Tính ổn định của một số mô hình dịch tễ trong môi trường ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

TRẦN THU NGÀ

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ MÔ HÌNH DỊCH
TỄ TRONG MÔI TRƯỜNG NGẪU NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngành: Lí thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.01.06

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

TRẦN THU NGÀ

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ MÔ HÌNH DỊCH
TỄ TRONG MÔI TRƯỜNG NGẪU NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SỸ

Ngành: Lí thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.01.06

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS. TS. Nguyễn Hữu Dư

Hà Nội- 2015


LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới GS. TS. Nguyễn Hữu Dư người thầy đáng kính đã trực tiếp hướng
dẫn và tận tình chỉ bảo em trong suốt thời gian qua.
Em xin phép được gửi lời cảm ơn đến ban lãnh đạo và các thầy cô giáo, các
anh/chị cán bộ trường ĐHKHTN - ĐHQGHN nói chung khoa Toán - Cơ - Tin
học nói riêng vì đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất giúp đỡ em trong thời gian
em học tập, nghiên cứu tại trường.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới TS. Nguyễn
Thanh Diệu đã giúp đỡ em trong suốt quá trình làm luận văn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian có hạn và năng lực của bản
thân còn nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Em rất
mong nhận được sự góp ý của thầy, cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 28 tháng 07 năm 2015.
Học viên
Trần Thu Ngà

1


Mục lục

Mở đầu

4

1 Kiến thức chuẩn bị

7

1.1

1.2

Vi phân Itô và công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1

Vi phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.2

Công thức Itô tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Lý thuyết ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1

Hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.2

Một số kết quả về tính ổn định của phương trình vi phân
ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Mô hình bệnh lây truyền trực tiếp do vector bị nhiễu loạn ngẫu
nhiên

19

2.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2

Mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3

Phân tích tính ổn định của mô hình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . 23

2.4

Phân tích tính ổn định của mô hình ngẫu nhiên có trễ . . . . . . . 28

2.5

Mô phỏng số liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2


3 Tính ổn định toàn cục của mô hình SIR hai nhóm bị nhiễu loạn
ngẫu nhiên

39

3.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2

Mô hình dịch ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3

Tính ổn định ngẫu nhiên của điểm cân bằng địa phương . . . . . 43

3.4

Mô phỏng số liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Kết luận

53

Phụ lục

54

Tài liệu tham khảo

55

3


Mở đầu
Dịch tễ học là khoa học nghiên cứu về tình trạng sức khỏe và các yếu tố
liên quan ảnh hưởng đến tình trạng sức khỏe, giúp xác định các yếu tố nguy
cơ của bệnh, phát triển và tối ưu hóa phương thức điều trị. Dịch tễ học có thể
nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực từ thực hành: như trong thời kỳ có bệnh dịch
bộc phát, ảnh hưởng trong môi trường sinh sống, . . . , đến lý thuyết: như thống
kê, tạo mô hình toán học dự đoán sức khỏe cộng đồng trong tương lai, sự phát
triển của bệnh dịch, triết học y tế, sinh học và tâm lý học . . . . Nghiên cứu dịch
tễ học dựa trên quan sát và thí nghiệm, mục đích là để tìm ra liên hệ giữa căn
bệnh và các yếu tố không thay đổi được như bẩm sinh, di truyền và những yếu
tố có thể "sửa chữa" như thực phẩm, môi trường, giáo dục, vi sinh học, tâm lý
học, v.v... .
Ngày nay với sự biến đổi về khí hậu, tình trạng ô nhiễm môi trường ... là

một trong những nguyên nhân chủ yếu dẫn đến sự phát triển của các loại bệnh
gây ảnh hưởng tới sức khỏe của con người. Vậy nên việc nghiên cứu các mô hình
dịch tễ ngày càng phát triển, nó giúp tìm ra nguyên nhân và các yếu tố góp
phần tạo nên bệnh dịch. Từ đó định nghĩa căn bệnh, liên hệ từ nguyên nhân
đến triệu chứng và tạo kế hoạch điều trị hay phòng ngừa. Tuy nhiên việc biến
đổi khí hậu hay tình trạng ô nhiễm môi trường, hoặc tác động khách quan cũng
4


như chủ quan ... cũng gây những biến động. Do đó việc nghiên cứu tính ổn định
của các mô hình dịch tễ trong môi trường ngẫu nhiên cũng không kém phần
quan trọng. Ở đây luận văn tập trung nghiên cứu tính ổn định của một số mô
hình dịch tễ trong môi trường ngẫu nhiên thông qua các mô hình toán học, từ
đó tìm ra được các điều kiện thích hợp giúp để kiểm soát được bệnh dịch.
Nội dung chính của luận văn là trình bày và làm rõ các kết quả của hai bài
báo [11, 12]. Cấu trúc của luận văn bao gồm:
⋄ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Nhắc lại một số khái niệm cơ bản của vi phân Itô, công thức Itô tổng quát,
hai định lý của Lyapunov về tính ổn định và một số kết quả ổn định của
phương trình vi phân ngẫu nhiên.
⋄ Chương 2: Mô hình bệnh lây truyền trực tiếp do vector bị nhiễu ngẫu nhiên.

Bệnh dịch lây truyền do vector (vector-borne disease) là bệnh gây ra bởi
một loại vi khuẩn truyền nhiễm, được lây truyền khi một động vật chân
đốt hút máu một động vật có xương sống đang bị nhiễm bệnh và lây truyền
sang một cá thể dễ bị nhiễm bệnh. Từ góc nhìn của các bệnh truyền nhiễm,
vector là cá thể truyền dẫn của các sinh vật gây bệnh có mang mầm bệnh
từ một vật chủ khác. Các vector thường gặp nhất là động vật không xương
sống thường là động vật chân đốt, động vật có xương sống (ví dụ như cáo,

gấu trúc, chồn hôi), tất cả đều có thể truyền virus cho con người. Sức khỏe
con người có thể bị ảnh hưởng hoặc trực tiếp qua các vết cắn, đốt, phá
hoại của các mô) hoặc gián tiếp thông qua sự lây nhiễm bệnh. Đặc biệt là
mô hình bệnh sốt rét, đã được nghiên cứu qua các mô hình xác định trong
5


nhiều tài liệu ([4, 7-10]).
Trong chương này ta tập chung nghiên cứu mô hình dịch tễ ngẫu nhiên của
bệnh do sinh vật sinh ra với cách thức truyền trực tiếp và điều chỉnh sự
cản trở của nó. Chính xác hơn, ta mở rộng mô hình dịch tễ xác định bằng
cách đưa ra các nhiễu ngẫu nhiên xung quanh điểm cân bằng địa phương.
⋄ Chương 3: Tính ổn định toàn cục của mô hình SIR hai nhóm bị nhiễu ngẫu

nhiên.
Ở chương này, ta đi nghiên cứu tính ổn định toàn cục của điểm cân bằng
địa phương trong mô hình SIR hai nhóm, bị nhiễu ngẫu nhiên xung quanh
điểm cân bằng địa phương. Và chứng minh điểm cân bằng địa phương của
mô hình bị nhiễu ngẫu nhiên là ổn định tiệm cận toàn cục ngẫu nhiên.
Ngoài ra, ta thu được điều kiện ổn định bằng cách xây dựng các hàm
Lyapunov.

6


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, ta sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản phục vụ cho việc
trình bày các kết quả chính của luận văn.
Ký hiệu N 1 (0, T ) là tập hợp các hàm ngẫu nhiên f (t, ω) đo được lũy tiến và

T

|f (t, ω)|dt

E
0

< ∞,

N 1 (0, T ) là không gian Banach với chuẩn
T

||f || = E

|f (t, ω)|

0

dt.

Ký hiệu N 2 (0, T ) là tập hợp các hàm ngẫu nhiên f (t, ω) đo được lũy tiến và
T

E
0

|f 2 (t, ω)|dt

< ∞,

N 2 (0, T ) là không gian Banach với chuẩn
T

||f ||2 = E

1.1

f 2 (t, ω)

dt.

0

Vi phân Itô và công thức Itô

Đầu tiên, ta nhắc lại khái niệm quá trình Wiener tiêu chuẩn hay chuyển động
Brown tiêu chuẩn.
7


Định nghĩa 1.1. Quá trình W = (Wt , t ∈ [0, T ]) xác định trên không gian xác
suất (Ω, F , P) được gọi là quá trình Weiner tiêu chuẩn (hay chuyển động Brown
tiêu chuẩn) nếu:
1. W0 = 0.
2. (Wt ) là quá trình có số gia độc lập tức là t1 < t2 < t3 < t4 các biến ngẫu
nhiên Wt4 − Wt3 và Wt2 − Wt1 độc lập.
3. Biến ngẫu nhiên Wt − Ws , (0 ≤ s < t) có phân phối chuẩn N(0, t − s).
4. Với hầu hết ω các quỹ đạo Wt (ω) là liên tục.

1.1.1

Vi phân Itô

Giả sử rẳng X = (Xt , t ∈ [0, T ]) có dạng
t

Xt = X(r) +

t

f (s, ω)ds +
r

g(s, ω)dW (s)
r

trong đó f ∈ N 1 (0, T ); g ∈ N 2 (0, T ) và với mọi (s, t) : 0 ≤ r < t ≤ T. Khi đó ta nói
X có vi phân Itô
dXt = f (t, ω)dt + g(t, ω)dWt

và viết gọn là
dX = f dt + gdW.

1.1.2

Công thức Itô tổng quát

Công thức Itô thực chất là một công thức đổi biến trong giải tích ngẫu nhiên.
Định lý 1.1. Cho u(t, x1 , x2 , ...., xd ) là các hàm liên tục xác định trên [0; T ] ×
Rd với các đạo hàm riêng ut , uxi , uxixj liên tục với mọi i, j ≤ d. Đặt X(t) =

8


Tài liệu tham khảo
[1] A. Bahar, X. Mao, Stochastic delay Lotka–Volterra model, J. Math. Anal.
Appl. 292 (2004) 364–380.
[2] Đặng Hùng Thắng(2012), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà
Nội.
[3] J.C. Beier, Malaria parasite development in mosquitoes, Annu. Rev. Entomol. 43 (1998) 519–543.
[4] H.-M. Wei, X.-Z. Li, M. Martcheva, An epidemic model of a vector-borne
disease with direct transmission and time delay, J. Math. Anal. Appl. 342
(2008) 895–908.
[5] H.B. Guo, M.Y. Li, Z. Shuai, Global stability of the endemic equilibrium of
multigroup SIR epidemic models, Can. Appl. Math. Q. 14 (2006) 259–284.
[6] H.M. Wei, X.Z. Li, M. Martcheva, An epidemic model of a vector-borne
disease with direct transmission and time delay, J. Math. Anal. Appl. 342
(2008) 895–908.

55


[7] L. Shaikhet, Some new aspects of Lyapunov type theorems for stochastic
differential equations of neutral type, SIAM J. Control Optim. 48 (7) (2010)
4481–4499.
[8] L. Shaikhet, Stability in probability of nonlinear stochastic systems with
delay, Math. Notes 57 (1–2) (1995) 103–106.
[9] L. Shaikhet, Stability in probability of nonlinear stochastic hereditary systems, Dynam. Syst. Appl. 4 (2) (1995) 199–204.
[10] L. Shaikhet, Stability of predator-prey model with aftereffect by stochastic
perturbation, SACTA 1 (1) (1998) 3–13.
[11] Miljana Jovanovic, Marija Krstic, Stochastically perturbed vector - borne

disease models with direct transmission.Appl.360 (2009) 235 - 244.
[12] Ningzhong, Jiajia Yu, Daqing Jiang, Global stability of two - group SIR
model with random perturbation.Appl.36 (2012) 5214 - 5228.
[13] N. Chitnis, J.M. Cushing, J.M. Hyman, Bifurcation analysis of a mathematical model for malaria transmission, SIAM J. Appl. Math. 67 (1) (2006)
24–45.
[14] P. Borne, V. Kolmanovskii, L. Shaikhet, Stabilization of inverted pendulum
by control with delay, Dynam. Syst. Appl. 9 (2000) 501–514.
[15] X. Mao, Stochastic Differential Equations and Applications, Horwood,
Chichester, 1997.

56