PHƯƠNG TRÌNH MŨ LÔGARIT

BÀI TOÁN 1 LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ - SỐ MŨ THỰC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT GV : Nguyễn Văn Bình
I. Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho
*n N
∈
và
a R
∈
. Khi đó
•
. ....
n
a a a a=
(n thừa số a)
0
1 ( 0)a a• = ≠

1
( 0)
n
n
a a
a
−
• = ≠

Chú ý :
0
0
và

0
n−
không có nghĩa
II. Căn bậc n
1. khái niệm
 Cho số thực b và số nguyên dương
2n
≥
. Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu
n
a b=
.
 Với n lẻ thì có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là
n
b
.
 Với n chẵn :
 Nếu
0b <
thì không tồn tại căn bậc n của b.
 Nếu
0b
=
thì có một căn bậc n của b là số 0.
 Nếu
0b
>
thì có hai căn bậc n của b trái dấu với nhau, kí hiệu giá trị dương là
n
b

còn giá trị âm là
n
b−
.
2. Tính chất của căn bậc n
•
.
n n n
a b ab=


n
n
n
a a
b
b
• =

( )
nm m
n
a a• =
•
m
n mn
a a=

,

,
n n
a
a
a


• =




3. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ
Cho số thực a dương và số hữu tỷ
( , à 0)
m
r m n Z v n
n
= ∈ >
.
Lũy thừa của a với số mũ r là số
r
a
xác định bởi :
m
nr m
n
a a a= =
4. Lũy thừa với số mũ vô tỷ
Cho a là một số dương và

α
là một số vô tỷ. Ta thừa nhận rằng luôn có một dãy số hữu tỷ
( )
n
r
có giới hạn là
α
và dãy số tương ứng
( )
n
r
a
có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số
( )
n
r
. Khi đó

lim
n
r
n
a a
α
→+∞
=
với
lim
n
n

r
α
→+∞
=
.
5. Tính chất của lũy thừa với số mũ thực
Cho a, b là các số thực dương và
,
α β
là các số thực tùy ý. Khi đó ta có
•
.a a a
α β α β
+
=


a
a
a
α
α β
β
−
• =

( )a a
α β αβ
• =
•

( ) .ab a b
α α α
=

( )
a a
b b
α
α
α
• =
• Nếu
1a >
thì
a a
α β
α β
< ⇔ <
.
• Nếu
0 1a< <
thì
a a
α β
α β
< ⇔ >
.
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1 : Áp dụng định nghĩa và tính chất lũy thừa với số mũ thực
Bài 1 : Tính giá trị của các biểu thức sau (không sử dụng máy tính)

2
5
0,75 1,5
32
1
( ) (0,25) (0,04) (0,125)
16
A
−
−
− −
= + + −
Đáp : A = 161

1
1
4 0,25 3
2
1
( 0,5) 625 (2 ) 19( 3)
4
B
−
− −
= − − − + −
Đáp : B = 10
Bài 2 : Đơn giản các biểu thức sau :
1 7 1 5
3 3 3 3
1 4 2 1

3 3 3 3
.
a a a a
a
a a a a
−
−
− −
−
− +

4
4 4 4 4
.
a b a ab
b
a b a b
− +
−
− +

5 3 2 5
5 2
1
5 2
. ( ) .
a a
c
b
b

− −
+
−
−
khi n lẻ
khi n chẵn
Bài 3 : Tính tổng
3 3
7 5 2 7 5 2A = + + −
Đáp : A = 2

3 3
847 847
6 6
27 27
B = + + −
Đáp : B = 3
Dạng 2 : Áp dụng tính chất về bất đẳng thức của lũy thừa
Bài 4: So sánh các số sau :
a.
1
4
( 3 1)−
và
2
2
( 3 1)−
b.
600
3

và
400
5
c.
3
7 15+
và
3
10 28+

d.
5
3
( 5 2)−
và
3
( 5 2)
−
+
e.
2
( )
2
π
và
3
( )
5
π
−

Bài 5 : Tìm GTLN và GTNN của
1 3
. 5
x x
a y
+ + −
=

6 6
sin cos
. 4
x x
b y
+
=
Đáp: a.
2
25 ;25
b.
4; 2
BÀI TOÁN 2 LÔGARIT
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Cho hai số dương a, b với
1a ≠
. Số
α
thỏa mãn
a b
α

=
được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là
log
a
b
.
Vậy
log
a
b a b
α
α
= ⇔ =

• Chú ý :
 Không có lôgarit của số âm và số 0
 Cơ số của lôgarit phải dương và khác 1
2. Tính chất
Cho a, b, c > 0 và
, 1a c ≠
. Khi đó :

log 1 0
a
=
;
log 1
a
a =

log ( )
a
a
α
α
=
;
log
a
b
a b=

log ( ) log log
a a a
xy x y= +
(với x, y >0)

log ( ) log log
a a a
x
x y
y
= −
(với x, y >0)

log ( ) log
a a
b b
α

α
=
 Công thức đổi cơ số :

log
log
log
c
a
c
b
b
a
=
hay
log .log log
c a c
a b b=

1
log
log
a
b
b
a
=
hay
log .log 1
b a

a b =

1
log log
a
a
b b
α
α
=
Đăc biệt :
1
log log
a
a
b b= −
;
1
1
log ( ) log
a
a
b
b
=
;
log ( ) log
n
n
a

a
b b=
;
log log
n
n
a
a
b b=
Mở rộng :
log logc a
b b
a c=
3. So sánh hai lôgarit cùng cơ số
Cho a, b, c > 0 và
1a ≠
. Khi đó :
log log
a a
b c b c• = ⇔ =
• Nếu
1a >
thì
log log
a a
b c b c< ⇔ <
• Nếu
0 1a< <
thì
log log

a a
b c b c< ⇔ >
• Nếu
, 1a b >
hoặc
0 , 1a b< <
thì
log 0
a
b >
• Nếu
1, 0 1a b> < <
hoặc
1, 0 1b a> < <
thì
log 0
a
b <
4. Lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên
• Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10.
Lôgarit cơ số 10 của x được kí hiệu là
log x
hay đơn giản là
lg x
.
• Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e với
1
lim (1 ) 2,718281828459045
n
n

e
n
→+∞
= + ≈
Lôgarit cơ số e của x được kí hiệu là
ln x
.
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1 : Áp dụng định nghĩa và các quy tắc tính lôgarit
Bài 1 : Tính giá trị của các biểu thức sau :
a.
3 4 5
2
1
log 9 6log 2 3log ( ) log 16
25
A = + − +
Đáp : 19
b.
3
7 7 7
1
log 36 log 14 3log 21
2
B = − −
Đáp : - 2
c.
5 5
5
log 36 log 12

log 9
C
−
=
Đáp :
1
2
d.
6
log 5
1 lg2 ln 27
36 10D e
−
= + −
Đáp : 3
e.
3 9 2
log 5 log 36 2 log 3
81 27 4E
−
= + −
Đáp :
7553
9
f.
3log( 2 1) log(5 2 7)F = − + +
Đáp : 0
g.
2010 2010
ln(2 3) ln(2 3)F = + + −

Đáp : 0
h.
2 2
log (2sin ) log (cos )
8 8
H
π π
= +
Đáp : -
1
2
Bài 2 : Tìm
log
a
x
biết
log 5; log 4
a a
b c= = −
và
a.
5 3
3
x a b c=

5
4
6
.
a b

b x
c
=
Đáp : a.
56
3
b.
121
4
Bài 3 : Tìm x biết :
a.
2
2
log ( 4) 3x x+ − =

[ ]
4 3 2
. log log (log ) 0b x =

1 3 3
3
3
1 1
. log log 125 log 4 log 2
3 2
c x = − +
Bài 4 : So sánh các số sau :
a.
3
log 10

và
4
log 63

0,5
. log 3b
và
7
log 2
6 6
. 3log 2 log 3c +
và
6
log 5

4
log 1,05
. 5d
và
6
log 0,995
7
Dạng 2 : Áp dụng công thức đổi cơ số
Bài 5 :
1. Chứng minh
2
1 1 1 ( 1)
...
log log log 2log
n

a a
a a
n n
x x x x
+
+ + + =
với
0 , 1; *a x n N< ≠ ∈
.
2.
log
1 log
log
a
a
ab
c
b
c
= +
với
, , 0 và , , 1a b c a c ab> ≠
3. Cho
2 2
9 10x y xy+ =
và
, , 0a x y >
;
1a
≠

. Chứng minh
1
log ( 3 ) 2log 2 (log log )
2
a a a a
x y x y+ − = +
4. Cho
1 1
1 lg 1 lg
10 ; 10
x y
y z
− −
= =
với x, y, z > 0. Chứng minh
1
1 lg
10
z
x
−
=
.
Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông tại A có
1a b
± ≠
. Chứng minh
log log 2log .log
a b a b a b a b
c c c c

+ − + −
+ =
Bài 7 : a) Cho
2 2
log 3; log 5a b= =
. Hãy tính theo a và b giá trị của
36
log 540
b) Cho
2 3 3
log 6; log 5; log 7a b c= = =
. Hãy tính theo a, b, c giá trị của
3
210
log 45
BÀI TOÁN 3 : HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT
1. Định nghĩa : Cho số
0, 1a a> ≠
• Hàm số dạng
x
y a=
được gọi là hàm số mũ cơ số a.
• Hàm số dạng
log
a
y x=
được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.
2. Giới hạn :

0

1
lim 1
x
x
e
x
→
−
=


0
ln(1 )
lim 1
x
x
x
→
+
=

3. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit.
 Đạo hàm của hs mũ :
•
' .ln
x x
y a y a a= ⇒ =
Đặc biệt :
'
x x

y e y e= ⇒ =
•
' .ln . u'
u u
y a y a a= ⇒ =
Đặc biệt :
' . '
u u
y e y e u= ⇒ =
 Đạo hàm của hàm số lôgarit :
•
1
log '
.ln
a
y x y
x a
= ⇒ =
Đặc biệt :
1
ln 'y x y
x
= ⇒ =
•
'
log '
.ln
a
u
y u y

u a
= ⇒ =
Đặc biệt :
'
ln '
u
y u y
u
= ⇒ =
Ví dụ :
4. khảo sát sự biến thiên và vẽ đths mũ và lôgarit.
 Hàm số mũ
x
y a=
(
0, 1a a> ≠
) Hàm số lôgarit
log (a>0, a 1)
a
y x= ≠

• TXĐ : D = ..... TXĐ : D = .....
•
' ...................y =

' ...................y =
Nếu
1a >
: ta có lna ..............
⇒

y’ .................... Nếu
1a >
: ta có lna ........
⇒
y’ ........................
⇒
hs ...................................................................
⇒
hs .............................................................
Nếu
0 1a< <
: ta có lna ........
⇒
y’ ......................... Nếu
0 1a< <
: ta có lna .........
⇒
y’....................
⇒
hs .........................................................
⇒
hs .........................................................

• Đồ thị : Đồ thị :
NX : Đồ thị hs
x
y a=
(
0, 1a a> ≠
) luôn đi qua điểm NX : Đồ thị hs

log
a
y x=
(
0, 1a a> ≠
) luôn đi qua
điểm A(O;1) và B(1;a) và nhận trục Ox làm TCN. Điểm A(1;0) và B(a;1) và nhận trục Oy làm TCĐ.
BÀI TẬP :
Bài 1 : Tính các giới hạn sau
.
( 1)
x
y a
a
=
>
x
−∞
+∞
(0 1)
x
y a
a
=
< <
x
−∞
+∞
x
1

.
O
y
log
( 1)
a
y x
a
=
>
x
0
+∞
log
(0 1)
a
y x
a
=
< <
x
0
+∞
x
O
y
1
0
0
+∞

+∞
−∞
−∞
+∞
.
1.
3
0
1
lim
x
x
e
x
→
−

2 3
0
2. lim
5
x x
x
e e
x
→
−

2
0

ln(1 )
3. lim
3
x
x
x
→
+


0
ln(4 1)
4. lim
x
x
x
→
+

0
ln(3 1) ln(2 1)
5. lim
x
x x
x
→
+ − +

0
ln(3 1)

6. lim
sin 2
x
x
x
→
+

1
7. lim ( . )
x
x
x e x
→+∞
−

sin 2 sin
0
8. lim
sin
x x
x
e e
x
→
−

1
1
9. lim

1
1 1
x
x
e
x
→+∞
−
+ −

2
2
0
3 cos
10. lim
x
x
x
x
→
−
Bài 2 : Tính đạo hàm của các hàm số sau
1.
2
ln( 1)y x= +

ln
2.
x
y

x
=

2 2
3. ln 1y x x= +

2
4. ( 2 3).
x
y x x e= − +

5.
x x
x x
e e
y
e e
−
−
−
=
+

3
6. 3 2
x x
y e= − +
Bài 3 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
( 1)lny x x= +

tại điểm có hoành độ bằng e.
Bài 4 : 1. Cho
.
x
y x e=
. Chứng minh rằng
'' 2. ' 0y y y− + =
.
2. Cho
4
2
x x
y e e
−
= +
. Chứng minh rằng
(3)
13 ' 12 0y y y− − =
3. Cho
sin
x
y e x
−
=
. Chứng minh rằng
'' 2 ' 2 0y y y+ + =
4. Cho
2
ln( 1)y x x= + +
. Chứng minh rằng

( ). ' 1
y
e x y− =
5. Cho a,b là 2 số thực thỏa
0 1a b< < <
. Chứng minh
2 2
ln ln ln lna b b a a b− > −
. (Cao Đẳng A- 2009)
Gợi ý: Bpt
2 2
ln ln
1 1
a b
a b
⇔ <
+ +
. Chứng minh hàm số
2
ln
( )
1
x
f x
x
=
+
đồng biến trên khoảng
(0;1)
.

6. Chứng minh
2
2ln( 1 )
x x
e e x x
−
− ≥ + +
x R
+
∀ ∈
.
BÀI TOÁN 4 : PHƯƠNG TRÌNH MŨ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. Phương trình mũ
• Phương trình mũ cơ bản là phương trình có dạng :
x
a b=
(1) trong đó
0, 1a a> ≠
.
• Cách giải :
Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị

( ) :
x
C y a=
Và
( ) :d y b=
(cùng phương với Ox)
Số nghiệm của phương trình (1) cũng là số giao điểm của (C) và (d).

Dựa vào đồ thị ta thấy :
 Nếu
0b
≤
thì phương trình (1) vô nghiệm
 Nếu
0b
>
thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất
log
a
x b=
II. Các phương pháp giải phương trình mũ
1. Phương pháp đưa về cùng cơ số.
2. Phương pháp đặt ẩn phụ.
3. Phương pháp lôgarit hóa.
4. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
5. Phương pháp đối lập.
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng :
( ) ( )f x g x
a a=
(1)
• Nếu cơ số a là một số dương khác 1 thì (1)
( ) ( )f x g x⇔ =

1
O
x

y a
=
x
y
y b
=