NỘI DUNG 1 KIẾN THỨC cơ bản về hàm số mũ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (626.12 KB, 13 trang )
Hàm số mũ – hàm số logarit
FB: />
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ
Chuyên đề: Hàm số mũ – hàm số logarit
1. Các định nghĩa:
an a.a...a
(n Z , n 1, a R)
n thừa soá
1
a a a
a 0 1 a 0
1
a n
m
an
a
a
(n Z , n 1, a R / 0)
n
n
am
m
n
1
m
an
( a 0; m, n N )
1
n m
a
2. Các tính chất :
m
n
m n
m n
n m
a .a a
(a ) (a ) a
a
b
( )n
m.n
am
n
am n
a
(a.b)n an .b n
an
bn
3. Hàm số mũ:
Dạng : y ax ( a > 0 , a 1 )
Tập xác định : D R
T R ( a x 0 x R )
Tập giá trị :
Tính đơn điệu:
*a>1
: y ax đồng biến trên R
* 0 < a < 1 : y ax nghịch biến trên R
Đồ thị hàm
số mũ :
y
y=ax
y=ax
y
1
1
x
x
a>1
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
0
Hàm số mũ – hàm số logarit
FB: />
Đạo hàm của hàm số mũ:
e ' e
a ' a .ln a
e ' e .u ' (với u là một hàm số)
a ' a . ln a . u ' (với u là một hàm số)
x
x
x
x
u
u
u
u
DẠNG 1: RÚT GỌN
A. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN
Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
1
x 4 x3 y xy 3 y 4
3 y x2 y 2 3
1
: x y
Ví dụ 1. D 2
x y 1
2
x x y
x 2 xy y
x 4 x3 y xy 3 y 4
3 y x2 y 2
D
x y 1
2
2
x x y
x 2 xy y
x3 y 3 x y 2
x y x y
3
xy
2
x y
x y
3
x y
Ví dụ 2.
1
3
1
3
1
3
: x y
1
1
x y
: x y 1
1
4a 9a 1 a 4 3a 1
B 1
1
1
1
2
2
2
2
a a
2a 3a
2
2
4a 9a 1 a 4 3a 1
B 1
1
1
1
2
a2 a 2
2a 3a 2
Ví dụ 3. A
2
2
2
2
2
a
3
a
3
9a
a 4a 3
4a 9
1
2a 3 a a 1
a
a2
1
1
2
2
a
a
a n b n a n b n
ab 0; a b
a n bn a n bn
a n b n a n b n
A n
a b n a n b n
a n bn bn a n
a n bn
bn a n
4a n b n
bn a n
a n bn
a n bn bn a n b2n a 2n
a nb n n n a nb n n n
ab
ab
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
2
2
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Hàm số mũ – hàm số logarit
Ví dụ 4. B
B
FB: />
a x
1
a x
xa 1 ax -1 1 1 1 1
4
a x
a x
1
1
1
1
1
1
x 1 a 1 x 1 1 x 2 a 2 x a x a
1
-1 a
xa
ax
a 1 x 1 a 1 x 1 4 ax x a x a
4
2
2
1 2 x a 1 x2 a2
4
ax
2 ax
B. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ
Cho a,b là các số dương. Rút gọn biểu thức sau:
Ví dụ 1.
1
a b 12
: a b 2
1 2
b a
2
2
2
1
a b 12
a
: a b 2 1
1 2
:
b a
b
1
Ví dụ 2.
9
a4 a4
1
4
a a
1
4
9
4
1
4
5
4
a a
a a
Ví dụ 3.
3
3
b
5
4
1
2
b
b
1
2
b b
3
2
1
2
1
2
1
a b
2
1
b
a 4 1 a 2
1
4
a 1 a
b
b
1
2
1
2
1 b 1 a 1 a 2
b 1
2
2
2
2
a 3 b a 3 b 3 3 ab
1
1
Ví dụ 4. a 3 b 3 : 2 3
b
.
1
2
2
2
a 3 b a 3 b 3 3 ab
b a
3
1
2
1
2
a b
b2
b b
2
3
a
a3b
3
2
3 a3b
b a b
3
2
3
3
3
3
a b
a 3 b
b
a
1
1
13
13 13 13
13 13
3
3
1 1
a b a b
a b a b
1
3 3
13
a
b
a
b
3
3
3
a
b
:
2
1 1
2
2
2
1
1
1
b
a
13
3
3
3
2a 3 b 3 a 3 b 3
a
b
a b
Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ
Hàm số mũ – hàm số logarit
3
3
a b 2 a
Ví dụ 5. A 3
b a a b3
FB: />2
1
14
4
:
a
b
3
2
32 12
3
1
1
2
a b
a
: a 4 b 4 a b
A 3
3 1
b a a b3
b 2 a 2
1
1 1
a
3 : a4 b4
b ab
Ví dụ 6. B
B
1
1
a : a4 b4
a 2b 3
a 2b 2 1
1
1
ab3 a 4 b 4
a2 4
2
a2 4
a
4
2
a
a2 4
2
a2 4
a
4
2a
a2 4
a
a
2
4
2
2 : a 0
a
2 : a 0
2a
4a 2
1 x x2
1 x x2
Ví dụ 7. A
2
2
2x x2
2x x
1 x x2
1 x x2
A
2
2
2x x2
2x x
1
4 x 2 5 2x 8 2x
5 2x
2
1
5 2 x với
2
x 3,92
3
5 2 x2 x44x x10
2
1
5 2 x
2
2
2
2
Với x= 3,92 x 2 3,92 4 x 2 0, 08 2 4 x 2 0,16
5
3
32
5
2
27
y
2
2
10
3 32 y 2 .3 . Với y = 1,2
Ví dụ 8. B
2 35 y
5
3
32
5
2 27 y
2
2
B
310 32 y 2 .3
2 35 y
5
1 3 1 3
2 2 3. y 5
1 1
3.2 2 y 5 2 32
1
1
22 3y 5
5
1
2
1
1 1
2 52
2 5
5
2
2 5
2 2 .3 y 3 y 3.2 y 2 3 y y 2 .
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
5
Với y=1,2 suy ra y 2 1, 44
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Hàm số mũ – hàm số logarit
FB: />
Rút gọn các biểu thức sau
4
Ví dụ 9.
1
1
2
b
3
3
A 2
.
1
2
a
2
a
a 3 2 3 ab 4b 3
a 3 8a 3 b
4
3
1
3
1
1
1
2
2
a 3 a 8b
a 8a b
b
a3
3
3
A 2
. 1 2
. 1
a3
a 2
2
1 1
2
1
a
a 3 2 3 ab 4b 3
a 3 2a 3 b 3 4b 3 a 3 2b 3
2
2
a 3 a 8b
2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
2
3
1
3
1
3
a
2
3
a 3 a 8b
a 8b
a 2a b 4a b 2a b 4a b 8b
Ví dụ 10.
1 1
1
1
8b a a 3 b 3
a 3 2b 3
B
1
2
1
1
2
6 13
3
3
3
3
3
4a 2a b b
2a b
8b a a b
a 2b
B
1
1
2
1
1
2
6 3
3
3
3
3
3
2
a
b
4
a
2
a
b
b
1
3
1
3
1
3
1
3
2
a3 0
1
13
32 32
3
2 2
a 2b a b
3 3
8b a a b
1
2
1 1
2
1
6
2b 3 a 3 4b 3 2a 3 b 3 a 3
1 1
2
1 2
2
13
3
3
3
3
4b 2a b a a 2b 3 2 2
8b a
a 3 b 3 8b a 6ab ab
3
3
6
6 8b a
13 13
2b a
1
Ví dụ 11.
5
1 1 1
3
7
2
2 3 4 3 4 2
A= 3 .5 : 2 : 16 : 5 .2 .3
A= 3 .5 : 2 : 16 : 5 .2 .3
5
3
3
2
Ví dụ 12. B 0,5
4
4
1
4
1
6250,25 2
4
B 0,5 625
4
1
3
7
4
0,25
1
2
4
1
1
3
54 4
2
2
2.
3
2
1
1
2
19
1
2
1
1
2
1
2
32 53 74 13 14 14
3 5 2 .5 2 3
24
19. 3
19. 3
1
3
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
3
1
1
2
2 2
3 5 2 15
22
2
3
3
16 5
8 19
10
27 27
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Hàm số mũ – hàm số logarit
Ví dụ 13.
FB: />
1 1
a b
a b 14
A 3
1
: a b4
1
1
1
a 4 a 2 b 4 a 4 b 4
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
ab
a 2 b 2 14
a b
a 2 b 2 14
4
4
A 3
:
a
b
:
a
b
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
2 4
4
4
4
4
2
4
4
a b
a a b a b
a a b
1 1
1
1
1
a b a a 2b 2
1
b2 a2 b2
b
. 1
1 1
1
1
1
1
1
a
a 2 a 4 b 4 a 4 b 4 a 2 a 2 b 2
Ví dụ 14.
3
3
34
34
4
a b a b4
B
ab
1
1
a2 b2
3
3
3
1 1
1
1
34
32
34
12
12
4
4
2
2 2
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a b
B
ab
a b
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
a b
a b
a b
Ví dụ 15.
3
1
32
12
1
2
2
x a
x
a
C 1
ax 2
1
xa
x 2 a 2
3
1
32
12
1
2
2
x
a
x
a
C 1
ax 2
1
x a
2
2
x a
2
1
1 1
12
2
1
1
x a x x 2 a 2 a
1 1
x2 a2
2 2
x a
1
1
1
1
1
1
x2 a2
x 2 a 2 x 2 a 2
2
2
1
12
2
x
a
1
1 2
12
2
x a
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Hàm số mũ – hàm số logarit
FB: />
Chứng minh:
Ví dụ 16. a 2 3 a 4b2 b2 3 b4 a 2
3
a 2 3 b2
3
a 2 3 a 4 b 2 b 2 3 a 2 b 4 2 2a 2 b 2 a 2 3 a 2 b 4 b 2 3 a 4b 2 a 2 3 3 a 4b 2 3 3 a 2 b 4 b 2
2 a 2 b 2 a 2 3 a 2 b 4 b 2 3 a 4 b 2 3 a 2b 4 3 a 4b 2
2a 2b 2 3 a 8b 4 3 a 4b8 3 a 8b 4 2 3 a 6b 6 3 a 4b8
Ví dụ 17. 3 6
847 3
847
6
3
27
27
847 3
847
847
847
3
3
6
y 12 3 y 6
Đặt y 6
6
27
27
27
27
847
125
12 3 y 3 36
12 3 y 3
12 5 y
27
27
3
y 3 5 y 12 0 y 3 y 2 3 y 4 0
y3
Ví dụ 18.
8
1
1
38 2
8
3 8 2
3 2
8
38 2
8
38 2
4
3 4 2
4
3 4 2
3 2
3 2 ;VP
4
3 4 2
4
3 4 2
3 2
3 2 3 2 1 VT
Viết dưới dạng lũ thừa với số mũ hữu tỉ các biểu thức sau:
Ví dụ 19. A 5 2 3 2 2
1
1
1
1
1
5
5
31
3
1
1 3
3 3
5
5
A 2 3 2 2 2 2.2 .2 2 2 .2 2 2.2 2 2 5 210
11
Ví dụ 20. B a a a a : a 16 a 0
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Hàm số mũ – hàm số logarit
FB: />1
2
1
1
1
15
1
1
2
3 2 2 11
11
11
7
11
1
3 2
16
1 2
1
a
16
16
6
8
16
2
4
B a a a a : a a a .a : a a .a : a a : a 11 a 4
a 16
C. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ VÔ TỶ
Đơn giản các biểu thức:
2 1
1
a 2 .
a
Ví dụ 1.
2 1
1
a 2 .
a
Ví dụ 2.
a
a
1
2
2 1
a 2 a1
2
a
a . 4 a 2 : a 4
1
1
a2
a a 2 a
a
a . 4 a 2 : a 4
a
Ví dụ 3.
3
a
3
3
Ví dụ 4.
a
3. 3
a3
a 2. .a1,3 : 3 a3
2.
3
1,3
a .a : a
a2
Ví dụ 5.
a2
a
Ví dụ 6.
3
2
2
a
b2
b
3
a
3 2
b2
2
2
b
3
2
2 3
3
2
a 2. .a1,3
a
3
2
a1,3
2
1
a
1
2
b
a
3
a
2
3
1 a 2 3 a 3 a3
3
a
4 3
a
2
b
b
2
3
1 a
2
b 3 a
2
b
3
a
2
b
3
2a
a
2
2
b
3
3
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Hàm số mũ – hàm số logarit
a
2 3
1 a
a
a
a
2 5
3
a
4 3
2 5
3
3
3
b
b
2 7
3
a
FB: />
1 a
3
3
3
a 1 a a
1 a 1 a
1 a
3
3
2 3
2 3
3
1
2 7
3
a
5
3
7 2 5
3
7
2 7
b 3 a 3 a 3 b 3 b 3
a
2 5
3
3
7
a 3 b 3 b
2 7
3
5
7
a 3 b 3
2
1
4 ab
2
3
7
7
7
a
3
a
b
5
7
a
3 3
3
a 3 b 3 b
a
3
a 3 b 3 b
b
5
Ví dụ 8.
a
a
a
Ví dụ 7.
a
2 3
1
4 ab a 2 b 2 2a b 4a b
a
b a b
2
DẠNG 2: SO SÁNH CÁC CẶP SỐ
Nếu hai số là hai căn khơng cùng chỉ số , thì ta phải đưa chúng về dạng có cùng
chỉ số , sau dó so sánh hai biểu thức dưới dấu căn với nha .
Nếu hai số là hai lũy thừa , thì ta phải chú ý đến cơ số , sau đó sử dụng tính chất
của lũy thừa dạng bất đẳng thức .
Hãy so sánh các cặp số sau:
Ví dụ 1. 3 30
Ta có
5
20
3 30 15 305 15 243.105
3 30 5 20
15
15
3
3
5
20 20 8.10
Ví dụ 2. 4 5
3
7
4 5 12 53 12 125
Ta có :
3
7 7 2401
Ví dụ 3. 17
12
3
4
3745
12
28
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Hàm số mũ – hàm số logarit
17 6 173 6 4913
17 3 28
Ta có :
6
2
3
6
28 28 784
Ví dụ 4. 4 13
5
FB: />
23 .
4 13 20 135 20 371.293
4 13 5 23
Ta có :
5 23 20 234 20 279.841
1
Ví dụ 5.
3
3
2
1
.
3
1
3 2
3
Vì
Ví dụ 6. 4
3
1
3
2
4 7;
5
7 54
5
4
7
Ví dụ 7. 21,7 20,8 ;
Vì 1,7 0,8 21,7 20,8
1,7
0,8
1
1
Ví dụ 8. ;
2
2
1,7 0,8
1,7
0,8
1
1
do :
1
2
0 2 1 2
1,2
Ví dụ 9.
3
2
2
3
;
2
1, 2 2
1,2
3
3
do :
3
1 2
2
0
2
Ví dụ 10.
5
7
5
2
2
1;
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Hàm số mũ – hàm số logarit
5
5
0
0
2
5
5
2
do :
1
7
0 5 1 7
7
FB: />
2,5
Ví dụ 11. 2
12
1
;
2
12 6,25
do :
2
2 1
5
Ví dụ 12. 0,7 6
12
2
2,52
2
6,25
1
0,7 3 ;
5 5 4 1 2
5
6 36 36 3
do :
0,7 6
0 0,7 1
2
Ví dụ 13.
20
1
0,7 3
2 30 3 2
20 2 20 1 1 20
2 30 3 2
Ta có : 30 30
3 1 1
Tìm GTLN của các hàm số sau:
Ví dụ 14. y 3 x
x
1
1
1
Đặt t x 0 y x x t 2 t t 0 y ' 2t 1 0 t maxy=y
2
2
4
1
4
Do vậy : y 3 x x 3 4 3 GTLNy 4 3
sin
Ví dụ 15. y 0,5
2
x
1
2
Vì : 0 sin 2 x 1 0 0,5sin x 0,51 y 0,5sin x GTLNy
2
2
1
2
Tìm GTNN của các hàm số sau:
Ví dụ 16. y 2 x 2 x
GTNNy 2
y 2 x 2 x 2
x x x 0
x
x
2 2
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Hàm số mũ – hàm số logarit
FB: />
Ví dụ 17. y 2 x 1 23 x
y2
x 1
3 x
2
2 2
2 x 1 23 x
2 2 4 min y 4
x2
x 1 3 x
x 13 x
2
Ví dụ 18. y 5sin x 5cos x
2
2
5sin x 5cos x
2 min y 2
cos2x=0 x= k
2
2
4
2
sin x cos x
2
y5
sin 2 x
5
cos 2 x
sin 2 x cos 2 x
2 5
2
x
Ví dụ 19. y e1 x
x
ye
1 x 2
e
x
2x
2
1
2
e e x 1
DẠNG 3: TÍNH ĐƠN ĐIỆU
Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
Ví dụ 1.
2 x 2 x
y
2
2 x1 2 x2 1
2 x1 2 x2 1
2 x1 2 x2 1
Giả sử : x1 x2 1 x1 1 x2 x1
x2
x1
x2
2 2
2 2 2
2
2
x1 x2
2 x1 2 x1 2 x2 2 x2
. Vậy hàm số luôn đồng biến trên
2
2
y x1 y x2
Ví dụ 2.
Do
x
1 y
3
3
Ví dụ 3.
Do
y
3
2
y
e
R.
x
. Là một hàm số đồng biến
x
.
2
2
0 1 y
e
e
x
Là một hàm số nghịch biến
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Hàm số mũ – hàm số logarit
FB: />
x
Ví dụ 4. y 3 .
3 2
Do
3
3
3 2
x
3
3 2 1 y
là một hàm số nghịch biến
3 2
1
Ví dụ 5. y 3
3 2
x
x
1
x
y3
3 2 3
x
x
x
1
3
2
là
3
3 2
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
một hàm số đồng biến ( 3 2 3 )
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
