NỘI DUNG 3 PHƯƠNG TRÌNH mũ LÔGARÍT

Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
III. PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT
Chuyên đề: Hàm số mũ – hàm số logarit
1. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:
1. Định lý 1: Với 0 < a  1 thì : aM = aN
2. Định lý 2: Với 0 < a <1 thì :

 M=N

aM < aN  M > N (nghịch biến)

3. Định lý 3: Với a > 1 thì : aM < aN  M < N (đồng biến )
4. Định lý 4: Với 0 < a  1 và M > 0;N > 0 thì : loga M = loga N  M = N
5. Định lý 5: Với 0 < a <1 thì :

loga M < loga N  M >N (nghịch biến)

6. Định lý 6: Với a > 1 thì : loga M < loga N  M < N (đồng biến)

2. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT:
Dạng cơ bản: ax  m (1)
 m  0 : phương trình (1) vô nghiệm
 m  0 : ax  m  x  loga m
Dạng cơ bản: loga x  m
 m  : loga x  m  x  am

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
a. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng : aM = aN ; log a M  log a N
(Phương pháp đưa về cùng cơ số)

Ví dụ 1: Giải phương trình 0,125.4

2x 3

 2


 8 



x

(1)

Bài giải
♥ Đưa hai vế về cơ số 2, ta được:
2 3.24 x

1

6

5

24 x

9

22

x

5
2

2
x

4x 9

5
x
2

3
x
2

9

x

6

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 6 
Tự luyện: Giải các phương trình sau
1) 1,5
4) 3x

2

5x 7

3x 2

x 1

2
3

2) 4.2

1
4

x

x

3) 3x.23 x

576

1 x

3

Ví dụ 2: Giải phương trình log 2 x 1

2 log 4 3x

2

2

0

(1)

Bài giải
♥ Điều kiện:
♥ Khi đó: 1

x 1
3x

0
2

0

log 2 x 1

log 2

x

1

x

2
3

log 2 3 x

x 1
3x 2

x 1
3x 2

1
4

4x

3x

4

x

1

2

(*)
2

2

2

x

2

[thỏa (*)]

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 2 
Ví dụ 3: Giải phương trình log 2 x  log3 x  log 6 x  log36 x
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

(1)
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />

Bài giải
♥ Điều kiện: x 0
♥ Áp du ̣ng công thức log a c  log a b  logb c ,  0  a, b, c; a  1; b  1 , ta có
1  log 2 x  log3 2  log 2 x  log 6 2  log 2 x  log36 2  log 2 x
 log 2 x  log 3 2  log 6 2  1  log 36 2   0 *

Do log3 2  log 6 2  1  log36 2  0 nên

 *

 log 2 x  0  x  1

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 1 
Tự luyện: Giải các phương trình sau
1) log3 x log 3 x 2 1
3) log x 2 7 x 6 log x 1 1

2) log3 x 1 log3 x 2 log3 6
4) 2 log2 2x  2  log 1 9x  1  1
2

5) log 1
3

1
32 x 1

1
 log 3 3 (2  3x 1 )
3

6)

7) log 4 x 12 .log x 2 1
log 1 x

1

log 1 x

2

1

1
log 2
x

log 1 x 2

x 3

2

8)
log 1 7

2

x

1

2

10) log 7  x 2  2   log 1 8  x   0

9) log 4  x  3  log 2  x  7   2  0

7

11) log3  2 x  7   log 1  x  5  0
3

Ví dụ 4: Giải phương trình: log3(x  1)2  log 3 (2x  1)  2

(1)

Bài giải
♥ Điều kiện:

x 1

0

2x 1

♥ Khi đó:

0

1

x

1

x

1
2

(*)

2 log 3 x 1

log 3 x 1

2 log 3 2 x 1

log 3 2 x 1

log 3 x 1 2 x 1
x 1 2x 1

Với

1
2

x

1

thì 2

2

1

1

(2)

3

1 x 2x 1

2 x2

3

3x

4

0 : phương trình

vô

nghiệm

Với x 1 thì 2

x 1 2x 1

3

2x

2

3x

2

0

1
2

x
x

loaïi

[thỏa (*)]

2

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 2 
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
Tự luyện: Giải các phương trình sau
1) log 2 x 2
2) log2 x

2 log 2 3 x

2

4

log 4 x

5

2

log 1 8

0

2

3) 2 log3 x 2 log 3 x 4

4) log2 x 2 log2 x 5

2

0

log 1 8

0

2

5) log 2 1 2 x x 2

2 log 2 3

x

b. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số

Ví dụ 5: Giải phương trình 9x 4.3x 45 0

(1)

Bài giải
♥ Đặt t 3x với t 0 , phương trình (1) trở thành t 2 4t 45 0
t

2

Với t

9

thì 3x

9

x

t

(2)

loaïi

5
9

2

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 2 
Tự luyện: Giải các phương trình sau
1) 16x 17.4x 16 0
2) 25x 6.5x 5 0
3) 32x+8  4.3x+5 + 27 = 0
4) 9 x

2

x 1

10.3x

2

x 2

1

0

Ví dụ 6: Giải phương trình 3x

1

18.3

x

29

(1)

Bài giải
♥ Biến đổi phương trình (1) ta được
1

3.3x

18
3x

29

(2)

♥ Đặt t 3x với t 0 , phương trình (1) trở thành 3t 2 29t 18 0

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

(3)

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
2
3
9

t

3

t

Với t

9

thì 3x

9

Với t

2
3

thì 3x

2
3

x

2

x

2
3

log 3

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 2; x log 3

2
3



Tự luyện: Giải các phương trình sau
1) 5x 1 53
2) 101

x2

x

26
x2

101

0
99

Ví dụ 7: Giải phương trình

6.9x  13.6x + 6.4x = 0

(1)

Bài giải
♥ Chia hai vế phương trình (1) cho 4 x ta được
3

6.
2

1

♥ Đặt t

3
2

x 2

13.

3
2

x

6

(2)

0

x

với t 0 , phương trình (1) trở thành 6t 2 13t 6 0
2
3

3
2

t
3
t

Với t

3
2

3
thì
2

Với t

2
3

3
thì
2

x

x

3

2

x

2
3

x

(3)

1

1

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x

1; x

1



Tự luyện: Giải các phương trình sau
1) 4.9x 12x

3.16x

2) 3.16 x  2.81x  5.36 x
3) 32 x  4  45.6 x  9.22 x  2  0

4) 5.2x  7. 10x  2.5x
5) 27 x 12x

2.8x

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
Ví dụ 8: Giải phương trình

log 22 x

3log 2 2 x

1

(1)

0

Bài giải
♥ Điều kiện: x 0
♥ Khi đó:
Đặt t

log 22 x

1

log 2 x

3log 2 x

2

0

, phương trình (1) trở thành t 2 3t 2 0
3

t

1

t

2

(3)

Với t

1

thì log 2 x

1

x

1
2

[thỏa (*)]

Với t

2

thì log 2 x

2

x

1
4

[thỏa (*)]

1
;x
4

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x

1
5 log x

Ví dụ 9: Giải phương trình

1
2



2
1 log x

1

(1)

Bài giải
x

0

♥ Điều kiện: log x 5
log x

♥ Đặt t

log x t

(*)
1

5, t

3

Với t
Với t

1

1 t

, phương trình (1) trở thành
2 5 t

5 t 1 t

thì log x 2
3 thì log x 3
2

x

100

x

1000

t2

5t

1

2

5 t

6

0

1 t
t 2

t

1

(3)

3

[thỏa (*)]
[thỏa (*)]

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 100; x 1000 

Tự luyện: Giải các phương trình sau
2)

1) log 22 x 2 4 log 2 x3 8 0
3) log3 3x 1 .log3 3x

1

3

6
4

3
log2 2x log2 x 2

6

Ví dụ 10: Giải phương trình 2log x
3

1

2log

3

x 2

x

(1)

Bài giải
♥ Điều kiện: x 0
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit
♥ Đặt t log 3 x x 3t thì

FB: />
phương trình (1) trở thành
1 t
.2
4

t

2.2

Với t

2

9 t
.2
4

t

3

2
3

t

3

t

4
9

t

2

thì x 9 (thỏa điều kiện)

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 9 

Ví dụ 11: Giải phương trình

5.2 x 8
2x 2

log 2

(1)

3 x

Bài giải
♥ Điều kiện 5.2x 8 0 (*)
♥ Ta có:

1

5.2 x 8
2x 2

23

2 x 5.2 x

8

x

8 2x

5.22 x 16.2x 16

2

(2)

0

♥ Đặt t 2x với t 0 , phương trình (2) trở thành 5t 2 16t 16 0
t
3

Với t

4

thì 2x

4

x

(3)

4
4
5

t

[thỏa (*)]

2

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 2 

Tự luyện: Giải phương trình sau log 2 3.2 x 1

2x 1

c. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0,..

Ví dụ 12: Giải phương trình 4.5x 25.2x 100 10x

(1)

Bài giải
♥ Ta có: 1

4.5x

2 x.5 x

5x 4 2 x

25.2 x
25 2 x

4 2 x 5x

5x
2

x

25

4

100

25

x

4

0
0

0

2

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 2 
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
Tự luyện: Giải các phương trình sau
1) 3.7 x 49.3x 147 21x
2) 32 x x  3  9x  3 x 1
3) log 2 x 2 log 7 x 2 log 2 x.log 7 x

d. Phương pháp 4: Lấy lôgarít hai vế theo cùng một cơ số thích hợp nào đó
(Phương pháp lôgarít hóa)

Ví dụ 13: Giải phương trình 3x.2 x

2

(1)

1

Bài giải
♥ Lấy lôgarit hai vế với cơ số 3, ta có
1

log 3 3x.2 x

log3 3x
x
x1

x
x

2

log 3 1

log3 2 x

x 2 log 3 x
x log 3 2

2

0

0
0

0
1
log 3 2

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 0, x

log 2 3
log 2 3



e. Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh
nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
♥ Ta thường sử dụng các tính chất sau:
 Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì
phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). ( do
đó nếu tồn tại x0  (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của
phương trình f(x) = C)

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
 Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một
hàm giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất
một nghiệm trong khoảng (a;b). (do đó nếu tồn tại x0  (a;b) sao cho
f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))
Ví dụ 14: Giải phương trình 3x 4x

(1)

5x

Bài giải
♥ Chia hai vế phương trình (1) cho 5x 5 x
3
5

1
x

3
5

♥ Xét hàm số f x

4
5

trên

x

♥ Mặt khác

f 2

1

4
5

, ta có

1

(2)

x

( Dạng f x

C

)

x

, ta có

x

3
3
ln
5
5

f' x

x

0, x

4
4
ln
5
5

f x

0, x

nghịch biến trên

(*)

(2) có nghiệm x 2

(**)
Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (2) có nghiệm duy nhất x 2
♥ Vậy nghiệm của phương trình (1) là x 2 

1
Ví dụ 15: Giải phương trình
3

x

(1)

2x 1

(Dạng f x

g x

)

Bài giải
♥ Xét các hàm số f x
f x

nghịch biến trên

1
3

x

và g x

2x 1

trên

, ta có

và g x đồng biến trên

(*)
♥ Mặt khác

f 0

g 0

(1) có nghiệm x 0

(**)
Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất x 0
♥ Vậy nghiệm của phương trình là x 0 

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
Bài tập:
Giải các phương trình sau
x

1) 2x = 1+ 3 2

x 12 3x

 x 2  8x  14

3 x

5) 3.25x 2   3x  10  .5x 2  3  x  0

4) 2.2 x  3.3 x  6 x  1
6) 9 x

3) 2

2) 2 x  3  x

11 x

7) log 22 x

0

Ví dụ 16: Giải phương trình 2log

5

x 3

x 1 log 2 x

6

2x

(1)

x

Bài giải
♥ Điều kiện: x

3

Khi đó:
♥ Đặt t

1
log 2 x

x

2t

log 5 x

log5 2
t

2
5
t

♥ Mặt khác

f 1

1
3
5

2
2
ln
5
5

f' t
1

(2)

log 2 x

thì phương trình (2) trở thành
t

♥ Xét hàm số f t

3

3

t

t

2

3

t

5

2
5

t

1
3
5

t

1

(3)

t

trên

, ta có

t

1
1
3.
ln
5
5

0, t

f t

nghịch biến trên

(3) có nghiệm t 1

(*)
(**)

Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (3) có nghiệm duy nhất t 1
♥ Vậy nghiệm của phương trình (1) là x 2 

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Phương trình mũ
52 x 1  6.5 x  1  0 .

Câu 1. Giải phương trình

5 x  1
x  0
52 x 1  6.5 x  1  0  5.52 x  6.5 x  1  0   x 1  
5 
 x  1


5

Câu 2. Giải phương trình 3.25 x2  3x  10 5 x2  x  3 .
3.25 x  2   3 x  10  5 x  2  x  3



 

 



 5 x  2 3.5 x  2  1  x 3.5 x  2  1  3 3.5 x  2  1  0







 3.5 x 2  1 5 x2  x  3  0
3.5 x2  1  0
1
  x 2
5  x  3  0 2
1
1
+ 1  5x2   x  2  log5  2  log5 3

3
3
x 2
2  5   x  3 . Vế trái là hàm đồng biến vế phải là hàm nghịch biến mà (2)
có nghiệm x = 2 nên là nghiệm duy nhất.
Vậy Phương trình có nghiệm là: x = 2  log5 3 và x = 2.

Câu 3. Giải phương trình: (3  2 2) x  2( 2 1) x  3  0
(3  2 2) x  2( 2  1) x  3  0

 ( 2  1)2 x  2( 2  1) x  3  0
 ( 2  1)3 x  3( 2  1) x  2  0
 ( 2  1) x  2
 x  log 2 1 2
Câu 4. Giải phương trình:
2

x

2

2x 2 6 x 6

3x

2.4

2x

2x 2 6x 6

1
(2x 2 6x 6)
2
2

x 1

3

2

3

x2

x

2.4x

2.22(x

6

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

0

1

2

1)

2x

x

3

x

3x 3

22x

3

2

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
Câu 5. Giải phương trình: 2

4x 4

24 x
t2

4

17t

17.22x
16

4

1

0

1

t

16

17.2

16x
4x
17.
16
16
x

4
1

0

t

2x 4

4x

Câu 6. Giải phương trình:

16

1

0

1

0

42x

x

0

x

2

17.4x

16

0

25 x  3.5 x  10  0

25x  3.5x  10  0  52 x  3.5 x  10  0

Đặt t  5x , t  0
Phương trình trở thành:
t  2(nhan)
t 2  3t  10  0  
t  5(loai)
x
t  2  5  2  x  log5 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  log5 2 .
Câu 7. Giải phương trình 2 x  23 x  2  0
2 x  23 x  2  0  2 x 

8
 2  0  2 2 x  2.2 x  8  0
2x

Đặt t  2 x , t  0

Phương trình trở thành:
t  4 (nhan)
t 2  2.t  8  0  
t  2 (loai)
t  4  2x  4  x  2

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
Câu 8. Giải phương trình sau: 9x  10.3x  9  0
9x  10.3x  9  0  32 x  10.3x  9  0
Đặt t  3x , t  0 .
t  1 (nhan)
t  9 (nhan)

Phương trình trở thành: t 2  10t  9  0  
t  1  3x  1  x  0
t  9  xx  9  x  2

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 2.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
Câu 9. Giải phương trình sau: 8.3 + 3.2 = 24 + 6
x

x

x

Phương trình đã cho tương đương (3x -3)(8-2x )= 0
Từ đó tìm được x=1 hoặc x=3
Câu 10. Giải phương trình 2e x  2e x  5  0, x  R .
2e x  2e x  5  0  2e2 x  5e x  2  0.
Đặt t  e x , t  0 . Phương trình trở thành
t  2
2t  5t  2  0   1
t 
 2
ex  2
 x  ln 2

 x 1
e 
 x  ln 1

2

2
2

Câu 11. Giải phương trình sau:
5.32 x 1  7.3x 1 

Đặt t  3x  0 . (1) 
 x  log 3 ; x   log 5

3

1  6.3x  9 x 1  0

5t 2  7t  3 3t  1  0

3

5

Câu 12. Giải phương trình (2  3) x

2

 2 x 1

 (2  3) x

Phương trình  (2  3) x 2 x  (2  3) x 2 x  4 .
+) Ta có: (2  3) x  2 x .(2  3) x  2 x  (4  3) x
2

2

 2 x 1



4
2 3

2

2

2

2

2 x

 1, x 

.

1
t

đặt t  (2  3) x 2 x  0  (2  3) x 2 x  .
2

trở thành:
t  2 3,

2

t  2  3 (TM )
1
t   4  t 2  4t  1  0  
.

t
t  2  3 (TM )

ta có:

(2  3) x

2

2 x

x  1 2
 2  3  x2  2 x  1  x2  2 x 1  0  
 x  1  2

ta có: (2  3) x 2 x  (2  3) 1  x 2  2 x  1  x 2  2 x  1  0  x  1 .
+) KL: ...
2

t  2 3,

Câu 13. Giải phương trình 2 x 1  3x  3x 1  2 x  2
2

2

2

2

Tập xác định .
2x

2

1

 3x  3x

2
 
3

2

x 2 1



2

1

 2x

2

2

 2x

2

1

1  8  3x 1 1  3
2

4
 x 2  1  2  x   3.
9

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
Câu 14. Giải phương trình: 7  2.7  9  0 .
1 x

x

Đặt t  7 x , t  0 . Ta có phương trình: t 

t  2
14
 9  0  t 2  9t  14  0  

t
t  7

Với t  2, suy ra 7 x  2  x  log7 2
Với t  7, suy ra 7 x  7  x  1
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S  log 7 2;1 .
Câu 15. Giải phương trình: 34  2 x = 953 x  x

2

Đưa về cùng cơ số 3 khi đó phương trình tương đương với x 2  2 x  3  0
nghiệm cần tìm là x = 1 hoặc x = -3
Câu 16. Giải phương trình 5 2 x 2  26.5 x 2  1  0
Giải phương trình 5 2 x 2  26.5 x 2  1  0
t  1

x  0

Đặt t = 5x >0. Phương trình <=> t2–26t + 25 = 0  
.

t  25
x  2
Câu 17. Giải phương trình 2.4x  6x  9x.
Phương trình
 2  x
   1  Loai 
x
x
2x

x
3
4 6
2
2
 2.       1  2.       1  0  
 x   log 2 2
 2 x 1
9 9
3
3
3
  
2
 3 

Vậy phương trình có nghiệm x   log 2 2
3

Câu 18. Giải phương trình: 312 x.27

x 1
3

 81 .

3.

Phương trình đã cho tương đương với : 312 x.3

x 1
3

 81  312 x.3x 1  34

32 x  34  2  x  4  x  2.

Câu 19. Giải phương trình 4 x

4

x2  x

1
 
2

x 1

 22 x

2

2 x

2

x

1

 
2

x 1

trên tập số thực.

 21 x

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />

3  17
x 
4
2 x 2  2 x  1  x  2 x 2  3x  1  0  

3  17
x 
4


Câu 20. Giải phương trình 5.9 x  2.6 x  3.4 x (1)
Phương trình đã cho xác định với mọi x 

Chia cả hai vế của phương trình (1) cho 4 x  0 ta được :
2x

x

3
3
5.9 x  2.6 x  3.4 x  5.    2.    3
2
2
2x
x
 3  2 x    3  x 
3
3
 5.    2.    3  0     1 5.    3  0
2
2
 2 
   2 


(2)

x

Vì

x

3
5.    3  0 x 
2

nên phương trình (2) tương đương với

3
  1 x  0.
2

Vậy nghiệm của phương trình là: x  0
Câu 21. Giải phương trình 22 x5  22 x3  52 x2  3.52 x+1 .
TXĐ D =
Phương trình  2 2 x 3 (4  1)  52 x 1 (5  3)
 2 2 x 3.5  5 2 x 1.8
2x

2
   1
.
5
 2x  0  x  0

Câu 22. Giải phương trình:
x



 
x

5 1 



x

5  1  2x1

x

 5  1  5 1 
PT  
  
  2
 2   2 

1
t

x

Đặt

 5 1

  t (t  0)
 2 

ta có phương trình:

t

2

t

1

x

Với t=1

 5 1
 
  1  x  0
 2 

Vậy phương trình có nghiệm x=0
Câu 23. Giải phương trình 2log x
3

1

2log

3

x 2

x

(1)

Điều kiện: x 0
Đặt t

log 3 x

x

3t

thì phương trình (1) trở thành

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
1 t
.2
4

t

2.2

Với t

9 t
.2
4

t

3

2
3

t

3

t

4
9

t

2

thì x 9 (thỏa điều kiện)

2

Vậy nghiệm của phương trình là x 9
Câu 24. Giải phương trình sau: 5x
5x

2

3x

 625  5 x

2

3x

2

 3x

 625

 54  x 2  3 x  4

x 1
 x 2  3x  4  0  
 x  4

Vậy phương trình có nghiệm x = 1 và x = -4.
Câu 25. Giải phương trình sau: 2x
2x

2

3 x  6

 16  2 x

2

3 x  6

2

3 x  6

 16

 24  x 2  3 x  6  4

x  5
 x 2  3x  10  0  
 x  2

Vậy phương trình có nghiệm x = 5 và x = -2.
Câu 26. Giải phương trình sau: 2x 1.5x  200
2 x 1.5x  200  2.2 x.5 x  200
 10 x  100  x  2

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
Câu 27. Giải phương trình: 23 x  x10  4x  x4  2x  x2  16  0 .

2

2

2

Phương trình tương đương:
 x 10

 22 x

2

 (22 x

2 x 12

 1)(2x

23 x

2

2

2 x 8

 2x
2

2

 x2

 x 2

 16  0  23 x

 1)  0  22 x

2

2

 x 14

 2 x 12

 22 x

2

2 x 12

 2x

2

 x 2

1  0

1  0

 x  2
 20  2 x 2  2 x  12  0  
x  3
Vậy phương trình có 2 nghiệm x  2, x  3.
 22 x

2

 2 x 12

Câu 28. Giải phương trình:





10  1

log3 x







10  1

log3 x



2x
.
3

Điều kiện: x > 0
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
Ta có phương trinhg tương đương với:
 10  1 


 3 

log3 x

 10  1 



 3 

log3 x





10  1

log3 x

 10  1 
2
 . Đặt t  

3
 3 







10  1

log3 x

2

 .3log3 x
3

log3 x

(t > 0).

 1  10
t 
3

1 2
2
Phương trình trỏ thành: t    3t  2t  3  0  1  10 (loại)
t 3
t 
3


Với t =

1  10
ta giải được x = 3
3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =3.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
Phương trình logarith
Câu 1. Giải phương trình: 2log2 (x - 2) + log0,5 (2x - 1) = 0
2 log2(x

2)

 Điều kiện:

log0,5(2x

x
2x

 Khi đó, (*)
2)2

(x

2

1)

0

1

0

(*)

x

2

x
2)2

log2 (x

(2x

0

x2

1)

x 2
1
2
log2 (2x 1) 0

log2 (x

x

1 (loai)

x

5 (nhan)

6x

5

0

2)2

log2 (2x

1)

Câu 2. Giải phương trình: x  log2 (9  2x )  3 .

Điều kiện: 9  2 x  0 . Phương trình đã cho tương đương: log2 (9  2x )  3  x  9  2x  23 x
2x  1  x  0
8
2x
x
 9  2  x  2  9.2  8  0   x

(thỏa điều kiện)
2

2  8  x  3
x

Câu 3. Giải phương trình log52 x  log0,2 (5x)  5  0.

GPT: log52 x  log 0,2 (5 x)  5  0 (1)
Đk: x>0. PT (1)  log52 x  log5 (5x)  5  0  log52 x  log5 x  6  0
log5 x  3
 x  125


 x  1/ 25
log5 x  2
KL: Vậy tập nghiệm PT (1) là T  1/ 25;125

Câu 4. Giải phương trình: log 2 ( x 2  2 x  8)  1  log 1 ( x  2)
2

log 2 ( x 2  2 x  8)  1  log 1 ( x  2)
2

 log2 ( x  2 x  8)  log 2 2  log 2 ( x  2)  log2 ( x2  2 x  8)  log 2 2( x  2)
2

x20





 x  2 x  8  2( x  2)
2

x20





 x  4 x  12  0
2

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

 x  6

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
Câu 5. Giải phương trình: log 2 3.log 3  2 x  1  1
PT  log 2  2 x  1  1  2x 1  2  x 

3
2

Câu 6. Giải phương trình: log  x  1  log  3  x   log  2 x  3
3

Điều kiện

3

3

x 1  0

3  x  0  1  x  3 (*)
2 x  3  0


Phương trình tương đương log 3  x  1  log 3  3  x   log 3  2 x  3
 log 3  x  1 (3  x)  log 3  2 x  3
  x  1 (3  x)  2 x  3

  x2  2 x  3  2 x  3   x2  0

 x = 0 , kết hợp với đk (*) phương trình có 1 nghiệm x = 0

Câu 7. Giải phương trình: log 2  3x  1  6  log 0,5  5 x  2 

ĐK x 

2
5

PT đã cho tương đương với log 2  3x  2  5 x  2   6   3x  2  5 x  2   64
x  2

 15 x 2  4 x  68  0  
 x   34
15


Kết hợp đk ta được tập nghiệm phương trình là: S  2
Câu 8. Giải phương trình:

log

3

x  2  log 1 (2  x)  log 27 x3  0
3

+ ĐK: 0  x  2 (*)
+PT  log3 ( x  2)  log3 (2  x)  log3 x  0  log3 [( x  2)(2  x)]= log3 x  (2  x)(2  x)  x
 x2  x  4  0  x 

1  17
2

Kết hợp với (*) ta được nghiệm của phương trình là x 

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

1  17
2

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
Câu 9. Giải phương trình: log2 (4  4).log 2 (4  1)  3 .
x 1

x





log 2 (4 x 1  4).log 2 (4 x  1)  3  2  log 2 (4 x  1) .log 2 (4 x  1)  3

t  1
t  3

Đặt t  log 2 (4 x  1) , phương trình trở thành:  2  t  t  3  
 t  1  log2 (4x  1)  1  4x  1  2  x  0 .
1
8

7
8

 t  3  log 2 (4 x  1)  3  4 x  1   4 x   : Phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x  0 .
Câu 10. Giải phương trình log

2

 x2  x  1  log2  x2  x  3

ĐK: x 





2







 
2



PT  log 2 x 2  x  1  log 2 x 2  x  3  x 2  x  1  x 2  x  1  2  0
Đặt: t  x 2  x  1, t 

3
4
t  1( L)

t  2( N )

Ta được phương trình : t 2  t  2  0  

Với


1  5
x 
2
t  2  x2  x 1  0  

1  5
x 
2


Vậy : x 

1  5
1  5
và x 
là nghiệm của phương trình.
2
2

Câu 11. Giải phương trình sau:
2log32 x  5log3 (9 x)  3  0
Đk:x>0
 2log 32 x  5(log 3 9  log 3 x)  3  0

Khi đó PT  2log 32 x  5log 3 x  12  0
 x  81
log 3 x  4


1 (t/m)

3
x 
log 3 x 
3

9

2
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

Câu 12. Giải phương trình

FB: />
log2 (x

1)

log2 (3x

4) 1

0.

4
(*). Với điều kiện (*), ta có
3
(1)  log2 (x  1)(3x  4)  1  log2(3x 2  7x  4)  log2 2

Điều kiện xác định: x 

 3x 2  7x  2  0  x  2 (do điều kiện (*)).

Vâ ̣y phương trình đã cho có nghiê ̣m duy nhấ t x = 2.
Câu 13. log3  x  5  log9  x  22  log 3  x  1  log

3

2.  2 

Tập xác định D  1;   \ 2.

 2   log3  x  5  log3 x  2  2 log3  x  1  log3 2
 x  5 . x  2  2  x  5 . x  2  2 x  1 2



 

2
 x  1
2
Với x  2 ta có:  x  5 x  2   2  x  1  x 2  3x  10  2 x 2  4 x  2
x  3
 x 2  7 x  12  0  
x  4
2
Với 1  x  2 ta có  x  5 2  x   2  x  1   x 2  3x  10  2 x 2  4 x  2

97
t / m 
x  1
6
2
 3x  x  8  0  

1  97
 loai 
x 
6


1  97


;3; 4 .


 6



Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x  

Câu 14. Giải phương trình: log 2 ( x  5)  log 2 ( x  2)  3
Điều kiện x  5 . Phương trình đã cho tương đương với
log 2 ( x  5)( x  2)  3  ( x  5)( x  2)  8

 x  6(t / m)
 x 2  3x  18  0  
 x  3(l )

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  6.

Câu 15. Giải phương trình:

1
log
2

2

x

2

 2 x  3  log 2

x3
0

x 3

Điều kiện: x  3  x  7
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
Phương trình  log 2 (x 2  2x  3)  log 2

x 7
0
x 3

(x 2  2x  3).(x  3)
 log 2
0
x 7
(x 2  2x  3).(x  3)

1
x 7
 (x  1)(x 2  4x  2)  0
 x 3  5x 2  2x  2  0
 x  1
 x  1
 2

 
 x  4x  2  0
 x  2  6  x  2  6
So với điều kiện, phương trình có nghiệm x  2  6 .

Câu 16. Giải phương trình 2 log8  2 x   log 8  x 2  2 x  1 

4
3

Điều kiện x  0, x  1 .
Với điều kiện đó, PT đã cho tương đương với :
log8  2 x   x  1 
2

2

 2 x  x  1  4
2
4
 x2
  2 x  x  1   16  
3
 2 x  x  1  4

Câu 17.  2  log3 x  log9 x 3 

4
1
1  log3 x

Giải phương trình  2  log3 x  log9 x 3 

ĐKXĐ:

4
 1 (1)
1  log3 x


x  0

 x  3 (*)

1
x 
9


Với ĐK (*), ta có : (1)   2  log3 x 

1
4
2  log3 x
4

1 

1
log3 9 x 1  log3 x

2  log3 x 1  log3 x

(2)

t  1

Đặt: t  log 3 x ( ĐK: 
(**) ). Khi đó phương trình (2) trở thành:
t  2
t  1
1

t  1  x 
2t
4


 t  2


3

2  t 1 t
t  4
t 2  3t  4  0
 x  81

1
3

So sánh điều kiện được 2 nghiệm x  ; x  81
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
Câu 18. Giải phương trình: log 2  x  1  3log 1  3x  2   2  0
8

Điều kiện: x  1
Khi đó phương trình đã cho tương đương với phương trình
log 2  x  1  log 2  3x  2   2  0  log 2  4 x  4   log 2  3x  2 
 4 x  4  3x  2  x  2

Kết hợp với điều kiện phương trình có nghiệm x  2 .
Câu 19. Giải phương trình: log3 x 2  x   log 1 x  4   1 .
3

x  1

Điều kiện: 





 4  x  0





3  x  4    x






 x  3 x  4 



log 3 x 2  x  log 3 x  4  1  log 3 x 2  x  log 3 x  4  log 3 3





 log 3 x  x  log 3
2

2

x   2
 x 2  4x  12  0  
x  6

(thoả mãn)

Vậy phương trình có hai nghiệm x  2; x  6 .

Câu 20. Giải phương trình: log3 ( x 2  3x)  log 1 (2 x  2)  0 ; ( x  )
3

Đk: x>0 (*)
Với Đk(*) ta có: (1)  log3 ( x2  3x)  log3 (2 x  2)
 x  1(t / m)
. Vậy nghiệm của PT là x = 1.
 x2  x  2  0  
 x  2(loai)

Câu 21. Giải phương trình: log 22 x  4 log 4 4 x  7 .

Đk: x>0,

log 22 x  4 log 4 4x  7  0  log 22 x  2 log 2 x  3  0

x  2
log 2 x  1

1.
log x  3  
x
 2
8


1
8

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của PT là x  2 và x  .

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
Câu 22. Giải phương trình: log32 x  log32 x  1  5  0
Điều kiện: x  0.
Đặt t  log 32 x  1, t  1.
t  2

Phương trình trở thành t 2  t – 6  0  

t  3  loai 

Với t = 2 thì

 x3 3
 log 3 x  3
log32 x  1  2  log 32 x  3  
(tmđk).


 3
l
o
g
x


3
 x  3
 3

Vậy phương trình có hai nghiệm x  3 3 và x  3
Câu 23. Giải phương trình:  2  log3 x  log 9 x 3 

3

4
1
1  log 3 x

Điều kiện x  0, x  3, x  1/ 9
Phương trình   2  log3 x 

2  log 3 x
1
4
4

1 


1
log 3 9 x 1  log 3 x
2  log 3 x 1  log 3 x

Câu 24. Giải phương trình sau

log 2 x  log 4 x  log8 x  11

log 2 x  log 4 x  log8 x  11 (1)

Điều kiện: x > 0.
(1)  log 2 x  log 22 x  log 23 x  11

1
1
 log 2 x  log 2 x  log 2 x  11
2
3
11
 log 2 x  11
6
 log 2 x  6  x  26  64 (nhan)

Vậy phương trình có nghiệm x = 64.

Câu 25. Giải phương trình sau

log5 x  log 25 x  log 0,2

1

3

log5 x  log 25 x  log 0,2

1
3

(1)

Điều kiện: x > 0.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

3
log 5 x  log 5
2

 log 5 x  log 5

 3

1
 log5 x  log5 x  log5 3
2
2
3  log 5 x  log 5 3

3

(1)  log 5 x  log 52 x  log 51



FB: />1

 
3

2
3

 log 5 x  log 5 3 3

x33

Vậy phương trình có nghiệm x  3 3 .
Câu 26. Giải phương trình sau

log 22 x  log 2 x  6  0

log 22 x  log 2 x  6  0 (1)

Điều kiện: x > 0.
t  3
t  2

Đặt t  log 2 x . PT (1) trở thành t 2  t  6  0  

t  3  log 2 x  3  x  23  8 (thỏa mãn)

t  2  log 2 x  2  x  22  4 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 4 và x = 8.
Câu 27. Giải phương trình sau 4 log 22 x  log 2 x  2
4 log 22 x  log

2

x  2 (1)

Điều kiện x > 0.
(1)  4 log 22 x  log

1
22

x  2  4 log 22 x  2 log 2 x  2  0 (1’)

t  1
Đặt t  log 2 x . PT (1’) trở thành 4t  2t  2  0   1
t 
 2
1
t  1  log 2 x  1  x  21  (t / m)
2
1
1
1

2
t   log 2 x   x  2  2 (t / m)
2
2
1
Vậy phương trình có nghiệm x  và x  2
2
2

Câu 28. Giải phương trình sau

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

3log 32 x  10 log 3 x  3

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ