Bài toán tựa cân bằng tổng quát hỗn hợp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

ĐOÀN TRUNG KIÊN

BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG
TỔNG QUÁT HỖN HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

ĐOÀN TRUNG KIÊN

BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG
TỔNG QUÁT HỖN HỢP
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:

GS.TSKH. NGUYỄN XUÂN TẤN

THÁI NGUYÊN - 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết
quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố
trong bất kỳ công trình nào khác.
Thái Nguyên, tháng 02 năm 2015
Tác giả

Đoàn Trung Kiên

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

ii

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. Nguyễn
Xuân Tấn. Trước tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo,
người hướng dẫn khoa học của mình, GS.TSKH.Nguyễn Xuân Tấn, người đã
đặt bài toán và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tôi.
Đồng thời tôi cũng chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, sau
Đại học - Trường Đại học Thái Nguyên, đã tạo mọi điều kiện cho tôi để tôi có
thể hoàn thành bản luận văn này. Tôi cũng gửi lời cảm ơn đến các bạn trong

lớp Cao học Toán K21, đã chia sẻ, động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình học
tập và làm luận văn.
Tôi cũng vô cùng biết ơn Bố, mẹ, anh, chị, em trong gia đình của mình,
đã cảm thông chia sẻ cùng tôi trong hai năm qua để tôi có thể học tập và hoàn
thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 02 năm 2015
Tác giả

Đoàn Trung Kiên

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

iii

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... ii
MỤC LỤC............................................................................................................ iii
BẢNG KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT .......................................................................... iii
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1

1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................... 2
4. Bố cục của luận văn ......................................................................................... 2
Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................................. 3

1.1. Đặt vấn đề................................................................................................... 3
1.2. Nón và các khái niệm liên quan ................................................................. 3
1.3. Ánh xạ đa trị ............................................................................................... 5
1.4. Tính liên tục của ánh xạ đa trị .................................................................... 7
1.5. Tính lồi của ánh xạ đa trị.......................................................................... 13
1.6. Một số định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị .................................. 15
Chƣơng 2: BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT HỖN HỢP ............... 18

2.1. Đặt vấn đề................................................................................................. 18
2.2. Một số bài toán liên quan ......................................................................... 19
2.3. Sự tồn tại nghiệm ..................................................................................... 24
2.4. Ứng dụng .................................................................................................. 43
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 48

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

iv

BẢNG KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT
Trong luận án này ta dùng những kí hiệu với ý nghĩa xác định dưới đây:
ℕ∗

Tập hợp các số tự nhiên khác không

𝑋∗

Không gian đối ngẫu của 𝑋

ℚ

Tập hợp các số hữu tỷ

ℝ

Tập hợp các số thực

ℝ+

Tập hợp các số thực không âm

ℝ−

Tập hợp các số thực không dương

ℝ𝑛

Không gian vecto Euclid 𝑛 – chiều

ℝ𝑛+

Tập hợp các vecto có các thành phần không âm của không gian ℝ𝑛

ℝ𝑛−

Tập hợp các vecto có các thành phần không dương của không gian ℝ𝑛

2𝑋

Tập các tập con của tập hợp 𝑋

𝜉, 𝑥
𝑖 = 1, 𝑛
𝑥∝

Giá trị của 𝜉 ∈ 𝑋 ∗ tại 𝑥 ∈ 𝑋
𝑖 = 1,2, … 𝑛
Dãy suy rộng

𝑥𝑛 ⇀ 𝑥

𝑥𝑛 hội tụ yếu tới 𝑥

∅

Tập rỗng

∃𝑋

Tồn tại 𝑋

∀𝑥

Mọi x

𝐹: 𝑋 → 2𝑌 Ánh xạ đa trị tự tập 𝑋 vào tập 𝑌
𝑑𝑜𝑚𝐹

Miền định nghĩa của ánh xạ 𝐹

𝐺𝑟𝐹

Đồ thị của ánh xạ đa trị 𝐹

𝐶′

Nón đối ngẫu của nón 𝐶

𝐶′+

Nón đối ngẫu chặt của nón 𝐶

𝐶′−

Nón đối ngẫu yếu của nón 𝐶

𝐴𝐵

𝐴 là tập con của 𝐵

𝐴⊈𝐵

𝐴 không là tập con của 𝐵

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

v

𝐴∪𝐵

Hợp của hai tập hợp 𝐴 và 𝐵

𝐴∩𝐵

Giao của hai tập hợp 𝐴 và 𝐵

𝐴∖𝐵

Hiệu của hai tập hợp 𝐴 và 𝐵

𝐴+𝐵

Tổng đại số của hai tập hợp 𝐴 và 𝐵

𝐴×𝐵

Tích Descartes của hai tập hợp 𝐴 và 𝐵

𝑐𝑜𝐴

Bao lồi của tập 𝐴

𝑐𝑜𝑛𝑒𝐴

Bao nón lồi của tập hợp 𝐴

𝑐𝑜𝑛𝑒𝑀

Nón sinh bởi tập 𝑀

𝑐𝑙𝐴

Bao đóng topo của tập hợp 𝐴

𝑖𝑛𝑡𝐴

Phần trong topo của tập hợp 𝐴

𝐹: 𝑋 ⇉ 𝑌

Ánh xạ đa trị từ 𝑋 vào 𝑌

KKM

Tên của ba nhà toán học Knater, Kuratowski và Mazurkiewicz

(𝑀𝐺𝑄𝐸𝑃) Bài toán tựa cân bằng tổng quát hỗn hợp
∎

Kết thúc chứng minh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Từ xưa toán học người ta đã quan tâm đến những bài toán tìm các giá trị
lớn nhất (cực đại) hay nhỏ nhất (cực tiểu), gọi là các bài toán tối ưu. Sau đó có
rất nhiều công trình đã được nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều lĩnh vự khác
nhau của các ngành khoa học ký thuật cũng như thực tế như: Borel (1921), Von
Neuman (1926) đã xây dựng lý thuyết trò chơi dựa trên các khái niêm và kết
quả toán học, Koopmam (1947) đã đưa ra lý thuyết lưu thông hàng hóa. Lý
thuyết cân bằng là bộ phận quan trọng vủa lý thuyết tối ưu. Sau những công
trình của H.W.Kuhn và A.W.Tucker về các điền kiện cần và đủ cho một véc tơ
thỏa mãn các ràng buộc là nghiệm hữu hiệu, tối ưu véc tơ thực sự là một ngành
toán học độc lập và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Các bài toán cơ bản trong
lý thuyết tối ưu véc tơ bao gồm: Bài toán tối ưu, bài toán cân bằng Nash, bài
toán bù, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm yên ngựa...
Trong kinh tế, bài toán điểm cân bằng được biết đến từ lâu bởi cấc công
trình của Arrow- Debreu, Nash sau đó được nhiều nhà toán học sử dụng để xây
dựng những mô hình kinh tế từ nửa sau thế kỷ 20. Ky Fan (1972) trong [7] và
Browder- Minty (1968) trong [4] dã phát biểu và chứng minh sự tồn tại nghiệm
của bài toán điểm cân bằng dựa trên các định lý điểm bất động. Năm 1991,
Blum và Oettli [3] đã phát biểu bài toán cân bằng một cách tổng quát và tìm
cách liên kết bài toán của Ky Fan và Browder- Minty với nhau thành dạng
chung cho cả hai. Bài toán được phát biểu ngắn gọn là: Tìm 𝑥 ∈ 𝐷 sao cho
𝑓(𝑥 , 𝑥) ≥ 0 với mọi 𝑥 ∈ 𝐷, trong đó 𝐷 là tập cho trước của không gian,
𝑓: 𝐷 × 𝐷 → 𝑅 là hàm số thực thỏa mãn 𝑓(𝑥, 𝑥) ≥ 0. Đây là dạng suy rộng trực
tiếp của các bài toán trong lý thuyết tối ưu vô hướng.
Ban đầu, người ta nghiên cứu những bài toán liên quan đến ánh xạ đơn
trị từ không gian hữu hạn chiều này sang không gian hữu hạn chiều khác mà
thứ tự được đưa ra bới nón orthant dương. Sau đó mở rộng sang không gian có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

2

số chiều vô hạn với nón bất kỳ. Khái niệm về ánh xạ đa trị đã được xây dựng và
phát triển do yêu cầu phát triển của bản thân toán học và các lĩnh vực khoa học
khác. Những định nghĩa, tính chất, sự phân lớp của ánh xạ đơn trị dần được mở
rộng cho ánh xạ đa trị. Từ đó người ta tìm cách chứng minh các kết quả tương tự
như các kết quả đã biết từ đơn trị. Chính vì vậy mà bài toán điểm cân bằng trong
những năm gần đây được nhiều nhà nghiên cứu toán học đặc biệt quan tâm. Vì lí
do trên tôi chọn đề tài: “Bài toán tựa cân bằng tổng quát hỗn hợp”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận văn này là trình bày một số kết quả của bài toán
cân bằng tổng quát hỗn hợp.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ sau đây:
Trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích đa trị, một số tính chất
của ánh xạ đa trị và các phép toán.
Trình bày Bài toán tựa cân bằng tổng quát hỗn hợp và các vấn đề liên
quan đến chúng trong lý thuyết tối ưu đa trị.
4. Bố cục của luận văn
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được
trình bày gồm 2 chương.
Chương 1 trình bày một số khái niệm về ánh xạ đa trị, tính liên tục theo
nón và một số định lý điểm bất động làm công cụ chứng minh các kết quả trong
chương 2.
Chương 2 trình bày bài toán tựa bao hàm biến phân hỗn hợp. Định lý
2.3.1, 2.3.2, và 2.3.4 cho ta kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán. Các hệ
quả 2.3.5, 2.3.6 chỉ ra sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến

phân hỗn hợp.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

3

Chƣơng 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Đặt vấn đề
Ngay từ đại học, ta đã làm quen với môn giải tích và lý thuyết tối ưu
liên quan tới các hàm số, tức là hàm từ một tập vào một số. Trong thực tế, ta
thường gặp các bài toán liên quan tới các ánh xạ từ một tập vào một phần tử
của không gian vecto tức là hàm vecto. Hơn vậy, có những bài toán chiếu
một điểm của một tập vào một tập con, tức là ánh xạ đa trị. Muốn nghiên
cứu những bài toán này, ta phải nghiên cứu nón và tính liên tục của các hàm
vecto và ánh xạ đa trị. Vì vậy, mục tiêu của chương này ta nghiên cứu về các
kiến thức cơ bản của giải tích đa. Chương này được viết dựa trên cơ sở của
chương 1 trong cuốn sách [1].
1.2.

Nón và các khái niệm liên quan
Trong cuộc sống hay trong khoa học, toán học, bất kì bài toán nào đều được

đặt ra trong một thời điểm nhất định với một lí do nào đó. Chính vì vậy để mở
rộng bài toán nhận giá trị thực sang bài toán nhận giá trị véc tơ và đa trị người ta
đưa vào một số khái niệm tương tự như trong số thực, số phức trong không gian tô
pô tuyến tính để nghiên cứu. Một trong những khái niệm đó là nón.
Định nghĩa 1.2.1. Cho 𝑌 là không gian tuyến tính và 𝐶 là tập con trong 𝑌. 𝐶

được gọi là nón có đỉnh tại gốc (gọi ngắn gọn là nón) trong 𝑌 nếu 𝑡𝑐 ∈ 𝐶 với
mọi 𝑐 ∈ 𝐶, 𝑡 ≥ 0. (được gọi là nón cố định tại 𝑥, nếu 𝐶 − 𝑥 là nón có đỉnh tại 0
Nón 𝐶 được gọi là nón lồi nếu 𝐶 là tập lồi. Nếu Y là không gian tô pô
tuyến tính và 𝐶 là nón trong 𝑌, ký hiệu 𝑐𝑙𝐶, 𝑖𝑛𝑡𝐶, 𝑐𝑜𝑛𝑣𝐶 là bao đóng, phần
trong và bao lồi của nón 𝐶, 𝑙(𝐶) = 𝐶 ∩ (−𝐶). khi nghiên cứu các bài toán
liên quan đến nón, người ta thường quan tâm đến các loại nón sau:
i.

Nón 𝐶 gọi là nón đóng nếu 𝐶 là tập đóng.

ii.

Nón 𝐶 gọi là nón nhọn nếu 𝑙 𝐶 = {0}.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

4

Với nón 𝐶 cho trước, ta định nghĩa quan hệ như sau: 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑌, 𝑥 ≽ 𝑦
nếu 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝐶. Nếu không có sự nhầm lẫn ta có thể viết đơn giản ≽ 𝑦 . Ký
hiệu 𝑥 ≻≻ 𝑦 nếu 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝐶 \ 𝑙(𝐶) và 𝑥 ≻ 𝑦 nếu 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝑖𝑛𝑡𝐶. Ta thấy
quan hệ trên là một quan hệ thứ tự từng phần nếu 𝐶 là nón lồi nhọn. Trong luận
văn này ta luôn giả thiết 𝐶 là nón lồi đóng, nhọn.
Sau đây, ta đưa ra một số ví dụ về nón.
Ví dụ 1.2.2.
i.

Tập {0} và 𝑌 là nón trong không gian. Ta gọi chúng là các nón tầm

thường.

ii.

Cho 𝑅𝑛 là không gian Euclid 𝑛 chiều, tập
𝐶 = 𝑅+𝑛 = 𝑥 = 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑅𝑛 𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛
là nón lồi, đóng, nhọn và được gọi là nón Orthant dương trong 𝑅𝑛 . Nếu
lấy 𝐶 = 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ∈ 𝑅𝑛 𝑥1 ≥ 0 thì C là nón lồi, đóng nhưng
không nhọn. Vì 𝑙(𝐶) = 𝑥 = (0, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑅𝑛 ≠ 0 .

iii.

Cho 𝐿𝑝 [0, 1], 0 < 𝑝 < 1 là không gian các hàm trên đoạn [0,1 ].
1

𝐿𝑝 0,1 = 𝑥, ∫0 ( 𝑥 𝑝 𝑑𝜇 < ∞, µ 𝑙à độ đ𝑜 𝐿𝑒𝑠𝑏𝑒𝑟𝑔𝑒 .
Tô pô trên không gian được xác định bởi cơ sở lân cận của 0, gồm các tập có dạng
𝑥 ∈ 𝐿𝑝 0,1

1
/(∫0

𝑝

1
𝑛

𝑥 ) 𝑑𝜇) <

1

𝑛

.

Tập 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐿𝑝 [0, 1] ∶ 𝑥(𝑡) ≥ 0, 𝑡 ∈ [0, 1]}. 𝐶 là nón lồi đóng.
Định nghĩa 1.2.3. Cho 𝐶 là nón trong không gian tuyến tính 𝑌. 𝐵 ⊆ 𝑌 được gọi
là tập sinh của nón 𝐶, ký hiệu 𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑒𝐵, nếu 𝐶 = {𝑡𝑏 | 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑡 ≥ 0}.
Trong trường hợp B không chứa điểm gốc và với mọi 𝑐 ∈ 𝐶, 𝑐 ≠ 0 đều tồn tại
duy nhất 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑐 = 𝑡𝑏, thì 𝐵 được gọi là cơ sở của nón 𝐶. Hơn nữa, nếu 𝐵 là
tập hữu hạn phần tử thì tập con 𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑒(𝑐𝑜𝑛𝑣𝐵) gọi là nón đa diện.
Khi ta có một nón trên không gian tuyến tính nghĩa là ta xây dựng trên
đó một quan hệ thứ tự và từ quan hệ thứ tự này ta có thể định nghĩa được các
điểm hữu hiệu của tập hợp theo nón cho trước như sau.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

5

Định nghĩa 1.2.4. Cho Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự được sinh bởi
nón lồi C và A là tập con của Y. Ta nói rằng
i.

Điểm 𝑥 ∈ 𝐴 là điểm hữu hiệu lý tưởng của tập 𝐴 đối với nón 𝐶 nếu
𝑦 − 𝑥 ∈ 𝐶 với mọi 𝑦 ∈ 𝐴. Tập các điểm hữu hiệu lý tưởng của 𝐴 đối
với nón 𝐶 được kí hiệu là 𝐼𝑀𝑖𝑛(𝐴 | 𝐶).

ii.

Điểm 𝑥 ∈ 𝐴 là điểm hữu hiệu Pareto (cực tiểu Pareto) của 𝐴 đối với nón

𝐶, nếu không tồn tại 𝑦 ∈ 𝐴 để 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝐶 \ {0}. Tập các điểm hữu hiệu
Pareto của 𝐴 đối với nón 𝐶 được kí hiệu là 𝑃𝑀𝑖𝑛(𝐴 | 𝐶) hoặc đơn giản là
𝑀𝑖𝑛(𝐴 | 𝐶).

iii.

Điểm 𝑥 ∈ 𝐴 là điểm hữu hiệu yếu (Khi 𝑖𝑛𝑡𝐶 ≠ ∅ và ≠ 𝑌) của 𝐴 đối với
nón 𝐶, nếu 𝑥 ∈ 𝑀𝑖𝑛(𝐴 | ({0} ∪ 𝑖𝑛𝑡𝐶)). Tức là 𝑥 là điểm hữu hiệu
Pareto đối với nón 𝐶0 = {0} ∪ 𝑖𝑛𝑡𝐶. Tập các điểm hữu hiệu yếu của 𝐴
đối với nón 𝐶 kí hiệu là 𝑊𝑀𝑖𝑛(𝐴 | 𝐶) hoặc 𝑊𝑀𝑖𝑛𝐴.

iv.

Điểm 𝑥 ∈ 𝐴 được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của 𝐴 đối với nón 𝐶 nếu
tồn tại nón lồi 𝐶 khác toàn không gian và chứa 𝐶 \ 0 trong phần trong
của nó để 𝑥 ∈ 𝑃𝑀𝑖𝑛(𝐴/𝐶 ).

Tập các điểm Hữu hiệu thực sự của 𝐴 đối với nón 𝐶 được kí hiệu
là𝑃𝑟𝑀𝑖𝑛(𝐴 | 𝐶).
Từ định nghĩa trên ta luôn có 𝐼𝑀𝑖𝑛𝐴 ⊂ 𝑃𝑟𝑀𝑖𝑛𝐴 ⊆ 𝑀𝑖𝑛𝐴 ⊆ 𝑊𝑀𝑖𝑛𝐴.
Tương tự như vậy, ta cũng định nghĩa được các tập hữu hiệu theo nghĩa Max.
1.3.

Ánh xạ đa trị
Tuy nhiên, bài toán thực tế ta gặp trường hợp một ánh xạ chiếu một điểm

của tập này vào một tập con của tập khác, tức là khái niệm ánh xạ đa trị xuất
hiện. Cho 𝑋 là một tập hợp bất kỳ. Ký hiệu 2𝑋 là tập gồm các tập con của 𝑋.
Định nghĩa 1.3.1. Ánh xạ 𝐹 từ tập 𝑋 vào 2𝑌 được gọi là ánh xạ đa trị từ 𝑋 vào 𝑌.
Ký hiệu 𝐹 ∶ 𝑋 → 2𝑌 . (Đôi khi người ta sử dụng ký hiệu 𝐹 ∶ 𝑋 ⇉ 𝑌, để thống

nhất các ký hiệu cho toàn bộ luận văn này ta sử dụng ký hiệu đã trình bày trước).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

6

Như vậy với mỗi 𝑥 ∈ 𝑋, 𝐹(𝑥) là một tập con của 𝑌, không loại trừ khả
năng đối với x nào đó 𝐹(𝑥) là tập rỗng. Nếu với 𝑥 ∈ 𝑋, 𝐹(𝑥) gồm một phần tử
của 𝑌 ta nói 𝐹 là ánh xạ đơn trị từ 𝑋 vào 𝑌, thay cho ký hiệu 𝐹 ∶ 𝑋 → 2𝑌 ta sử
dụng ký hiệu quen thuộc là 𝐹 ∶ 𝑋 → 𝑌.
Miền định nghĩa, đồ thị và ảnh của F được định nghĩa lần lượt như sau:
𝑑𝑜𝑚𝐹 = {𝑥 ∈ 𝐷 | 𝐹(𝑥) ∅};
𝐺𝑟(𝐹) = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 × 𝑌 | 𝑦 ∈ 𝐹(𝑥)};
𝑟𝑔𝑒𝐹 = {𝑦 ∈ 𝑌 | ∃𝑥 ∈ 𝑋 sao cho 𝑦 ∈ 𝐹(𝑥)}.
Ví dụ 1.3.2. Cho 𝑎, 𝑏 là các số thực, 𝐹 ∶ 𝑅 → 2𝑅 được xác định bởi
𝐹(𝑥) =

𝑎, 𝑏 , nếu 𝑥 ≠ 0;
𝑎 , nếu 𝑥 = 0.

Khi đó 𝐹 là ánh xạ đa trị.
Cho 𝐹 ∶ 𝑋 → 2𝑌 , ánh xạ đa trị 𝐹 −1 : 𝑌 → 2𝑋 xác định bởi 𝐹 −1 𝑦 =
𝑥 ∈ 𝑋 ∶ 𝑦 ∈ 𝐹 𝑥 , được gọi là ánh xạ ngược của 𝐹. Như vậy, khác với ánh
xạ đơn trị, ánh xạ đa trị luôn tồn tại ánh xạ ngược. Nếu tập 𝐹 −1 (𝑦) = {𝑥 ∈
𝑋 ∶ 𝑦 ∈ 𝐹(𝑥)} mở, thì 𝐹 được gọi là có nghịch ảnh mở.
Tương tự ánh xạ đơn trị ta cũng có phép toán đối với ánh xạ đa trị.
Định nghĩa 1.3.3. Cho 𝑋, 𝑌, 𝑍, 𝑊 là các tập hợp bất kỳ. 𝐹1 , 𝐹2 ∶ 𝑋 → 2𝑌 , 𝐹 ∶
𝑋 → 2𝑌 , 𝐺 ∶ 𝑌 → 2𝑌 là các ánh xạ đa trị. Ta có các phép tính về tập hợp cho
các ánh xạ đa trị như sau:

a. (Các phép tính tập hợp). Ánh xạ hợp, giao của hai ánh xạ 𝐹1 , 𝐹2 và ánh xạ bù
của 𝐹 là ánh xạ đa trị từ 𝑋 vào 𝑌 được xác định lần lượt bởi:
(𝐹1 ∪ 𝐹2 )(𝑥) = 𝐹1 (𝑥) ∪ 𝐹2 (𝑥);
(𝐹1 ∩ 𝐹2 )(𝑥) = 𝐹1 (𝑥) ∩ 𝐹2 (𝑥);
𝐹 𝑐 (𝑥) = 𝑌 \ 𝐹(𝑥).
Hợp của ánh xạ 𝐹 và 𝐺 là ánh xạ 𝐺° 𝐹 ∶ 𝑋 → 2𝑧 cho bởi công thức:
𝐺° 𝐹(𝑥) = ∪𝑥∈𝑋 𝐺(𝐹(𝑥)).
Tích decarde của 𝐹 ∶ 𝑋 → 𝑌 và 𝐺 ∶ 𝑊 → 𝑍 là ánh xạ đa trị 𝐺 × 𝐹 ∶
𝑋 × 𝑊 → 2𝑌×𝑍 cho bởi công thức:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

7

(𝐺 × 𝐹)(𝑥, 𝑦) = 𝐺(𝑥) × 𝐹(𝑦).
b. (Các phép tính đại số). Khi Y là không gian tôpô tuyến tính. Tổng đại số của
hai ánh xạ 𝐹1 , 𝐹2 và phép nhân của một số với ánh xạ 𝐹1 là các ánh xạ đa trị từ 𝑋
vào 𝑌 được xác định bởi:
(𝐹1 + 𝐹2 )(𝑥, 𝑦) = 𝐹1 (𝑥) + 𝐹2 (𝑥);
(𝜆𝐹1 )(𝑥) = 𝜆𝐹1 (𝑥).
Trường hợp 𝑌 là không gian tôpô tuyến tính ta có các phép toán sau:
Định nghĩa 1.3.4. (Các phép tính tô pô). Cho 𝐹 ∶ 𝑋 → 2𝑌 , ký hiệu 𝐹 , 𝐹 𝑜 là
các ánh xạ bao đóng, phần trong của ánh xạ 𝐹 xác định bởi
𝐹 𝑥 = 𝐹(𝑥);
( 𝐹 𝑜 𝑥 = (𝐹 𝑥 )°.
Nếu 𝑋, 𝑌 là các không gian tôpô tuyến tính thì ánh xạ bao lồi và bao lồi đóng
của 𝐹 là
(𝑐𝑜𝐹)(𝑥) = 𝑐𝑜𝐹(𝑥), ( 𝑐𝑜𝐹) 𝑥 = 𝑐𝑜𝐹(𝑥).
1.4.

Tính liên tục của ánh xạ đa trị
Trong phần này ta trình bày khái niệm về nửa liên tục trên, nửa liên tục

dưới và liên tục theo nón của ánh xạ đa trị. Trước hết ta nhắc lại khái niệm liên
tục của ánh xạ đơn trị. Cho 𝐹 ∶ 𝑋 → 𝑌 là ánh xạ đơn trị từ 𝑋 vào 𝑌. Ánh xạ 𝑓
được gọi là liên tục tại 𝑥 ∈ 𝑋 nếu với mỗi tập mở 𝑉 chứa 𝑓(𝑥 ) tồn tại lân cận
mở 𝑈 của 𝑥 sao cho 𝑓(𝑥) ∈ 𝑉, với mọi 𝑥 ∈ 𝑈.
Ta nói 𝑓 liên tục trên 𝑋 nếu nó liên tục tại mọi điểm trong 𝑋. Dễ thấy 𝑓
liên tục trên 𝑋 nếu với mỗi tập mở 𝑉 ⊂ 𝑌, 𝑓 −1 (𝑉) = {𝑥 ∈ 𝑋, 𝑓(𝑥) ∈
𝑉} mở trong 𝑋.
Vì ánh xạ đa trị biến mỗi điểm thành một tập hợp, do đó với mỗi tập mở
V bất kỳ và điểm x có thể xảy ra hai trường hợp, hoặc 𝑓(𝑥) ⊆ 𝑉 , hoặc
𝑓(𝑥) ∩ 𝑉  ∅. Vì vậy có thể mở rộng khái niệm ánh xạ đơn trị liên tục sang
cho ánh xạ đa trị theo hai cách khác nhau và ta có hai khái niệm hoàn toàn khác
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

8

nhau: Ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới. Ta nhắc lại định
nghĩa của Berge, (xem trong [5]).
Định nghĩa 1.4.1. ([5]). Cho 𝐹 ∶ 𝑋 → 2𝑌 là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô 𝑋
vào không gian tôpô 𝑌.
a. 𝐹 được gọi là nửa liên tục trên tại 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝐹 nếu mọi tập mở 𝑉 ⊂ 𝑌
thỏa mãn F(𝑥 ) ⊂ 𝑉 tồn tại lân cận mở 𝑈 của 𝑥 sao cho 𝐹(𝑥) ⊂
𝑉, ∀𝑥 ∈ 𝑈.
b. 𝐹 được gọi là nửa liên tục dưới tại 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝐹 nếu với mọi 𝑉 mở, 𝐹(𝑥 ) ∩
𝑉  ∅, đều tồn tại tập mở 𝑥 ⊂ 𝑈 sao cho 𝐹(𝑥) ∩ 𝑉  ∅, ∀𝑥 ∈ 𝑈.

c. 𝐹 được gọi là liên tục tại 𝑥 ∈ 𝑋 nếu nó đồng thời nửa liên tục trên và
nửa liên tục dưới tại 𝑥. 𝐹 được gọi là liên tục trên 𝑋 nếu nó liên tục tại
mọi điểm 𝑥 ∈ 𝑋.
Ví dụ 1.4.2. Cho ánh xạ
𝑓=

1 , 𝑛ế𝑢 𝑥 > 1;
−2,2 , 𝑛ế𝑢 𝑥 = 1;
1 , 𝑛ế𝑢 𝑥 < 1.

Ta xét tính liên tục của hàm số tại 𝑥 = 1. Gọi 𝑉 là tập mở bất kỳ trong
𝑅. Giả sử 𝑓(1) = [−2, 2] ⊆ 𝑉. Lấy 𝑈 = (1 − 𝜖, 1 + 𝜖), khi đó 𝑈 là lân
cận của 𝑥 = 1 và với mọi 𝑥 ∈ 𝑈 ta suy ra được (𝑥) ⊆ [−2, 2] ⊆ 𝑉 . Vậy 𝑓
là nửa liên tục trên. Tuy nhiên 𝑓 không phải là ánh xạ nửa liên tục dưới tại
𝑥 = 1. Thật vậy, ta lấy 𝑉 = (−𝜖, 𝜖) thỏa mãn (−𝜖, 𝜖) ∩ [−2, 2]  ∅. Với
mọi lân cận 𝑈’ của 𝑥 = 1 ta thấy với mọi 𝑥 ∈ 𝑈’ nếu 𝑥 > 1 thì 𝑓(𝑥) =
{1} ∩ 𝑉 = ∅.
Ngược lại, có những ví dụ chứng tỏ ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới nhưng
không có liên tục trên. Vậy hai khái niệm này là hoàn toàn khác nhau.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

9

Định nghĩa 1.4.3. Cho 𝑋, 𝑌 là các không gian tôpô, 𝐹 ∶ 𝑋 → 2𝑌 là ánh xạ đa
trị. 𝐹 được gọi là ánh xạ đóng nếu 𝐺𝑟𝐹 là tập đóng trong 𝑋 × 𝑌 .
Nếu 𝐹(𝑥) là tập compact trong 𝑌 thì 𝐹 gọi là ánh xạ compact.
𝐹: 𝑋 → 2𝑌 có nghịch ảnh mở nếu 𝑡 ∈ 𝑌 thì tập 𝑃−1 (𝑡) là mở trong 𝑋.
Từ định nghĩa trên ta thấy 𝐹 là ánh xạ đóng khi và chỉ khi với bất kỳ dãy

{𝑥𝛼 }, {𝑦𝛼 }, 𝑥𝛼 → 𝑥, 𝑦𝛼 → 𝑦, 𝑦𝛼 ∈ 𝐹(𝑥𝛼 ) thì 𝑦 ∈ 𝐹(𝑥). Nếu 𝐹(𝑥) là tập đóng
với mọi 𝑥 ∈ 𝑋, thì 𝐹 được gọi là ánh xạ có giá trị đóng.
Các mệnh đề sau cho ta điều kiện cần và đủ để một ánh xạ đa trị là nửa
liên tục trên và nửa liên tục dưới.
Mệnh đề 1.4.4. ([11]). Cho 𝐹 ∶ 𝐷 → 2𝑌 là ánh xạ đa trị. Nếu 𝐹 là nửa liên tục
trên với giá trị đóng, thì 𝐹 là ánh xạ đóng. Ngược lại, nếu 𝐹 là ánh xạ đóng và
𝑌 compact, thì 𝐹 là nửa liên tục trên.
Mệnh đề 1.4.5. a. Cho 𝐹 ∶ 𝐷 → 2𝑌 là ánh xạ đa trị. 𝐹 là nửa liên tục dưới tại
𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝐹 khi và chỉ khi với bất kỳ 𝑦 ∈ 𝐹(𝑥) và với bất kỳ dãy 𝑥𝛽 ∈
𝐷, 𝑥𝛽 → 𝑥 tồn tại dãy 𝑦𝛽

𝛽∈ 𝛬

, 𝑦𝛽 ∈ 𝐹(𝑥𝛽 ) sao cho 𝑦𝛽 → 𝑦 trong đó 𝛬 là tập

các chỉ số.
b. Nếu ánh xạ 𝐹 có nghịch ảnh mở, thì ánh xạ co𝐹 cũng có nghịch ảnh mở.
Chứng minh. Ta xem chứng minh a) trong [11]. Sau đây ta chứng minh b).
Giả sử 𝑦 ∈ 𝐷 và 𝑥 ∈ (𝑐𝑜𝐹)−1 (𝑦) thì 𝑦 ∈ 𝑐𝑜 𝐹 𝑥 , 𝑦 =
𝑣ớ𝑖 0 ≤∝𝑖 ≤ 1,

𝑛
𝑖=1

𝑛
𝑖=1

∝𝑖 𝑦𝑖 ,

∝𝑖 = 1 , 𝑦𝑖 ∈ 𝐹(𝑥). Khi đó 𝑥 ∈ 𝐹 −1 (𝑦𝑖 ) ∀ i = 1, . . . , n.

Vì 𝐹 −1 (𝑦𝑖 ), 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 là tập mở, ta suy ra tồn tại lân cận 𝑈(𝑥) của 𝑥 sao cho
𝑈(𝑥) ⊆ 𝐹 −1 (𝑦𝑖 ) với mọi 𝑖 = 1, . . , 𝑛. Điều này dẫn đến 𝑦𝑖 ∈ 𝐹(𝑧) với
𝑧 ∈ 𝑈(𝑥) và mọi 𝑖 = 1, . . . , 𝑛. Do đó 𝑦 =

𝑛
𝑖=1

∝𝑖 𝑦𝑖 ∈ (𝑐𝑜𝐹)(𝑧) với

𝑧 ∈ 𝑈(𝑥) do đó 𝑈(𝑥) ⊆ (𝑐𝑜𝐹)−1 (𝑦). Vậy (𝑐𝑜𝐹)−1 (𝑦) là tập mở.
Mệnh đề 1.4.6. ([6]). Một ánh xạ đa trị có nghịch ảnh mở là ánh xạ nửa liên tục dưới.
Ví dụ sau đây chỉ ra chiều ngược lại của Mệnh đề 1.3.6 không đúng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

10

Ví dụ 1.4.7. Cho 𝐹 ∶ 𝑅 → 2𝑅 xác định bởi 𝐹(𝑥) = (−∞, −𝑥]. Ta có
𝐹 −1 (𝑦) = {𝑥|𝑦 ∈ (−∞, −𝑥]} = {𝑥|𝑦 ≤ −𝑥} = (−∞, −𝑦]
không là tập mở.
Gọi V là tập mở bất kỳ trong 𝑅, khi đó ∪𝑦 ∈𝑉 𝐹 −1 (𝑦) = {𝑥|𝐹(𝑥) ∩
𝑉  ∅} Đặt

𝑏 = 𝑖𝑛𝑓{𝑣|𝑣 ∈ 𝑉 }.

Ta

sẽ

chứng

minh

(−∞, −𝑏) ⊂

∪𝑦∈𝑉 𝐹 −1 (𝑦).
Thật vậy, lấy bất kỳ 𝑥 ∈ (−∞, −𝑏) dẫn đến 𝑏 < −𝑥. Theo cách xác
định của 𝑏, ta suy ra tồn tại những điểm 𝑦 ∈ 𝑉 sao cho 𝑏 < 𝑦 ≤ −𝑥. Vì vậy
𝑥 ∈ (−∞, −𝑦] ⊆∪𝑦 ∈𝑉 𝐹 −1 (𝑦). Từ

kết

luận

này

ta

có

(−∞, −𝑏) ⊆

∪𝑦∈𝑉 𝐹 −1 (𝑦) hay ∪𝑦∈𝑉 𝐹 −1 (𝑦) là tập mở. Do đó 𝐹 là ánh xạ nửa liên tục dưới.
Ta nhắc lại, hàm vô hướng 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑅 gọi là nửa liên tục trên (hoặc
dưới) tại 𝑥 nếu với bất kỳ 𝜖 > 0 đều tồn tại lân cận 𝑈 ∋ 𝑥 sao cho 𝑓(𝑥) ≤
𝑓(𝑥 ) + 𝜖 (𝑕𝑜ặ𝑐 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥 ) − 𝜖). Khái niệm này có thể mở rộng cho
trường hợp ánh xạ đa trị trong không gian véc tơ tôpô lồi địa phương với nón 𝐶.
Cho 𝑋, 𝑌 là hai không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, 𝐷, 𝐾 là tập

con khác rỗng trong 𝑋, 𝐶 là nón trong 𝑌 và 𝐹 là ánh xạ đa trị từ 𝐷 vào 𝑌. Ta có
định nghĩa sau (xem trong [10]).
Định nghĩa 1.4.8. 1. 𝐹 là 𝐶 − liên tục trên (hoặc 𝐶 − liên tục dưới) tại 𝑥0 ∈ 𝐷
nếu với bất kỳ lân cận 𝑉 của 0 trong 𝑌 đều tồn tại lân cận 𝑈 của 𝑥0 sao cho
𝐹(𝑥) ⊂ 𝐹(𝑥0 ) + 𝑉 + 𝐶;
hoặc 𝐹(𝑥0 ) ⊂ 𝐹(𝑥) + 𝑉 − 𝐶 với mọi 𝑥 ∈ 𝑈 ∩ 𝑑𝑜𝑚𝐹;
2. 𝐹 là 𝐶 − liên tục tại 𝑥0 nếu 𝐹 vừa là 𝐶 − liên tục trên vừa là 𝐶 − liên tục
dưới tại 𝑥0 . 𝐹 là 𝐶 − liên tục trên, 𝐶 − liên tục dưới, hoặc 𝐶 − liên tục trên 𝐷
nếu nó là 𝐶 − liên tục trên, 𝐶 − liên tục dưới, hoặc 𝐶 − liên tục tại mọi 𝑥
thuộc 𝐷.
3. Trường hợp 𝐶 = {0}, ta nói 𝐹 liên tục trên (liên tục dưới) thay vì nói
{0} −liên tục trên ({0} - liên tục dưới).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

11

Trong các kết quả của các chương sau ta chỉ sử dụng khái niệm 𝐶 − liên
tục trên (dưới) với 𝐶 là một ánh xạ nón.
Định nghĩa 1.4.9. ([12]). Cho 𝐹 ∶ 𝐾 × 𝐷 × 𝐷 → 2𝑌 , 𝐶 ∶ 𝐾 × 𝐷 → 2𝑌 là
ánh xạ nón (ánh xạ nón là ánh xạ có tập giá trị là một nón).
𝐹 gọi là 𝐶 − liên tục trên (hoặc 𝐶 − liên tục dưới) tại (𝑦, 𝑥 , 𝑧) ∈
𝑑𝑜𝑚𝐹 nếu với bất kỳ lân cận 𝑉 của 𝑂 trong 𝑌 đều tồn tại lân cận 𝑈 của
(𝑦, 𝑥 , 𝑧) sao cho:
𝐹(𝑦, 𝑥, 𝑧) ⊆ 𝐹(𝑦, 𝑥 , 𝑧) + 𝑉 + 𝐶(𝑦, 𝑥),
(𝐹((𝑦, 𝑥 , 𝑧) ⊆ 𝐹(𝑦, 𝑥, 𝑧) + 𝑉 – 𝐶(𝑦, 𝑥), tương ứng), với mọi (𝑦, 𝑥, 𝑧) ∈
𝑈 ∩ 𝑑𝑜𝑚𝐹.
Các khái niệm 𝐶 − liên tục tại một điểm hay trên miền 𝐷 cũng được định
nghĩa tương tự như trường hợp 𝐶 là nón hằng.

Nhận xét. Nếu 𝐹 là ánh xạ đơn trị thì khái niệm 𝐶 - liên tục trên và 𝐶 - liên tục
dưới là một và lúc đó 𝐹 được gọi là 𝐶 - liên tục.
Mệnh đề sau cho điều kiện cần và đủ để một ánh xạ là 𝐶 - liên tục trên (dưới).
Mệnh đề 1.4.10. ([12]). Cho 𝐹 ∶ 𝐾 × 𝐷 × 𝐷 → 2𝑌 , 𝐶 ∶ 𝐾 × 𝐷 → 2𝑌 là
các ánh xạ đa trị.
1) Nếu C là nửa liên tục trên với giá trị là nón lồi khác rỗng, 𝐹 là C - liên tục
trên tại 𝑦0 , 𝑥0 , 𝑧0 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝐹 với 𝐹 𝑦0 , 𝑥0 , 𝑧0 + 𝐶 𝑦0 , 𝑥0 đóng, thì với bất kỳ
dãy 𝑦𝛽 , 𝑥𝛽 , 𝑧𝛽 → 𝑦0 , 𝑥0 , 𝑧0 , 𝑡𝛽 ∈ 𝐹 𝑦𝛽 , 𝑥𝛽 , 𝑧𝛽 + 𝐶 𝑦𝛽 , 𝑥𝛽 , 𝑡𝛽 → 𝑡0 kéo
theo 𝑡0 ∈ 𝐹 𝑦0 , 𝑥0 , 𝑧0 + 𝐶 𝑦0 , 𝑥0 Ngược lại, nếu 𝐹 là ánh xạ compact và
với bất kỳ dãy
(𝑦𝛽 , 𝑥𝛽 , 𝑧𝛽 ) → (𝑦0 , 𝑥0 , 𝑧0 ), 𝑡𝛽 ∈ 𝐹(𝑦𝛽 , 𝑥𝛽 , 𝑧𝛽 ) + 𝐶(𝑦𝛽 , 𝑥𝛽 ), 𝑡𝛽 → 𝑡0
kéo theo 𝑡0 ∈ 𝐹(𝑦0 , 𝑥0 , 𝑧0 ) + 𝐶(𝑦0 , 𝑥0 ), thì 𝐹 là 𝐶 - liên tục trên tại
(𝑦0 , 𝑥0 , 𝑧0 ).
2) Nếu 𝐹 là ánh xạ compact và 𝐶 − liên tục dưới tại (𝑦0 , 𝑥0 , 𝑧0 ) ∈ 𝑑𝑜𝑚𝐹,
thì với bất kỳ dãy (𝑦𝛽 , 𝑥𝛽 , 𝑧𝛽 ) → (𝑦0 , 𝑥0 , 𝑧0 ), 𝑡0 ∈ 𝐹(𝑦0 , 𝑥0 , 𝑧0 ) + 𝐶(𝑦0 , 𝑥0 ),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

12

tồn tại dãy {𝑡𝛽 }, 𝑡𝛽 ∈ 𝐹(𝑦𝛽 , 𝑥𝛽 , 𝑧𝛽 ), sao cho có dãy con {𝑡𝛽 }, 𝑡𝛽 − 𝑡0 → 𝑐 ∈
𝛾

𝛾

𝐶(𝑦0 , 𝑥0 ), (𝑡𝛽 → 𝑡0 + 𝑐 ∈ 𝑡0 + 𝐶(𝑦0 , 𝑥0 )).
𝛾

Ngược lại, nếu 𝐹(𝑦0 , 𝑥0 , 𝑧0 ) là ánh xạ compact và với bất kỳ dãy

(𝑦𝛽 , 𝑥𝛽 , 𝑧𝛽 ) → (𝑦0 , 𝑥0 , 𝑧0 ), 𝑡0 ∈ 𝐹(𝑦0 , 𝑥0 , 𝑧0 ) + 𝐶(𝑦0 , 𝑥0 ), tồn
{𝑡𝛽 }, 𝑡𝛽 ∈ 𝐹(𝑦𝛽 , 𝑥𝛽 , 𝑧𝛽 ) , sao cho có dãy con {𝑡𝛽 }, 𝑡𝛽
𝛾

𝛾

tại

dãy

− 𝑡0 → 𝑐 ∈

𝐶(𝑦0 , 𝑥0 ) thì 𝐹 là 𝐶 -liên tục dưới tại (𝑦0 , 𝑥0 , 𝑧0 ).
Cho 𝐹, 𝐶 ∶ 𝐷 → 2𝑌 là các ánh xạ đa trị, trong đó 𝐶 là ánh xạ nón. Sau
đây ta trình bày khái niệm 𝐶 - hemi liên tục trên (dưới) và khái niệm hemi liên
tục trên (dưới) trong [12].
Định nghĩa 1.4.11. i. 𝐹 được gọi là 𝐶− hemi liên tục trên nếu với mọi 𝑥, 𝑦 ∈
𝐷 thỏa mãn 𝐹(𝛼𝑥 + (1 − 𝛼)𝑦) ∩ 𝐶(𝛼𝑥 + (1 − 𝛼)𝑦)  ∅ với mọi
𝛼 ∈ (0, 1) kéo theo 𝐹(𝑦) ∩ 𝐶(𝑦)  ∅.
ii. 𝐹 được gọi là 𝐶 − hemi liên tục dưới nếu với mọi 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷 thỏa mãn
𝐹(𝛼𝑥 + (1 − 𝛼)𝑦) ⊈ −𝑖𝑛𝑡𝐶(𝛼𝑥 + (1 − 𝛼)𝑦) với mọi 𝛼 ∈ (0, 1) kéo
theo 𝐹(𝑦) ⊈ −𝑖𝑛𝑡𝐶(𝑦).
iii. 𝐹 được gọi là hemi liên tục trên (dưới), nếu với mọi 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷, ánh
xạ 𝑓 ∶ [0, 1] → 2𝑌 định nghĩa bởi 𝑓(𝛼) = 𝐹(𝛼𝑥 + (1 − 𝛼)𝑦) là nửa liên
tục trên (tương ứng, nửa liên tục dưới).
Mệnh đề sau chỉ ra điều kiện đủ để một ánh xạ đa trị là 𝐶 - hemi liên tục
trên và được dùng để chứng minh sự tồn tại nghiệm.
Mệnh đề 1.4.12. Cho 𝐹 và 𝐶 là hemi liên tục trên với giá trị đóng khác rỗng.
Nếu với bất kỳ 𝑥 ∈ 𝐷, hoặc 𝐹(𝑥), hoặc 𝐶(𝑥) là tập compact, thì 𝐹 là 𝐶 - hemi
liên tục trên.

Chứng minh. Với 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷 bất động, định nghĩa các ánh xạ 𝑓, 𝑐 ∶ 0, 1 → 2𝑌
bởi 𝑓 𝛼 = 𝐹 𝛼𝑥 + 1 – 𝛼 𝑦 𝑣à 𝑐 𝛼 = 𝐶 𝛼𝑥 + 1 − 𝛼 𝑦 , 𝛼 0, 1 .
Do 𝐹 và 𝐶 là hemi liên tục trên nên 𝑓, 𝑐 là ánh xạ nửa liên tục trên tại 0. Với 𝑉 là lân
cận bất kỳ của gốc trong 𝑌 tồn tại lân cận 𝑈 của 0 trong đoạn [0,1] sao cho
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

13

𝐹((𝛼𝑥 + (1 − 𝛼)𝑦) ⊆ 𝐹(𝑦) + 𝑉 ;
𝐶(𝛼𝑥 + (1 − 𝛼)𝑦) ⊆ 𝐶(𝑦) + 𝑉, với mọi 𝛼 ∈ 𝑈.
Do đó, nếu 𝐹((𝛼𝑥 + (1 − 𝛼)𝑦) ∩ 𝐶(𝛼𝑥 + (1 − 𝛼)𝑦)  ∅, với mọi
𝛼 ∈ (0, 1), thì (𝐹(𝑦) + 𝑉) ∩ (𝐶(𝑦) + 𝑉 )  ∅. Điều này dẫn đến 𝐹(𝑦) ∩
(𝐶(𝑦) + 2𝑉 )  ∅. Giả sử 𝐹(𝑦) là tập compact ta sẽ chứng minh 𝐹(𝑦) ∩
𝐶(𝑦)  ∅. Thật vậy, giả sử 𝑉𝛽 là lân cận bất kỳ của gốc trong 𝑌 , lấy 𝑎𝛽 ∈
𝐹(𝑦) ∩ (𝐶(𝑦) + 2𝑉𝛽 ), 𝑎𝛽 = 𝑏𝛽 + 𝑣𝛽 , trong đó 𝑏𝛽 ∈ 𝐶(𝑦) và 𝑣𝛽 ∈ 𝑉𝛽 . Ta
có thể chọn 𝑉𝛽 sao cho ∩ 𝑉𝛽 = {0}, giả sử 𝑣𝛽 hội tụ đến 0 khi 𝛽 hội tụ đến 0.
Từ 𝑎𝛽 ∈ 𝐹(𝑦) và 𝐹(𝑦) là tập compact, không mất tính tổng quát, ta có thể giả
thiết rằng 𝑎𝛽 hội tụ đến 𝑎 ∈ 𝐹(𝑦) khi 𝛽 hội tụ đến 0. Vì vậy 𝑏𝛽 cũng hội tụ
đến 𝑎. Mặt khác, 𝐶(𝑦) đóng nên 𝑎 ∈ 𝐶(𝑦). Ta suy ra 𝑎 ∈ 𝐹(𝑦) ∩ 𝐶(𝑦) hay
𝐹(𝑦) ∩ 𝐶(𝑦)  ∅. Nếu 𝐶(𝑦) compact, chứng minh tương tự ta cũng có
𝐹(𝑦) ∩ 𝐶(𝑦)  ∅. Vậy 𝐹 là 𝐶 - hemi liên tục trên.
1.5.

Tính lồi của ánh xạ đa trị
Trong mục này chúng ta trình bày tính lồi, lõm, giống như tựa lồi của

ánh xạ đa trị. Các khái niệm này mở rộng các khái niệm đã quen biết trong
trường hợp ánh xạ đơn trị và là các khái niệm cần thiết trong việc kiểm tra các

định lý tồn tại nghiệm ở các chương sau. Trước hết ta nhắc lại khái niệm hàm
lồi của hàm véc tơ.
Cho 𝑋, 𝑌 là hai không gian tôpô tuyến tính, 𝐷 ⊂ 𝑋 là tập lồi và 𝐶 là nón
lồi trong. Hàm véc tơ 𝑓 ∶ 𝐷 → 𝑌 được gọi là 𝐶 – lồi trên 𝐷 nếu với mọi
𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐷, 𝛼 ∈ [0, 1] ta luôn có
𝑓(𝛼𝑥1 + (1 − 𝛼)𝑥2 ) ∈ 𝛼𝑓(𝑥1 ) + (1 − 𝛼)𝑓(𝑥2 ) − 𝐶.
𝑓 được gọi là 𝐶 - lõm trên 𝐷 nếu −𝑓 là 𝐶 - lồi trên 𝐷. Trong trường hợp
𝑌 = 𝑅, 𝐶 = 𝑅+, định nghĩa trên cho ta khái niệm về hàm 𝑓 lồi (lõm) theo
định nghĩa thông thường.
Trong trường hợp ánh xạ đa trị, ta thấy khái niệm 𝐶 tách ra làm 2 trường
hợp trên, dưới như sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

14

Định nghĩa 1.5.1. Cho ánh xạ 𝐹 ∶ 𝐷 → 2𝑌 , 𝐶 là nón lồi trong 𝑌.
i.

𝐹 được gọi là 𝐶 - lồi trên (hoặc 𝐶 - lồi dưới), nếu
𝛼𝐹(𝑥) + (1 − 𝛼)𝐹(𝑦) ⊂ 𝐹(𝛼𝑥 + (1 − 𝛼)𝑦) + 𝐶,
𝑕𝑜ặ𝑐 𝐹 𝛼𝑥 + 1 − 𝛼 𝑦 ⊂ 𝛼𝐹 𝑥 + 1 − 𝛼 𝐹 𝑦 − 𝐶 ,

với mọi 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝐹 và 𝛼 ∈ [0, 1].
ii.

𝐹 được gọi là 𝐶 - lõm trên (hoặc 𝐶 - lõm dưới), nếu
𝛼𝐹(𝑥) + (1 − 𝛼)𝐹(𝑦) ⊂ 𝐹(𝛼𝑥 + (1 − 𝛼)𝑦) − 𝐶,
𝑕𝑜ặ𝑐 𝐹 𝛼𝑥 + 1 − 𝛼 𝑦 ⊂ 𝛼𝐹 𝑥 + 1 − 𝛼 𝐹 𝑦 + 𝐶 ,

với mọi 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝐹 và 𝛼 ∈ [0, 1].
Chú ý.
i.

Nếu 𝐶 = {0} thì tính {0} − lồi trên và {0} − lõm trên của F đồng nhất
với nhau và 𝐹 được gọi là dưới tuyến tính.

ii.

Trong trường hợp 𝐹 là ánh xạ đơn trị thì tính 𝐶 - lồi trên và 𝐶 - lồi dưới
(hoặc 𝐶 - lõm trên, 𝐶 - lõm dưới) là trùng nhau và ta gọi là 𝐶 - lồi (hoặc
𝐶 -lõm).
Trong thực tế không phải mọi hàm hay mọi ánh xạ đa trị đều là lồi hoặc

lõm. Ngoài các khái niệm trên người ta còn sử dụng các khái niệm sau đây:
Định nghĩa 1.5.2. Cho 𝐹 là ánh xạ đa trị từ 𝐷 ⊂ 𝑋 vào 2𝑌 , 𝑌 là không gian
tôpô tuyến tính lồi địa phương với nón 𝐶.
i.

𝐹 được gọi là 𝐶 - giống như tựa lồi trên trên 𝐷 nếu với bất kỳ 𝑥1 , 𝑥2 ∈
𝐷, 𝛼 ∈ [0, 1], hoặc
𝐹(𝑥1 ) ⊆ 𝐹(𝛼𝑥1 + (1 − 𝛼)𝑥2 ) + 𝐶,
𝑕𝑜ặ𝑐 𝐹(𝑥2 ) ⊆ 𝐹(𝛼𝑥1 + (1 − 𝛼)𝑥2 ) + 𝐶.

ii.

𝐹 được gọi là 𝐶 - giống như tựa lồi dưới trên 𝐷 nếu với bất kỳ 𝑥1 , 𝑥2 ∈
𝐷, 𝛼 ∈ [0, 1], hoặc
𝐹(𝛼𝑥1 + (1 − 𝛼)𝑥2 ) ⊆ 𝐹(𝑥1 ) − 𝐶,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

15

𝑕𝑜ặ𝑐 𝐹(𝛼𝑥1 + (1 − 𝛼)𝑥2 ) ⊆ 𝐹(𝑥2 ) − 𝐶.
Các khái niệm 𝐶 - lồi trên (dưới) hay 𝐶 - giống như tựa lồi trên (dưới) là
dạng tổng quát của các khái niệm tương ứng trong trường hợp đơn trị được giới
thiệu. Có những ví dụ chỉ ra rằng, ánh xạ đa trị 𝐶 - lồi trên (dưới) không phải là
ánh xạ 𝐶 - giống như tựa lồi trên (dưới) và hiển nhiên có chiều ngược lại ngay
cả trường hợp đơn trị.
1.6.

Một số định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị
Năm 1912, Brouwer [4] đã dùng phương pháp tổ hợp chứng minh một

ánh xạ đơn trị liên tục từ một đơn hình 𝐾 ⊆ 𝑅𝑛 vào chính nó có điểm bất động.
Sau đó năm 1941, Schauder đã mở rộng định lý cho trường hợp 𝐾 là tập lồi
compact khác rỗng trong 𝑅𝑛 . Kakutani mở rộng cho trường hợp ánh xạ đa trị
với ánh xạ nửa liên tục trên. Đến năm 1967, Ky Fan [7] đã chứng minh định lý
điểm bất động với 𝐾 nằm trong không gian tuyến tính lồi địa phương.
Năm 1929, trong [2] ba nhà toán học Knaster, Kuratowski và
Mazurkiewicz đã chứng minh một kết quả rất quan trọng, ngày nay gọi là bổ đề
KKM, bằng phương pháp tương đối sơ cấp mà từ đó suy ra được nguyên lý
điểm bất động Brouwer. Năm 1961, Ky Fan [7] đã mở rộng bổ đề KKM cổ
điển trong không gian véc tơ tôpô hausdorff hữu hạn chiều với ánh xạ đa trị.
Năm 1968, Brouwer [4] đã chứng minh kết quả của Ky Fan theo một dạng khác
đó là định lý điểm bất động và ngày nay người ta thường gọi định lý đó là định

lý điểm bất động Fan - Browder.
Từ đó đến nay có rất nhiều kết quả mở rộng của các định lý Ky Fan, Fan
-Brouwer, bổ đề KKM và chúng được xem như là công cụ hữu hiệu để chứng
minh sự tồn tại nghiệm của các loại bài toán tối ưu. Trong phần này chỉ giới
thiệu một số định lý điểm bất động phát biểu trong không gian tôpô tuyến tính
lồi địa phương sẽ sử dụng để chứng minh các định lý ở chương sau.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

16

Định lý 1.6.1. (Ky Fan [7]): Cho 𝑋 là không gian topo tuyến tính lồi địa
phương, 𝐾  𝑋 là tập con lồi compact. 𝐹: 𝐾 → 2𝐾 là ánh xạ đa trị nửa liên tục
trên với giá trị khác rỗng lồi, đóng. Khi đó, tồn tại 𝑥 ∈ 𝐾 sao cho 𝑥 ∈ 𝐹(𝑥 ).
Bổ đề 1.6.2. [12]. Cho 𝐷, 𝐾 lần lượt là các tập con khác rỗng, lồi, compact của
không gian vecto topo lồi địa phương Hausdorff 𝑋, 𝑌. Cho các ánh sạ đa trị
𝑆: 𝐷 × 𝐾 → 2𝐷 , 𝐻: 𝐷 × 𝐾 → 2𝐾 , 𝑀: 𝐷 → 2𝐷 . Ta giả sử rằng:
(i)

S là ánh xạ đa trị với tập giá trị khác rỗng, lồi và có nghịch ảnh mở;

(ii)

H là ánh xạ nửa liên tục trên với tập giá trị khác rỗng, lồi, đóng và tập
𝐴 = (𝑥, 𝑦) 𝑥 ∈ 𝑆 𝑥, 𝑦 , 𝑦 ∈ 𝐻(𝑥, 𝑦) là tập khác rỗng, đóng;

(iii)

M có phần dưới mở với mọi 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 𝑐𝑜𝑀(𝑥)
Thì tồn tại (𝑥 , 𝑦) ∈ 𝐷 × 𝐾 sao cho 𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 , 𝑦 , 𝑦 ∈ 𝐻(𝑥 , 𝑦) và
𝑆 𝑥 , 𝑦 ∩ 𝑀 𝑥 = ∅.

Định lý 1.6.3. (Browder, 1968, [4]) Cho 𝑋 là một không gian véc tơ tôpô,
𝐾 ⊂ 𝑋 là một tập con lồi, khác rỗng, compact. 𝐹 ∶ 𝐾 → 2𝐾 là ánh xạ đa trị
thỏa mãn các điều kiện:
a) Với mọi 𝑥 ∈ 𝐾, 𝐹(𝑥) là tập lồi;
b) Với mọi 𝑦 ∈ 𝐾, 𝐹 −1 (𝑦) là tập mở trong 𝐾.
Khi ấy tồn tại điểm 𝑥 ∈ 𝐾 sao cho 𝑥 ∈ 𝐹(𝑥 ).
Định lý sau là một dạng khác của định lý Fan - Browder.
Định lý 1.6.4. Cho 𝑋 là một không gian véc tơ tôpô, 𝐾 ⊂ 𝑋 là một tập con lồi,
khác rỗng, compact. 𝐹 ∶ 𝐾 → 2𝐾 là ánh xạ đa trị thỏa mãn các điều kiện:
a) Với mọi 𝑥 ∈ 𝐾, 𝑥  𝐹(𝑥) và 𝐹(𝑥) là tập lồi;
b) Với mọi 𝑦 ∈ 𝐾, 𝐹 −1 (𝑦) là tập mở trong 𝐾.
Khi đó, tồn tại điểm x ∈ K sao cho F(𝑥 ) = ∅.
Một ánh xạ 𝐹 ∶ 𝐷 → 2𝑋 được gọi là ánh xạ KKM (xem [7]) nếu với bất
kỳ tập {t1 , . . . , t n } ⊂ 𝐷, luôn có co{𝑡1 , . . . , 𝑡𝑛 } ⊆∪𝑗𝑛=1 𝐻(𝑡𝑗 ). Ngoài khái niệm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

17

trên, người ta còn mở rộng khái niệm KKM từ một tập này vào một tập khác.
Ta có khái niệm ánh xạ KKM suy rộng sau:
Định nghĩa 1.6.5. Cho 𝑋, 𝑍 là các không gian tôpô, 𝐷 ⊆ 𝑋, 𝐾 ⊆ 𝑍, 𝐹 ∶ 𝐾 ×
𝐷 × 𝐷 → 2𝑋 , 𝑄 ∶ 𝐷 × 𝐷 → 2𝐾 là các ánh xạ đa trị. 𝐹 được gọi là 𝑄 −
𝐾𝐾𝑀 nếu với bất kỳ tập hữu hạn {𝑡1 , . . . , 𝑡𝑛 } ⊂ 𝐷 và 𝑥 ∈ 𝑐𝑜{𝑡1 , . . . , 𝑡𝑛 }, tồn

tại chỉ số 𝑗 ∈ {1, . . . , 𝑛} sao cho 0 ∈ 𝐹(𝑦, 𝑥, 𝑡𝑗 ) với mọi 𝑦 ∈ 𝑄(𝑥, 𝑡𝑗 ).
Định nghĩa 1.6.6. Cho 𝑋, 𝑌, 𝑍 là các không gian tôpô, 𝐷 ⊆ 𝑋, 𝐾 ⊆ 𝑍, 𝐸 ⊆
𝑊. 𝐹 ∶ 𝐾 × 𝐷 × 𝐸 → 2𝑋 , 𝑄 ∶ 𝐷 × 𝐸 → 2𝐾 là các ánh xạ đa trị. 𝐹 được
gọi là 𝑄 − 𝐾𝐾𝑀 suy rộng nếu với bất kỳ tập hữu hạn {𝑡1 , . . . , 𝑡𝑛 } ⊂ 𝐸 tồn tại
tập hữu hạn {𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 } ⊆ 𝐷 sao cho với bất kỳ 𝑥 ∈ 𝑐𝑜{𝑥𝑖 1 , . . . , 𝑥𝑖 𝑘 },tồn tại
𝑡𝑖 𝑗 ∈ {𝑡𝑖 1 , . . . , 𝑡𝑖 𝑛 } thỏa mãn 0 ∈ 𝐹(𝑦, 𝑥, 𝑡𝑖 𝑗 ) với mọi 𝑦 ∈ 𝑄(𝑥, 𝑡𝑖 𝑗 ).
Định lý 1.6.7. (Bổ đề Fan-KKM, [7]). Giả sử 𝐷 là một tập con lồi khác rỗng
trong không gian véc tơ tôpô 𝑋, 𝐹 ∶ 𝐷 → 2𝑋 là ánh xạ KKM. Nếu với mỗi x
∈ 𝐷, 𝐹(𝑥) là tập đóng, đồng thời có ít nhất một điểm x0 ∈ 𝐷 sao cho 𝐹(𝑥0 ) là
tập compact thì

∩
𝐹(𝑥) ≠ ∅.
𝑥∈𝐷

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

18

Chƣơng 2
BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT HỖN HỢP
Trong chương này, ta sẽ giới thiệu các bài toán tựa cân bằng tổng quát
liên quan tới các ánh xạ đa trị. Sau đó, ta sẽ tìm những điều kiện đủ để các bài
toán này có nghiệm. Ta thấy rằng trong các bài toán tựa cân bằng tổng quát loại
1 và các bài toán tựa cân bằng tổng quát loại 2, nghiệm của chúng phụ thuộc
vào nhiều điều kiện khác nhau, điều này cũng có thể xảy ra với ánh xạ đa trị.
Chương này ta sẽ nghiên cứu bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát, một số
bài toán liên quan đến bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát, định lí về sự

tồn tại nghiệm và một số ứng dụng của nó. Nội dung của chương này được viết
dựa trên cơ sở của bài báo [12] của Trương Thị Thùy Dương.
2.1.

Đặt vấn đề
Cho 𝑋, 𝑍 𝑣à 𝑌 là các không gian topo tuyến tính lồi địa phương

Hausdorff, 𝐷  𝑋, 𝐾  𝑍 là các tập con không rỗng. Cho các ánh xạ 𝑆: 𝐷 × 𝐾 →
2𝐷 , 𝑇: 𝐷 × 𝐾 → 2𝐾 , 𝑃1 : 𝐷 → 2𝐷 , 𝑃2 : 𝐷 → 2𝐷 , 𝑄: 𝐾 × 𝐷 → 2𝐾 và 𝐹1 : 𝐾 × 𝐷 ×
𝐷 × 𝐷 → 2𝑌 , 𝐹2 : 𝐾 × 𝐷 × 𝐷 → 2𝑌 , ta xét các bài toán sau:
1. Tìm (𝑥 , 𝑦) ∈ 𝐷 × 𝐾sao cho:
𝑥 ∈ 𝑆 𝑥, 𝑦 ; 𝑦 ∈ 𝑇 𝑥, 𝑦 ;
0 ∈ 𝐹1 𝑦, 𝑥 , 𝑥 , 𝑧 , với mọi 𝑧 ∈ 𝑆 𝑥 , 𝑦 .
Bài toán này được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát loại 1 (xem
[12]).
2. Tìm 𝑥 ∈ 𝐷 sao cho:
𝑥 ∈ 𝑃1 𝑥 ;
0 ∈ 𝐹2 𝑦, 𝑥 , 𝑡 , ∀𝑡 ∈ 𝑃2 𝑥 và 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥 , 𝑡 .
Bài toán này được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát loại 2 (xem
[12]).
3. Tìm (𝑥 , 𝑦) ∈ 𝐷 × 𝐾 sao cho:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>