BT HÌNH học 10 CHƯƠNG II TÍCH vô HƯỚNG

Ọ

FB: />
CHƯƠNG II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ VÀ
ỨNG DỤNG

§1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 00 ĐẾN 1800

Tính giá trị các biểu thức sau:
a) a sin 00  b cos 00  c sin 900
c) a2 sin 900  b2 cos900  c2 cos1800
e) 4a2 sin2 450  3(a tan 450 )2  (2a cos450 )2

b) a cos900  b sin 900  c sin1800
d) 3  sin2 900  2 cos2 600  3tan2 450

Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) sin x  cos x khi x bằng 00; 450; 600.
b) 2 sin x  cos 2 x khi x bằng 450; 300.
Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác còn
lại:
1
4

a) sin   ,  nhọn.
Biết sin150 

b) cos   
6 2
4

1
3

c) tan x  2 2

. Tinh cos150 , tan150 , cot150 .

Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị của một biểu thức:
1
3

tan x  3cot x  1
.
tan x  cot x
sin   cos 

a) sin x  , 900  x  1800 . Tính A 
b) tan   2 . Tính B 

sin3   3cos3   2sin 

Chứng minh các đẳng thức sau:
a) (sin x  cos x)2  1  2sin x.cos x
b) sin4 x  cos4 x  1  2sin2 x.cos2 x
c) tan2 x  sin2 x  tan2 x.sin2 x
d) sin6 x  cos6 x  1  3sin2 x.cos2 x
e) sin x.cos x(1  tan x )(1  cot x )  1  2sin x.cos x
Đơn giản các biểu thức sau:
a) cos y  sin y.tan y
b) 1  cos b . 1  cos b

d)

1  cos2 x
1  sin2 x

 tan x.cot x

e)

c) sin a 1  tan2 a

1  4sin2 x.cos2 x
(sin x  cos x )2

f) sin(900  x)  cos(1800  x)  sin2 x(1  tan2 x)  tan2 x
Tính giá trị các biểu thức sau:
2

a) cos 120  cos2 780  cos2 10  cos2 890

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

b) sin2 30  sin2 150  sin2 750  sin2 870

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Ọ

FB: />

§2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vô hướng:
a) AB. AC
b) AC .CB
c) AB.BC
Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:
a) AB. AC
b) AC .CB
c) AB.BC
Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì.
a) Chứng minh: DA.BC  DB.CA  DC.AB  0 .
b) Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng
qui".
Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh:
BC. AD  CA.BE  AB.CF  0 .
Cho hai điểm M, N nắm trên đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao
điểm của hai đường thẳng AM và BN.
a) Chứng minh: AM .AI  AB.AI , BN .BI  BA.BI .
b) Tính AM .AI  BN .BI theo R.
Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8.
a) Tính AB. AC , rồi suy ra giá trị của góc A.
b) Tính CA.CB .
c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD = 3. Tính CD.CB .
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) AB. AC
b) ( AB  AD )(BD  BC )
c) ( AC  AB)(2 AD  AB)
d) AB.BD
e) ( AB  AC  AD )(DA  DB  DC )
HD: a) a2

b) a2
c) 2a2
d) a2
e) 0
Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3.
a) Tính AB. AC , rồi suy ra cosA.
b) Gọi G là trọng tâm của ABC. Tính AG.BC .
c) Tính giá trị biểu thức S = GA.GB  GB.GC  GC.GA .
d) Gọi AD là phân giác trong của góc BAC (D  BC). Tính AD theo AB, AC , suy ra
AD.
3
2

HD: a) AB.AC   , cos A  

1
4

b) AG.BC 

d) Sử dụng tính chất đường phân giác DB 

5
3

AB
.DC
AC

c) S  



AD 

29
6

3
2
54
AB  AC , AD 
5
5
5

Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 600. M là trung điểm của BC.
a) Tính BC, AM.
b) Tính IJ, trong đó I, J được xác định bởi: 2IA  IB  0, JB  2JC .
HD: a) BC = 19 , AM =

7
2

b) IJ =

2
133
3

Cho tứ giác ABCD.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Ọ

FB: />
a) Chứng minh AB2  BC 2  CD2  DA2  2 AC.DB .
b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là:
AB2  CD2  BC 2  DA2 .
Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh:
MH .MA 

1
BC 2 .
4

Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì. Chứng minh:
a) MA2  MC 2  MB2  MD2
b) MA.MC  MB.MD
2
c) MA  MB.MD  2MA.MO (O là tâm của hình chữ nhật).
Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0).
a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC.
b) Tìm toạ độ điểm M biết CM  2 AB  3 AC .
c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).
a) Tính AB. AC . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.
e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng.
f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N.
g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật.
h) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO.
i) Tìm toạ độ điểm T thoả TA  2TB  3TC  0
k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B.
l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của ABC.
Cho tam giác ABC. tìm tập hợp những điểm M sao cho:
2
a) MA  2 MA.MB
b) ( MA  MB)(2 MB  MC )  0
c) ( MA  MB)( MB  MC )  0
d) 2MA2  MA.MB  MA.MC
Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
a) MA.MC  MB.MD  a2
b) MA.MB  MC.MD  5a2
c) MA2  MB2  MC 2  3MD2
d) (MA  MB  MC)( MC  MB)  3a2
Cho tứ giác ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm tập hợp
1
2

điểm M sao cho: MA.MB  MC.MD  IJ 2 .

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

Ọ

FB: />
§3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC

Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có;
a) a  b.cos C  c.cos B
b) sin A  sin B cos C  sin C cos B
3
4

d) ma2  mb2  mc2  (a2  b2  c2 )

c) ha  2 R sin B sin C
e) S ABC 

2
1
AB 2 . AC 2   AB. AC 
2

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) Nếu b + c = 2a thì

2
1 1



ha hb hc

b) Nếu bc = a2 thì sin B sin C  sin2 A, hbhc  ha2

c) A vuông  mb2  mc2  5ma2
Cho tứ giác lồi ABCD, gọi  là góc hợp bởi hai đường chép AC và BD.
1
2

a) Chứng minh diện tích S của tứ giác cho bởi công thức: S  AC.BD.sin  .
b) Nêu kết quả trong trường hợp tứ giác có hai đường chéo vuông góc.
Cho ABC vuông ở A, BC = a, đường cao AH.
a) Chứng minh AH  a.sin B.cos B, BH  a.cos2 B, CH  a.sin2 B .
b) Từ đó suy ra AB2  BC.BH , AH 2  BH .HC .
Cho AOB cân đỉnh O, OH và OK là các đường cao. Đặt OA = a, AOH   .
a) Tính các cạnh của OAK theo a và .
b) Tính các cạnh của các tam giác OHA và AKB theo a và .
c) Từ đó tính sin 2 , cos 2 , tan 2 theo sin  , cos  , tan  .
Giải tam giác ABC, biết:
a) c  14; A  600 ; B  400
c) c  35; A  400 ; C  1200

b) b  4,5; A  300 ; C  750
d) a  137,5; B  830 ; C  570

Giải tam giác ABC, biết:
a) a  6,3; b  6,3; C  540
c) a  7; b  23; C  1300

b) b  32; c  45; A  870

d) b  14; c  10; A  1450

Giải tam giác ABC, biết:
a) a  14; b  18; c  20
c) a  4; b  5; c  7

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

b) a  6; b  7,3; c  4,8
d) a  2 3; b  2 2; c  6  2

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Ọ

FB: />
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II

Chứng minh các đẳng thức sau:
a)

sin x
1  cos x
2


1  cos x
sin x
sin x

b)

sin3 x  cos3 x
 1  sin x.cos x
sin x  cos x

2

 tan2 x  1 
cos2 x  sin2 x
1
 1  tan2 x
c) 
d)
 1
 
4
4
2
 2 tan x  4sin2 x.cos2 x
sin x  cos x  sin x
2
2
sin x
cos x

 sin x  cos x
e)
cos x (1  tan x ) sin x(1  cot x )


cos x  
sin x 
1
f)  tan x 
 .  cot x 

1  sin x  
1  cos x  sin x.cos x


g) cos2 x(cos2 x  2sin2 x  sin2 x tan2 x)  1
Biết sin180 

5 1
.
4

Tính cos180, sin720, sin1620, cos1620, sin1080, cos1080,

tan720.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = cos4 x  cos2 x  sin2 x
b) B = sin4 x  sin2 x  cos2 x
Cho các vectơ a , b .
a) Tính góc  a, b  , biết a , b  0 và hai vectơ u  a  2b , v  5a  4b vuông góc.
b) Tính a  b , biết a  11, b  23, a  b  30 .
c) Tính góc  a, b  , biết (a  3b )  (7a  5b ), (a  4b )  (7a  2b ) .
d) Tính a  b , 2a  3b , biết a  3, b  2, (a, b )  1200 .
e) Tính a , b , biết a  b  2, a  b  4, (2a  b )  (a  3b ) .

Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 6.
a) Tính AB. AC và cosA.
2
3

3
4

b) M, N là hai điểm được xác định bởi AM  AB, AN  AC . Tính MN.
Cho hình bình hành ABCD có AB = 3 , AD = 1, BAD  600 .
a) Tính AB.AD, BA.BC .
b) Tính độ dài hai đường chéo AC và BD. Tính cos  AC, BD  .
Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Về phía ngoài tam giác vẽ các tam giác
vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AIDE.
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi H, K lần lượt là
trực tâm của các tam giác ABO và CDO. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC.
Chứng minh HK  IJ.
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1, M là trung điểm cạnh AB. Trên
3
4

đường chéo AC lấy điểm N sao cho AN  AC .
a) Chứng minh DN vuông góc với MN.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Ọ

FB: />
b) Tính tổng DN .NC  MN .CB .
Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a) AB.AM  AC.AM  0
b) AB. AM  AC. AM  0
c) ( MA  MB)( MA  MC )  0
d) ( MA  MB  2 MC )( MA  2 MB  MC )  0
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:
a) b2  c2  a(b.cos C  c.cos B)
b) (b2  c2 )cos A  a(c.cos C  b.cos B)
b) sin A  sin B.cos C  sin C.cos B  sin(B  C )
Cho ABC. Chứng minh rằng:
a) Nếu (a  b  c)(b  c  a)  3bc thì A  600 .
b) Nếu

b3  c 3  a3
 a2
bca

thì A  600 .

c) Nếu cos( A  C )  3cos B  1 thì B  600 .
d) Nếu b(b2  a2 )  c(a2  c2 ) thì A  600 .
Cho ABC. Chứng minh rằng:
a) Nếu
b) Nếu
c) Nếu
d) Nếu

b2  a2

 b cos A  a cos B thì ABC cân đỉnh C.
2c
sin B
 2 cos A thì ABC cân đỉnh B.
sin C
a  2b.cos C thì ABC cân đỉnh A.
b
c
a


thì ABC vuông tại A.
cos B cos C sin B.sin C

e) Nếu S  2R2 sin B.sin C thì ABC vuông tại A.
Cho ABC. Chứng minh điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến BM và CN
vuông góc với nhau là: b2  c2  5a2 .
Cho ABC.
a) Có a = 5, b = 6, c = 3. Trên các đoạn AB, BC lần lượt lấy các điểm M, K sao
cho BM = 2, BK = 2. Tính MK.
5
9

b) Có cos A  , điểm D thuộc cạnh BC sao cho ABC  DAC , DA = 6, BD 

16
.
3

Tính

chu vi tam giác ABC.
HD: a) MK =

8 30
15

b) AC = 5, BC =

25
,
3

AB = 10

Cho một tam giác có độ dài các cạnh là: x 2  x  1; 2 x  1; x 2  1 .
a) Tìm x để tồn tại một tam giác như trên.
b) Khi đó chứng minh tam giác ấy có một góc bằng 1200 .
Cho ABC có B  900 , AQ và CP là các đường cao, SABC  9SBPQ .
a) Tính cosB.
b) Cho PQ = 2 2 . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ABC.
HD: a) cos B 

1
3

b) R 

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

9
2

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Ọ

FB: />
Cho ABC.
a) Có B  600 , R = 2, I là tâm đường tròn nội tiếp. Tính bán kính của đường tròn
ngoại tiếp ACI.
b) Có A  900 , AB = 3, AC = 4, M là trung điểm của AC. Tính bán kính đường tròn
ngoại tiếp BCM.
c) Có a = 4, b = 3, c = 2, M là trung điểm của AB. Tính bán kính của đường tròn
ngoại tiếp BCM.
b) R 

HD: a) R = 2

5 13
6

c) R 

8 23
3 30

Cho hai đường tròn (O1, R) và (O2, r) cắt nhau tại hai điểm A và B. Một
đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn tại C và D. Gọi N là giao điểm của AB và CD

(B nằm giữa A và N). Đặt AO1C   , AO2 D   .
a) Tính AC theo R và ; AD theo r và .
b) Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp ACD.




2

2

HD: a) AC = 2 R sin , AD = 2r sin

b) Rr .

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AC, BD = a,
CAB   , CAD   .
a) Tính AC.
b) Tính diện tích tứ giác ABCD theo a, , .
HD: a) AC =

a

b) S 

sin(   )

a2 cos(    )
.
2 sin(   )

Cho ABC cân đỉnh A, A   , AB = m, D là một điểm trên cạnh BC sao cho
BC = 3BD.
a) Tính BC, AD.
b) Chứng tỏ rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD, ACD là bằng nhau.
Tính cos để bán kính của chúng bằng

1
2

bán kính R của đường tròn ngoại tiếp

ABC.


HD: a) BC = 2m sin , AD =
2

m
5  4 cos 
3

b) cos   

11
.
16

Nguồn bài tập: Thầy Trần Sĩ Tùng

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ