NỘI DUNG 4 bất PHƯƠNG TRÌNH mũ LÔGARÍT

Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT
Chuyên đề: Hàm số mũ – hàm số logarit
1. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT:
a. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : aM < aN ( , ,  )
loga M  loga N ( , ,  )

Ví dụ 1: Giải bất phương trình 3x

2

x

(1)

9

Bài giải
♥ Ta có:

3x

1

2

x

32

x2

x

x2

x 2

1

x

2
0

2

♥ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S

1; 2



Tự luyện: Giải các bất phương trình
1) 3

6 x 3
x

 27
3

2 x 1

2)

1
2

4 x 2 15 x 13

23 x

4

Ví dụ 2: Giải bất phương trình 2 log3  4x  3   log 1 2x  3   2

(1)

3

Bài giải
♥ Điều kiện:

x  3
4x  3  0

3
4


x

2x  3  0
4
x   3

2


(*)

♥ Khi đó:
1  log 3  4x  3 2  2  log 3 2x  3 
 log 3  4x  3   log 3 9  2x  3 
2

  4x  3   9  2x  3 
2

 16x 2  42x  18  0


3
x3
8

♥ So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

3
x3
4


SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
Tự luyện: Giải các bất phương trình sau
1) log 2 2 x 3 log 2 3x 1

2) log 1 5x 10

log 1 x2

2

3) log 1
3

x4
 log 1 (3  x)
2x  3
3

4) log 2 x 3

5) log 1 (x2  6x  5)  2 log3 (2  x)  0

2

7) log 1  x    log 2 ( x  1)  1
2
1



log 2 x

2

1

6) log 1 x  2 log 1  x  1  log2 6  0

3

2

6x 8

2

4

8) log 1 x2 5x 6



1

2

Ví dụ 3: Giải bất phương trình log 1
2

x 2  3x  2
0
x

(1)

Bài giải
♥ Điều kiện:

0  x  1
x 2  3x  2
0
x
 x  2

(*)

♥ Khi đó:
1  log 1
2

x 2  3x  2
 log 1 1
x
2

x  3x  2
1
x
x 2  4x  2

0
x
x  0

2  2  x  2  2


2

2  2  x  1

♥ So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là 

2  x  2  2




Tự luyện: Giải các bất phương trình sau
2x  1

0
x 1
2x  1
log 0,5
2
x5

3x  5
1
x 1
3x  1
log 1
1
x2
3

1) log2

2) log3

3)

4)


x2  x 

Ví dụ 4: Giải bất phương trình: log0,7  log6
0
x  4 



(1)

Bài giải
♥ Điều kiện:
 x2  x
 x2  x

0
 x  4
 x  4  0
 4  x  2
x2  x
x2  4



1


0




2
2
x2
x4

x4
log x  x  0
x  x  1

6

 x  4
x4

(*)

♥ Khi đó:
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
x x
x2  x

log
1

log
1
0,7
6

x  4 
x4



2

1  log0,7  log6


x2  x
x2  x
 log6
 log6 6 
6
x4
x4
 4  x  3
x2  5x  24

0
x4
 x  8
 4  x   3
♥ So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là 

 x  8
2x  3 
Tự luyện: Giải bất phương trình log 1  log2
0

x 1 
3 

b. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Ví dụ 5: Giải bất phương trình 9 x 1  36.3x 3  3  0

(1)

Bài giải
♥ Biến đổi bất phương trình (1) ta được
1

3x

1 2

4.3x

1

3

(2)

0

♥ Đặt t 3x 1 t 0 , bất phương trình (2) trở thành t 2 4t 3 0
3

Suy ra:

3x

1

1

3

0

1

t

(3)

3

x 1 1

1

x

2

♥ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S

1; 2



Bài giải
1) 22x - 3.2x+2 + 32 < 0

2) 2 x 23

3) 9 x  5.3x  6  0

4) 52x1  5x  4

5) 9

x2 2x

2x  x2

1
 2  
3

x

9

6) 32x1  22x 1  5.6x  0

3

Ví dụ 6: Giải bất phương trình log22 x  log2 x  2  0

(1)

Bài giải
♥ Điều kiện: x 0
♥ Đặt t

log 2 x

, bất phương trình (1) trở thành t 2 t 2 0
3

2

t

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

(2)

1

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

Suy ra:

2

log 2 x

1

FB: />
1
4

x

2

♥ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S

1
;2 
4

Tự luyện: Giải các phương trình sau
1) log 2 2 x 17 log 2 x  4  0

2) 3.log32 x 14.log 3 x  3  0

3) log 2 x  2 log x 4  5  0

4) log 21 ( x  1)  3   log 1 ( x  1)5

4

5

3

5) 3. log 1 x  log 4 x  2  0
2

2

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

3

6) log x log 1 x 2 0
2
1
2

2

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bất phương trình mũ
1

Câu 1. Giải bất phương trình:  
2

x 1

 2 2 x

 

BPT  2 x1  2 2 x   x 1  2x  x  1
Câu 2. Giải bất phương trình: 3.9 x  10.3x  3  0 .
Đặt t  3x (t  0) . Bất phương trình đã cho trở thành
3t 2  10t  3  0 

Suy ra

1
t 3
3

1
 3 x  3  1  x  1 .
3

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S  [1;1] .
x 2 1
1 3

Câu 3. Giải bất phương trình: 22x 1   
8

 

.

Bất phương trình tương đương với
22x 1 

x 2 1
23 3

 

 22x 1  2x

2

1

 2x  1  x 2  1





 x 2  2x  0  2  x  0 . Vậy bất phương trình có tập nghiệm S  2; 0 .

Câu 4. Giải bất phương trình:
8

x 3

4

2 x 6
x 1

2

8
x2

4

x 3
x 1

4
2x  6

x2
x 1
2  x  1 x  4 
 4  x  1

0
 x  2  x  1
1  x  2
2 x 2  4 x 1  2 x 2  2



Câu 5. Giải bất phương trình sau: 76 x
76 x

2

3x 7

 49  76 x

2

3 x 7

2

3x 7

 49

 72  6 x 2  3x  7  2  6 x 2  3x  9  0

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />

x  1
VT  0  6 x 2  3x  9  0  
 x  3

Xét dấu VT ta được tập nghiệm của bất phương trình S = [-3; 1].
Câu 6. Giải bất phương trình: 4x  3.2x  2  0
Bất phương trình 4x  3.2x  2  0  22 x  3.2x  2  0
Đặt t  2 x , t  0
Bất phương trình trở thành: t 2  3t  2  0  1  t  2  1  2 x  2  0  x  1
Vậy bất phương trình có nghiệm S = (0; 1).
Câu 7. Giải bất phương trình 2

log2 x
2

x

2log2 x

 20  0

Điều kiện: x> 0 ; BPT  24log2 x  x2log2 x  20  0
Đặt t  log 2 x . Khi đó x  2t .
2

BPT trở thành 42t  22t  20  0 . Đặt y  22t ; y  1.
2

2

2

BPT trở thành y2 + y - 20  0  - 5  y  4.
Đối chiếu điều kiện ta có: 22t  4  2t 2  2  t 2  1  - 1  t  1.
2

Do đó - 1  log 2 x  1 

1
 x  2.
2

Câu 8. Giải bất phương trình (2  3) x 2 x1  (2  3) x 2 x1 
2



t  2  3

Bpt  2  3
Đặt

x2 2 x



 2 3

x2 2 x



x2 2 x

2

4
2 3

4

(t  0)

1
t   4  t 2  4t  1  0  2  3  t  2  3 (tm)
t

BPTTT:



2 3  2 3



x2 2 x

 2  3  1  x 2  2 x  1  x2  2 x  1  0  1  2  x  1  2

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
Bất phương trình logarith
Câu 1. Giải bất phương trình: log0,2 x  log0,2(x  1)  log0,2(x  2) .
Điều kiện: x  0 (*).

log0,2 x  log0,2 (x  1)  log0,2 (x  2)  log0,2(x2  x)  log0,2(x  2)
 x2  x  x  2  x  2 (vì x > 0).

Vậy bất phương trình có nghiệm x  2 .
Câu 2. Giải bất phương trình : log 1 log 2 (2  x 2 )   0 ( x  R) .
2

Điều kiện: log 2 (2  x 2 )  0  2  x 2  1  1  x  1
 1  x  1

  1  x  1  1  x  1



2
2
 x0
2  x  2
x  0

Vậy tập nghiệm bpt là S  (1;0)  (0;1)

Khi đó (2)  log 2 (2  x 2 )  1  

Câu 3. Giải bất phương trình: 2log3 ( x  1)  log 3 (2 x  1)  2
ĐK: x > 1 , 2 log3 ( x  1)  log 3 (2 x  1)  2  log 3[( x  1)(2 x  1)]  1
 2 x 2  3x  2  0

1
2

  x2

=> tập nghiệm S = (1;2]

Câu 4. Giải bất phương trình: log5  4 x  1  log5  7  2 x   1  log 1 3x  2 
5

1
7
4
2
+ BPT  log5  4 x  1  log5  3x  2   1  log 5  7  2 x 

+ Điều kiện:   x 

 log 5  4 x  1 3 x  2   log 5 5  7  2 x 
  4 x  1 3 x  2   5  7  2 x 
 12 x 2  21x  33  0


33
 x 1
12
1
4

Giao với điều kiện, ta được:   x  1
1
4

Vậy: nghiệm của BPT đã cho là   x  1
Câu 5. Giải bất phương trình sau:
1  log 2 x  log 2  x  2   log
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

2

6  x
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
ĐK: 0  x  6 . BPT  log2  2 x  4 x   log2  6  x  .
2

2

Hay: BPT  2 x2  4 x   6  x 2  x2  16 x  36  0
Vậy: x  18 hay 2  x
So sánh với điều kiện.
KL: Nghiệm BPT là 2  x  6 .
Câu 6. Giải bất phương trình log 2  2 x  1  log 1  x  2   1 .
2

- ĐK: x  2
- Khi đó bất phương trình có dạng: log 2  2 x  1  log 2  x  2   1
 log 2  2 x  1 x  2    1
 5
 2 x 2  5 x  0  x  0; 
 2

- Kết hợp điều kiện ta có: x   2; 
 2
5

Câu 7. Giải bất phương trình sau: log3 log 2  x  2   3log 25 4.log 8 5
log 3 log 2  x  2    3log 25 4.log 8 5  log 3 log 2  x  2    log 3 3
log 2  x  2   3

 4  x  10
log 2  x  3  0

Câu 8. Giải bất phương trình sau : log 2 ( x 2  1)  log 1 ( x  1) .
2

ĐK: x >1. BPT
log 2 ( x 2  1)  log 1 ( x  1)  log 2 ( x 2  1)  log 2 ( x  1)  0

2

 ( x 2  1)( x  1)  1  x3  x 2  x  1  1  x( x 2  x  1)  0

 x

1 5
(do x >1).
2

1  5

;   .
 2


Vậy tập nghiệm của BPT là S= 

x
4

Câu 9. Giải bất phương trình log 22 x  log 2  4
x
4

Giải bất phương trình log 22 x  log 2  4 (1)
Điều kiện của bất phương trình (1) là: x  0 (*)
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
Với điều kiện (*),
(1)  log 22 x  log 2 x  log 2 4  4  log 22 x  log 2 x  2  0  (log 2 x  2)(log 2 x  1)  0

 x4
 log 2 x  2


0  x  1
log
x


1
 2

2

Kết hợp với điều kiện (*), ta có tập nghiệm của bất phương trình (1) là S   0;    4;  
 2
1

 x3 
 32 
Câu 10. Giải bất phương trình log x  log    9log 2  2   4log 21 x
x 

8
2
4
2

2
1
2

Điều kiện x > 0.
2

Bất phương trình  log 42 ( x)  log 2 x3  log 2 8  9 log 2 32  log 2 x2   4log 22 ( x)
 log 42 ( x)  3log 2 x  3  9 5  2log 2 x  4log 22 ( x)
2

Đặt t = log2(x), bất phương trình trên tương đương với


1
1
3  log 2 x  2
3  t  2
x



t - 13t + 36 < 0  4  t  9 

 8

4
 2t 3
 2  log 2 x  3


4 x8

4

2

2

1 1
Vậy bất phương trình có nghiệm  ,    4,8  .
8 4




1
2




Câu 11. Giải bất phương trình log 2 (4 x 2  4 x  1)  2 x  2  ( x  2)log 1   x 
2
1


1
1

x

1
 x0
x 

2


 x
ĐK:  2
2
2
4 x 2  4 x  1  0
(2 x  1) 2  0
x  1



2

 *

Với điều kiện (*) bất phương trình tương đương với:
2log 2 (1  2 x)  2 x  2  ( x  2) log 2 (1  2 x)  1  x log 2 (1  2 x)  1  0

 x  0

 x  0
 x  0



1

log 2 (1  2 x)  1  0
log 2 2(1  2 x)  0
2(1  2 x)  1  x 







4
 x  0
 x  0
 x  0




x  0
 log 2 (1  2 x)  1  0
 log 2 2(1  2 x)  0
 2(1  2 x)  1
1

1
Kết hợp với điều kiện (*) ta có:  x  hoặc x < 0.
4
2

Câu 12. Giải bất phương trình: log2 (x  1)  log 1 (x  3)  5.
2

Điều kiện: x  1.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit
FB: />2
BPT  log2 (x  1)  log2 (x  3)  5  log2 (x  2x  3)  5

 x2  2x  35  0  7  x  5
Kết hợp điều kiện ta được: 1  x  5 là nghiệm của bất phương trình.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: 1  x  5.
Câu 13. Giải bất phương trình:
log 2 2 ( x  1)  log 2 ( x 2  2 x  1)  3  0

log 22 ( x  1)  log 2 ( x 2  2 x  1)  3  0  log 2 2 ( x  1)  2log 2 ( x  1)  3  0

Đặt t = log2(x+1) ta được : t2 – 2t – 3 > 0 <=> t < -1 hoặc t > 3.
1
1



1  x  
log 2 ( x  1)  1 0  x 

2
2
Vậy: log 2 ( x  1)  3  

x 1  8
x  7

Câu 14. Giải bất phương trình sau: log 3 (4 x  3)  2
log 3 (4 x  3)  2

3
4
log3 (4 x  3)  2  4 x  3  32  4 x  12  x  3

Điều kiện 4 x  3  0  x 

Kết hợp điều kiện, bất phương trình có nghiệm S   ;3 
3
4



Câu 15. Giải bất phương trình sau: log0,5 ( x2  5x  6)  1
log0,5 ( x2  5x  6)  1

x  2
x  3

Điều kiện x 2  5 x  6  0  

log0,5 ( x2  5x  6)  1  x 2  5x  6   0,5  x 2  5x  4  0  1  x  4
1

Kết hợp điều kiện bất phương trình có nghiệm S  1;2    3;4
Câu 16. Giải bất phương trình sau:

log 1 (2 x  4)  log 1 ( x 2  x  6)
3

3

log 1 (2 x  4)  log 1 ( x 2  x  6)
3

3

 x  2
2 x  4  0

   x  2  x  3
Điều kiện:  2
x  x  6  0
 x  3

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

FB: />
log 1 (2 x  4)  log 1 ( x  x  6)  2 x  4  x  x  6
2

3

2

3

 x  3x  10  0  2  x  5
2

Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm S   3;5
l o g(7 x  1)  l o g(10 x 2  11x  1)

Câu 17. Giải bất phương trình sau:

1

x




7

7 x  1  0
 1 1 
Điều kiện: 
 
1  x   ;   1;  
2
 7 10 
10 x  11x  1  0
  x  10

 x  1

l o g(7 x  1)  l o g(10 x 2  11x  1)  7 x  1  10 x 2  11x  1
 10 x 2  18 x  0  0  x 

9
5

Kết hợp điều kiện, bất phương trình có nghiệm S  0;

1   9
  1;
 10   5 

Câu 18. Giải bất phương trình:
log3 x 2  5 x  6  log 1 x  2 
3

1
log 1  x  3
2
3

Điều kiện: x  3
Bất phương trình đã cho tương đương:
1
1
1
log3  x 2  5 x  6   log 31  x  2   log 31  x  3
2
2
2
1
1
1
 log3  x 2  5 x  6   log3  x  2    log 3  x  3
2
2
2
 log 3  x  2  x  3   log 3  x  2   log 3  x  3

x2
 x2
 log 3  x  2  x  3   log 3 
   x  2  x  3 
x3
 x3

 x   10
 x2  9  1  
 x  10

Giao với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là x  10 .
Câu 19. Giải bất phương trình:
log 1 log5
3





x 2  1  x  log3 log 1
5



x2  1  x



Đk: x  0

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số mũ – hàm số logarit

1  log3 log 1 



x 2  1  x  log 3 log 5

5


 log 3  log 1
 5
 log 52



*) 0  log 5





x 2  1  x .log 5







x2  1  x  0




x2  1  x   0


x2  1  x  1

 0  log 5

*) log5





FB: />






x2  1  x  1



x2  1  x  x  0



x 2  1  x  1  x 2  1  x  5  x 2  1  5  x  ...  x 

12
5

12
Vậy BPT có nghiệm x   0; 
 5

Câu 20. Giải bất phương trình

x(3log 2 x  2)  9log 2 x  2

Điều kiện: x  0 Bất phương trình  3( x  3) log 2 x  2( x  1)
Nhận thấy x=3 không là nghiệm của bất phương trình.
3
2

TH1 Nếu x  3 BPT  log 2 x 
3
2

Xét hàm số: f ( x)  log 2 x

x 1
x 3

đồng biến trên khoảng  0; 

trên khoảng  3;   *Với x  4 :Ta có

g ( x) 

x 1
x 3

nghịch biến

f ( x)  f (4)  3
  Bpt có nghiệm x  4 * Với
g ( x)  g (4)  3 

f ( x)  f (4)  3
  Bpt vô nghiệm
g ( x)  g (4)  3 
3
x 1
3
TH 2:Nếu 0  x  3 BPT  log 2 x 
f ( x)  log 2 x đồng biến trên  0;  ;
2
x 3
2
f ( x)  f (1)  0
x 1
nghịch biến trên  0;3 *Với x  1 :Ta có
g ( x) 

  Bpt vô
g ( x)  g (1)  0 
x 3

x  4 :Ta có

nghiệm
 Với x  1:Ta có

f ( x)  f (1)  0
  Bpt có nghiệm 0  x  1
g ( x)  g (1)  0 

x  4

Vậy bất phương trình có nghiệm 
.
0  x  1

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ