Thế vị lớp kép và bài toán dirichlet đối với hàm điều hòa

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRẦN VĂN TOÀN

THẾ VỊ LỚP KÉP
VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET
ĐỐI VỚI HÀM ĐIỀU HÒA

Chuyên nghành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS HÀ TIẾN NGOẠN

HÀ NỘI - NĂM 2015


Mục lục

Mở đầu

2

1 Kiến thức chuẩn bị

5

1.1

Góc khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Mặt Lyaponov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Phương trình tích phân Fredholm loại II . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4

Phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5

Tính duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . 23

2 Thế vị lớp kép và bài toán Dirichlet đối với hàm điều hòa

26

2.1

Thế vị lớp đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2

Thế vị lớp kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3

Đưa bài toán Dirichlet của phương trình Laplace về phương trình
tích phân trên biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4

Sự tồn tại nghiệm của các bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . 39

2.5

Thế vị khối và bài toán Dirichlet trong cho phương trình Poisson. . 45

Kết luận

48

Tài liệu tham khảo

49

1


Mở đầu

Nghiệm của phương trình Laplace rất quan trọng trong toán học, đặc biệt
là trong các bài toán vật lý, sinh học. Việc khảo sát nghiệm của phương trình
Laplace là cần thiết. Luận văn ‘’ Thế vị lớp kép và bài toán Dirichlet đối với hàm
điều hòa” là bài toán biên thứ nhất của phương trình Laplace. Trước đó người ta
đã chứng minh được tính tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet trong
miền hình cầu trong bằng nhiều phương pháp khác nhau, như phương pháp tách
biến, phương pháp biến thiên tham số, phương pháp hàm Green. Tuy nhiên, việc
khảo sát nghiệm của bài toán đó khi mở rộng miền ( không nhất thiết là miền
hình cầu), với những phương pháp trên gặp khó khăn. Vì vậy luận văn ‘’ Thế vị
lớp kép và bài toán Dirichlet đối với hàm điều hòa” trình bầy một phương pháp
mới để khảo sát nghiệm của bài toán đó, đó là phương pháp Thế vị. Đó là phương
pháp tìm nghiệm của phương trình dưới dạng một thế vị của hàm điều hòa cơ
bản. Cấu trúc luận văn gồm 2 chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bầy một số khái niệm và
các tính chất bao gồm: Định nghĩa về góc khối, định nghĩa về mặt Lyapunov và
các tính chất của mặt Lyapunov cùng với các đánh giá có liên quan định nghĩa
về phương trình tích phân Fredhlom loại II, các định lý Fredhlom và cuối cùng là
trình bầy về các bài toán Dirchlet trong và ngoài, tính duy nhất nghiệm của bài
toán đó.
Chương 2. Thế vị lớp kép và bài toán Dirchlet cho hàm điều hòa. Nội
dung của chương này là chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirchlet cho
hàm điều hòa, gồm 3 bước. Đầu tiên ta đưa ra khái niệm thế vị lớp kép và tính
chất của nó. Bước thứ 2 ta chuyển bài toán Dirchlet của phương trình Laplace về
phương trình tích phân Fredholm loại II. Bước thứ 3 ta đi chứng minh sự tồn tại
nghiệm của bài toán đó. Luận văn được tham khảo chính trong các tài liệu [1],
2


[2] và [3].

3


Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS Hà
Tiến Ngoạn. Thầy đã dành nhiều thời gian quý báu của mình để kiên trì hướng
dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt cả quá trình làm luận
văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới người thầy của
mình.
Tôi cũng muốn gửi tới toàn thể các thầy cô Khoa Toán Cơ Tin học trường
Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô đã đảm nhận
giảng dạy khóa Cao học 2012 - 2014, đặc biệt là các thầy cô tham gia giảng dạy
nhóm giải tích 2012-214 lời cảm ơn chân thành đối với công lao dạy dỗ trong suốt
thời gian của khóa học.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, các anh chị em trong nhóm Cao
học Toán 2012-2014, đặc biệt là các anh chị em nhóm Giải tích đã quan tâm, giúp
đỡ, tạo điều kiện cũng như động viên tinh thần để tôi có thể hoàn thành khóa
học này.
Hà Nội, tháng 4 năm 2015.
Tác giả

Trần Văn Toàn

4


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Góc khối

Cho S là mặt trơn, nói chung không kín,định hướng, xét một phía xác định
−
của S và vecto pháp tuyến →
n hướng về phía ấy, mà ta quy ước là pháp tuyến
dương.
Giả sử P là một điểm bất kỳ nằm trong không gian sao cho với điểm Q ∈ S
−→
−
π
thì →
r = P Q hợp với −
n→
Q một góc nhỏ hơn hoặc bằng 2 tức là:

−
cos(→
r ;−
n→
Q ) ≥ 0.

(1.1)

−→
Từ P, xét tất cả các bán kính vecto P Q, Q ∈ S . Các bán kính vecto đó lấp
đầy khối nón, đỉnh là P và các đường sinh của mặt bên tựa trên biên của mặt S.
Từ P, xét mặt cầu đơn vị tâm P, kí hiệu 1 . Mặt cầu ấy cắt khối nón trên theo
mảnh cầu σ1 , có diện tích là |σ1 | khi đó phần không gian chiếm bởi khối nón nói
trên được gọi là góc khối mà từ P nhìn mặt S. Diện tích |σ1 | được gọi là số đo

của góc khối, và được kí hiệu là:
ωP (S) = |σ1 |.

(1.2)

Chú ý. Nếu xét mặt cầu tâm P bán kính R , R và cắt khối nón theo mảnh σR
có diện tích |σR | thì do tính đồng dạng của δR và δ1 ta có : |σ11 | = |σRR2 |
Do đó ta có thể viết:

ωP (S) =
5

|σR |
.
R2

(1.3)


−→
→
−
→
−
Nếu pháp tuyến dương −
n→
hợp
với
bán
kính

vecto
r
một
góc
tù
cos
(
r;
nQ ) ≤ 0
Q
thì ta quy ước số đo của góc khối mà từ P nhìn S có giá trị âm và
|σR |
ωP (S) = − 2 .
(1.4)
R
−→
−
Giả sử S là mặt trơn từng mảnh và trên mỗi mảnh, đại lượng cos(→
r; nQ ) đổi
−→
−
dấu, khi đó ta chia S thành nhiều mảnh nhỏ Sj sao cho cos(→
r; nQ ) không đổi dấu.
Khi đó
ωP (S) =

ωP (Sj )

(1.5)

j

Định lý 1.1(Định lý 5.3.1,[1]). Giả sử P ∈
/ S . Góc khối mà từ điểm P nhìn mặt
S có giá trị bằng
∂
1
ωP (S) = −
(
)dSQ
∂nQ rP Q
S

trong đó r = P Q, là khoảng cách giữa hai điểm P và Q, −
n→
Q là pháp tuyến dương
tại Q ∈ S, ∂n∂Q là đạo hàm theo hướng −
n→
Q

−→
−
Chứng minh. Ta chỉ xét trường hợp mặt S mà cos(→
r; nQ ) không đổi dấu, trong
−→
−
trường hợp ngược lại, ta chia S thành các mảnh nhỏ Sj sao cho cos(→
r; nQ ) không
−→
đổi dấu. Khi đó P Q chỉ cắt S tại Q duy nhất.

−→
−
Giả sử cos(→
r; n ) ≥ 0. Xét mặt cầu
tâm P với bán kính R đủ nhỏ sao cho
Q

R

σR không cắt S. Xét miền D giới hạn bởi mặt S, mặt σR và phần không gian nằm
giữa S và σR . Kí hiệu phần mặt nón này là S0 .
Ta chú ý rằng hàm 1r là hàm điều hòa trong D ∪ S ∪ S0 ∪ σR do đó theo tính
chất của hàm điều hòa ta có:
∂ 1
( )dSQ = 0
(1.6)
∂νQ r
S∪σR ∪S0

trong đó −
ν→
Q là pháp tuyến trong đối với miền D tại điểm Q. (Để đơn giản cách
viết ta thay ∂νQ ≡ ∂ν).
−
−
Trên mặt nón S0 thì →
ν thẳng góc với→
r nên ta có
→
−

−
∂ 1
− cos(→
r ; ν)
( )=
= 0.
(1.7)
∂ν r
r2
6


Trên mặt S, ta có

→
−
v = −−
n→
Q
nên

∂ 1
( )dSQ = −
∂ν r

∂ 1
( )dSQ
∂nQ r

(1.8)

S

S

Trên σR ta có:

∂ 1
( )dSQ =
∂ν r
σR

1
∂ 1
( )dSQ = − 2
∂nQ r
R

σR

dSQ =

−|σR |
R2

(1.9)

σR

Từ công thức (1.6), (1.7), (1.8) và (1.9) ta có

∂ 1
( )dSQ + ωP (S) = 0
∂ν r
S

hay

∂ 1
( )dSQ
∂nQ r

ωP (S) = −

(1.10)

S

−→
−
Nếu cos(→
r; nQ ) ≤ 0 thì trên mặt S ta có:
→
−
ν =−
n→
Q
và

∂ 1

( )dSQ =
∂ν r

∂ 1
( )dSQ .
∂nQ r

(1.11)

S

S

Từ đẳng thức

ωP (S) =

−|σR |
R2

suy ra

∂ 1
−|σR |
( )dSQ = − 2 = ωP (S)
∂nQ r
R

∂ 1
( )dSQ =

∂ν r

−
S

S

Vậy ta vẫn có (1.10). Định lý được chứng minh.

7

(1.12)


1.2

Mặt Lyaponov

1.2.1 Khái niệm mặt Lyapunov
Định nghĩa 1.1
Dưới đây ta định nghĩa mặt Lyapunov trong không gian ba chiều.
Mặt S được gọi là mặt Lyapunov nếu nó thỏa mãn
1, Tại mỗi điểm của mặt S đều tồn tại một pháp tuyến xác định
→
−
−
2, Gọi Q và Q’ là 2 điểm bất kỳ nằm trên mặt S và →
n ; n là hai vecto pháp
→
−

−
tuyến tương ứng tại Q và Q’, ϕ là góc hợp bởi 2 vecto pháp tuyến đó (ϕ = (→
n ; n ))
r là khoảng cách giữa hai điểm Q,Q’

r = QQ
.
Khi đó tồn tại 2 hằng số dương A và α sao cho:

ϕ ≤ Arα .

(1.13)

nhận xét Nếu mặt S có phương trình

z = f (x, y)
trong đó f (x, y) là hàm có đạo hàm cấp 2 liên tục thi S là mặt Lyapunov.
Do đó mặt cong có độ cong liên tục là mặt Lyapunov. Hơn nữa định nghĩa và
các định lý trong phần này cũng đúng trong không gian n chiều tổng quát.
Định lý 1.2(Định lý 5.4.2, [1]) Giả sử S là mặt Lyapunov kín. Khi ấy tồn tại
một hằng số dương d > 0 sao cho nếu lấy một điểm Q bất kỳ trên S làm tâm bán
−
kính d thì mọi đường thẳng song song với pháp tuyến →
n tại Q cắt mặt S phía
trong hình cầu không quá một điểm.
Mặt cầu với tâm Q ∈ S nói trên được gọi là mặt cầu Lyapunov, kí hiệu

(Q).

Chứng minh. Chọn d đủ nhỏ sao cho:

Adα ≤ 1
8

(1.14)


ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử ngược lại, tồn tại hình cầu bán kính d
tâm Q0 ∈ S cắt mặt S theo mảnh S (Q0 ) sao cho có một tia đi qua Q0 sao cho
→
−
−
có một tia n0 nào đó song song với pháp tuyến →
n0 tài Q0 của S cắt S (Q0 ) tại hai
điểm Q và Q’. Giả sử các pháp tuyến của mặt S là các pháp tuyến trong, gọi Q
→
−
→
−
là điểm của mặt S tại đó n0 hướng ra phía ngoài, còn Q’ là điểm tại đó n0 hướng
−
−
vào phía trong của S. Xét mặt phẳng tiếp xúc tại Q với S. Khi đó, →
n và →
n0 nằm
về 2 phía của mặt phẳng tiếp xúc do đó:

→
−
π

−
−
−
(→
n;→
n0 ) = ( →
n ; n0 ) > > 1
2
Điều này không thể sảy ra vì theo (1.13) và (1.14) ta phải có:
−
−
(→
n;→
n0 ) ≤ Arα ≤ Adα ≤ 1
→
−
Trường hợp n0 tiếp xúc với s (Q0 ) cũng không thể xảy ra vì khi đó
→
−
π
−
−
−
(→
n;→
n0 ) = (→
n ; n0 ) = > 1
2
Vậy định lý được chứng minh.
1.2.2 Một vài đánh giá

Giả sử Q0 là một điểm cố định bất kỳ nằm trên mặt S và S (Q0 ) là một phần
mặt nằm trong mặt cầu Lyapunov tâm Q0 . Xét hệ tọa độ địa phương (ξ, η, ζ) với
gốc là Q0 , trục Q0 ζ = −
n→
0Q còn 2 trục Q0 ξ và Q0 η nằm trong mặt phẳng tiếp xúc
với S tại Q0 .
Theo Định lý 1.1 thì phần mặt S (Q0 ) có thể biểu diễn trong hệ tọa độ Q0 ξηζ
bởi phương trình

ζ = f (ξ, η)

(1.15)

−
Gọi Q(ξ, η, ζ) là điểm chạy trên mặt S (Q0 ) ; →
n là pháp tuyến tại Q và r = Q0 Q.
−
Ta đi đánh giá cosin chỉ phương của →
n , đại lượng f (ξ, η) trong (1.15) và
−
−
cos(→
r ;→
n ) theo r khi Q chạy trên mặt S (Q0 ).
→
−
−
1, Đại lượng cos(→
n; ζ )

9


Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Thừa Hợp,(2005) Phương trình vi phân đạo hàm riêng. Nhà xuất
bản ĐHQG- Hà Nội.
[2] Trần Đức Vân,(2005) Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng. Nhà
xuất bản ĐHQG- Hà Nội.
[3] A V Bitsdze,(1994) Partaial differential equations, World Scientific,
Singapore-New Jersey-London-Hong Kong.

49