Kỹ thuật gán độ dài trong chứng minh hình học phẳng

KÍNH LÚP TABLE 10 - Kỹ thuật Gán độ dài

1


KÍNH LÚP TABLE 10 - Kỹ thuật Gán độ dài

Bài 1: Hình vuông ABCD. Gọi M là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng BC. IM và
AN cắt DC kéo dài tại P và N. BN cắt PM tại J. Chứng minh CJ  BN .

B

A

I
M

D

J

C

N

P

Cách 1: Hình học thuần túy Menelaus:
Về định lý Menelaus mời bạn đọc xem Wikipedia hoặc Google.
 JB MC PN
JB MB PC

 JN MB PC  1  JN  MC PN
JB MB2 AB2 BC 2
Ta có: 




JN MC2 CN2 CN2
 IA MN PC  1  PC  MA  MB
 IC MA PN
PN MN MC
Tới đây bạn đọc hoàn toàn có thể chứng minh CJ  BN .
Cách 2: Gọi điểm phụ để chứng minh tứ giác nội tiếp:

B

A

I
M

D

Q

C

J

N

Lấy Q sao cho QC = BM. Ta có QIMC là tứ giác nội tiếp.
Do vậy MIC  MQC .
QC BM AB BC



 QCM ∽ BCN .
Mặt khác
MC MC CN CN
2

P


KÍNH LÚP TABLE 10 - Kỹ thuật Gán độ dài

Vậy MIC  MQC  CBN  ICJB là tứ giác nội tiếp vậy CJ  BN .
Tuy nhiên cái khó là làm sao đoán được điểm Q.
Cách 3: Gán độ dài DC = x, CM = y. Ta chứng minh IBJC là tứ giác nội
y
CN CN CM



 tan CBN .
tiếp. Thật vậy:
BC AB BM x  y
Mặt khác: IM2  CM2  CI2  2CM.CI.
Do đó: cosCIM 

1
2

 y2 

x2
 xy .
2

xy
y
CI  IM  CM
.

 tan CIM 
2CI.IM
xy
2y 2  x2  2 xy
2

2

2

Vậy ta có CBN  CIM  JBIC là tứ giác nội tiếp vậy CJ  BN .
Hay không các em? Tiếp nhé!
Bài 2: Hình chữ nhật ABCD có BH vuông góc AC. Trên tia đối tia BH lấy E
sao cho BE = AC. Chứng minh ADE  450 .
E

Về cách sử dụng bằng hình học
thuần túy, xin gợi ý gọi F là trung
điểm của DE. Về cách gán độ dài,
đặt AD  x,CD  y .
Ta có: AE2  EH2  AH2
2
AB4
 AE2 
  AC  BH 
2
AC
2
 AE  x2  2xy  2y2 .

B

A

I

Mặt khác áp dụng theo định lý hàm
số cos ta có:

H
D

C

DE2  BD2  BE2  2BD.BE.cosDBE = 2  x  y  .
2

Đến đây dùng định lý hàm số cos cho tam giác ADE ta có đpcm.
Bài 3: Tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Gọi F đối xứng với H qua
A. Gọi I là trực tâm tam giác FBC. Chứng minh I là trung điểm AH.
Đặt BH  x,CH  y  AH  xy .

B
H
E

I

A

C

D

AI2  AB2  BI2  2AB.BIcosABI
 AI2  AB2  BI2  2AB.BIcosACF .
Mặt khác IH2  BI2  BH2 .
Giả sử: AI 2  IH2
AC2  CF2  FA2
 AB2  BH2  2AB.BI
2AC.CF

F

3

KÍNH LÚP TABLE 10 - Kỹ thuật Gán độ dài



AB BI
AC2  CH2  4FA2  FA2
AC CF
AB BH
 AB2  BH2 
AC2  CH2  3HA2 .
AC 2AH
 AB2  BH2 







Thay: BH  x,CH  y,AH  xy ,AB  x2  xy ,AC  y2  xy ta thấy đẳng
thức luôn đúng. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Gợi ý cho các bạn thử sức chứng minh hình phẳng: Gọi thêm trung điểm
của BH. Quá khó lường phải không!
Bài 4: Tam giác vuông ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Lấy D trên đoạn
thẳng MC. Gọi E và F là tâm ngoại tiếp các tam giác DAC và DAB. Chứng
minh tứ giác EIMF nội tiếp.

E

A
G

H
F
B

J

I D

C

K

Trước hết dễ dàng chứng minh được AHIG là hình chữ nhật nên
FIE  90 0 . Do đó ta chỉ cần chứng minh FDE  900 .







Thật vậy, sài tích vô hướng ta có: DFDE  0  DI  IF DI  IE  0
 DI2  DI.IF  DI.IE  0  DI 2  DI.JI  DI.IK  0  DI  JI  IK  DJ  IK
Chẳng khó khăn tý nào, gán BI  IC  x,ID  y .

x y x y
BI  ID x  y

IC  ID

,IK  ID  DK  y 
 y

.
2
2
2
2
2
Vậy ta có điều phải chứng minh.
LỜI KẾT
Trên đây tôi đã chứng minh 4 bài toán hay và khó, khá kinh điển trong
hình học phẳng. Hy vọng sau khi đọc xong bài viết này, bạn đọc sẽ trở
nên tỏa sáng hơn với hình học phẳng và hình học phẳng Oxy.
Thân ái – Casio Man – Đoàn Trí Dũng

Ta có: DJ 

4