Về các nguyên lý biến phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

HOÀNG THỊ MẤN

VỀ CÁC NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số:

60. 46. 01. 02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG

Hà Nội – Năm 2015


Mục lục
Mở đầu
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian vectơ . . .
1.2 Không gian vectơ tôpô
1.3 Không gian mêtric . . .
1.4 Ánh xạ đa trị . . . . .
1.5 Một số kí hiệu . . . . .
1.6 Hàm nửa liên tục dưới

3

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

2 Nguyên lí biến phân Ekeland
2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển . . . .
2.2 Mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cho bài
2.2.2 Nguyên lí biến phân Ekeland vectơ .

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

. . .
. . .
toán
. . .

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

15
. . . . . . 15
. . . . . . 23
cân bằng 23
. . . . . . 29

3 Các dạng tương đương của nguyên lí biến phân và một số
nguyên lí biến phân khác
3.1 Dạng hình học của nguyên lý biến phân Ekeland . . . . . .
3.1.1 Định lí Bishop-Phelps . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Định lí cánh hoa (the flower- pental theorem) . . . .
3.1.3 Định lí giọt nước (the drop theorem) . . . . . . . . .
3.2 Sự tương đương giữa nguyên lí biến phân Ekeland và tính
đầy đủ của không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Ứng dụng nguyên lí biến phân Ekeland trong chứng minh
định lí điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Định lí điểm bất động Banach . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Một kết quả tinh tế hơn của Clarke (Clarke’s Refinement) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

6
6
7
10
12
12
12

36
36
36
38
41
43
44
44
46


3.3.3 Định lí điểm bất động Caristi-Kirk .
3.4 Một số nguyên lí biến phân khác . . . . . .
3.4.1 Nguyên lí biến phân Borwein-Preiss
3.4.2 Nguyên lí Deville-Godefroy-Zizler . .
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . .

2

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

48
51
51
54
58
59

Mở đầu
Nguyên lý biến phân Ekeland (1974) (Ekeland’s variational principle,
viết tắt là EVP) được coi là một trong các kết quả quan trọng nhất của
giải tích phi tuyến trong bốn thập kỷ vừa qua.
Nguyên lí biến phân Ekeland xuất phát từ định lí Weierstrass nói rằng,
nếu hàm f nửa liên tục dưới trên tập compact X thì sẽ đạt cực tiểu trên
tập đó. Khi X là tập không compact thì hàm f có thể không có điểm cực
trị. Với không gian metric đủ X , hàm f bị chặn dưới, với mỗi ε > 0, ta
luôn tìm được điểm ε− xấp xỉ cực tiểu x, tức là

inf f ≤ f (xε ) < inf f + ε.
X

X

Vào năm 1974, Ekeland đã phát biểu nguyên lí nói rằng, với hàm f nửa
liên tục dưới, bị chặn dưới trên không gian metric đủ X thì với mọi điểm
ε− xấp xỉ cực tiểu x, ta luôn tìm được điểm xˆ là cực tiểu chặt của hàm
nhiễu của hàm ban đầu, đồng thời f (ˆ
x) ≤ f (x). Không những thế, ta có
thể còn đánh giá được khoảng cách giữa x
ˆ và x .
Sau khi ra đời, nguyên lí biến phân Ekeland đã trở thành công cụ mạnh
trong giải tích hiện đại. Những ứng dụng của nguyên lí này bao trùm
nhiều lĩnh vực: Lí thuyết tối ưu, giải tích không trơn, lí thuyết điều khiển,
lí thuyết điểm bất động, kinh tế,...
Nguyên lí biến phân Ekeland đã được GS. Phạm Hữu Sách [1] sử dụng để
nghiên cứu vi phân ánh xạ đa trị và các điều kiện tối ưu trong bài toán

qui hoạch có tham gia các ánh xạ đa trị.
Sự tương đương của nguyên lí Ekeland với định lí điểm bất động CaristiKirk đã được phát hiện từ lâu. Năm 1984 Penot mới chứng minh được
rằng nguyên lí đó cũng tương đương với định lí giọt nước của Danes mà
3


sau này được gọi là dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland.
Trong những năm gần đây, nguyên lí này được mở rộng cho hàm f là ánh
xạ đơn trị hoặc đa trị nhận giá trị trong không gian vectơ và áp dụng trong
các bài toán cân bằng.
Mục đích của luận văn này là tìm hiểu một số kết quả liên quan đến
nguyên lí biến phân Ekeland (cổ điển và vectơ) cùng một số ứng dụng của
nguyên lí biến phân này.
Luận văn gồm 3 chương
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả của tôpô và giải tích
hàm phục vụ cho việc chứng minh các định lí.
Chương 2. Nguyên lí biến phân Ekeland
Chương này trình bày nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, các mở rộng
của nguyên lí biến phân Ekeland gồm nguyên lí biến phân Ekeland cho bài
toán cân bằng và nguyên lí biến phân Ekeland vectơ.
Chương 3. Các dạng tương đương của nguyên lí biến phân và
một số nguyên lí biến phân khác
Chương này trình bày các dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland
gồm định lí Bishop-Phelps, định lí cánh hoa và định lí giọt nước.
Ứng dụng định lí điểm bất động gồm định lí điểm bất động Banach,
một kết quả tinh tế hơn của Clarke, định lí điểm bất động Caristi-Kirk.
Cuối cùng là nguyên lí biến phân Borwein-Preiss và nguyên lí DevilleGodefroy-Zizler.
Luận văn cố gắng trình bày một cách có hệ thống (với các chứng minh cụ
thể và chi tiết cùng với những chỉnh sửa cần thiết) về nguyên lí biến phân

Ekeland.

4


Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS.
Tạ Duy Phượng. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải
đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại
học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô
đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2013-2015, lời cảm ơn sâu sắc nhất
đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại Trường.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã
quan tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt
nhiệm vụ của mình.

Hà Nội, Ngày 25 tháng 10 năm 2015
Tác giả luận văn
Hoàng Thị Mấn

5


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1

Không gian vectơ

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử F là một trường R hoặc C. Các phần tử của F
được gọi là số (đại lượng vô hướng). Một không gian véctơ V định nghĩa
trên trường F là một tập hợp V không rỗng mà trên đó hai phép cộng
véctơ và phép nhân với một số hướng được định nghĩa sao cho các tính
chất cơ bản sau đây được thỏa mãn:
1. Phép cộng véctơ có tính chất kết hợp:
Với mọi u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w;
2. Phép cộng véctơ có tính chất giao hoán:
Với mọi v, w ∈ V : v + w = w + v;
3. Phép cộng véctơ có phần tử trung hòa:
Với mọi v ∈ V, có một phần tử 0 ∈ V, gọi là véctơ không: v + 0 = v;
4. Phép cộng véctơ có phần tử đối:
Với mọi v ∈ V, tồn tại w ∈ V : v + w = 0;
5. Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng véctơ:
Với mọi α ∈ F ; v, w ∈ V : α(v + w) = αv + αw;
6. Phép nhân véctơ phân phối với phép cộng vô hướng:
Với mọi α, β ∈ F ; v ∈ V : (α + β)v = αv + βv;
7. Phép nhân vô hướng tương thích với phép nhân trong trường các số
vô hướng: Với mọi α, β ∈ F ; v ∈ V : α.(β.v) = (α.β)v;
8. Phần tử đơn vị của trường F có tính chất của phần tử đơn vị với phép
nhân vô hướng: Với mọi v ∈ V : 1.v = v.1.
6


Định nghĩa 1.1.2. Cho X là không gian véctơ. Tập C ⊆ X được gọi là
tập lồi nếu với mọi x, y ∈ C và với mọi λ ∈ [0, 1] thì (1 − λ)x + λy ∈ C
(hay nói cách khác C chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kì thuộc nó).
Định nghĩa 1.1.3 (Nón). Cho X là một không gian vectơ. Tập K ⊂ X

được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu ∀x ∈ K, ∀λ ≥ 0 thì λx ∈ K .
K được gọi là nón có đỉnh tại x0 nếu K − x0 là nón có đỉnh tại 0.
Định nghĩa 1.1.4 (Nón đóng). Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là nón đóng
nếu K là tập đóng.
Định nghĩa 1.1.5 (Nón nhọn). Một nón được gọi là nón nhọn nếu nó
không chứa đường thẳng nào.
Định nghĩa 1.1.6 (Nón lồi). Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi nếu
K là tập lồi, có nghĩa là

∀x, y ∈ K,

∀λ, µ > 0 và λ + µ = 1 thì λx + µy ∈ K.

Mệnh đề 1.1.1. K là nón lồi khi và chỉ khi K là nón và K + K = K.
Chứng minh. Giả sử K là nón. Theo định nghĩa ta có ∀x, y ∈ K thì
1
1
x ∈ K và y ∈ K .
2
2
1
1
1
Mặt khác, K là nón lồi nên (x + y) = x + y ∈ K . Vậy (x + y) ∈ K .
2
2
2
Suy ra K + K ⊆ K . Vậy K + K = K .
Đảo lại, vì K là nón nên λx ∈ K, (1 − λ)y ∈ K, ∀x, y ∈ K .
Mà K + K = K nên λx + (1 − λy) ∈ K hay K là tập lồi.

1.2

Không gian vectơ tôpô

Định nghĩa 1.2.1 (Không gian tôpô). Cho một tập X = ∅. Họ τ các tập
con nào đó của X được gọi là một tôpô trên X nếu
(i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ ;
(ii) Gα ∈ τ với α ∈ I, I là tập chỉ số bất kì thì ∪α∈I Gα ∈ τ ;
(iii) ∀G1 , G2 ∈ τ thì G1 ∩ G2 ∈ τ.
Tập X cùng với tôpô trên X được gọi là một không gian tôpô.
Kí hiệu: (X, τ ).
7


Định nghĩa 1.2.2. Cho (X, τ ) là không gian tôpô.

• Tập G được gọi là tập mở trong X nếu G ∈ τ.
• Tập F được gọi là tập đóng trong X nếu X\F ∈ τ.
Định nghĩa 1.2.3. Cho không gian tôpô (X, τ ), tập A là tập con của X .
Tập U được gọi là một lân cận của tập A nếu trong U có một tập mở chứa
A. Khi A = {x} thì U là một lân cận của điểm x.
Định nghĩa 1.2.4. Cho không gian tôpô (X, τ ). Một họ {Gα : α ∈ I}
các tập con của X được gọi là một phủ của tập A ⊂ X nếu A ⊂ ∪α∈I Gα .
Nếu I là tập hữu hạn thì ta nói phủ là hữu hạn.
Nếu mọi Gα là tập mở thì ta nói phủ là phủ mở.
Định nghĩa 1.2.5. Tập A ⊂ X được gọi là tập compact nếu từ mỗi phủ
mở của A ta luôn có thể lấy ra được một phủ con hữu hạn.
Nhận xét 1.2.1. Trong trường hợp A ⊂ Rn là tập compact khi và chỉ khi
A đóng và bi chặn.

Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử A là tập compact và {xk } là một dãy
phần tử của A sao cho xk → a. Ta chứng minh a ∈ A.
Vì A là tập compact, theo định nghĩa dãy {xk }k chứa một dãy con {xk }l
hội tụ đến một giới hạn thuộc A. Ta có

a = lim xk = lim xkl ∈ A.
k→+∞

l→+∞

Vậy A là tập đóng.
Giả sử ngược lại tập A không bị chặn. Khi đó với mỗi k ∈ N∗ tồn tại
xk ∈ A sao cho ||xk || > k . Vì A là tập compact, dãy {xk } ⊂ A có chứa
một dãy con {xkl }l sao cho xkl → a ∈ A (l → ∞). Do tính liên tục
của chuẩn ta có ||xkl || → ||a||, điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức
||xkl || > kl với mọi l ∈ N∗ . Vậy tập A phải bị chặn.
Điều kiện đủ. Giả sử A ⊂ Rn là tập hợp đóng và bị chặn và {xk }k là
dãy phần tử bất kì của A. Khi đó {xk }k là dãy bị chặn.
Theo định lí Bozano- Weierstrass thì trong không gian Rn mọi dãy bị chặn
đều chứa một dãy con hội tụ nên dãy {xk }k có chứa một dãy con {xkl }l
8


sao cho xkl → a (l → ∞).
Vì A là tập đóng nên a ∈ A. Vậy A là tập compact.
Định nghĩa 1.2.6. Cho không gian tôpô (X, τ ), A là một tập con bất kì
của X . Đối với mỗi phần tử bất kì x ∈ X ta gọi:
(i) Điểm x là điểm trong của tập A nếu tồn tại ít nhất một lân cận của
x nằm trong A.
(ii) Điểm x là điểm ngoài của tập A nếu tồn tại ít nhất một lân cận của

x nằm trọn trong X\A.
(iii) Điểm x là điểm biên của tập A nếu x đồng thời không là điểm trong
và không là điểm ngoài của A. Hay nói cách khác, x là điểm biên của
A nếu mọi lân cận của x đều có giao khác rỗng với A và X\A.
Tập hợp những điểm biên của tập hợp A được gọi là biên của tập hợp
A, kí hiệu ∂A.
Định nghĩa 1.2.7. Cho X , Y là hai không gian tô pô. Một ánh xạ f từ
X vào Y được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu với mọi lân cận V của f (x0 )
đều tồn tại một lân cận U của x0 sao cho f (U ) ⊆ V. Ánh xạ f được gọi
là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X .
Định nghĩa 1.2.8. Ta nói một tôpô τ trên không gian véctơ X tương hợp
với cấu trúc đại số, nếu các phép toán đại số trong X liên tục trong tôpô
đó, tức là nếu:
1. x + y là một hàm liên tục của hai biến x, y , tức là với mọi lân cận V
của điểm x + y đều có một lân cận Ux của x và một lân cận Uy của y
sao cho nếu x ∈ Ux , y ∈ Uy thì x + y ∈ V.
2. αx là một hàm liên tục của hai biến α, x, tức là với mọi lân cận V của
αx đều có một số ε > 0 và một lân cận U của x sao cho |α − α | < ε,
x ∈ U thì α x ∈ V.
Một không gian véctơ X trên đó có một tôpô tương hợp với cấu trúc đại
số gọi là một không gian véctơ tôpô (hay không gian tôpô tuyến tính).
Định nghĩa 1.2.9. Một không gian véctơ tôpô X được gọi là không gian
véctơ tôpô lồi địa phương nếu trong X có một cơ sở lân cận (của gốc) chỉ
gồm các tập lồi.
9


KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày một số vấn đề sau:
- Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, mở rộng nguyên lí Ekeland cho

bài toán cân bằng và nguyên lí biến phân Ekeland vectơ.
- Trình bày các dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland, sự
tương đương với tính đầy đủ của không gian mêtric.
- Ứng dụng định lí điểm bất động Banach, ánh xạ co theo hướng, định
lí điểm bất động Caristi-Kirk.
- Một số nguyên lí biến phân khác.

58


Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu tham khảo chính
[1] Phạm Hữu Sách, Dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland và
ứng dụng, Hội thảo Giải tích hiện đại và ứng dụng, trường hè Huế,
Viện Toán học- Trường ĐHSP Huế, 1987.
[2] Nguyễn Đông Yên, Giải tích đa trị , Nhà xuất bản Khoa học Tự nhiên
và công nghệ, 2007.
[3] M. Bianchi, G. Kassay, R. Pini, Existence of equilibria via Ekeland’s
principle, J. Math. Anal. Appl. 305 (2005) 502-512.
[4] M. Bianchi, G. Kassay, R. Pini, Ekeland’s principle for vector equilibrium problems, Nonlinear Analysis 66 (2007) 1454-1464.
[5] Jonathan M. Borwein, Qiji J. Zhu, Techniques of Variational Analysis,
Springer, 2004.
[B] Tài liệu tham khảo bổ sung
[6] Errett Bishop and R. R. Phelps, A proof that every Banach space is
subreflexive, Bull. Amer. Math. Soc., 67:97-98, 1961.
[7] Errett Bishop and R. R. Phelps, The support functionals of a covex
set. In V. L. Klee, editor, Proc. Sympos. Pure Math., Vol. VII, page
27-35. Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1963.
[8] Josef Danes, A geometric theorem useful in nonlinear functional analysis, Boll. Un. Mat. Ital. (4), 6:369-375, 1972.
[9] Ivar Ekeland, Nonconvex minimization problems, Boll. Amer. Math.

Soc. (N.S.), 1:443-474, 1979.

59