NỘI DUNG 3 GTLN GTNN

Hàm số

FB: />
III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Chuyên đề: Hàm số
A. Tóm tắt lí thuyết & phương pháp giải toán
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) ĐỊNH NGHĨA: Giả sử hàm số y  f  x  xác định trên tập hợp D.
 Số M được gọi là GTLN của hàm số y  f  x  trên tập D nếu các điều sau được
thỏa mãn
i) f  x   M x  D
ii) x  D : f x  M
 0
0


Ký hiệu: M  Max f  x 
xD

 Số m được gọi là GTNN của hàm số y  f  x  trên tập D nếu các điều sau được
thỏa mãn
i) f  x   m x  D
ii) x  D : f x  m
 0
0


f x
Ký hiệu: m  min
xD

 Quy ước: Ta quy ước rằng khi nói GTLN hay GTNN của hàm số f mà không
nói "trên tập D" thì ta hiểu đó là GTLN hay GTNN trên TẬP XÁC ĐỊNH của
nó.
 Đối với GTLN và GTNN đối với hàm nhiều biến cũng có định nghĩa tương tự.
2) CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GTLN & GTNN CỦA
HÀM SỐ MỘT BIẾN
a) Phương pháp 1: Sử dụng bất đẳng thức (hay phương pháp dùng định
nghĩa).
Một số kiến thức thường dùng:
a) f ( x )  ax 2  bx  c  a( x 

b 2 
) 
2a
4a

b) Bất đẳng thức Cô-si:

ab
 ab  a  b  2 ab
2
Dấu "=" xảy ra khi a  b
abc 3
 abc  a  b  c  3 3 abc
không âm  a, b, c  0  ta luôn có:
3
Dấu "=" xảy ra khi a  b  c

 Với hai số a, b không âm  a, b  0  ta luôn có:
 Với ba số a, b, c

c) Một số bất đẳng thức cơ bản thường dùng
1) a 2  b 2  2ab  ab 
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

a 2  b2
2

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
2) (a  b) 2  4ab  ab 

( a  b)
4

2

3) (a  b)2  2(a 2  b 2 )  a 2  b 2 

( a  b) 2
2

CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm GTLN của hàm số f  x   2x 2  8x  1 .
Bài giải
♥ Tập xác định: D

♥ Ta có
f  x   2x 2  8x  1  9  2  x  2   9, x  D
2

Dấu “=” xảy ra khi x 2 D
♥ Vậy max
f ( x ) 9 .
x D
Ví dụ 2: Tìm GTNN của hàm số f  x   2x 2  4x  12 .
Bài giải
♥ Tập xác định: D
♥ Ta có
f  x   2x 2  4x  12 = 2  x  1  10  10 ,x  D
2

Dấu “=” xảy ra khi x 1 D
♥ Vậy min
f ( x)
10 .
x D
Ví dụ 3: Tìm GTNN của các hàm số f  x   x 

2
x 1

với x  1;   .

Bài giải
♥ D 1;
♥ Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:

f x  x 

Dấu “=”

2
2
2
 x 1 
 1  2  x  1 .
 1  2 2  1, x  1;  
x 1
x 1
x 1
2
2
x 1
2 x 1
2 D
xảy ra khi x 1
x 1

♥ Vậy min
f ( x) 2 2 1 .
x D
Bài tập tương tự
Tìm GTNN của hàm số f (x)  x  3 

7
x 3

b) Phương pháp 2 : Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình (hay phương
pháp miền giá trị).
Cơ sở lý thuyết của phương pháp: Cho hàm số xác định bởi biểu thức dạng
y  f x

 Tập xác định của hàm số được định nghĩa là :
D  { x  | f(x) có nghĩa}
 Tập giá trị của hàm số được định nghĩa là :
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
T = { y  | Phương trình f(x) = y có nghiệm x  D }
Do đó nếu ta tìm được tập giá trị T của hàm số thì ta có thể tìm đựơc GTLN và
GTNN của hàm số đó.
Một số kiến thức thường dùng:
a) Phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  có nghiệm    0
b) Phương trình a cos x  b sin x  c  a, b  0  có nghiệm  a 2  b 2  c2
CÁC VÍ DỤ
x2  x  2
.
x2  x  2

Ví dụ 1 : Tìm GTLN và GTNN của hàm số y 

(1)

Bài giải
♥ Tập xác định: D
♥ Xem (1) là phương trình theo ẩn x ta có:
y

x2  x  2
 yx 2  yx  2y  x 2  x  2
2
x x2
y 1 x 2 y 1 x 2y 2

0

(2) (Dạng ax 2  bx  c  0 )

+ Trường hợp 1: Với y 1 thì (2) có nghiệm x
+ Trường hợp 2: Với y 1 thì (2) có nghiệm

0

0
7 y 2 18y
9 4 2
7

9

Suy ra tập giá trị của hàm số là T
y

♥ Vậy min
x D

9 4 2
; max y
x D
7

9

4 2
7

4 2 9 4 2
;
7
7

7

9

y

0

4 2
7

.

.
1  sin x
2  cos x

Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y 

.

(1)

Bài giải
♥ Tập xác định: D
♥ Xem (1) là phương trình theo ẩn x ta có:

1  2y  y cos x  1  sin x

y cos x

(2) có nghiệm

c2

a2

b2

Suy ra tập giá trị của hàm số là T
y 0; max y
♥ Vậy min

x D
x D

sin x

y2
0;

1 2y

1

2

1 2y

(2)
2

(dạng a cos x  b sin x  c )
3y 2

4y

0

0

y

3
4

3
.
4

3
.
4

c) Phương pháp 3 : Sử dụng đạo hàm (hay phương pháp giải tích).
 Điều kiện tồn tại GTLN và GTNN:
Định lý: Hàm số liên tục trên một đoạn  a; b  thì đạt được GTLN và GTNN
trên đoạn đó.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
 Phương pháp chung: Muốn tìm GTLN và GTNN của hàm số y  f  x  trên
miền D, ta lập BẢNG BIẾN THIÊN của hàm số trên D rồi dựa vào BBT suy
ra kết quả.
 Phương pháp riêng:
Trong nhiều trường hợp, có thể tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một
đoạn mà không cần lập bảng biến thiên của nó. Giả sử hàm số f liên tục
trên đoạn  a; b  và có đạo hàm trên khoảng  a; b  , có thể trừ một số hữu hạn

điểm . Nếu f '( x)  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc  a; b  thì ta có quy tắc
tìm GTLN và GTNN của hàm f trên đoạn  a; b  như sau:
Quy tắc
1) Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xm thuộc  a; b  mà tại đó hàm số f có đạo hàm bằng
0 hoặc không có đạo hàm.
2) Tính f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xm ), f (a), f (b) .
3) So sánh các giá trị tìm được.
 Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN của f trên đoạn  a; b  .
 Số nhỏ nhất trong các giá trị đó là GTNN của f trên đoạn  a; b  .
CÁC VÍ DỤ
i. XÉT HÀM TRỰC TIẾP
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2 x 3 3 x 2 12 x 2 trên
đoạn 1;2 .
Bài giải
1;2
♥ D
♥ Ta có: y ' 6 x 2 6 x 12

Do y

x

2

x

1 D

y'

0

1

15; y 2

y
♥ Vậy min
x D

D

6; y 1

5; max y

5

min y

5; max y

x D

x D

15

15 .

x D

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y e x x 2 x 1 trên đoạn
0;2

.
Bài giải

♥ D

0;2

♥ Ta có: y ' e x x 2
y'

Do y 0
y
♥ Vậy min
x D

0

2

x

x

2

x

1 D

1; y 2

e2 ; y 1

e; max y
x D

D
e

min y
x D

e; max y
x D

e2

e2 .

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y
Bài giải
2;2
♥ D
4

♥ Ta có: y '
y'

Do y

2

♥ Vậy min
y
x D

x2
4

0

4

x

x2 .

x
x2

2

x
2; y 2

D

2; y

2 2; max y
x D

2

2 2

min y
x D

2 2; max y
x D

2

2 .

ii. ĐỔI BIẾN (ĐẶT ẨN PHỤ)

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2 sin 2 x cos x 1 .
Bài giải
♥ Tập xác định: D
1;1 , hàm số trở thành: y
2t 2 t 3
♥ Đặt t cos x với t
Ta có: y '
Do y

1

♥ Vậy min
y
x D

; y' 0

4t 1

2; y 1

0; y

2 2; max y
x D

1
4

t

1
4

25
8

1;1

min y
x D

0; max y
x D

25
8

2 .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : y  x 4  2 x 2  3 trên đoạn 0;4 .
y’= 0  x=0, x=1  0;4 x= -1 loại
Ta có: f(0) =3 , f(1)=2 , f(4)=227
Vậy GTLN y = 227 , trên 0;4 khi x=4
GTNN y= 2 trên trên 0;4 khi x=1
Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   x  4  x 2 . trên đoạn
1

 2; 2  .

+ Ta có f '(x)  1 

x
4  x2

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
1
2
1 1  15
+ Có f (2)  2;f ( ) 
2
2

+ f '(x)  0  x  2  [  2; ]

maxf(x) 
1
[-2; ]
2

1  15
;

2

minf(x)  2
1
[-2; ]
2

Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x    x  2   x  2  trên
2

2

1
đoạn   ; 2  .
 2



1
Ta có f  x   x 4  4 x 2  4 ; f  x  xác định và liên tục trên đoạn   ;0 ;
f

'

 x  4x

 2

3



 8 x.

Với x   ; 2 , f '  x   0  x  0; x  2
 2 
1

Ta có f     3 , f  0   4, f  2   0, f  2   4 .
16
 2
1

1

1
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x  trên đoạn   ;0 lần lượt là 4 và 0 .
 2



Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y  f  x   x 2  ln 1  2 x 

trên đoạn  1;0.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x   x 2  ln 1  2 x  trên đoạn

 1;0.
x  1

2
Ta có f '  x   2 x 
; f ' x  0  
x   1
1 2x
2

1
1
Tính f  1  1  ln 3; f      ln 2; f  0   0
 2 4
1
f  x    ln 2; max f  x   0
Vậy min
 1;0
 1;0
4

Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x.log x trên khoảng (0;10).
Hàm số đã cho liên tục trên (0;10]. Ta có f '( x)  log x  x.
f '( x)  0  log x   log e  x 

1
 log x  log e .
x ln10

1
.
e

BBT:

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />x

1/e

0

f’(x)

0

-

10
+

f(x)


f '( x)  
Từ BBT ta suy ra min
(0;10]

log e
e

log e
1
x .
e
e

Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f  x   x  3 

- Ta có f  x  liên tục và xác định trên đoạn  2;5 ; f '  x   1 

4
trên đoạn  2;5 .
x 1

4

 x  1

2

- Với x   2;5 thì f '  x   0  x  3
- Ta có: f  2   3, f  3  2, f  5   3
- Do đó: Max f  x   3  x  2  x  5 ,
 2;5

min f  x   2  x  3

 2;5

Câu 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 

x 1
2x  1

trên đoạn 2; 4  .

Hàm số liên tục trên đoạn 2; 4 
Ta có y ' 

1



2x  1

1
3



2

Có y 2   ; y  4  
y=
Vậy max
 
2;4 

 0, x  2; 4 

3
7

3
khi x  4 và
7

min y =
2;4 

1
khi x  2
3

Câu 8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)  2 x 4  4 x 2  10 trên
đoạn  0; 2

f ( x)

xác định và liên tục trên đoạn  0; 2 , ta có: f '( x)  8 x3  8 x
x  0
. Ta có: f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = -6
x  1

Với x   0; 2 thì: f '( x)  0  

f ( x)  f (2)  6

Vậy: M0;2ax f ( x)  f (1)  12; min
0;2








NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ