NỘI DUNG 2 KIẾN THỨC cơ bản về hàm số LÔGARÍT

Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LOGARIT
Chuyên đề: Hàm số mũ – hàm số logarit

1. Định nghĩa:

Với a > 0, a  1 và N > 0
log a N  M

Điều kiện có nghĩa:

dn



aM  N

có nghĩa khi

log a N

a  0

a  1
N  0


2. Các tính chất :
 log a 1  0

 log a a  1
 loga aM  M
 aloga N  N
 log a (N1 .N 2 )  log a N1  log a N 2
 log a (

N1
)  log a N1  log a N 2
N2

 loga N  . loga N

Đặc biệt : loga N2  2. loga N

3. Công thức đổi cơ số :
 log a N  log a b. log b N
 log b N 

log a N
log a b

* Hệ quả:
 loga b 

1
log b a

và

log

ak

N

1
log a N
k

4. Hàm số logarít:
Dạng y  log a x ( a > 0, a  1 )
 Tập xác định : D  R
 Tập giá trị
TR
 Tính đơn điệu:
*a>1
: y  log a x đồng biến trên R
* 0 < a < 1 : y  log a x nghịch biến trên R
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
 Đồ thị của hàm số lôgarít:
y

O

y

y=logax

y=logax

1

x

1

x

O

0
a>1

 Đạo hàm của hàm số lôgarit:
1
x
u'
 ln u  ' 
u

 ln x  ' 

và

 ln x  '  1x

và

 ln u  '  uu'

(với u là một

hàm số)

 log a u  ' 

 log a x  ' 

1
x ln a

u'
u.ln a

và

và

 log

a

u ' 

 log

a

u'
u.ln a

x ' 

1
x ln a

(với u là một hàm số)

I. SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VỀ LOGARIT
 Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau :
a/ y  log 1
2

x 1
.
x5

x 1

 x 1
log 1
0

 x 1
 2

 x 1  1
1  0
 0  x  1
 2 x 1



Điều kiện : 

  x 1
  x 1
 x 1  0
 x 1  0
 x  1  x  1  x  1  x  1


x

1

 x 1
Vậy D= 1;  


x2  1 

b/ y  log 1  log5

.
x3 
5 

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit
FB: />2


x 1 
 x2  x  2
log 1  log 5
0
 x3  0
x3 
 x2  1
 3
 2
 x  3  1

x2  1
 x  5 x  14
Điều kiện : 0  log 5
1



0
2
x3
x3

0  x  1  5



 x  3
x2  1
x3
0

5


x3


3  x  1  x  2

 x   3; 2    2;7 
  x  3  2  x  7

 Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau :

 14  12 log9 4
log125 8 
log7 2

81

25
 .49
a. 


 14  12 log9 4
 4 14  12 log9 4  2log53 23  2log7 2
log125 8 
log7 2
 5
 25
 81
 .49   3 
7




1
2 .3log5 2 

3

log 4
  31 log3 4  5 3
 7 7    4  4  19
4





1 log 4 5

b. 16

1 log 4 5

16

4

4

1
log 2 3 3log5 5
2

1
log 2 3 3log5 5
2

4 

2 1 log 4 5

 2log2 36log5 5  16.25  3.26  592

 12 log7 9log7 6  log 3 4 

c. 72  49
5



 12 log7 9  log7 6
1
 log 4 
 9
72  49
 5 5   72 7log7 9  2 log7 6  52 log5 4  72     18  4,5  22,5
 36 16 







log 5
log 36
1 lg 2
d. 36 6  10  3 9

36log6 5  101lg2  3log9 36  6log6 25  10log5  25  5  30
II. SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC VỀ LO-GA-RÍT
 Bài 1. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a. A  log 9 15  log 9 18  log 9 10
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
A  log 9 15  log 9 18  log 9 10  log 9

1
2

15.18
1
3
 log 9 33  log 3 33 
10
2
2

b. B  2log 1 6  log 1 400  3log 1 3 45
3

3

3

1
 36.45 
2
4

B  2 log 1 6  log 1 400  3log 1 3 45  log 1 
  log 1 9   log 3 3  4
2
3
3
3
3  20 
3

1
2

c. C  log36 2  log 1 3
6

1
1
1
1
1
C  log36 2  log 1 3  log 6 2  log 6 3  log 6 2.3 
2
2
2
2
2
6

d. D  log 1  log3 4.log 2 3
4

1
1
D  log 1  log 3 4.log 2 3   log 4  log 2 3.log 3 4    log 4  log 2 4    log 2 2  
2
2
4

 Bài 2. Hãy tính
a. A  log 2  2sin


 



  log 2 cos
12 
12

 


 
1


 
A  log 2  2sin   log 2 cos  log 2  2sin .cos   log 2 sin   log 2  1
12 

12
12
12 
2


 6

b. B  log 4  3 7  3 3   log 4  3 49  3 21  3 9 
B  log 4



3



7  3 3  log 4



3



49  3 21  3 9  log 4 




3

733



3



49  3 21  3 9   log 4  7  3   1


c. C  log10 tan 4  log10 cot 4
C  log10 tan 4  log10 cot 4  log  tan 4.cot 4   log1  0

1
3

d. D  log 4 x  log 4 216  2 log 4 10  4 log 4 3
1
D  log 4 x  log 4 216  2log 4 10  4log 4 3
3
1
6.34
35
 log 4 63  log 4 102  log 4 34  log 4 2  x 
3
10
50

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
 Bài 3. Hãy tính :
a. A  log a a3 a 5 a
 3 1  1 
1 1 37
A  log a a3 a 5 a  log a  a 2 5   3   
2 5 10



b. B  log a a 3 a 2 5 a a
1
 1 1  1  2  3 


3
 27  3

2 5  
a a  log a a
 1    1 3



10
 10 


1

B  log a a 3 a 2 5

c. log 1
a

a 5 a3 3 a 2
a4 a

 1 53  23
a 5 a3 3 a 2
a
log 1


log
a
 11
a4 a
 a2 4
a



    34  3    91




60
 15 4 



d. log tan10  log tan 20  log tan 30  ....  log tan 89 0
log tan10  log tan 20  log tan 30  ....  log tan 890  log  tan10 tan 890.tan 20.tan 87 0...tan 450   0

( vì : tan 890  cot10  tan10 tan 890  tan10 cot10  1 ; Tương tự suy ra kết quả)
e. A  log3 2.log 4 3.log 5 4......log15 14.log16 15
A  log 3 2.log 4 3.log 5 4......log15 14.log16 15  log16 15.log15 14....log 5 4.log 4 3.log 3 2  log16 2  

f. A 

A

1
1
1
1


 .......... 
log 2 x log 3 x log 4 x
log 2011 x

1

4

 x  2011!

1
1
1
1


 .......... 
 log x 2  log x 3  ...  log x 2011  log x 1.2.3...2011
log 2 x log3 x log 4 x
log 2011 x

 log x 2011!.

Nếu x=2011! Thì A= log 2011!  2011!  1

 Bài 4. Chứng minh rằng :

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit
FB: />2
2
2

a. Nếu : a  b  c ; a  0, b  0, c  0, c  b  1 , thì :
log c b a  log c b a  2 log c b a.log c b a

Từ giả thiết : a 2  c 2  b2   c  b  c  b   2  log a  c  b   log a  c  b 
2

1
1

 2log c b a.log c b a  log c b a  log c b a
log c b a log c b a

b. Nếu 0nhân ( theo thứ tự đó ) là :
log a N log a N  logb N

 a, b, c  1
log c N logb N  log c N

Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có : b 2  ac
Lấy lo ga rít cơ số N 2 vế :
1
1
1
1



logb N log a N log c N logb N
log a N  log b N log b N  log c N

log a N log a N  log b N
. ( đpcm )




log a N .log b N
log c N .log b N
log c N log b N  log c N

 2log N b  log N a  log N c 

c. Nếu : log x a,log y b,log z c tạo thành cấp số cộng ( theo thứ tự đó )thì :
logb y 

2log a x.log c z
 0  x, y, z, a, b, c  1
log a x  log c z

Nếu : log x a,log y b,log z c tạo thành cấp số cộng thì log x a  log z c  2log y b


2log a x.log c z
1
1
2


 logb y 
log a x log c z logb y

log a x  logc z

d. Giả sử a,b là hai số dương thỏa mãn : a 2  b 2  7ab . Chứng minh : ln
ab
2
Nếu : a 2  b2  7ab   a  b   9ab  
  ab .
 3 
 ab 
 a  b  ln a  ln b
2ln 
  ln a  ln b  ln 

2
 3 
 3 

a  b ln a  ln b

3
2

2

e. Chứng minh :
log ax  bx  

Lấy ln hai vế ta có :

log a b  log a x

1  log a x

Vế trái : log ax bx 

log a bx log a b  log a x

 VP   dpcm 
log a ax
1  log a x

f. Chứng minh :
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
VT= log x a  log x a 2  ...log x a k  1  2  3  ...  k  log x a 

k 1  k 
 VP
2log a x

k  k  1
1
1
1


 ......... 

log a x log a2 x
log ak x 2log a x

III. SỬ DỤNG CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ
 Bài 1. Tính
a. A  log 6 16 . Biết : log12 27  x
log3 27
3
3
3 x
3 x
(*)

 x  log3 4   1 
 log 3 2 
log3 12 1  log3 4
x
x
2x
2  3  x  .2 x 12  4 x
log 24
4log3 2
Do đó : A  log6 16  3 
. Thay từ (*) vào ta có : A=

x  x  3
x3
log3 6 1  log3 2

A  log 6 16 .

Từ : log12 27  x 

b. C  log 3 135 . Biết: log 2 5  a;log 2 3  b
Từ : C  log3 135  log3 5.33  log3 5  3 

log 2 5
a
a  3b
3  3 
log 2 3
b
b

c. D  log 6 35 . Biết : log 27 5  a;log8 7  b;log 2 3  c
1
3

1
3
log 2 5.7 log 2 5  log 2 7 log 2 3.log3 5  log 2 7 b.3a  3b 3b  a  1
D  log 6 35 




log 2 2.3
1  log 2 3
1  log 2 3

1 b
b 1

Ta có : a  log 27 5  log 3 5  log 3 5  3a; b  log 8 7  log 2 7  log 2 7  3b (*)
Suy ra :

d. Tính : log 49 32 . Biết : log 2 14  a
Ta có : log 2 14  a  1  log 2 7  a  log 2 7  a  1
Vậy :

log 2 25
5
5
log 49 32 


2
log 2 7
2 log 2 7 2  a  1

 Bài 2. Rút gọn các biểu thức
a. A   log a b  logb a  2  log a b  log ab b  logb a  1
2

 log a b  1 
A   log a b  logb a  2  log a b  log ab b  logb a  1  
 1  log ab a   1 
 log a b 
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
2

2

2

 log a b  1  
 log a b  1  

 log a b  1   log a b 
log a a 
1

 1 
 1  
 1 
 1  
 
 1
 log a b   log a ab 
 log a b   1  log a b 
 log a b   1  log a b 
log a b  1
1


1 
 logb a
log a b
log a b

b. B  log 2 2 x 2   log 2 x  x log  log
x

2

x 1

1
 log 22 x 4
2

1
1
2
 log 22 x 4  1  2 log 2 x   log 2 x  log 2 x  1   4 log 2 x  
2
2
2
2
2
1  3log 2 x   log 2 x   8  log 2 x   9  log 2 x   3log 2 x  1
B  log 2 2 x 2   log 2 x  x

log x  log 2 x 1

c. C  log a p  log p a  2  log a p  log ap p  log a p
C  log a p  log p a  2  log a p  log ap p  log a p 



 log a p  1 
log a p

log 2a p 

 log a p 
 1  log a p 



 log a p  1
2
a

log p

2


log a p 
 log a p 
 log a p 
1  log a p 




3

log a p

 Bài 3. Trong mỗi trường hợp sau , hãy tính log a x , biết log a b  3;log a c  2 :
a. x  a 3b 2 c
Ta có : log a x  log a  a 3b 2 c   3  2 log a b  log a c  3  2.3  1  8  23
1
2

b. x 

a4 3 b
c3

 a4 3 b 
1
1
2 28
Ta có : log a x  log a  3   4  log a c  3log a c  4   2   6  10  
3
3
3 3
 c 

c. x 

a 2 4 bc 2
3
ab 4 c

Ta có :
 a 2 4 bc 2 
1
1
1
log a x  log a  3 4
  2  log a b  2log a c   4log a b  log a c
4
3
2
 ab c 
3
1
161
 2   4   12  1 
4
3
12

 Bài 4. Chứng minh
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
1
2

a. log  a  3b   log 2   log a  log b  với : a  3b  0; a 2  9b 2  10ab
2
Từ giả thiết : a  3b  0; a 2  9b 2  10ab  a 2  6ab  9b 2  4ab   a  3b   4ab

1
2

Ta lấy log 2 vế : 2 log  a  3b   2 log 2  log a  log b  log  a  3b   log 2   log a  log b 
b. Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 1, ta có :
b
c
 log 2a
c
b



log 2a



Trong ba số : log 2a ;log 2b ;log 2c

log a b.log b c.log c a  1

;
b

c
b

b
c

c

a
c

a

b
luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
a

c
b

Chứng minh : log 2a  log 2a .
1

2

b
c

c
b
c
c
* Thật vậy : log a  log a     log a  log 2a    log a   log 2a
c
b
c 
b
b
b
* log a b.logb c.log c a  1  log a b.log b a  log a a  1

* Từ 2 kết quả trên ta có :
2

c
a
b 
b
c
a
log log 2b log 2c   log a .log b log c   1 Chứng tỏ
b
c c
a a
c a
a b
 bc
2

a
b

trong 3 số luôn có ít nhất một số

lớn hơn 1
IV. BÀI TẬP VỀ SO SÁNH
 Nếu so sánh hai loga rít có cùng cơ số thì ta chú ý đến cơ số trong hai trường
hợp (0;1) và lớn hơn một để so sánh hai biểu thức bị lo ga rít hóa với nhau
 Trong trường hợp hai lo ga rít khác cơ sô , khác biểu thức bị lo ga rít hóa thì ta
chọn một số b nào đó . Sau đó ta so sánh hai lo ga rít với số b . Từ đó suy ra kết
quả
 Ví dụ 1: so sánh hai số : log 3 4  log 4
log 3 4  log 3 3  1;log 4

 Ví dụ 2. So sánh :

1
3

. Ta có :

1
1
 log 4 4  1  log 3 4  log 4
3
3
log 6 1,1
log 6 0,99
3

7
. Ta có :

3log6 1,1  3log6 1  1; 7 log6 0,99  7 log6 1  1  3log6 1,1  7 log6 0,99

 Bài 1. Không dùng bảng số và máy tính .Hãy so sánh :
a/ log0,4 2  log0,2 0,34 .

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit
FB: /> 2  1  log 0,4 2  log 0,4 1  0
 log 0,2 0,3  log 0,4 2
Ta có : 
0,3  1  log 0,2 0,3  log 0,2 1  0

3
4

2
5

b/ log 5  log 3 .
3

Ta có :

4

3
3
5
 3  1  0  4  1  log 5 4  log 5 1  0
2
3

3
3
 log 3  log 5

4 5
3 4
0  3  1, 0  2  1  log 2  log 1  0
3
3

4
5
4 5
4
log5

c/ 2log 3  3
5

Ta có :

1
2

.

log 5 3  log 5 1  2log5 3  2log5 1  20  1
1

1
 log 5 3  log 5

log5
1
log
1
0
2
log 5  log 5 1  3 2  3 5  3  1

2

d/ log3 2  log 2 3 .
log3 1  log3 2  log3 3  0  log 3 2  1
 log 2 3  log3 2
log 2 2  log 2 3  log 2 4  1  log 2 3  2

Ta có : 

e/ log 2 3  log 3 11 .
1  log 3  2

2
Ta có : 
 log3 11  log 2 3
log3 11  log 3 9  2

f/ 2

2log 2 5 log 1 9
2

 8.

Ta có : 2log 2 5  log 1 9  log 2 25  log 2 9  log 2
2

25
2log 2 5 log 1 9
log 2
25
25
2
2
2 9 
9
9

2log 2 5 log 1 9
25
25

625
648
2
Nhưng :



 82
 8
9
92
81
81
2

g/ 4

log 2 3 log 4

Ta có : 4
Nhưng :

5
11

 18 .

log 2 3 log 4

5

11

2

1
5
2log2 3 log2
2
11

2

log 2 9 log 2

5
11

2

log 2

9 11
5



9 11
81.11

5

5

5
log 2 3 log 4
81.11
891
90
11


 18  4
 18
5
5
5

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

h/ 9

log3

8
2  log 1
9

 5.

9

log3 2  log 1

Ta có : 9

k/

1
 
6

9

1
log 6 2  log
2

Ta có :

1
 
6

FB: />
6

8
9

2log3 2  log9

3

8
9

8
9

log3 2  log3

3

 2.3 
log3 

 8

3



6
36
40



 5
8
8
8

5

 3 18 .

1
log6 2  log
2

6

5

6

 log6 2  log6 5

6

 log6 10

6

log6

1
10



1 3 1

 3 18
10
1000

 Bài 2. Hãy so sánh :
a/ log 2 10  log 5 30 .
log 10  log 8  3

2
Ta có :  2
 log 2 10  log5 30
log5 30  log5 36  3

b/ log3 5  log 7 4 .
log 5  log 3  1

3
Ta có :  3
 log3 5  log 7 4
log 4  log 7  1



7

7

1
e

c/ 2 ln e3  8  ln .

Ta có :

2 ln e3  2.3  6
1

 8  ln  2 ln e3

1
e
8  ln  8  1  9
e


 Bài 3. Hãy chứng minh :
1
2

a/ log 1 3  log3  2 .
2

2

Nhưng :

1

1

2

1

 2  *
1
log 3
2
1
1
1
1
1
log 3  0   log 3 
 2  log 3 
 2
2
2 log 1
2 log 1
3
3
2
2

Ta có : log 1 3 

1
log 3
2

 log 3

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit
b/ 4log5 7  7log5 4 .

Ta có : 4log 7   7log 4 
5

7

log5 7

FB: />
 7log5 7.log7 4  7log5 4 . Vậy 2 số này bằng nhau

c/ log 3 7  log 7 3  2 .
Ta có : log3 7  0  log3 7  log 7 3  log3 7 

1
2
log3 7

d/ 3log 5  5log 3 .
2

2

Ta có : 3log 5   5log 3 
5

2

e/

log2 5

 5log2 5.log5 3  5log2 3

1
 log 3  log19  log 2 .
2

1
 log 3  log 10  log 3  log 3 10  log 900

2
Ta có : 
log19  log 2  log 19  log 361


2
4

361
1
 log 900  log
  log 3  log19  log 2
4
2

f/ log

5 7
2

Ta có :



log 5  log 7
.
2

5 7
5 7
log 5  log 7
 5. 7  log
 log 5. 7 
2

2
2

 Bài 4. Hãy so sánh :
6
5

a. log 3  log 3

5
6

6
5

6 5
log 3 5  log 3 5  0
6
5
6
5
 
Ta có : 
 log 3  log 3 . Hoặc :  5 6  log 3  log 3
5
6
5
6
3  1
log 5  log 6  0

3
3

6
6

b. log 1 9  log 1 17
3

3

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit
1

0   1
Ta có :  3  log 1 9  log 1 17
3
3
9  17

FB: />
c. log 1 e  log 1 
2

Ta có :

2

1

0   1
 log 1 e  log 1 
2

2
2
e  

HÀM SỐ LO-GA-RÍT
I. ĐẠO HÀM :
 Bài 1. Tính đạo hàm các hàm số sau :
a. y   x 2  2 x  2  e x
y   x2  2x  2 ex  y '   2x  2 e x   x2  2x  2 e x   x2  e x

b. y   s inx-cosx  e2 x
y   s inx-cosx  e 2 x  y '   cosx+sinx  e 2 x  2  s inx-cosx  e 2 x   3sin x  cosx  e 2 x

c. y 

e x  e x
e x  e x

e x  e x  e x  e  x    e x  e x  e x  e  x 

e x  e x

4
y  x x  y ' 

2
2
e e
 e x  e x 
 e x  e x 

d. y  ln  x 2  1
y  ln  x 2  1  y ' 

e. y 
y

2x
x 1
2

ln x
x

ln x
1 1
 1  ln x
 y '  2  .x  ln x  
x
x x
x2


NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
f. y  1  ln x  ln x
y  1  ln x  ln x  y ' 

ln x 1  ln x 1  2 ln x


x
x
x

 Bài 2. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a. y  x 2 ln
y  x 2 ln



x2  1







x 2  1  y '  2 x.ln





x2  1 

x2 x
 2 x.ln
2  x 2  1





x2  1 

x3
2  x 2  1

b. log 2  x 2  x  1
y  log 2  x 2  x  1  y ' 

2x 1
 x  x  1 ln 2
2

c. y  3 ln 2 x
2
1
2
 1

 2
y  3 ln 2 x  y '   ln x  3  '   ln x  3  3
x 3x ln x

 3

x4

 x4

d. y  log 2 

1  16
x4
16
 x4
y  log 2 
:

 2
 y' 
2



ln 2   x  4  x  4   x  4  ln 2
 x4

 x2  9 

 x5 

e. y  log3 

2
 x2  9 
1  2 x  x  5  x  9 x 2  9 
x 2  10 x  9
y  log 3 
:


 y' 
2
ln 3 
x  5   x  5   x 2  9  ln 3
 x  5
 x5 

 1 x 

 2 x 

f. y  log 











x 1
 1 x 
1  x 1 1 x 
y  log 

y
'

:


ln10  16 x x 2 x  8 x ln10 1  x
 2 x 



NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309




SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
II. GIỚI HẠN
 Bài 1. Tìm các giới hạn sau :
a. lim
x 0
lim

ln  3 x  1  ln  2 x  1
x

ln  3 x  1  ln  2 x  1

x 0

x

b. lim
x 0

lim
x 0

ln  3 x  1

ln  2 x  1
 lim
 3 2 1
x 0
x 0
3
2
x
x
3
2

 lim

ln  3 x  1
sin 2 x

ln  3x  1
sin 2 x

c. lim
x 0

ln  3x  1
3
3x
 lim

x 0
sin 2 x

2
2x
2x
3x

ln  4 x  1
x

ln  4 x  1
ln  4 x  1
 lim 4
4
x 0
x 0
x
4x

lim

d. lim
x 0

e5 x  3  e3
2x

e5 x  1 5e3
e5 x  3  e 3
3 
lim
 lim e 5


x 0
x 0
2x
2.  5 x 
2

e.

ex 1
lim
x 0
x 1 1

lim
x 0

ex 1
ex 1
 lim
x  1  1 x 0 x





x  1  1  1.2  2

 Bài 2. Tìm các giới hạn sau
a. lim

x 0

ln  2 x  1
tan x

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit
ln  2 x  1
2x
ln  2 x  1
2x
lim
 lim
2
x 0
x

0
tan
x
tan x
x
x

b. lim
x 0

FB: />
e 2 x  e3 x
5x

e 2 x  e3 x
e2 x  1
e3 x  1 2 3
1
lim
 lim
 lim 3
  
x 0
x

0
x

0
5
5x
5  3x  5 5
5
.2 x
2

c. lim
x 0

e3 x  1
x

e3 x  1
e3 x  1
 lim 3
3
x 0
x 0
x
3x

lim



1



d. lim  xe x  x 
x 




 1

 e x 1 
 1x


 1x 
lim  xe  x   lim x  e  1  lim 
 1
x 

 x 
 x  1 
 x 

e. lim
x 0
lim
x 0

sin 3 x
x

sin 3 x
sin 3 x
 lim 3
3
x

0
x
3x

f. lim
x 0

1  cos5x
x2

5x
2sin 2
1  cos5x
2  25
lim
 lim
2
2
x 0
x 0
x
2
4  5x 
 
25  2 

 Bài 3. Tìm các giới hạn sau :
a. lim
x 0

cosx  cos3x
sin 2 x

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

Hàm số mũ – hàm số logarit
FB: />2
2sin 2 x sin   x 
cosx  cos3x
4 cos x.sin x
lim
 lim
 lim
4
2
2
x 0
x 0
x 0
sin x
sin x
sin 2 x


b. lim 
 t anx 
x   cosx

2
1

 1


lim 
 t anx  .
 cosx
x 

2





2

2

Đặt : t   x  x  t 



2sin 2

t
2

t
t
2sin cos
2
2

 tan

c. xlim
 x  2  sin


3
lim  x  2  sin .
x 
x

t
.
2

Khi

1
1  cost


 tan   t  
 cot t 
sint


 2  sin t
cos   t 
2 
t

tan

2
 1

2 
x  ; t  0  lim 
 t anx   lim

t

0
2
t t
x   cosx

2
2

1
 t anx=
cosx

1

3
x

Đặt :

 x  ; t  0
1
3

t 
 lim  x  2  sin  lim  6t  3  3
3 
1
x

x
x t 0
 x  2  x   2  t  3t  6t  3






 2  2 cos x 

d. lim 


x 
4
 sin  x  4  







x  t  ; x  ;t  0

4
4



 2  2 cos x 




 . Đặt : x   t  
2  2 cos   t 
lim 


4

 4   2 1  cost+sint 
x 
 2  2 cos x 
4
 sin  x  4  



sin t
sint




 sin  x  4 



t
t
t
t
t
2sin 2  2sin cos
sin  cos
2 1  cost+sint 
2
2
2 2
2
2  2 tan t  2
Do đó :
 2
t
t
t
sint
2

2sin cos
cos
2
2
2


 2  2 cos x 
t
  lim  2 tan  2   2
Vậy : lim 
   t o 
2

x 

4
 sin  x  4  




NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ