Phương pháp hệ số phản xạ, khúc xạ cải tiến cho môi trường phân lớp trực hướng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
—————————

Trương Thị Thùy Dung

PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CẢI TIẾN
CHO MÔI TRƯỜNG PHÂN LỚP TRỰC HƯỚNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015



ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————————–

Trương Thị Thùy Dung

PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CẢI TIẾN
CHO MÔI TRƯỜNG PHÂN LỚP TRỰC HƯỚNG

Chuyên ngành: Cơ học vật rắn
Mã số: 60440107

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN THANH TUẤN

Hà Nội - 2015


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên em muốn gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy hướng dẫn Trần
Thanh Tuấn - người đã truyền cho em niềm đam mê khoa học và đã hướng dẫn
em tỉ mỉ, tận tình trong suốt quá trình làm luận văn.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới nhóm Seminar tại bộ môn Cơ học
do GS. TS Phạm Chí Vĩnh chủ trì, thầy và các anh chị đã trang bị cho em kiến
thức nền tảng và là nguồn động lực để chúng em theo đuổi nghiên cứu khoa học.
Đặc biệt, các công thức trong mục 2.1 học viên thu nhận được từ bài giảng của
nhóm seminar thầy Phạm Chí Vĩnh trình bày. Em xin cảm ơn toàn thể các thầy
cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại Học
Quốc Gia Hà Nội đã truyền đạt kiến thức giúp em hoàn thành luận văn.
Bên cạnh đó, em cảm ơn gia đình đã luôn động viên, tạo điều kiện tốt
nhất cho em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2015

Trương Thị Thùy Dung


Mục lục

Lời mở đầu

4

1 Phương pháp ma trận hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa
R/T

6

1.1

Dạng ma trận của các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . .

1.2

Ma trận hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa . . . . . . . . . . . 15

1.3

7

1.2.1

Sóng qSH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.2

Sóng qP-SV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Phương trình tán sắc của sóng Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Phương pháp hệ số R/T trong bài toán tìm band-gaps của sóng
mặt

26

2.1

Công thức tính vận tốc sóng trong môi trường trực hướng . . . . 27

2.2

Bài toán phổ band-gaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3

Band-gaps của sóng qSH và sóng qP-SV . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4

Tính toán số phổ band-gaps của sóng qP . . . . . . . . . . . . . . 34

Kết luận

37

Danh mục các bài báo khoa học

38

2


MỤC LỤC

Tài liệu tham khảo

38

3


Lời mở đầu
Trong lớp bài toán phản xạ và khúc xạ của sóng mặt truyền qua môi
trường phân lớp, các hệ số phản xạ và khúc xạ cần tìm sẽ được tìm thông qua
các hệ số phản xạ và khúc xạ của sóng tới đi qua từng mặt phân cách giữa
các lớp bằng cách sử dụng các điều kiện biên liên tục của chuyển dịch và ứng
suất. Cách làm này tương tự như phương pháp ma trận chuyển và được giới
thiệu trong một số sách chuyên khảo về sóng như là của Achenbach (1975) [11],
Brekhovskikh (1973) [2]. Cách làm này khá thuận tiện trong lập trình tính toán
số đối với môi trường đẳng hướng và cũng được gọi là phương pháp ma trận
chuyển hay "T-matrix" và được sử dụng trong các nghiên cứu về hệ số phản xạ
và khúc xạ như là trong Golub và các cộng sự (2012) [7, 8] khi đi khảo sát phổ
band-gaps của các sóng một thành phần SH , và sóng hai thành phần P − SV .
Tuy nhiên, phương pháp này có một nhược điểm cố hữu của phương pháp ma
trận chuyển đó là kết quả tính toán số có thể không ổn định đối với sóng tới
có tần số cao như đã được phân tích kỹ trong bài báo của Chen (1993) [21],
và phương pháp này không phản ánh được rõ ràng các tính chất vật lý của bài
toán phản xạ khúc xạ khi các đặc trưng của sóng tới, sóng phản xạ, khúc xạ (ví
dụ như biên độ, góc tới, góc phản xạ, khúc xạ) được chuyển qua các đại lượng
chuyển dịch và ứng suất tại các bề mặt để áp dụng điều kiện biên liên tục. Điều
này làm cho các hình ảnh vật lý về tính phản xạ và khúc xạ của sóng trong các
lớp không còn được tường minh.
Trong bài báo của Chen (1993) [21] về phương pháp phản xạ và khúc xạ
tổng quát hóa, hai nhược điểm đề cập ở trên đã được khắc phục. Phương pháp
của Chen đã sử dụng trực tiếp các hệ số phản xạ và khúc xạ tổng quát hóa

(là các hệ số phản xạ, khúc xạ tại một mặt phân cách giữa hai bán không gian
nhưng chỉ thông qua một sóng tới) bằng cách sử dụng trực tiếp các tham số biên


MỤC LỤC

độ của các sóng trong từng lớp, tương tự như trong Kennett (1983) [12] nhưng
sử dụng công thức của Luco và Apsel (1983) [14] để loại trừ các hệ số tăng theo
hàm mũ, là các hệ số gây mất ổn định tính toán số đối với tần số cao. Do đó,
phương pháp này không những đã khắc phục được nhược điểm mất ổn định số
đối với miền tần số cao mà còn cung cấp một hình ảnh rõ ràng về sự phản xạ
và khúc xạ trong từng lớp. Với những ưu điểm này, phương pháp của Chen đã
được viết thành một phần mềm tính toán về sóng và được sử dụng một cách
rộng rãi.
Trong luận văn này, phương pháp của Chen được nghiên cứu phát triển
cho lớp vật liệu bất đẳng hướng, cụ thể là vật liệu trực hướng. Các phương trình
của Chen, ví dụ như các công thức của các hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát
hóa, các công thức truy hồi để tính toán chúng, được viết lại phù hợp đối với
môi trường vật liệu trực hướng. Các phương trình này sẽ được sử dụng để thiết
lập phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh truyền trong môi trường phân
lớp, và được sử dụng để nghiên cứu bài toán phản xạ, khúc xạ của sóng truyền
trong môi trường này. Luận văn sẽ tập trung đi vào tính toán số phổ band-gaps
của sóng qSH (kí hiệu q là quasi) và sóng qP − SV , (hay còn gọi là sóng tựa SH
và sóng tựa P − SV ), là các sóng tương tự như sóng SH và P − SV trong môi
trường đẳng hướng, khi truyền qua môi trường phân lớp trực hướng.
Nội dung của luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận gồm hai chương.
Chương 1 sẽ đi thiết lập các phương trình cơ bản của phương pháp ma trận hệ
số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa R/T và sẽ đi thiết lập phương trình tán sắc
của sóng mặt Rayleigh truyền trong môi trường phân lớp trực hướng. Chương 2
sẽ đi sử dụng các kết quả của Chương 1 để khảo sát bài toán tìm phổ band-gaps

của sóng mặt qSH và qP − SV truyền qua môi trường phân lớp trực hướng.

5


Chương 1
Phương pháp ma trận hệ số phản
xạ, khúc xạ tổng quát hóa R/T
Mô hình tổng quát của môi trường phân lớp được nghiên cứu trong luận
văn bao gồm N lớp song song đồng nhất, trực hướng đặt giữa hai bán không
gian (Hình vẽ 1). Các trục chính của bán không gian và các lớp được giả thiết
là cùng phương. Sóng phẳng truyền trong mô hình có tần số góc ω và có số sóng
theo phương ngang k . Chọn hệ trục tọa độ sao cho trục Ox song song với các
lớp và có chiều hướng theo phương truyền sóng cũng là phương của một hướng
chính của vật liệu. Trục Oz có chiều dương hướng xuống dưới và có gốc tọa độ
nằm tại mặt biên của lớp trên cùng. Trong một số trường hợp, để cho công thức
đơn giản hệ tọa độ (x, y, z) có thể được thay bằng (x1 , x2 , x3 ). Các lớp có tham
(j) (j) (j) (j) (j)
(j)
số vật liệu là c(j)
11 , c13 , c33 , c55 , c44 , c66 và ρ , trong đó j = 1, . . . , N là số thứ tự

của lớp. Bán không gian bên trên được coi là lớp thứ (0) và bán không gian bên
dưới được coi là lớp thứ (N + 1). Chương này sẽ trình bày các hệ thức cơ bản
của phương pháp hệ số phản xạ, khúc xạ tổng quát hóa trong mô hình phân lớp
đang xét này. Cụ thể là các hệ số phản xạ và khúc xạ tổng quát hóa sẽ được
nhận tại mặt phân cách giữa hai lớp thứ (j) và thứ (j + 1). Các công thức hệ
số này sẽ được sử dụng để khảo sát bài toán truyền sóng mặt Rayleigh và bài
toán phản xạ, khúc xạ được trình bày trong các chương còn lại. Các nội dung
của chương này được thực hiện tương tự như trong bài báo của Chen (1993)

[21] nhưng phát triển cho vật liệu trực hướng, thay vì vật liệu là đẳng hướng,
với các biến đổi chi tiết.
6


CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN HỆ SỐ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ TỔNG
QUÁT HÓA R/T

1.1

Dạng ma trận của các phương trình cơ bản
Xét một môi trường đàn hồi trực hướng đặc trưng bởi các hằng số vật

liệu c11 , c13 , c33 , c55 , c44 , c66 và mật độ khối của môi trường là ρ. Giả thiết các
sóng phẳng truyền trong môi trường nằm trong mặt phẳng (0, x1 , x3 ). Do đó các

Hình 1.1: Mô hình và hệ tọa độ của môi trường trực hướng phân lớp. Các lớp và bán
không gian có các hướng chính của vật liệu trùng nhau

thành phần chuyển dịch của sóng phẳng trong môi trường đang xét là các hàm
phụ thuộc vào (x, z, t) hay (x1 , x3 , t) và có dạng
(1.1)

ui = ui (x1 , x3 , t)

trong đó, i = 1, 2, 3, ui là các thành phần của vector chuyển dịch.
Đối với sóng phẳng qP − SV ta có
uj = uj (x1 , x3 , t)

và u2 (x1 , x3 , t) = 0

(1.2)

trong đó, j = 1, 3.
Phương trình trạng thái biểu diễn mối liên hệ giữa các thành phần của
ứng suất và các thành phần của gradient chuyển dịch (ui,j =

7

∂ui
) trong môi
∂xj


Tài liệu tham khảo
[1] Aki, K. and Richards, P. G (1980), Quantitative Seismology: Theory and
Methods, W. H. Freeman, San Francisco.
[2] Brekhovskikh, L. M. Waves in stratified media. Izd. Akad. Nauk SSSR, Mos
(1973).
[3] Brillouin, L. (1946). "Wave Propagation in Periodic Structures: Electric
Filters and Crystal Lattices, ser". International Series in Pure and Applied
Physics.
[4] Chattopadhyay and Rajneesh (2006). "Reflection and refraction of waves
at the interface of an isotropic medium over a highly anisotropic medium",
Acta Geophysica, 54 (3), pp. 239-249.
[5] Fomenko, S. I., Golub, M. V., Zhang, C., Bui, T. Q., and Wang, Y. S. (2014).
"In-plane elastic wave propagation and band-gaps in layered functionally
graded phononic crystals". International Journal of Solids and Structures,
51 (13), 2491-2503.
[6] Goffaux, C., Vigneron, J.P. (2001). "Theoretical study of a tunable phononic

band gap system". Physical Review B 64, 075118.
[7] Golub, M.V., Fomenko, S.I., Bui, T.Q., Zhang, C., Wang, Y.S. (2012).
"Trans-mission and band gaps of elastic SH waves in functionally graded
periodic laminates". International Journal of Solids and Structures 49,
344–354.

39


TÀI LIỆU THAM KHẢO

[8] Golub, M.V., Zhang, C., Wang, Y.S. (2012). "SH-wave propagation and
scattering in periodically layered composites with a damaged layer". Journal
of Sound and Vibration 331, 1829–1843.
[9] G. R. Liu and Z. C. Xi. (2002). Elastic waves in anisotropic laminates. CRC
press.
[10] Haskell, N. A., (1953). "The dispersion of surface waves on multilayered
media", Bull. seism. Soc. Am., 43, 17-34.
[11] J. D. Achenbach (1975). Wave Propagation in Elastic Solids, North-Holland
publishing company Amsterdam, New York, Oxford .
[12] Kennett, B. L. N. (1983), Seismic Wave Propagation in Stratified Media,
Cambridge University Press, New York.
[13] Kushwaha, M.S. (1999). "Band gap engineering in phononic crystals". Recent Research Developments in Applied Physics 2, 743–855.
[14] Luco, J. E. and Apscl, R. J., (1983). "On the Green’s function for a layered
half-space, Part I", Bull. seism. SOC. Am., 73, 909-929.
[15] Maldovan, M., Thomas, E.L. (2009). Periodic Materials and Interference
Lithography for Photonics, Phononics and Mechanics. Wiley-VCH Verlag
GmbH and Co. KGaA, Weinheim, Germany.
[16] Thomson, W. T., (1950). "Transmission of elastic waves through a stratified
solid medium", J. uppl. Phys., 21, 89-93.

[17] Ting.T.C.T. (1996). Anisotropic Elasticity: Theory and Applications, Oxford Unversity Press NewYork.
[18] Vinh, P. C., Tung, D. X. (2010). "Homogenized equations of the linear
elasticity in two-dimensional domains with very rough interfaces". Mech.
Res. Comm. 37, pp. 285-288.
[19] Wang, Y.Z., Li, F.M., Kishimoto, K., Wang, Y.S., Huang, W.H. (2009).
"Elastic wave band gaps in magnetoelectroelastic phononic crystals". Wave
Motion 46, pp. 47–56.
40


TÀI LIỆU THAM KHẢO

[20] Wu, M.L., Wu, L.Y., Chen, L.W. (2009). "Elastic wave band gaps of onedimensional phononic crystals with functionally graded materials". Smart
Materials and Structures 18, 115013.
[21] Xiaofei Chen (1993), "A systematic and efficient method of computing normal modes for multilayered half-space", Geophys. J. Int. 115, pp. 391-409.

41