Cac bai toan dem va lap so BG

Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

www.Moon.vn

CÁC BÀI TOÁN ĐẾM VÀ LẬP SỐ – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Ví dụ 1. [ĐVH]: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác
nhau và chia hết cho 3?
Lời giải:
Gọi số cần lập là a1 a2 a3 a4 a5
Đề số lập được chia hết cho 3 thì tổng a1 + a2 + a3 + a4 + a5 phải chia hết cho 3. Ta có 2 bộ số thỏa mãn

A1 = {0;1; 2; 4;5} ⇒ có 4.4! = 96 số thỏa mãn

A2 = {1; 2;3; 4;5} ⇒ có 5! = 120 số thỏa mãn
Vậy có 96 + 120 = 216 số thỏa mãn.

Ví dụ 2. [ĐVH]: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi
một khác nhau và số đó chia hết cho 5?
Lời giải:
Gọi số cần lập là a1 a2 a3 a4
TH1: a4 = 0
Chọn a1 a2 a3 có A53 = 60 cách chọn
⇒ Có 60 số thỏa mãn
TH2: a4 = 5

Chọn a1 có 4 cách chọn
Chọn a2 a3 có A42 = 12 cách chọn
⇒ Có 12.4 = 48 số thỏa mãn
Vậy có 60 + 48 = 108 số thỏa mãn

Ví dụ 3. [ĐVH]: Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số đã cho ta có thể lập được:
a) Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau từng đôi một?
b) Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một?
c) Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một?
Lời giải:
a) Gọi số cần lập là a1 a2 a3 a4
TH1: a4 = 0
Chọn a1 a2 a3 có A53 = 60
⇒ Có 60 số thỏa mãn
TH2: a4 ∈ {2; 4}
Chọn a4 có 2 cách
Chọn a1 có 4 cách
Chọn a2 a3 có A42 = 12
⇒ Có 2.4.12 = 96 số thỏa mãn
Vậy có 60 + 96 = 156 số thỏa mãn
b) Gọi số cần lập là a1 a2 a3
TH1: a3 = 0
Chọn a1 a2 có A52 = 20 cách
⇒ Có 20 số thỏa mãn
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

www.Moon.vn

TH2: a3 = 5
Chọn a1 có 4 cách
Chọn a2 có 4 cách
⇒ Có 4.4 = 16 số thỏa mãn

Vậy có 20 + 16 = 36 số thỏa mãn
c) Gọi số cần lập là a1 a2 a3
Đề lập được số chia hết cho 9 thì tổng a1 + a2 + a3 phải chia hết cho 9. Ta có 3 bộ số thỏa mãn

A1 = {0; 4;5} ⇒ Có 2.2 = 4 số thỏa mãn

A2 = {1;3;5} ⇒ Có 3! = 6 số thỏa mãn

A3 = {2;3; 4} ⇒ Có 3! = 6 số thỏa mãn

Vậy có 4 + 6 + 6 = 16 số thỏa mãn

Ví dụ 4. [ĐVH]:
a) Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau đôi một?
b) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau?
Lời giải:
a) Gọi số cần lập là a1 a2 a3
Chọn a1 có 9 cách chọn
Chọn a2 a3 có A92 = 72 cách chọn
Vậy có 9.72 = 648 số thỏa mãn
b) Gọi số cần lập là a1 a2 a3 a4 a5

TH1: a5 = 0
Chọn a1 a2 a3 a4 có A74 = 840 cách chọn
⇒ Có 840 số thỏa mãn
TH2: a5 = 5
Chọn a1 có 6 cách chọn
Chọn a2 a3 a4 có A63 = 120 cách chọn
⇒ Có 120.6 = 720 số thỏa mãn
Vậy có 840 + 720 = 1560 số thỏa mãn

Ví dụ 5. [ĐVH]: Từ chín chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, người ta lập ra các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác
nhau mà chữ số hàng trăm là 4.
a) Có bao nhiêu số tự nhiên như thế?
b) Trong những số đó có bao nhiêu số chia hết cho 25?
Lời giải:
a) Cố định chữ số hàng trăm là 4 ⇒ Có 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40320 cách chọn
b) Quy tắc để 1 số chia hết cho 25 là hai số cuối cùng của nó là 25, và 75
⇒ Có 6.5.4.3.4 = 1440 (do cố định chữ số hàng tram là 4)

Ví dụ 5. [ĐVH]: Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên
thành một hàng.
a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành?
b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành?
Lời giải:
a) Số có 6 chữ số khác nhau có dạng abcdef ( a ≠ 0 )
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

www.Moon.vn

Vì số lẻ được tạo thành, do đó f có 3 cách chọn; a có 4 cách (trừ 0 và f); b có 4 cách (trừ a và f), c có 3
cách, d có 2 cách, e có 1 cách
Vậy có 3.4.4.3.2.1 = 288 cách
b) Vì số tạo thành là số chẵn nên f ∈ {0, 2, 4}
+) Khi f = 0 thì a,b,c,d,e là 1 hoán vị của (1,2,3,4,5). Do đó 5! số thỏa mãn.
+) Khi f = 2; 4 thì f có 2 cách ⇒ 2.4.4.3.2.1 = 192 cách
⇒ 120 + 192 = 312 cách chọn

Ví dụ 7. [ĐVH]: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số đôi một khác
nhau không chia hết cho 9.
Lời giải:
Từ 6 chữ số trên, ta lập được 5.5.4 = 100 số có 3 chữ số khác nhau
Từ 6 chữ số trên, ta thấy 3 bộ số sau là có tổng chia hết cho 9: {0, 4,5} ; {2,3, 4} ; {1,3,5}
⇒ Có : 2.2 + 2.3 + 2.3 = 16 số chia hết cho 9
Vậy có 84 số có 3 chữ số khác nhau không chia hết cho 9 được lập từ 6 chữ số đã cho.
Ví dụ 8. [ĐVH]: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi
số gồm 7 chữ số khác nhau?
Lời giải:
+) Khi chữ số hàng đơn vị là 0 thì sẽ có 8.7.6.5.4.3 = 20160 số
+) Khi các chữ số hàng đơn vị là 2,4,6,8 thì sẽ có 4.7.7.6.5.4.3 = 70560 số
⇒ Có tất cả 20160 + 70560 = 90720
Ví dụ 9. [ĐVH]: Xét dãy số gồm 7 chữ số khác nhau (mỗi chữ số được chọn từ 0, 1, ..., 8, 9) thỏa mãn
chữ số đầu tiên bằng 7, chữ số cuối không chia hết cho 5. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Lời giải:
Gọi số thoã mãn yêu cầu bài toán là a1a2 a3 a4 a5 a6 a7 ( ai ∈ {0;1;....8;9} ; i = 1;7 )
Chọn a1 = 7 có 1 cách chọn.
Sau khi chọn a1 ta chọn a7 ≠ 0; a7 ≠ 5 ta có: 7 cách chọn.
Sau khi chọn a1 ; a7 ta chọn 5 số còn lại và sắp xếp có : A85
Vậy theo quy tắc nhân có tổng cộng 7 A85 = 47040 số thoã mãn.

Ví dụ 10. [ĐVH]: Có 100 tấm bia hình vuông được đánh số từ 1 đến 100. Ta lấy ngẫu nhiên một tấm bìa.
Tính xác suất để lấy được:
a) Một tấm bìa không chứa chữ số 5.
b) Một tấm bìa có số chia hết cho 2 hoặc 5 hoặc cả 2 và 5.
Lời giải:
a) Có tổng cộng 20 tâm bìa chứa chữ số 5 bao gồm: 5;15; 25;35; 45;50;51;52..59;65; 75;85;95 .
Do đó có tổng cộng 80 tấm bìa không chứa chữ số 5.
80

Ta có: p =
= 0,8 là giá trị cần tìm.
100
b) Xét tấm bìa không có số chia hết cho 2 hoặc 5 hoặc cả 2 và 5.
Từ 1 đến 9 có 4 số bao gồm các số : 1 ;3 ;7 ;9 không chia hết cho 2 và 5 hoặc cả 2 và 5.
Từ 10 đến 99 có : 9.4 = 36 số không chia hết cho 2 hoặc 5 hoặc cả 2 và 5.
Do vậy có tổng cộng 4 + 36 = 40 tấm bìa không có số chia hết cho 2 hoặc 5 hoặc cả 2 và 5
60
= 0, 6 .
Vậy có 60 tấm bìa có số chia hết cho 2 hoặc 5 hoặc cả 2 và 5. Vậy p =
100
Ví dụ 11. [ĐVH]: Từ các chữ số 1, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác
nhau và số tự nhiên đó chia hết cho 3.
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

www.Moon.vn

Lời giải:
Gọi số có 3 chữ số chia hết cho 3 là abc ( a; b; c ∈ {1;3; 4;5;6} ) khi đó tổng các chữ số là ( a + b + c )⋮ 3

Các bộ 3 số thoã mãn điều kiện đó là: {1;3;5} ; {1;5;6} ; {3; 4;5} ; {4;5; 6}

Khi đó có tổng cộng 4.3! = 24 số thoã mãn.
Ví dụ 12. [ĐVH]: Cho tập A = {1; 2;3; 4;5; 6;7} . Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lập từ
A sao cho số tự nhiên đó chia hết cho 6, và có mặt chữ số 1.
Lời giải:
Gọi số có 4 chữ số cần tìm là: abcd ( a; b; c; d ∈ A ) vì số tự nhiên đó chia hết cho 6 nên nó chia hết cho cả

2 và 3.
Chọn d ta có: 3 cách chọn d ∈ {2; 4;6} .

Chọn d = 2 thì tổng a + b + c phải chia 3 dư 1: Khi đó bộ ( a; b; c ) gồm {1;3;6} ; {1; 4;5} ; {1;5;7}

Chọn d = 4 thì tổng a + b + c phải chia 3 dư 2. Khi đó bộ ( a; b; c ) gồm {1; 2;5} ; {1;3;7} ; {1; 4; 6}

Chọn d = 6 thì tổng a + b + c phải chia hết cho 3. Khi đó bộ ( a; b; c ) gồm {1; 2;3} ; {1;3;5} ; {1; 4;7}
Vậy có tổng cộng: 3.3.3! = 54 số thoã mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 13. [ĐVH]: Cho 5 chữ số 0; 1; 2; 3; 6. Từ 5 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3
chữ số khác nhau và số tự nhiên đó không chia hết cho 6.

Lời giải:
Ký hiệu T = {0; 1; 2; 3; 6} .
•

Đi tìm số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập T.

Số cần tìm có dạng abc trong đó a ≠ 0 ; a, b, c ∈ T đôi một khác nhau.
+) Chọn a có 4 cách (trừ số 0)
+) Chọn b có 4 cách (trừ a)
+) Chọn c có 3 cách (trừ a, b)
Theo quy tắc nhân thì có 4.4.3 = 48 số thỏa mãn.

•

Đi tìm các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập T và chia hết cho 6.

Số cần tìm có dạng xyz trong đó x ≠ 0 ; x, y, z ∈ T đôi một khác nhau và xyz ⋮ 6.

 xyz ⋮ 2
 xyz ⋮ 2
⇔
Ta có xyz ⋮ 6 ⇔ 
 x + y + z ⋮ 3
 xyz ⋮ 3
+) Bộ ba số 0; 1; 2 lập được 3 số thỏa mãn là 120; 102; 210.
+) Bộ ba số 0; 3; 6 lập được 3 số thỏa mãn là 306; 360; 630.
+) Bộ ba số 1; 2; 3 lập được 2 số thỏa mãn là 312; 132.
+) Bộ ba số 1; 2; 6 lập được 4 số thỏa mãn là 126; 216; 162; 612.
Theo quy tắc cộng thì có 3 + 3 + 2 + 4 = 12 số thỏa mãn.
Tóm lại có 48 − 12 = 36 số thỏa mãn bài toán.

Đ/s: 36 số.
Ví dụ 14. [ĐVH]: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và không chia hết cho 10.
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

www.Moon.vn

Lời giải:
Số cần tìm có dạng abcde trong đó a ≠ 0 ; a, b, c, d, e đôi một khác nhau và abcde không chia hết cho 10.
+) Chọn e có 9 cách (trừ số 0)
+) Chọn a có 8 cách (trừ số 0 và e)
+) Chọn b có 8 cách (trừ e, a)
+) Chọn c có 7 cách (trừ e, a, b)
+) Chọn d có 6 cách (trừ e, a, b, c)

Theo quy tắc nhân thì có 9.8.8.7.6 = 24192 số thỏa mãn.

Đ/s: 24192 số.
Ví dụ 15. [ĐVH]: Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, sao cho:
a) Chia hết cho 5 và bắt đầu bằng 5.
b) Chia hết cho 2 và bắt đầu bằng 4.
Lời giải:
a) Số cần tìm có dạng 5abcd trong đó a, b, c, d đôi một khác nhau và 5abcd ⋮ 5.
+) Chọn d có 1 cách (số 0)
+) Chọn a có 8 cách (trừ 5 và d)
+) Chọn b có 7 cách (trừ 5, d, a)
+) Chọn c có 6 cách (trừ 5, d, a, b)
Theo quy tắc nhân thì có 1.8.7.6 = 336 số thỏa mãn.

Đ/s: 336 số.
b) Số cần tìm có dạng 4abcd trong đó a, b, c, d đôi một khác nhau và 4abcd ⋮ 2.
+) Chọn d ó 4 cách (số 0; 2; 6; 8)
+) Chọn a có 8 cách (trừ 4 và d)
+) Chọn b có 7 cách (trừ 4, d, a)
+) Chọn c có 6 cách (trừ 4, d, a, b)
Theo quy tắc nhân thì có 4.8.7.6 = 1344 số thỏa mãn.

Đ/s: 1344 số.
Ví dụ 16. [ĐVH]: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau
và chia hết cho 8?

Lời giải:
Số cần tìm có dạng abcde trong đó a, b, c, d, e đôi một khác nhau và abcde ⋮ 8.
Nhận xét: abcde ⋮ 8 ⇔ cde ⋮ 8. Ta tìm được cde ∈ {152; 312; 352; 432; 512} .
Như vậy có 5 số cde để thỏa mãn bài toán.

Với mỗi số cde như trên ta tìm được 2 số thỏa mãn bài toán. Do đó có 2.5 = 10 số thỏa mãn.

Đ/s: 10 số.
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

www.Moon.vn

Ví dụ 17. [ĐVH]: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác
nhau và chia hết cho 15?
Lời giải:
Gọi số cần lập là abc .
abc ⋮ 3
15 = 3. 5 và 3 và 5 nguyên tố cùng nhau nên abc ⋮15 ⇔ 
.
abc ⋮ 5
Từ abc ⋮ 5 ⇒ c = 5 ta có số ab5.
Từ ab5⋮ 3 ⇒ a + b + 5⋮ 3 suy ra tồn tại những cặp ( a, b ) là {(1;3) ; (1;6 ) ; ( 3;4 ) ; ( 4;6 )} và a,b bình đẳng nên
có tổng cộng 4.2 = 8 số tìm được.
Ví dụ 18. [ĐVH]: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 20?
Lời giải:
Gọi số cần lập có dạng abcde và tập hợp {0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9}
abcde⋮ 5
abcde⋮ 20 ⇔ 
⇒ e = 0 nên ta có số abcd 0
abcde⋮ 4
Để chia hết cho 4 thì 2 chữ số cuối cùng phải chia hết cho 4 nên d = {2;4;6;8} ⇒ d có 4 cách chọn.
Còn 3 chữ số còn lại là chỉnh hợp chập 3 của 8 số còn lại trong dãy số nên số cách sắp xếp là A83 .

Vậy tổng số các số lập được là 4. A83 = 1344.
Ví dụ 19. [ĐVH]: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số đôi một khác
nhau không chia hết cho 18.
Lời giải:
Gọi số có 3 chữ số đôi một khác nhau là abc .
a)Số các số có 3 chữ số đôi một khác nhau lập được là 5. 5 . 4 = 100 (số).
b) Sau đó ta tìm số các số đôi một khác nhau chia hết cho 18 là.
abc ⋮ 2
abc ⋮18 ⇔ 
.
abc ⋮ 9

abc ⋮ 2 ⇒ c có thể là 0,2 hoặc 4.
Nếu c = 0 thì ab0⋮ 9 ⇔ a + b⋮ 9 ⇒ ( a, b ) chỉ có thể là ( 4,5) nên có 2 số lập được là 450 và 540.

Nếu c = 2 thì ab2 ⋮ 9 ⇔ a + b + 2 ⋮ 9 ⇒ ( a; b ) chỉ có thể là ( 3, 4 ) nên có 2 số lập được là 342 và 342.

Nếu c = 4 thì ab 4 ⋮ 9 ⇔ a + b + 4 ⋮ 9 ⇒ ( a; b ) chỉ có thể là ( 3;2 ) hoặc ( 5;0 ) nên có 3 số lập được là 324,234
và 504.
Như vậy có tổng cộng 7 số chia hết cho 18, khi đó số các số không chia hết cho 18 là 100 – 7 = 93 số

Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015