Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
DẠNG 2. SỬ DỤNG TRỰC TIẾP BĐT CÔ-SI
Ví dụ 1. Cho x, y, z > 0 và x + y + z = xyz .
1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
1+ x
2
+
1
1+ y
2
+
1
1+ z2
Ví dụ 2. Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
x+ y
y+z
z+x
+
+
xy + z
yz + x
zx + y
Ví dụ 3. Cho x, y > 0 và x + y = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
1
1
+
3
x +y
xy
3
Ví dụ 4. Cho x, y > 0 và xyz = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
1
1 1
3
+ + +
xy yz xz x + y + z
x
1 y
1 z
1
Ví dụ 5. Cho x, y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
+
+
+
y + z 2 x + z 2 x + y 2
Hướng dẫn:
Ta có
x
1 2 x + y + z ( x + z) + ( y + z)
1
+ =
=
≥
( x + z )( y + z )
y+z 2
2( y + z )
2( y + z )
y+z
Tương tự cho hai biểu thức còn lại, sau đó nhân vào ta được P ≥ 1
Ví dụ 6. Cho x, y, z > 0 và
1
1
1
+
+
= 2.
1+ x 1+ y 1+ z
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xyz
Hướng dẫn:
Tách
1
1
1
y
z
yz
= 1 −
+
≥2
+ 1 −
=
1+ x 1+ y 1+ z y +1 z +1
( y + 1)( z + 1)
Tương tự
1
xz
1
xy
≥2
;
≥2
1+ y
( x + 1)( z + 1) 1 + z
( x + 1)( y + 1)
Nhân vế theo vế các BĐT ta được
1
1 1
xyz
1
≥8
⇒ xyz ≤
1+ x 1+ y 1+ z
(1 + x)(1 + y )(1 + z )
8
Ví dụ 7. Cho các số dương x, y, z thoả mãn: xyz = 1.
1 + x2 + y2
1+ y2 + z2
1 + z 2 + x2
+
+
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
xy
yz
zx
Ví dụ 8. Cho các số thực x > 1; y > 1
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015!
Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
Facebook: LyHung95
( x3 + y3 ) − ( x2 + y 2 )
( x − 1)( y − 1)
Hướng dẫn:
Ta có P =
( x3 − x2 ) + ( y3 − y 2 )
x2
y2
2 xy
=
+
≥
( x − 1)( y − 1)
y −1 x −1
( x − 1)( y − 1)
x
x − 1 = 1.( x − 1) ≤ 2
xy
Lại có
→ ( x − 1)( y − 1) ≤
4
y − 1 = 1.( y − 1) ≤ y
2
Từ đó dễ dàng suy ra P ≥ 8.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
a)
a
b
c
1 1 1 1
+ 2 2+ 2
≤ + +
2
2
a +b b +c c +a
2 a b c
b)
a+b
b+c
c+a 1 1 1
+ 2 2+ 2
≤ + +
2
2
a + b b + c c + a2 a b c
2
Bài 2: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0 và
1
1
1
1
+
+
≥ 2 . Chứng minh rằng abc ≤
1+ a 1+ b 1+ c
8
Bài 3: [ĐVH]. Cho a, b, c bất kỳ. Chứng minh rằng :
a) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca
b) ( ab + bc + ca ) ≥ 3abc ( a + b + c )
2
a , b, c > 0
Bài 4: [ĐVH]. Cho
.
a + b + c = 1
1 1 1
Chứng minh rằng − 1 − 1 − 1 ≥ 8
a b c
Bài 5: [ĐVH]. CMR
1
1
1
a+b+c
+ 2
+ 2
≤
, ∀a, b, c > 0
a + bc b + ca c + ab
2abc
2
Bài 6: [ĐVH]. Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 ta có
1
1
1
1
+ 3 3
+ 3
≤
3
3
a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc
3
Bài 7: [ĐVH]. Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = 1
Tìm giá trị lớn nhất của P =
1
1
1
+ 3 3
+ 3
3
a + b + 1 b + c + 1 c + a3 + 1
3
Bài 8*: [ĐVH]. Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = 1
Tìm GTNN của P =
a 3 + b3
b3 + c3
c3 + a3
+
+
a 2 + ab + b 2 b 2 + bc + c 2 c 2 + ca + a 2
Hướng dẫn:
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015!
Khóa học LTĐH NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
( a + b ) ( a 2 + ab + b 2 ) − 2ab ( a + b )
2ab ( a + b )
2ab ( a + b ) a + b
a 3 + b3
=
= ( a + b) − 2
≥ ( a + b) −
=
2
2
2
2
2
a + ab + b
a + ab + b
a + b + ab
3ab
3
Tương tự cho các bất đẳng thức khác ta được Pmin = 2 khi a = b = c = 1.
Bài 9: [ĐVH]. Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz = 1.
Chứng minh rằng P =
x9 + y 9
y9 + z9
z 9 + x9
+
+
≥2
x6 + x3 y3 + y 6 y 6 + y3 z 3 + z 6 z 6 + z 3 x3 + x6
Bài 10: [ĐVH]. (Khối D – 2006) Cho các số dương x, y, z thoả mãn: xyz = 1.
1 + x3 + y 3
1 + y3 + z3
1 + z 3 + x3
+
+
≥3 3
xy
yz
zx
Chứng minh rằng
Khi nào đẳng thức xảy ra?
Bài 11: [ĐVH]. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng
2 y
2 x
2 z
1
1
1
+ 3 2+ 3
≤ 2+ 2+ 2
3
2
2
x +y
y +z
z +x
x
y
z
Bài 12: [ĐVH]. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng
a2
b2
c2
+
+
≥1
a 2 + 2bc b 2 + 2ac c 2 + 2ab
Bài 13: [ĐVH]. (Khối B – 2007) Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi.
x 1
y 1 z 1
Tìm GTNN của biểu thức P = x + + y + + z +
2 zx 2 xy
2 yz
Bài 14: [ĐVH]. Cho các số thực x, y. Chứng minh rằng
a) x + y
2
2
( x + y)
≥
2
b) x + y
4
2
4
( x + y)
≥
4
8
1 1 1
+ + =4.
a b c
1
1
1
Chứng minh rằng :
+
+
≤1
2 a + b + c a + 2 b + c a + b + 2c
Bài 15: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0 và thoả mãn
Bài 16: [ĐVH]. Cho x, y, z > 0 và thoả mãn x + 2 y + 4 z = 12 .
Chứng minh rằng:
2 xy
8 yz
4 xz
+
+
≤ 6.
x + 2 y 2 y + 4z 4z + x
Bài 17: [ĐVH]. Cho x, y, z > 0 và thoả mãn: 2 xy + xz = 1 .
Tìm GTNN của biểu thức P =
3 yz 4 zx 5 xy
+
+
x
y
z
Bài 18: [ĐVH]. Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy = 3( x + y + z ).
Tìm GTNN của biểu thức P = x + y + z +
20
+
x+z
20
.
y+2
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015!