọn là một phần của thanh hoặc cả đoạn thanh (xem hình 1.2),
trường hợp kết cấu là tấm tường hoặc tấm chịu uốn các phần tử có thể chọn có dạng
hình học là một hình tam giác, chữ nhật hoặc tứ giác bất kỳ (xem hình 1.3)…
k
m
i
m k
j i
kj
i
j
i

Hình 1.2. Phần tử của kết cấu là dầm, dàn Hình 1.3. Phần tử của kết cấu tấm
Các phần tử chỉ được nối với nhau tại một số điểm trên biên tiếp xúc giữa các
phần tử, các điểm này được gọi là các điểm nút. Chuyển vị tại các điểm nút được
gọi là chuyển vị nút. Lực tác dụng tại các điểm nút hoặc được quy tương đương về
các điểm nút được gọi là các tải trọng nút. Trong phương pháp PTHH, người ta thiết
lập các phương trình liên hệ giữa chuyển vị nút và tải trọng nút. Đây là hệ phương
trình đại số tuyến tính, trong đó ẩn là chuyển vị. Theo thuật toán của PTHH người
ta thiết lập sẵn nhiều chương trình tính, để sử dụng các phương pháp này, người kỹ
sư thiết kế chỉ cần nắm được bản chất cơ học của bài toán và chỉ dẫn sử dụng
chương trình. Nhiều nghiên cứu đã được tiến hành nhằm tiếp cận tốt hơn ứng xử
tương tác của kết cấu nói chung và kết cấu tấm nói riêng.
Đến nay có thể nói rằng, phương pháp PTHH được coi là phương pháp có hiệu
quả nhất để giải các bài toán cơ học vật rắn nói riêng và cơ học môi trường liên tục
nói chung.
19
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2

Với ưu điểm nổi bật là dễ dàng lập chương trình để giải bằng máy tính,
phương pháp PTHH tạo điều kiện thuận lợi cho việc tự động hoá tính toán hàng loạt
kết cấu với những kích thước, hình dạng, mô hình vật liệu và điều kiện biên khác
nhau.
Từ việc đánh giá ưu nhược điểm cho từng phương pháp, tác giả lựa chọn
phương pháp PTHH là phương pháp được sử dụng trong luận văn để tính toán tấm
trên nền và cọc.
1.3. Tổng quan về nền [16, 7]
1.3.1. Đặc điểm của nền đất yếu
Nền đất yếu là một trong những vấn đề mà các công trình xây dựng thường
gặp. Cho đến nay ở nước ta, việc xây dựng công trình trên nền đất yếu vẫn là một
vấn đề tồn tại và là một bài toán khó đối với người xây dựng, đặt ra nhiều vấn đề
phức tạp cần được nghiên cứu xử lý nghiêm túc, đảm bảo sự ổn định và độ lún cho
phép của công trình.
Nền đất yếu là nền đất không đủ sức chịu tải, không đủ độ bền và biến dạng
nhiều, do vậy không thể xây dựng các công trình nếu không có biện pháp xử lý. Đất
yếu là một loại đất không có khả năng chống đỡ kết cấu bên trên, vì thế nó bị lún
tuỳ thuộc vào quy mô tải trọng bên trên.
Khi thi công các công trình xây dựng gặp các loại nền đất yếu, tùy thuộc vào
tính chất của lớp đất yếu, đặc điểm cấu tạo của công trình mà người ta dùng phương
pháp xử lý nền móng cho phù hợp để tăng sức chịu tải của nền đất, giảm độ lún,
đảm bảo điều kiện khai thác bình thường cho công trình.
Trong thực tế xây dựng, có rất nhiều công trình bị lún, sập khi xây dựng trên
nền đất yếu do không có những biện pháp xử lý hiệu quả, không đánh giá chính xác
được các tính chất cơ lý của nền đất để làm cơ sở và đề ra các giải pháp xử lý nền
móng phù hợp. Đây là một vấn đề hết sức khó khăn, đòi hỏi sự kết hợp chặt chẽ
giữa kiến thức khoa học và kinh nghiệm thực tế để giải quyết, giảm được tối đa các
sự cố, hư hỏng của công trình khi xây dựng trên nền đất yếu.
20
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2

Thuộc loại nền đất yếu thường là đất sét có lẫn nhiều chất hữu cơ; sức chịu tải
bé (0,5 - 1kG/cm
2
); đất có tính nén lún lớn (a > 0,1 cm
2
/kG); hệ số rỗng e lớn (e >
1,0); độ sệt lớn (B > 1); mô đun biến dạng bé (E < 50kG/cm
2
); khả năng chống cắt
(C) bé, khả năng thấm nước bé; hàm lượng nước trong đất cao, độ bão hòa nước G
> 0,8, dung trọng bé.
1.3.2. Các loại nền đất yếu chủ yếu và thường gặp
- Đất sét mềm: Gồm các loại đất sét hoặc á sét tương đối chặt, ở trạng thái bão
hòa nước, có cường độ thấp;
- Đất bùn: Các loại đất tạo thành trong môi trường nước, thành phần hạt rất
mịn, ở trạng thái luôn no nước, hệ số rỗng rất lớn, rất yếu về mặt chịu lực;
- Đất than bùn: Là loại đất yếu có nguồn gốc hữu cơ, được hình thành do kết
quả phân hủy các chất hữu cơ có ở các đầm lầy (hàm lượng hữu cơ từ 20 -80%);
- Cát chảy: Gồm các loại cát mịn, kết cấu hạt rời rạc, có thể bị nén chặt hoặc
pha loãng đáng kể. Loại đất này khi chịu tải trọng động thì chuyển sang trạng thái
chảy gọi là cát chảy;
- Đất bazan: là loại đất yếu có độ rỗng lớn, dung trọng khô bé, khả năng thấm
nước cao, dễ bị lún sụt.
1.3.3. Một số biện pháp xử lý nền đất yếu
Kỹ thuật cải tạo đất yếu thuộc lĩnh vực địa kỹ thuật, nhằm đưa ra các cơ sở lý
thuyết và phương pháp thực tế để cải thiện khả năng chịu tải của đất sao cho phù
hợp với yêu cầu của từng loại công trình khác nhau.
Với các đặc điểm của đất yếu như trên, muốn đặt móng công trình xây dựng
trên nền đất này thì phải có các biện pháp kỹ thuật để cải tạo tính năng chịu lực của
nó. Nền đất sau khi xử lý gọi là nền nhân tạo.

Việc xử lý khi xây dựng công trình trên nền đất yếu phụ thuộc vào điều kiện
như: Đặc điểm công trình, đặc điểm của nền đất Với từng điều kiện cụ thể mà
người thiết kế đưa ra các biện pháp xử lý hợp lý. Có nhiều biện pháp xử lý cụ thể
khi gặp nền đất yếu như:
- Các biện pháp xử lý về kết cấu công trình
21
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2
- Các biện pháp xử lý về móng
- Các biện pháp xử lý nền
a. Các biện pháp xử lý về kết cấu công trình
Kết cấu công trình có thể bị phá hỏng cục bộ hoặc hoàn toàn do các điều kiện
biến dạng không thỏa mãn: Lún hoặc lún lệch quá lớn do nền đất yếu, sức chịu tải
bé.
Các biện pháp về kết cấu công trình nhằm giảm áp lực tác dụng lên mặt nền
hoặc làm tăng khả năng chịu lực của kết cấu công trình. Người ta thường dùng các
biện pháp sau:
- Dùng vật liệu nhẹ và kết cấu nhẹ, thanh mảnh, nhưng phải đảm bảo khả năng
chịu lực của công trình nhằm mục đích làm giảm trọng lượng bản thân công trình,
tức là giảm được tĩnh tải tác dụng lên móng.
- Làm tăng sự linh hoạt của kết cấu công trình kể cả móng bằng cách dùng kết
cấu tĩnh định hoặc phân cắt các bộ phận của công trình bằng các khe lún để khử
được ứng suất phụ phát sinh trong kết cấu khi xảy ra lún lệch hoặc lún không đều.
- Làm tăng khả năng chịu lực cho kết cấu công trình để đủ sức chịu các ứng
lực sinh ra do lún lệch và lún không đều bằng các đai bê tông cốt thép để tăng khả
năng chịu ứng suất kéo khi chịu uốn, đồng thời có thể gia cố tại các vị trí dự đoán
xuất hiện ứng suất cục bộ lớn.
b. Các biện pháp xử lý về móng
Khi xây dựng công trình trên nền đất yếu, ta có thể sử dụng một số phương
pháp xử lý về móng thường dùng như:
- Thay đổi chiều sâu chôn móng nhằm giải quyết sự lún và khả năng chịu tải

của nền; Khi tăng chiều sâu chôn móng sẽ làm tăng trị số sức chịu tải của nền đồng
thời làm giảm ứng suất gây lún cho móng nên giảm được độ lún của móng; Đồng
thời tăng độ sâu chôn móng, có thể đặt móng xuống các tầng đất phía dưới chặt
hơn, ổn định hơn. Tuy nhiên việc tăng chiều sâu chôn móng phải cân nhắc giữa 2
yếu tố kinh tế và kỹ thuật.
22
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2
- Thay đổi kích thước và hình dáng móng sẽ có tác dụng thay đổi trực tiếp áp
lực tác dụng lên mặt nền, và do đó cũng cải thiện được điều kiện chịu tải cũng như
điều kiện biến dạng của nền. Khi tăng diện tích đáy móng thường làm giảm được áp
lực tác dụng lên mặt nền và làm giảm độ lún của công trình. Tuy nhiên đất có tính
nén lún tăng dần theo chiều sâu thì biện pháp này không hoàn toàn phù hợp.
- Thay đổi loại móng và độ cứng của móng cho phù hợp với điều kiện địa chất
công trình: Có thể thay móng đơn bằng móng băng, móng băng giao thoa, móng bè
hoặc móng hộp; trường hợp sử dụng móng băng mà biến dạng vẫn lớn thì cần tăng
thêm khả năng chịu lực cho móng; Độ cứng của móng bản, móng băng càng lớn thì
biến dạng bé và độ lún sẽ bé. Có thể sử dụng biện pháp tăng chiều dày móng, tăng
cốt thép dọc chịu lực, tăng độ cứng kết cấu bên trên, bố trí các sườn tăng cường khi
móng bản có kích thước lớn.
c. Các biện pháp xử lý nền đất yếu
Để công trình tồn tại và sử dụng được một cách bình thường thì không những
các kết cấu phần trên phải có đủ độ bền, ổn định mà bản thân nền và móng cũng ổn
định, có độ bền cần thiết và biến dạng nằm trong phạm vi cho phép. Nền là chiều
dày các lớp đất đá trực tiếp chịu tải trọng của công trình do móng truyền xuống.
Móng là phần dưới của công trình làm nhiệm vụ truyền tải trọng của công trình
xuống nền. Việc thiết kế nền móng là một công việc phức tạp vì nó liên quan đến
đặc điểm của công trình thiết kế, nền móng của công trình lân cận, điều kiện địa
chất công trình, địa chất thủy văn của khu đất xây dựng.
Xử lý nền đất yếu nhằm mục đích làm tăng sức chịu tải của nền đất, cải thiện một số
tính chất cơ lý của nền đất yếu như: Giảm hệ số rỗng, giảm tính nén lún, tăng độ

chặt, tăng trị số modun biến dạng, tăng cường độ chống cắt của đất
Chính vì vậy, việc xử lý nền móng thường chiếm tỷ trọng công việc cũng như
kinh phí khá lớn khi xây dựng công trình. Trong lĩnh vực xây dựng cơ bản thì móng
của hầu hết các công trình đều được đặt trên đất, bản thân đất có nhiều loại khác
nhau, trong đó nền đất yếu không đủ khả năng chịu tải trọng lại chiếm đa số, thế
23
Học viên: Lê Thị Huệ Lớp 15C2
nên cho đến nay các nhà khoa học đã nghiên cứu và đưa ra rất nhiều hình thức xử lý
nền móng, phù hợp với từng loại nền đất và kết cấu công trình.
Đối với công trình thủy lợi, việc xử lý nền đất yếu còn làm giảm tính thấm của
đất, đảm bảo ổn định cho khối đất đắp. Các biện pháp xử lý nền thông thường:
- Các biện pháp cơ học: Bao gồm các phương pháp làm chặt bằng đầm, đầm
chấn động, phương pháp làm chặt bằng giếng cát, các loại cọc (cọc cát, cọc đất, cọc
vôi ), phương pháp thay đất, phương pháp nén trước, phương pháp vải địa kỹ
thuật, phương pháp đệm cát
- Các biện pháp vật lý: Gồm các phương pháp hạ mực nước ngầm, phương
pháp dùng giếng cát, phương pháp bấc thấm, điện thấm
- Các biện pháp hóa học: Gồm các phương pháp keo kết đất bằng xi măng,
vữa xi măng, phương pháp Silicat hóa, phương pháp điện hóa
Kết luận
Nền đất yếu có nhiều tác hại và nguy cơ gây mất an toàn cho các công trình
xây dựng. Khi mà nền thiên nhiên không đủ sức chịu, không đủ độ bền và bị biến
dạng nhiều, thì người ta xử lý nhân tạo.
Việc nghiên cứu nền đất yếu và xác định biện pháp xử lý phù hợp có một ý
nghĩa quan trọng. Trong thực tế, có nhiều phương pháp gia cố nền đất yếu, tùy
thuộc vào tính chất của từng loại công trình, tùy thuộc vào điều kiện kinh tế - kỹ
thuật mà lựa chọn phương pháp thích hợp. Có thể là các biện pháp xử lý về kết cấu
công trình, các biện pháp xử lý về móng hay các biện pháp xử lý nền, hoặc sử dụng
kết hợp tổ hợp nhiều biện pháp, giải pháp phù hợp có liên quan.
Tuy có nhiều phương pháp xử lý nền, song trong khuôn khổ luận văn tác giả

chỉ đi sâu nghiên cứu tính toán với nền có cọc ma sát.
1.4. Móng cọc [13, 14]
Từ thời đại xa xưa, loài người đã biết dùng cọc để làm móng nhà. Các di tích
khảo cổ tìm thấy ở nhiều nơi trên thế giới cho biết từ mấy trăm năm trước công
nguyên người ta đã dùng cọc để làm móng nhà sàn trên mặt nước hồ. Có thể người
ta làm nhà trên mặt nước nhằm mục đích chống lại sự tiến công của quân thù, của