Đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục trong không gian banach và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HÀ THỊ HÒA

ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL
CỦA TẬP HÚT TOÀN CỤC
TRONG KHÔNG GIAN BANACH
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS Cung Thế Anh

HÀ NỘI, 2016


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến PGS.TS Cung
Thế Anh, người thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn
để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học,
các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng
nghiệp đã cổ vũ, động viên, tạo điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Hà Thị Hòa


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS.TS Cung
Thế Anh, luận văn chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài:“Đánh giá số
chiều fractal của tập hút toàn cục trong không gian Banach và
ứng dụng ” được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân
tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Hà Thị Hòa


2

Mục lục

Mở đầu

3

1 Đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục trong không

2

gian Banach

6

1.1

Tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Khái niệm, tính chất của số chiều fractal

. . . . . . . . . .

8

1.3

Định lí về đánh giá số chiều fractal . . . . . . . . . . . . . .

9

Một số ứng dụng

15

2.1

Áp dụng cho một lớp phương trình vi phân thường . . . . . 15

2.2

Áp dụng cho một lớp phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến
tính loại parabolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Kết luận
Tài liệu tham khảo

21
22


3

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm khi thời gian ra vô cùng của
các hệ động lực vô hạn chiều sinh bởi các phương trình đạo hàm riêng phi
tuyến hoặc các phương trình vi phân hàm là một bài toán quan trọng và
có nhiều ý nghĩa thực tiễn. Một trong những cách tiếp cận bài toán này
đối với các hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều là nghiên cứu sự tồn tại và
các tính chất của tập hút toàn cục. Đó là một tập compact, bất biến, hút
các tập bị chặn và chứa đựng nhiều thông tin về dáng điệu tiệm cận của
hệ đang xét. Cụ thể ta có thể xấp xỉ dáng điệu tiệm cận nghiệm của một
quỹ đạo bất kì của hệ đang xét bằng các quỹ đạo nằm trên tập hút toàn
cục.
Một vấn đề quan trọng cần nghiên cứu là đánh giá chặn trên của số
chiều fractal của tập hút toàn cục, bởi vì theo định lí H¨older-Mané cải biên

ta biết rằng nếu một tập hút toàn cục có số chiều fractal hữu hạn thì, về
nguyên tắc, ta có thể chuyển việc nghiên cứu hệ động lực trên tập hút về
nghiên cứu các hệ động lực trong không gian hữu hạn chiều.
Trong những năm qua, đã có nhiều kết quả tổng quát về đánh giá số
chiều fractal của tập hút toàn cục và áp dụng chúng cho tập hút toàn cục
của nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng cụ thể, xem [6]. Tuy nhiên,
phần lớn các kết quả đã có mới dừng lại trong trường hợp tập hút toàn


4

cục trong không gian Hilbert. Các kết quả về tương ứng trong trường hợp
tập hút toàn cục trong không gian Banach vẫn còn ít. Vì vậy, chúng tôi
chọn vấn đề này làm đề tài nghiên cứu của luận văn.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu việc đánh giá chặn trên của số chiều fractal của tập hút toàn
cục trong không gian Banach. Áp dụng kết quả tổng quát này để chứng
minh tính hữu hạn chiều của tập hút toàn cục của một số lớp phương trình
cụ thể.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Đánh giá chặn trên của số chiều fractal của tập hút toàn cục trong
không gian Banach.

• Áp dụng xét tính hữu hạn chiều của tập hút toàn cục của một số lớp
phương trình cụ thể.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Tập hút toàn cục của hệ động lực tiêu hao vô

hạn chiều và số chiều fractal của nó.

• Phạm vi nghiên cứu: Chặn trên của số chiều fractal của tập hút toàn
cục trong không gian Banach. Áp dụng cho tập hút của một số lớp phương
trình cụ thể.


5

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn
chiều.

6. Kết quả trình bày của luận văn
• Thiết lập được kết quả tổng quát về đánh giá chặn trên của số chiều
fractal của tập hút toàn cục trong không gian Banach.

• Áp dụng được các kết quả tổng quát để xét tính hữu hạn chiều của
tập hút toàn cục của một lớp phương trình vi phân thường và một
lớp phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính loại parabolic.


6

Chương 1
Đánh giá số chiều fractal của tập
hút toàn cục trong không gian
Banach
Chương này trình bày các khái niệm và kết quả cơ bản về sự tồn tại
của tập hút toàn cục; khái niệm và các tính chất của số chiều fractal của

tập hút toàn cục; thiết lập kết quả tổng quát về đánh giá chặn trên của
số chiều fractal của tập hút toàn cục trong không gian Banach.

1.1

Tập hút toàn cục

Mục này trình bày các định nghĩa về nửa nhóm liên tục, tập hút toàn
cục, tập hấp thụ và trình bày định lí cơ bản về sự tồn tại tập hút toàn
cục. Mục này được viết chủ yếu dựa trên tài liệu [2].

Giả sử X là không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.1. Một họ các ánh xạ liên tục

S (t) : X → X , t ≥ 0,
gọi là một nửa nhóm liên tục trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
1. S(0) = Id;


7

2. S(t + s) = S(t)S(s), ∀t, s ≥ 0;
3. Với mỗi x0 ∈ X , ánh xạ t → S (t) x0 liên tục trên [0; +∞);
4. Với mỗi t ≥ 0, ánh xạ x0 → S (t) x0 liên tục trên X .
Định nghĩa 1.1.2. Tập con khác rỗng A ⊂ X gọi là tập hút toàn cục của
nửa nhóm S(t) nếu:
1. A là compact;
2. A là bất biến đối với nửa nhóm S(t) , tức là

S (t) A = A, ∀t ≥ 0;

3. A hút mọi tập con bị chặn B ⊂ X , tức là với mọi ε > 0, tồn tại

T = T (ε, B) sao cho
S (t) B ⊂ N (A, ε) , ∀t ≥ T (ε, B) ,
ở đây N (A, ε) là ε-lân cận của tập A trong X .
Tính chất hút 3. tương đương với điều kiện sau đây: Với mọi tập bị chặn

B ⊂ X,
dist (S (t) B, A) → 0 khi t → +∞
ở đó dist(E,F) là nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập E, F ⊂ X , xác
định bởi

dist (E, F ) := sup inf x − y .
x∈E y∈F

Từ định nghĩa suy ra tập hút toàn cục A của nửa nhóm S (t), nếu tồn
tại là duy nhất.


8

Định nghĩa 1.1.3. Tập bị chặn B0 ⊂ X gọi là một tập hấp thụ của nửa
nhóm S (t) nếu với bất kì tập bị chặn B ⊂ X , tồn tại thời điểm T = T (B)
sao cho S (t) B ⊂ B0 với mọi t ≥ T (B).
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử A ⊂ X . Tập ω -giới hạn của A được định nghĩa
bởi

ω(A) =

,

S(t)A
s≥0

t≥s

X

ở đó S(t)A = {v = S(t)u : u ∈ A} và [E]X là bao đóng của E trong X.

Định lí sau đây là định lí cơ bản về sự tồn tại tập hút toàn cục.
Định lí 1.1.1. Giả sử nửa nhóm S (t) trong X là liên tục và có một tập
hấp thụ compact B0 . Khi đó nửa nhóm S (t) có một tập hút toàn cục A và

A = ω (B0 ), tập ω -giới hạn của B0 . Hơn nữa, A là tập liên thông.

1.2

Khái niệm, tính chất của số chiều fractal

Mục này trình bày khái niệm và tính chất của số chiều fractal. Mục này
được viết chủ yếu dựa trên tài liệu [1].
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử M là một tập compact trong không gian metric

X . Khi đó, số chiều fractal của M được định nghĩa bởi

log2 NX (M, )
ln NX (M, )
=
lim

,
→0
→0
log2 ( 1 )
ln( 1 )

dimF M = lim

Ở đó NX (M, ) là số tối thiểu các hình cầu đóng bán kính

cần dùng

để phủ M . Hơn nữa, số H (M ) := log2 NX (M, ) gọi là Kolmogorov
entropy của M .

-


9

Định lí sau đây nói về tính chất của số chiều fractal.
Định lí 1.2.1. (Tính chất của số chiều fractal )
1. Nếu M1 ⊂ M2 thì dimF M1 ≤ dimF M2 .
2. dimF (M1 ∪ M2 ) ≤ max {dimF M1 , dimF M2 }.
3. dimF (M1 × M2 ) ≤ dimF M1 + dimF M2 .
4. Nếu f : X → X liên tục H¨
older với số mũ θ tức là :

|f (x) − f (y)| ≤ L|x − y|θ ,
thì

dimF (f (M )) ≤

1.3

dimF M
.
θ

Định lí về đánh giá số chiều fractal

Mục này trình bày định lí về đánh giá số chiều fractal. Mục này được
viết chủ yếu dựa trên tài liệu [3].
Trước khi nghiên cứu định lí ta xét hai bổ đề sau:
Bổ đề 1.3.1. Nếu U là một không gian con n chiều của không gian Banach
thực X thì

NX (BU (0, r), ρ) ≤ (n + 1)

n

r
ρ

n

,

0 < ρ ≤ r,

(1.1)

trong đó hình cầu được lấy có thể có tâm trong U . Các kết quả tương tự
đúng trong không gian Banach phức nếu ta thay vế phải của (1.1) bởi bình
phương của nó.


10

Chứng minh. Giả sử K = R. Vì U và Rn∞ là n chiều nên dBM (U, Rn∞ ) ≤

log n: cụ thể, tồn tại một đẳng cấu tuyến tính T : Rn∞ → U sao cho
T

T

−1

≤ n. Vì
BU (0, r) = T T −1 (BU (0, r)) ⊆ T (BRn∞ (0, T −1 r)),

và BRn∞ (0, T −1 r) có thể được phủ bởi

T −1 r
1+
ρ/ T

n

= 1+ T

T

−1

n

r
ρ

n

r
≤ 1+n
ρ

≤ (n + 1)

r
ρ

n

n

hình cầu trong Rn∞ có bán kính ρ/ T , điều này suy ra BU (0, r) có thể
được phủ bởi số U - hình cầu bán kính ρ tương tự. Nếu X là phức ta cần

(1 + (a/b))2n b - hình cầu trong Cn∞ để phủ hình cầu bán kính a.
Ta kí hiệu L(X) là không gian các phép biến đổi tuyến tính bị chặn từ

X vào chính nó, K(X) là không gian con đóng của L(X) chứa tất cả các
biến đổi tuyến tính compact từ X vào chính nó và định nghĩa
Lλ (X) = {T ∈ L(X) : T = L + C, C ∈ K(X), L

L(X)

< λ}.

Ta ký hiệu dist(A, B) là bán khoảng cách Hausdorff giữa A và B ,
dist(A, B) = sup inf a − b
a∈A

b∈B

X

.

Bổ đề 1.3.2. Cho X là không gian Banach và T ∈ Lλ/2 (X). Khi đó, tồn
tại một không gian con hữu hạn chiều Z của X sao cho
dist(T [BX (0, 1)], T [BZ (0, 1)]) < λ.

(1.2)

Ta kí hiệu νλ (T ) là giá trị nhỏ nhất của n ∈ N sao cho (1.2) đúng với
không gian con n chiều nào đó của X .
Chứng minh. Viết T = L + C với C ∈ K(X) và L ∈ L(X), với L

L(X)

<

λ/2. Đầu tiên ta sẽ chứng minh với mọi > 0, tồn tại một không gian con


11

hữu hạn chiều Z sao cho
dist(C[BX (0, 1)], C[BZ (0, 1)]) < .
Giả sử có một trường hợp không thỏa mãn. Chọn x1 ∈ X với x1

X

=1

và cho Z1 = span{x1 }. Khi đó,
dist(C[BX (0, 1)], C[BZ1 (0, 1)]) ≥ ,
và cũng tồn tại x2 ∈ X với x2

X

= 1 sao cho

Cx2 − Cx1

X

≥ .

Với Z2 = span{x1 , x2 }, ta có thể tìm được x3 với x3

Cx3 − Cx1

X

≥

và

Cx3 − Cx2

X

X

= 1 sao cho

≥ .

Tiếp tục quá trình quy nạp này, ta có thể xây dựng dãy {xj } với xj = 1
sao cho

Cxi − Cxj

X

≥ ,

i = j,

điều này mâu thuẫn với tính compact của C .
˜ < λ sao cho 2 L L(X) < λ
˜ < λ và chọn Z sao cho
Bây giờ, cho λ

˜
dist(C[BX (0, 1)], C[BZ (0, 1)]) < λ − λ.
Nếu x ∈ BX (0, 1) và z ∈ BZ (0, 1) thì

Tx − Tz

X

≤ L(x − z)

X

+ Cx − Cz

X

˜ + Cx − Cz
≤λ

X.

Nên

˜ + dist(C[BX (0, 1)], C[BZ (0, 1)]) < λ.

dist(T [BX (0, 1)], T [BZ (0, 1)]) ≤ λ
Ta có điều phải chứng minh.


12

Bây giờ ta đi nghiên cứu định lí về đánh giá số chiều fractal.
Định lí 1.3.1. (Định lí về đánh giá số chiều fractal)
Cho X là không gian Banach, U ⊂ X là tập mở và f : U → X là một
ánh xạ khả vi liên tục. Giả sử K là một tập compact và λ ∈ 0, 21 ,

Df (x) ∈ Lλ/2 (X) với mọi x ∈ K.
Khi đó, n = sup νλ (Df (x)) và D = sup Df (x) là hữu hạn và
x∈K

x∈K

D
N (Df (x)[BX (0, 1)], 2λ) ≤ (n + 1)
λ

αn

với mọi x ∈ K,

trong đó α = 1 nếu X là thực và α = 2 nếu X là phức. Từ đó suy ra

dimF (K) ≤ αn

log((n + 1)D/λ)

.
− log(2λ)

Chứng minh. Đầu tiên, ta chứng minh n = sup νλ (Df (x)) là hữu hạn. Với
x∈K

mỗi x ∈ K , tồn tại không gian con tuyến tính hữu hạn chiều Zx sao cho
dist(Df (x)[BX (0, 1)], Df (x)[BZx (0, 1)]) < λ.
Vì Df (.) liên tục nên dẫn đến tồn tại δx > 0 sao cho
dist(Df (y)[BX (0, 1)], Df (y)[BZx (0, 1)]) < λ
với mọi y ∈ BX (x, δx ), tức là νλ (y) ≤ νλ (x) với mọi y . Phủ mở của K có
dạng hợp của các BX (x, δx ) trên x có phủ con hữu hạn,từ đây suy ra khi

n < ∞.
Vì n = sup νλ (Df (x)) < ∞ nên với mỗi x ∈ K tồn tại một không gian
x∈K

con Zx của X với dim(Zx ) ≤ n sao cho
dist(Df (x)[BX (0, 1)], Df (x)[BZx (0, 1)]) < λ.
Để cho đơn giản ký hiệu, ta viết thêm x vào chỉ số dưới lên Zx và viết

T = Df (x).


13

Chú ý rằng T (Z) cũng là một không gian con n chiều của X , ta có
thể sử dụng Bổ đề 1.3.1 để phủ hình cầu BT (Z) (0, T ) với các hình cầu

BX (yi , λ), 1 ≤ i ≤ k sao cho yi ∈ BX (0, T ) với mỗi i và

T
k ≤ (n + 1)
λ

αn

.

Do đó
k

T [BZ (0, 1)] ⊆ BT (Z) (0, T ) = BX (0, T ) ∩ T (Z) ⊆

BX (yi , λ).
i=1

(1.3)
Ta sẽ kết thúc chứng minh bằng việc chứng tỏ
k

BX (yi , 2λ) ⊇ T [BX (0, 1)].
i=1

Thật vậy, nếu x ∈ BX (0, 1) thì từ (1.2) suy ra tồn tại y ∈ T [BZ (0, 1)] sao
cho T x − y

< λ. Vì y ∈ T [BZ (0, 1)] nên từ (1.3) suy ra y − yi

X

X

≤λ

với i ∈ {1, . . . , k} và

T x − yi

X

≤ Tx − y

X

+ y − yi

X

< 2λ,

tức là T x ∈ BX (yi , 2λ).
Kết quả này suy ra phát biểu của định lí vì n đều trên x ∈ K .

Các hệ quả dưới đây là kết quả suy ra từ định lí trên:
Hệ quả 1.3.1. Giả sử rằng X là một không gian Banach, U ⊂ X là một
tập mở và f : U → X là ánh xạ khả vi liên tục. Giả sử K ⊂ U là một tập
compact sao cho f (K) ⊇ K và Df (x) ∈ L1 (X) với mọi x ∈ K . Khi đó

dimF (K) < ∞.

14

Chứng minh. Từ khẳng định tương tự được sử dụng trong Định lí 1.3.1 để
chứng minh n < ∞ suy ra tồn tại α < 1 sao cho Df (x) ∈ Lα (X) với mọi

x ∈ K . Chú ý rằng
D[f p ] = Df (f p−1 (x)) ◦ · · · ◦ Df (x),
và nếu Ci ∈ K(X) và Li ∈ L(X), i = 1, 2 thì

(C1 + L1 ) ◦ (C2 + L2 ) = [C1 ◦ C2 + C1 ◦ L2 + L1 ◦ C2 ] +L1 ◦ L2
∈K(X)

Từ đó suy ra rằng nếu Df (x) ∈ Lα (X) với α < 1 thì [D(f p )](x) ∈ Lαp (X).
Suy ra với p đủ lớn thì D(f p )(x) ∈ Lλ với λ < 1/4, mọi x ∈ K . Bây giờ ta
có thể áp dụng Định lí 1.3.1 vào f p trong vị trí của f (chú ý f p (K) ⊇ K )
suy ra df (K) < ∞.
Hệ quả 1.3.2. Cho X là không gian Banach và giả sử T ∈ C 1 (X), K là
một tập compact sao cho T (K) = K và Dx T có hạng là ν(x) hữu hạn với

sup ν(x) := ν < ∞. Khi đó,
x∈K

dimF (K) ≤ ν.
Chứng minh. Rõ ràng với mỗi λ > 0 và x ∈ K , Dx T ∈ Lλ/2 (X) với mọi
1
λ > 0. Hệ quả là với 0 < λ < ,
2

log((ν + 1) Dλ )

dimF (K) ≤ ν
log(1/2λ)
Lấy giới hạn khi λ → 0 suy ra dimF (K) ≤ ν .


15

Chương 2
Một số ứng dụng
Chương này áp dụng kết quả tổng quát ở Chương 1 để đánh giá số chiều
fractal của tập hút toàn cục của một lớp phương trình vi phân thường và
một lớp phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính loại parabolic. Chương
này được viết chủ yếu dựa trên tài liệu [2] và [3].

2.1

Áp dụng cho một lớp phương trình vi phân
thường

Cho f : Rn → Rn là hàm khả vi liên tục. Giả sử nửa nhóm {S (t) : t ≥ 0}
trong Rn sinh bởi phương trình vi phân
.

x = f (x)

(2.1)

x (0) = x0 .

(2.2)

với điều kiện ban đầu

Ở đây, x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn , x0 ∈ Rn , f (x) = (f1 (x) , ..., fn (x)).
Ta giả sử hàm f thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương

f (x) − f (y) ≤ K (R) x − y ,
với mọi x, y ∈ Rn mà x , y ≤ R. Khi đó với mọi x0 ∈ Rn , bài toán
Cauchy (2.1)-(2.2) có duy nhất nghiệm xác định trên khoảng tồn tại cực


16

đại [0, T (x0 )). Hơn nữa, nếu T (x0 ) hữu hạn thì x (t) → +∞ khi t →

T (x0 )− .
Tiếp theo ta giả sử f thỏa mãn điều kiện tiêu hao kiểu Lyapunov, tức là
tồn tại hàm dương V : Rn → R+ thuộc lớp C 1 sao cho
n

Vxi (x) fi (x) ≤ −c + δV (x) , ∀x ∈ Rn ,

∇V (x) · f (x) =

(2.3)

i=1

và

V (x) → +∞ khi x → +∞.

(2.4)

Hàm V (x) là một hàm Lyapunov đối với hệ (2.1) khi x lớn, tức là bên
ngoài miền D = x ∈ Rn : V (x) <
đạo của (2.1) trong khi V (x (t)) ≥

c
δ
c
δ.

. Hàm V (x (t)) giảm dọc theo quỹ
Miền D bị chặn do (2.4).

Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng nếu f (x) thỏa mãn điều kiện (2.3)-(2.4) thì
nghiệm x(t) của bài toán (2.1)-(2.2) sẽ tồn tại toàn cục trên cả khoảng

[0; +∞) và nửa nhóm S(t) sinh bởi (2.1) sẽ có tập hút toàn cục A trong
Rn .
Thật vậy, lấy tích vô hướng của phương trình (2.1) với ∇V (x (t)) trong
Rn và sử dụng (2.3) ta có
.

.

∇V (x) · x = V (x) = −∇V (x) · f (x) ≥ c − δV (x) .
Do đó
.

V (x) + δV (x) ≤ c.
Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta được

c
V (x (t)) ≤ e−δt V (x (0)) + .
δ
Từ đây suy ra nghiệm x(t) tồn tại với mọi t ≥ 0 và tập hợp

B0 =

x ∈ Rn : V (x) ≤

2c
δ

(2.5)


17

là một tập hấp thụ của S(t).
Do điều kiện (2.4), tập B0 bị chặn (và do đó compact vì nó đóng) trong
Rn .
Vậy nửa nhóm S(t) có một tập hút toàn cục A ⊂ B0 .
Chú ý rằng nếu c = 0 thì từ (2.5) suy ra V (x (t)) → 0 khi x → +∞ với
mỗi x0 ∈ Rn . Hệ quả là

A ⊂ {x ∈ Rn |V (x) = 0} .
Hơn nữa ta biết rằng V (x) = 0 kéo theo x = x∗ , ở đó x∗ là điểm dừng (vì

V là hàm Lyapunov), và khi đó A = {x∗ }. Trong trường hợp này tập hút
toàn cục là tầm thường.
Tiếp theo ta đi đánh giá số chiều của tập hút toàn cục A.
Nếu rank (Dx f ) ≤ k ≤ n với mọi x ∈ A thì dimF (A) ≤ k.
Cụ thể, nếu f : Rn → Rn , β > 0 và tồn tại hằng số M > 0 sao cho

f (x) · x < 0 với x
d
dt

Rn

x
y

≥ M , khi đó nửa nhóm {S (t) : t ≥ 0} tương ứng
=

0 I
0 −β
x
y

(0) =

x
y

+

0
f (x)

,

x0
y0

có tập hút toàn cục A trong Rn x Rn với dimF (A) ≤ k.

2.2

Áp dụng cho một lớp phương trình đạo hàm
riêng nửa tuyến tính loại parabolic

Mệnh đề 2.2.1. Cho A : D(A) ⊂ X → X là toán tử quạt với Reσ(A) >

0. Nếu f : X α → X là khả vi liên tục và liên tục Lipschitz trên các tập
con bị chặn của X α và nửa nhóm {S(t) : t ≥ 0} trong X α tương ứng với


18

bài toán parabolic
với x(0) = x0 ∈ X α

x˙ + Ax = f (x)

có tập hút toàn cục A và hoặc e−At là compact với mỗi t > 0 hoặc fx ∈

K(X α , X) là compact với mỗi x ∈ A thì dimF (A) < ∞.
Chứng minh. Với mỗi x ∈ A, cho
−At

S(t)x = e

t

x+

e−A(t−s) f (S(s)x)ds

0

nên đạo hàm Sx (t) ∈ L(X α ) với tương ứng x thuộc S(t) tại x thỏa mãn

Sx (t) = e

−At

t

+

e−A(t−s) f (S(s)x)Sx (s)ds.

0

Do đó, với t lớn thích hợp, giả thiết của Hệ quả 1.3.1 được thỏa mãn và

ta có điều cần phải chứng minh.
Bây giờ ta sẽ đưa ra ước lượng thô số chiều của tập hút toàn cục. Đầu
tiên chú ý rằng nếu A : D(A) ⊂ X → X là toán tử hình quạt với giải
thức compact và X β , β ≥ 0, kí hiệu không gian phân tương ứng với A, thì
tồn tại một dãy các phép chiếu với hạng hữu hạn {Pn }n∈N và các dãy số
thực dương {λn }n∈N và {Mn }n∈N sao cho

e−At (I − Pn )

L(X γ ,X β )

≤ Mn t−(β−γ) e−λn t ,

t ≥ 0, 0 ≤ γ ≤ β ≤ α (2.6)

Ta nói rằng A là toán tử quạt chấp nhận được nếu nó là toán tử quạt
và tồn tại dãy {λn }n∈N và M > 0 sao cho (2.6) với Mn = M , mọi n ∈ N.
Không khó để thấy rằng, nếu A là toán tử quạt chấp nhận được thì A có
giải thức compact
t

Sx (t)

L(X α )

≤ M + MN
0

(t − s)−α Sx (s)

L(X α ) ds,


19

trong đó

N = sup{ f (x)

L(X α ,X)

: x ∈ A}.

Từ bất đẳng thức Gronwall (xem [4, Bổ đề 7.1.1]) suy ra

Sx (t)

L(X α )

≤

M (M N Γ(1−α)1/(1−α) t
e
.
1−α

Bây giờ, nếu Qn = (I − Pn ),
t

Qn Tx (t)

L(X α )

≤ Me

λn t

+ MN

(t − s)e−λn (t−s) Sx (s)

0

L(X α ) ds

và

Qn Tx (t)

L(X α )

t

M M N (M N Γ(1−α))1/(1−α)
e
≤ M e−λn t +
1−α

(t − s)−α e−(λn +(M N Γ(1−α))

1/(1−α)

)(t−s) ds

0

t

M M N (M N Γ(1−α))1/(1−α) t
≤ M e−λn t +
e
1−α

u−α e−(λn +(M N Γ(1−α))

1/(1−α)

)u du

0

1/(1−α)

≤ Me

−λn t

t
M M N e(M N Γ(1−α))
Γ (1 − α)

+
= Λn (t) ,
1 − α λn + (M N Γ (1 − α))1/(1−α)

Từ tính chấp nhận được của A và (2.6), Qn

L(X α )

t ≥ 0.

≤ M , với mọi n ∈ N.

Do vậy,

Qn Tx (t)Qn

L(X α )

≤ M Λ(t),

t ≥ 0.

1
Chọn t = 1 và n0 ∈ N sao cho Λ(1) < λ < . Nếu F = S(1), L = Qn0 S(1)
4
và C = Pn0 S(1) thì A bất biến qua F . Hơn nữa, Fx = Lx + Cx với
Lx = Qn0 Sx (1) và Cx = Pn0 Sx (1) và nếu Zx = R(Cx ) và Wx là một không


20

gian con của X sao cho Cx : Wx → Zx là một đẳng cấu, Fx ∈ Lλ/2 (X)
1
với mọi x ∈ A và λ < . Thêm nữa,
2

ν = sup dim(Zx ) ≤ dim(R(P )).
x∈A

Điều này chứng minh các giả thiết của Định lí 1.3.1 được thỏa mãn và ta
có

dimF (A) ≤ ν

D
log((ν + 1) λ)

log(1/2λ)

< ∞.


21

Kết luận
Luận văn đã trình bày các khái niệm và kết quả cơ bản về sự tồn tại tập
hút toàn cục; khái niệm và các tính chất của số chiều fractal của tập hút
toàn cục; thiết lập kết quả tổng quát về đánh giá chặn trên của số chiều
fractal của tập hút toàn cục trong không gian Banach.
Luận văn cũng áp dụng được các kết quả tổng quát để xét tính hữu

hạn chiều của tập hút toàn cục của một lớp phương trình vi phân thường
và một lớp phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính loại parabolic.


22

Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu Tiếng Việt
[1] Cung Thế Anh (2012), Cơ sở lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều, NXB
Đại học Sư phạm.
[2] Cung Thế Anh (2015), Cơ sở lý thuyết phương trình vi phân, NXB
Đại học Sư phạm.
[B] Tài liệu Tiếng Anh
[3] A.N. Carvalho, J.A. Langa and J.C. Robinson (2010), Finitedimensional global attractors in Banach spaces, J. Differential Equations 249, 3099-3109.
[4] D. Henry (1981), Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Lecture Notes in Math., vol. 840, Springer, New York.
[5] R. Mané (1981), On the dimension of the compact invariant sets of
certain nonlinear maps, in: Lecture Notes in Math., vol. 898, Springer,
New York, pp. 230-242.
[6] R. Temam (1997), Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, second edition, Applied Mathematical Sciences
68, Springer-Verlag, New York. xxii+648 pp.