Nguyên lý cực đại đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp hai tổng quát

1


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HÀ THỊ THU HIỀN

NGUYÊN LÝ CỰC ĐẠI ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH
ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI TỔNG QUÁT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HÀ THỊ THU HIỀN

NGUYÊN LÝ CỰC ĐẠI ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH
ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI TỔNG QUÁT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn

HÀ NỘI, 2016


Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn,
người thầy đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả có
thể hoàn thành luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các
thầy, cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn
thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, người thân đã
luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá
trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Hà Thị Thu Hiền


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn,
luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài:" Nguyên lý
cực đại đối với phương trình Elliptic tuyến tính cấp hai tổng
quát " được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác
giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Hà Thị Thu Hiền


i

Mục lục

Mở đầu

1

1

3

Các nguyên lý cực đại
1.1

Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng tổng quát . .

3

1.2

Nguyên lý cực đại yếu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Nguyên lý cực đại mạnh

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4

Tính duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet và bài toán
Neumann

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1

Tính duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet . . . . 12

1.4.2

Tính duy nhất nghiệm của bài toán Neumann

. . . 13

2 Ứng dụng của nguyên lý cực đại
2.1

15

Đánh giá độ lớn của ẩn hàm đối với phương trình không
thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2

Đánh giá độ lớn đối với đạo hàm cấp một của nghiệm
phương trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3

Bất đẳng thức Harnack trong trường hợp hai biến độc lập . 22

2.4

Nguyên lý cực đại yếu đối với nghiệm suy rộng của phương
trình dạng bảo toàn

Kết luận

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
29


Tài liệu tham khảo

30

ii


1

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Nguyên lý cực đại là một tính chất đặc biệt của phương trình elliptic
cấp hai. Điều này có nghĩa rằng nguyên lý này sẽ không xảy ra đối với
phương trình elliptic với cấp khác hai hoặc đối với phương trình cấp hai
mà không phải là elliptic. Trong các giáo trình hoặc sách chuyên khảo về
phương trình đạo hàm riêng, nguyên lý này thường chỉ được trình bày cho
phương trình Laplace, đồng thời các ứng dụng của nó cũng ít được đề cập.
Luận văn trình bày các Nguyên lý cực đại mạnh và Nguyên lý cực đại
yếu đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng tổng quát. Từ
các nguyên lý này dễ dàng suy ra được tính duy nhất nghiệm của bài toán
Dirichlet và bài toán Neumann.
Luận văn cũng trình bày ứng dụng của Nguyên lý cực đại vào việc nghiên
cứu các tính chất định tính của nghiệm bài toán Dirichlet đối với phương
trình elliptic tổng quát không thuần nhất, đánh giá độ lớn của ẩn hàm, độ
lớn đạo hàm cấp một của ẩn hàm và chứng minh bất đẳng thức Harnack
đối với nghiệm của phương trình thuần nhất trên mặt phẳng.

2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nhằm mục đích trình bày một cách hệ thống các Nguyên lý
cực đại mạnh và Nguyên lý cực đại yếu đối với phương trình elliptic tuyến
tính cấp hai tổng quát thuần nhất và các ứng dụng của chúng vào việc


nghiên cứu các tính chất định tính của nghiệm phương trình thuần nhất

và không thuần nhất.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nhiệm vụ chính của nghiên cứu là phát biểu và chứng minh các Nguyên
lý cực đại mạnh và yếu đối với nghiệm của các phương trình elliptic tuyến
tính cấp hai tổng quát thuần nhất và các ứng dụng của chúng vào việc
nghiên cứu phương trình không thuần nhất.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu là đánh giá độ lớn đối với nghiệm
của các phương trình elliptic tuyến tính cấp hai tổng quát thuần nhất và
không thuần nhất.

5. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn dùng các công cụ của Giải tích toán học đối với hàm của một
hoặc nhiều biến số và của Giải tích hàm tuyến tính.

6. Dự kiến đóng góp mới
Luận văn là một tài liệu tham khảo và bổ sung đối với lý thuyết định
tính về các Nguyên lý cực đại mạnh và yếu đối với nghiệm của các phương
trình elliptic tuyến tính cấp hai tổng quát thuần nhất và một số áp dụng
của các nguyên lý này.

2


3

Chương 1
Các nguyên lý cực đại

1.1

Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng
tổng quát

Xét các toán tử vi phân elliptic tuyến tính tổng quát dạng

Lu = aij (x) Dij u + bi (x) Di u + c (x) u, aij = aji

(1.1)

trong đó x = (x1 ; x2 ; ....; xn ) nằm trong miền Ω của Rn , n ≥ 2; u = u(x) ∈

C 2 (Ω) . Ở đây có quy ước phép lấy tổng theo chỉ số lặp từ 1 đến n. L sẽ
luôn kí hiệu là toán tử (1.1).
Ta đưa ra các định nghĩa sau:

L là elliptic tại một điểm x ∈ Ω nếu ma trận các hệ số aij (x) là xác định
dương; từ đó, nếu kí hiệu λ (x) , Λ (x) lần lượt là giá trị riêng cực tiểu và
giá trị riêng cực đại của aij (x) , thì

0 < λ (x) |ξ|2 ≤ aij (x) ξi ξj ≤ Λ (x) |ξ|2

(1.2)

với mọi ξ = (ξ1 ; ...., ξn ) ∈Rn \ {0} .
Nếu λ(x) > 0 trong Ω, thì L là elliptic trong Ω và là elliptic ngặt nếu

λ(x) ≥ λ0 > 0 với hằng số λ0 nào đó. Nếu Λ(x)/λ(x) là bị chặn trong Ω,
ta sẽ gọi L là elliptic đều trong Ω.

Ví dụ: Toán tử D11 + x1 D22 là elliptic ngặt và là elliptic đều trong các


dải có dạng (α, β) × R trong đó 0 < α < β < ∞, nhưng không là elliptic
ngặt và không là elliptic đều trong nửa mặt phẳng x1 > 0.
Thật vậy, ta có a11 = 1, a22 = x1 > 0, a12 = a21 = 0. Vậy aij (x) là xác
định dương. Lại có

λ (x) ξ12 + ξ22 ≤ ξ12 + x1 ξ22 ≤ Λ (x) ξ12 + ξ22 ,
với λ (x) = min (1, x1 ) , Λ (x) = max (1, x1 ) .
Từ giả thiết x1 > 0 và cách xác định λ(x) ta có λ(x) > 0 trong Ω, do
vậy D11 + x1 D22 là elliptic. Giả sử 0 < α < x1 < β. Khi đó, nếu ta chọn

λ0 = min (1, α) suy ra D11 + x1 D22 là elliptic ngặt. Lại có
Λ (x) max (1; x1 ) max (1; β)
=
≤
∀x ∈ Ω;
λ (x)
min (1; x1 )
min (1; α)
do đó D11 + x1 D22 là elliptic đều.
Vậy toán tử D11 + x1 D22 là elliptic và là elliptic ngặt và là elliptic đều
trong các dải có dạng (α, β) × R trong đó 0 < α < β < ∞, nhưng toán
tử D11 + x1 D22 không là elliptic ngặt và không là elliptic đều trong nửa
mặt phẳng x1 > 0 (vì không có λ0 > 0 để λ(x) ≥ λ0 > 0 và Λ(x)/λ(x)
không bị chặn trong Ω).
Nhiều kết quả liên quan đến các toán tử elliptic có dạng (1.1), yêu cầu
thêm các điều kiện đối với các số hạng cấp dưới bi Di u, cu. Điều kiện

bi (x)
≤ const < ∞, i = 1, ..., n, x ∈ Ω
λ (x)

(1.3)

sẽ được giả thiết xuyên suốt trong luận văn. Sau đó bằng việc đặt

L = λ−1 .L ta có thể đưa về trường hợp trong đó λ(x) = 1 và bi (x) là bị
chặn. Nếu thêm vào đó, L là elliptic đều, ta cũng có thể lấy aij (x) là bị
chặn. Chú ý rằng nếu các hệ số aij (x), bi (x) là liên tục trong Ω thì trên
miền con bị chặn bất kỳ Ω ⊂⊂ Ω, L là elliptic đều và (1.3) đúng. Hệ số
4


c(x) cũng sẽ được hạn chế nhưng sẽ được đưa ra với các giả thiết thích
hợp.

1.2

Nguyên lý cực đại yếu

Nguyên lý cực đại là một đặc điểm quan trọng của các phương trình
elliptic cấp hai và là sự khác biệt của chúng với các phương trình cấp cao
hơn và các hệ phương trình. Thêm vào đó, để các ứng dụng của nó nhiều
hơn, Nguyên lý cực đại tạo ra đánh giá theo từng điểm. Trong luận văn
này, hầu hết các kết quả sẽ dựa duy nhất vào tính elliptic của L và không
dựa vào các tính chất đặc biệt của hệ số (như tính trơn). Tính tổng quát
này tạo ra tính hữu dụng của Nguyên lý cực đại trong tiên đoán ước lượng
các nghiệm, đặc biệt trong các bài toán không tuyến tính.

Định lý 1.2.1. (Nguyên lý cực đại yếu). Cho L là elliptic trong miền bị
chặn Ω. Giả sử rằng trong Ω,

Lu ≥ 0, c (x) ≡ 0
với u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω). Khi đó cực đại của u trong Ω đạt được trên ∂Ω,
đó là,

sup u = sup u.
Ω

(1.4)

∂Ω

Trong trường hợp Lu ≤ 0 ta cũng thu được kết quả tương tự cho cận dưới
đúng, đó là,

inf u = inf u.
Ω

∂Ω

(1.5)

Rõ ràng các kết luận trên vẫn đúng nếu bi (x) /λ(x) chỉ bị chặn địa
phương trong Ω, ví dụ nếu aij (x), bi (x) ∈ C 0 (Ω). Cũng như nếu u không
5


được giả thiết là liên tục trong Ω, kết luận (1.4),(1.5) có thể thay bởi

sup u = lim sup u (x) inf u = lim inf u (x) .
Ω

Ω

x→∂Ω

(1.6)

x→∂Ω

Chứng minh. Trước tiên xét trường hợp Lu > 0 trong Ω. Khi đó ta sẽ chỉ
ra rằng cực đại của hàm u trong Ω không thể đạt được tại một điểm bên
trong Ω. Thật vậy, giả sử

max u (x) = u (x0 ) , x0 ∈ Ω;
Ω

suy ra Du (x0 ) = 0 và ma trận D2 u (x0 ) = [Dij u (x0 )] là không dương.
Nhưng ma trận aij (x0 ) là dương do L là elliptic. Do đó

Lu (x0 ) = aij (x0 ) Dij u (x0 ) ≤ 0, mâu thuẫn với trường hợp đang xét là
Lu(x) > 0 trong Ω. Từ đó suy ra: Nếu Lu > 0 trong Ω thì cực đại của
hàm u trong Ω đạt được trên ∂Ω.
Xét trường hợp Lu ≥ 0 trong Ω. Theo giả thiết (1.3), bi /λ ≤ b0 = constant,
|b1 |
ta có λ ≤ b0 , suy ra b1 ≥ −b0 λ. Bởi vậy, từ a11 ≥ λ, có hằng số γ đủ lớn
sao cho

Leγx1 = γ 2 a11 + γb1 eγx1 ≥ λ γ 2 − γb0 > 0.
Từ đó với mọi ε > 0, L (u + εeγx1 ) > 0 trong Ω và theo như chứng minh
ở bên trên ta có

sup (u + εeγx1 ) = sup (u + εeγx1 ) .
Ω

∂Ω

Trong đẳng thức trên, cho ε → 0, ta thấy rằng sup u = sup u, suy ra
Ω

∂Ω

khẳng định trong định lý.
Chú ý. Rõ ràng từ chứng minh trên ta suy ra rằng Nguyên lý cực đại yếu
sẽ đúng với giả thiết yếu hơn, mà ma trận hệ số aij (x) là không âm và
với k nào đó tỷ số bk (x) /akk (x) là bị chặn địa phương.
6


Ta sẽ đưa vào thuật ngữ sau được gợi ý từ Nguyên lý cực đại: Một hàm
thỏa mãn Lu = 0 (≥ 0; ≤ 0) trong Ω là một nghiệm (nghiệm dưới, nghiệm
trên) của Lu = 0 trong Ω. Khi L là Laplacian, tương ứng ta có hàm điều
hòa, hàm dưới điều hòa, hàm trên điều hòa.
Hệ quả 1.2.1. Cho L là elliptic trong miền bị chặn Ω.Giả sử rằng c (x) ≤

0, x ∈ Ω;

u ∈ C 0 Ω . Đặt u+ = max (u; 0) , u− = min (u; 0) . Khi đó

ta có:
a) Nếu Lu ≥ 0 trong Ω, thì

sup u ≤ sup u+ ;
Ω

∂Ω

b) Nếu Lu ≤ 0 trong Ω, thì

inf u ≥ inf u− ;
Ω

∂Ω

c) Nếu Lu = 0 trong Ω, thì

sup |u| = sup |u| .
Ω

(1.7)

∂Ω

Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh mệnh đề a).
Xét tập con Ω+ ⊂ Ω trong đó u > 0. Nếu Lu ≥ 0 trong Ω, thì
+

L0 u = aij Dij u + bi Di u ≥ −cu ≥ 0 trong Ω+ , nên cực đại của u trên Ω

+

phải đạt được trên ∂Ω và từ đó cũng đạt được trên ∂Ω. Vì vậy,

sup u ≤ sup u+ ≤ sup u+
Ω

Ω+

Ω

≤ sup u+ =
∂Ω+

sup
(∂Ω+ ∩∂Ω)∪(∂Ω+ ∩Ω)

≤ sup u+
∂Ω+ ∩∂Ω

≤ sup u+ .
∂Ω

7

u+


b) Nếu Lu ≤ 0 trong Ω thì L(−u) = −L (u) ≥ 0 trong Ω, nên ta có

sup (−u) ≤ sup (−u)+ ,
Ω

∂Ω

do đó

− inf u ≤ − inf u− ,
Ω

∂Ω

từ đó suy ra

inf u ≥ inf u− .
Ω

∂Ω

c) Nếu Lu = 0 trong Ω thì áp dụng các kết quả ở bên trên ta có

sup (−u) ≤ sup (−u)+ ,
Ω

∂Ω

inf u ≥ inf u− .
Ω

∂Ω

Trước tiên ta sẽ chứng minh

sup |u| ≤ sup |u| .
Ω

∂Ω

Thật vậy, ta có

|u| = max u+ , −u− ,
sup |u| = sup max u+ , −u−
Ω

Ω

= max sup u+ , sup(−u− ) = max sup u+ , − inf u−
Ω

Ω

≤ max sup u+ , − inf u−
∂Ω

Ω

Ω

= max sup u+ , sup(− u− )

∂Ω

∂Ω
+

∂Ω
−

= sup max (u , −u ) = sup |u|
∂Ω

Vậy ta đã chứng minh được: sup |u| ≤ sup |u| .
Ω

∂Ω

Mặt khác

sup |u| ≥ sup |u| ;
Ω

∂Ω

từ đó suy ra

sup |u| = sup |u| .
Ω

∂Ω

8

∂Ω


Trong hệ quả này, điều kiện c(x) ≤ 0 trong Ω không thể được làm yếu
hơn để cho phép c(x) nhận giá trị dương trong Ω. Điều này là rõ ràng từ
sự tồn tại của giá trị riêng dương κ với bài toán : ∆u + κu = 0, u = 0
trên ∂Ω có nghiệm u (x) = 0. Một ứng dụng trực tiếp và quan trọng của
Nguyên lý cực đại yếu là vào bài toán về tính duy nhất và tính liên tục
phụ thuộc của nghiệm trên các giá trị biên của chúng.

1.3

Nguyên lý cực đại mạnh

Mặc dù Nguyên lý cực đại yếu đủ cho hầu hết các ứng dụng, chúng ta
thường cần có dạng mạnh hơn để loại trừ trường hợp cực đại không tầm
thường bên trong miền. Ta sẽ thu được kết quả như vậy cho toán tử elliptic
đều địa phương trong định lý dưới đây. Miền Ω được nói thỏa mãn điều
kiện mặt cầu trong tại x0 ∈ ∂Ω nếu tồn tại một hình cầu B ⊂ Ω với

x0 ∈ ∂B, (do vậy, phần bù của Ω thỏa mãn điều kiện mặt cầu ngoài tại
x0 ).
Định lý 1.3.1. Giả sử rằng L là elliptic đều, c (x) ≡ 0 và Lu ≥ 0 trong

Ω. Giả sử x0 ∈ ∂Ω là điểm thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) u là liên tục tại x0 ;
(ii) u(x0 ) > u(x), ∀x ∈ Ω;
(iii) ∂Ω thỏa mãn điều kiện mặt cầu trong tại x0 .

Khi đó đạo hàm theo hướng pháp tuyến ngoài của u tại x0 , nếu nó tồn tại,
thì nó dương

∂u
(x0 ) > 0.
(1.8)
∂ν
Nếu c(x) ≤ 0 và c(x)/λ(x) là bị chặn, thì kết luận trên vẫn đúng với
u (x0 ) ≥ 0; và nếu u (x0 ) = 0, kết luận nêu trên vẫn đúng mà không phụ
thuộc vào dấu của c.

9


Chứng minh. Từ Ω thỏa mãn điều kiện mặt cầu trong tại x0 , tồn tại hình
cầu B = BR (y) ⊂ Ω với x0 ∈ ∂B. Cho 0 < ρ < R, ta đưa vào hàm v bởi
định nghĩa
2

2

v(x) = e−αr − e−αR ,
trong đó r = |x − y| > ρ và α là hằng số dương đã xác định. Tính toán
trực tiếp với c ≤ 0 cho trước
2

Lv (x) = e−αr 4α2 aij (xi − yi ) (xj − yj ) − 2α aij + bi (xi − yi )
2

≥ e−αr 4α2 λ (x) r2 − 2α aii + |b| r + c

+ cv

, b = b1 , . . . , b n .

Ta giả thiết aii (x)/λ(x), |b| (x)/λ(x) và c(x)/λ(x) là bị chặn. Đại lượng α
phải chọn đủ lớn để Lv ≥ 0 khắp miền vành khuyên A = BR (y) \Bρ (y) .
Từ u − u (x0 ) < 0 trên ∂Bρ (y) có một hằng số dương ε > 0 mà

u − u (x0 ) + εv ≤ 0 trên ∂Bρ (y) . Bất đẳng thức này cũng thỏa mãn trên
∂Bρ (y) trong đó v = 0. Vì thế ta có L (u − u (x0 ) + εv) ≥ −cu (x0 ) ≥ 0
trong A, và u − u (x0 ) + εv ≤ 0 trên ∂A. Nguyên lý cực đại yếu (Hệ quả
1.2.1) dẫn đến u − u (x0 ) + εv ≤ 0 xuyên suốt A. Lấy đạo hàm theo hướng
pháp tuyến ngoài tại x0 , ta thu được, như yêu cầu,

∂υ
∂u
(x0 ) ≥ −ε (x0 ) = −ευ (R) > 0.
∂ν
∂ν
Cho c có dấu tùy ý, nếu u (x0 ) = 0 lập luận bên trên vẫn còn đúng nếu L
được thay thế bởi L − c+ .
Tổng quát hơn, có thể có hoặc không sự tồn tại của đạo hàm theo hướng
pháp tuyến, ta nhận được

lim inf
x→∂Ω

u (x0 ) − u (x)
> 0,

|x − x0 |

(1.9)

trong đó góc giữa vector x0 − x và vector pháp tuyến tại x0 là nhỏ hơn
π
2

− δ với δ > 0 nào đó.
10


Mặc dù điều kiện mặt cầu trong có thể giảm nhẹ, song không thể đảm
bảo khẳng định (1.9) trừ khi có giả thiết về tính trơn thích hợp của ∂Ω
tại x0 . Ví dụ cho L = ∆ và Ω ⊂ R2 là miền nửa phẳng phải với

u = Re (z/ log z) < 0. Một tính toán sơ cấp chỉ ra rằng ∂Ω ⊂ C 1 gần
z = 0 và ux (0, 0) = 0, vì thế (1.9) là sai.
Bây giờ ta có thể dẫn tới Nguyên lý cực đại mạnh sau của E. Hopf.
Định lý 1.3.2. (Nguyên lý cực đại mạnh). Cho L là elliptic đều, c(x) = 0
và Lu ≥ 0 (≤ 0) trong miền Ω (không nhất thiết là bị chặn). Khi đó nếu
u đạt được cực đại (cực tiểu) ở bên trong Ω, thì u là một hằng số. Nếu

c(x) ≤ 0 và c(x)/λ(x) là bị chặn, thì u không thể đạt được cực đại không
âm (cực tiểu không dương) ở bên trong Ω trừ khi nó là hằng số.
Kết luận hiển nhiên vẫn còn đúng nếu L chỉ là elliptic đều địa phương
và bi (x) /λ(x), c(x)/λ(x) chỉ là bị chặn địa phương.
Chứng minh. Ta giả sử rằng u không là hằng số nhưng lại có cực đại M ≥ 0
trong Ω, thì tập Ω− trên u < M thỏa mãn Ω− ⊂ Ω và ∂Ω− ∩ Ω = ∅. Cho

x0 là một điểm trong Ω− mà đóng ∂Ω− với hơn ∂Ω, và xét hình cầu lớn
nhất B ⊂ Ω− có x0 là tâm. Khi đó u(y) = M với một vài điểm y ∈ ∂B
trong đó u < M trong B. Bổ đề trên dẫn tới Du(y) = 0, mà không thể
đạt cực đại trong y.
Nếu c < 0 tại một điểm nào đó, thì hằng số của định lý hiển nhiên bằng
không. Cũng như, nếu u = 0 tại một điểm cực đại (cực tiểu), thì từ chứng
minh của định lý ta suy ra rằng u ≡ 0, không phụ thuộc vào dấu của c.
Có thể chứng minh Nguyên lý cực đại mạnh trực tiếp qua Định lý 1.2.1
và Định lý 1.3.1.

11


1.4

Tính duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet
và bài toán Neumann

1.4.1

Tính duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet

1.4.1.1 Bài toán Dirichlet
Giả sử Ω ⊂ Rn , n ≥ 2 với mặt biên ∂Ω kín, bị chặn, trơn từng mảnh và

f (x), x = (x1 , x2 , ..., xn , ...) là một hàm cho trước, liên tục trên ∂Ω, g(x) ∈
C 2 Ω , u(x) ∈ C 2 (Ω) ,L là elliptic trong Ω. Tìm u(x) sao cho
Lu = f (x), x ∈ Ω,
u(x) = g(x), x ∈ ∂Ω.
1.4.1.2 Định lý về tính duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet

Từ Hệ quả 1.2.1 ta có kết luận tính duy nhất của bài toán Dirichlet cổ
điển
Định lý 1.4.1. Cho L là elliptic trong Ω với c(x) ≤ 0 trong Ω. Giả sử
rằng u và v là các hàm trong C 2 (Ω) ∩ C 0 Ω , thỏa mãn Lu = Lv trong

Ω, u = v trên ∂Ω. Khi đó u = v trong Ω. Nếu Lu ≥ Lv trong Ω và u ≤ v
trên ∂Ω, thì u ≤ v trong Ω.
Chứng minh. Đặt w = u − v.
Giả sử Lu = Lv trong Ω, u = v trên ∂Ω.
Ta thấy Lw = L(u − v) = Lu − Lv = 0, x ∈ Ω. Suy ra áp dụng Hệ quả
1.2.1 ta có sup |w| = sup |w| .
Ω

∂Ω

Mặt khác giả thiết u = v, x ∈ ∂Ω nên ta có w = u − v = 0, x ∈ ∂Ω; do
vậy sup |w| = 0. Từ đó suy ra sup |w| = 0, dẫn đến w = 0, x ∈ Ω. Bởi
∂Ω

Ω

thế u = v trong Ω.
Nếu Lu ≥ Lv trong Ω và u ≤ v trên ∂Ω. Đặt w+ = max (w; 0) .

12


Ta thấy Lw = L(u − v) = Lu − Lv ≥ 0, x ∈ Ω. Suy ra áp dụng Hệ quả
1.2.1 ta có sup w ≤ sup w+ . Mặt khác u ≤ v trên ∂Ω nên w = u − v ≤
Ω

∂Ω
+

0, x ∈ ∂Ω; do vậy w = max (w; 0) = 0, x ∈ ∂Ω. Suy ra sup w+ = 0, do
∂Ω

đó ta có sup w = 0; dẫn đến w ≤ 0, x ∈ Ω. Bởi vậy u ≤ v, x ∈ Ω.
Ω

1.4.2

Tính duy nhất nghiệm của bài toán Neumann

1.4.2.1. Bài toán Neumann
Giả sử Ω ⊂ Rn , n ≥ 2 với mặt biên ∂Ω kín, bị chặn, trơn từng mảnh thỏa
mãn điều kiện mặt cầu trong và f (x), x = (x1 , x2 , ..., xn , ...) là một hàm
cho trước, liên tục trên ∂Ω, g(x) ∈ C 2 Ω , u ∈ C 2 (Ω) , L là elliptic trong

Ω. Tìm u(x) sao cho
Lu = f (x), x ∈ Ω,
∂u(x)
= ϕ(x), x ∈ ∂Ω,
∂ν(x)
với ν là vector pháp tuyến ngoài đơn vị tại x ∈ ∂Ω.
1.4.2.2 Định lý về tính duy nhất nghiệm của bài toán Neumann
Ta có định lý tính duy nhất sau đây với bài toán Neumann cổ điển.
Định lý 1.4.2. Cho u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 Ω , là một nghiệm của Lu = 0
trong miền bị chặn Ω, trong đó L là elliptic đều, c ≤ 0, c/λ bị chặn và

Ω thỏa mãn điều kiện mặt cầu trong tại mỗi điểm của ∂Ω. Nếu đạo hàm
theo hướng pháp tuyến ngoài xác định mọi nơi trên ∂Ω và ∂u/∂ν = 0 trên

∂Ω, thì u là hằng số trong Ω. Nếu c < 0 tại một điểm nào đó trong Ω, thì
u ≡ 0.
Chứng minh. Trước tiên ta chỉ ra rằng, nếu đạo hàm theo hướng pháp
tuyến ngoài xác định mọi nơi trên ∂Ω và ∂u/∂ν = 0 trên ∂Ω, thì u là
hằng số trong Ω. Thật vậy, nếu ngược lại u = const thì ta có thể giả sử
một trong hai hàm u hoặc –u đạt cực đại không âm M tại một điểm x0
13


trên ∂Ω và nhỏ hơn M trên ∂Ω. Áp dụng Định lý 1.3.1, tại x0 ta kết luận
rằng ∂u/∂ν (x0 ) = 0, mâu thuẫn với giả thiết.
Nếu c(x) < 0 tại một điểm nào đó trong Ω, thì theo Nguyên lý cực đại

u ≡ 0.
Kết quả của Định lý 1.4.2 cũng có thể mở rộng với bài toán đạo hàm
nghiêng. Song khi ∂Ω có điểm góc hoặc cạnh biên, trong đó, đạo hàm của
u không xác định, các kết quả của định lý nói chung là không đúng, mặc
dù nếu u giả sử liên tục trên Ω.
Hệ quả 1.4.1. Cho L là elliptic trong Ω với c ≤ 0. Giả sử rằng u và v là
các hàm trong C 2 (Ω) ∩ C 0 Ω thỏa mãn: Lu = Lv trong Ω, và

∂u
∂ν

=

∂v

∂ν

trên ∂Ω. Khi đó u − v là hằng số trong Ω. Nếu c < 0 tại một điểm nào đó
trong Ω thì u = v trong Ω.
Chứng minh. Đặt w = u − v. Nhận thấy

Lw = L(u − v) = Lu − Lv = 0, x ∈ Ω,
∂w
∂(u − v) ∂u ∂v
=
=
−
= 0, x ∈ ∂Ω.
∂ν
∂ν
∂ν ∂ν
Mặt khác giả thiết cho c ≤ 0, suy ra theo Định lý 1.4.2 thì w = u − v
là một hằng số trong Ω; và nếu c < 0 tại một điểm nào đó trong Ω thì

w = u − v ≡ 0, do vậy u = v.

14


15

Chương 2
Ứng dụng của nguyên lý cực đại
2.1

Đánh giá độ lớn của ẩn hàm đối với phương
trình không thuần nhất

Nguyên lý cực đại cũng tạo ra một ước lượng theo từng điểm đối với các
nghiệm của phương trình không thuần nhất Lu = f trong các miền bị
chặn. Các đánh giá dưới đây chỉ dùng đến giả thiết tính elliptic và tính bị
chặn của các hệ số. Điều này dẫn tới sự các áp dụng trong các bài toán
phi tuyến tính.
Định lý 2.1.1. Cho Lu ≥ f (= f ) trong miền bị chặn Ω, trong đó L là
elliptic, c(x) ≤ 0, và u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 Ω , khi đó

sup u (|u|) ≤ sup u+ (|u|) + C sup
Ω

∂Ω

Ω

|f − |
λ

|f |
,
λ

(2.1)

trong đó C là một hằng số chỉ phụ thuộc vào đường kính Ω và

β = sup (|b(x)| /λ(x)) . Đặc biệt, nếu Ω nằm giữa hai mặt phẳng song

song cách nhau một khoảng d, thì (2.1) thỏa mãn với C = e(β+1)d − 1.
Chứng minh. Cho Ω nằm trong miền 0 < x1 < d, và tập

L0 = aij Dij + bi Di .


Cho α ≥ β + 1 ta có

L0 eαx1 = α2 a11 + αb1 eαx1 ≥ λ α2 − αβ eαx1 ≥ λ.
Cho

v = sup u+ + eαd − eαx1 sup
Ω

∂Ω

Thì, từ

|f − |
.
λ

|f − |
,
Lv = L0 v + cv ≤ −λ sup
λ
∂Ω
−

L(v − u) ≤ −λ sup |fλ | +

Ω

f
λ

≤ 0 trong Ω,

và v − u ≥ 0 trên ∂Ω. Từ đó, với C = eαd − 1 và α ≥ β + 1, ta thu được
kết quả cần có cho trường hợp Lu ≥ f,

|f − |
sup u ≤ sup v ≤ sup u + C sup
.
λ
Ω
Ω
Ω
∂Ω
+

Thế u bởi –u, ta thu được (2.1) cho trường hợp Lu = f.
Khi điều kiện c(x) ≤ 0 không được thỏa mãn, thì vẫn có thể đưa ra
đánh giá tiên nghiệm tương tự với (2.1) nếu giả thiết miền Ω nằm giữa hai
mặt phẳng song song khá gần nhau.
Hệ quả 2.1.1. Cho Lu = f nằm trong miền bị chặn Ω, trong đó L là
elliptic và u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 Ω . Cho C là hằng số của Định lí 2.1.1 và giả
sử rằng

C1 = 1 − C sup
Ω

Khi đó



sup |u| ≤
Ω

c+
> 0.
λ

(2.2)


|f |
1 
sup |u| + C sup  .
C1 ∂Ω
Ω λ

16

(2.3)


Chú ý. Từ C = e(β+1)d − 1 là một giá trị có thể của hằng số trong (2.1),
trong đó d là một miền rộng của miền bất kỳ chứa Ω, điều kiện (2.2) sẽ
được thỏa mãn trong miền đủ hẹp trong đó các đại lượng |b(x)| /λ(x) và

c(x)/λ(x) bị chặn trên. Nếu c+ ≡ 0 (với c(x) ≤ 0), thì C1 = 1 và (2.3) rút
gọn về (2.1).
Chứng minh. (Hệ quả 2.1.1). Viết lại Lu = (L0 + c) u = f trong dạng

L0 + c− u = f ≡ f + c− − c u = f − c+ u.
Từ (2.1) ta thu được

sup |u| ≤ sup |u| + C sup
Ω

Ω

∂Ω

|f |
λ

≤ sup |u| + C sup |fλ| + sup |u| sup cλ

+

Ω

∂Ω

Ω

Ω

Bất đẳng thức này và (2.2) dẫn đến (2.3).

Một kết quả trực tiếp của Hệ quả 2.1.1 là tính duy nhất của các nghiệm
của bài toán Dirichlet trong miền đủ nhỏ (nếu các cận trên của các đại
lượng |b(x)| /λ(x) và c(x)/λ(x) đã được cố định).

2.2

Đánh giá độ lớn đối với đạo hàm cấp một của
nghiệm phương trình Poisson

Nguyên lý cực đại cũng có thể được dùng ước lượng đối với các đạo hàm
của các nghiệm nếu ta thêm điều kiện áp đặt lên phương trình. Để minh
họa phương pháp ta ước lượng đối với phương trình Poisson.
Cho ∆u = f trong hình lập phương

Q = {x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn | |xi | < d, i = 1, ..., n} ,

17


với u ∈ C 2 (Q) ∩ C 0 Q và f bị chặn trong Q. Ta sẽ dẫn ra các ước lượng

|Di u (0)| ≤

n
d
sup |u| + sup |f |, i = 1, ..., n.
d ∂Q
2 Q

(2.4)

Trong nửa lập phương

Q = {(x1 , ..., xn ) | |xi | < d, i = 1, ..., n − 1, 0 < xn < d} ,
xét hàm

1
[u (x , xn ) − u (x , −xn )] ,
2
trong đó ta viết x = (x1 , ..., xn−1 ) và x = (x , xn ) . Thấy rằng
ϕ (x , xn ) =

ϕ (x , 0) = 0, sup |ϕ| ≤ M = sup |u| ,
∂Q

∂Q

và |∆ϕ| ≤ N = sup |f | trong Q’. Cũng xét hàm
Q

ψ (x , xn ) =

M
xn
2
(x
,
x
)
|x

|
+
x
(nd
−
(n
−
1)
x
)
+
N
(d − xn ) .
n
n
n
d2
2

Hiển nhiên ϕ (x , xn ) ≥ 0 trên xn = 0 và ψ ≥ M trên một phần còn lại của

∂Q ; cũng như |∆ψ| = −N. Từ đó ∆ (ψ ± ϕ) ≤ 0 trong Q’ và ψ ± ϕ ≥ 0
trên ∂Q , từ đó áp dụng Nguyên lý cực đại ta có |ϕ (x , xn )| ≤ ψ (x , xn )
trong Q’. Cho x = 0 trong biểu diễn của ϕ và ψ, thì chia cho xn và cho

xn dần tới 0, ta thu được
|Dn u (0)| = lim

xn →0

n
d
ϕ (0, xn )
≤ M + N,
xn
d
2

đấy là ước lượng khẳng định (2.4) cho i = n. Kết quả tương tự đối với
đạo hàm của các biến còn lại. Nếu f = 0, (2.4) tạo ra chứng minh độc lập
(ước lượng) của biên gradient cho hàm điều hòa.
Từ (2.4) ta kết luận rằng trong miền Ω bất kỳ một nghiệm bị chặn u
của ∆u = f thỏa mãn một ước lượng

sup dx |Du (x)| ≤ C sup |u| + sup d2x |f (x)| ,
Ω

Ω

18

Ω

(2.5)