Từ hàm đơn điệu một biến thực đến toán tử đơn điệu trong không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THỊ NGOAN

TỪ HÀM ĐƠN ĐIỆU MỘT BIẾN THỰC
ĐẾN TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THỊ NGOAN

TỪ HÀM ĐƠN ĐIỆU MỘT BIẾN THỰC
ĐẾN TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. LÊ DŨNG MƯU

HÀ NỘI, 2016

i

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2 dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Lê Dũng Mưu. Sự giúp đỡ và
hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn
này đã giúp tôi rất nhiều trong cách tiếp cận một vần đề mới. Tôi xin
bày tỏ lòng biết ơn, kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tôi cũng trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2, phòng sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích đã giúp đỡ, tạo
điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu
và hoàn thành luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những
người luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt
quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 07 năm 2016
Tác giả luận văn

Trần Thị Ngoan


ii

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH. Lê Dũng Mưu.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học

của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Các kết quả trích
dẫn trong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 07 năm 2016
Tác giả luận văn

Trần Thị Ngoan


iii

Danh mục kí hiệu thường dùng
R

Tập hợp số thực

R+

Tập hợp các số thực không âm

2R

Tập hợp tất cả các tập con của R

Rn

Không gian Euclid n chiều

H

Không gian Hilbert

2H

Tập hợp tất cả các tập con của không gian H

., .

Tích vô hướng

.

Chuẩn

|x|

Giá trị tuyệt đối của x

NC

Nón pháp tuyến (ngoài) của tập C tại điểm x

epif

Trên đồ thị của hàm f

domf Miền hữu dụng của hàm f
∂f (x) Dưới vi phân của hàm f tại điểm x
gphT

Đồ thị của ánh xạ T

ri(C) Tập hợp các điểm trong tương đối của C


iv

Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Danh mục kí hiệu thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Mở đầu

1

1 Hàm đơn điệu một biến và đơn điệu bậc cao

3

1.1

1.2

Hàm đơn điệu và các tính chất liên quan . . . . . . . .

3

1.1.1

Hàm đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Các tính chất của hàm đơn điệu . . . . . . . . .

4

Hàm đơn điệu bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2 Toán tử đơn điệu và đơn điệu cực đại

19

2.1

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2

Toán tử đơn điệu và đơn điệu cực đai . . . . . . . . . .

24

2.2.1

Tập lồi và hàm lồi

. . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2.2

Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2.3

Toán tử đa trị đơn điệu

. . . . . . . . . . . . .

28

Tổng của các toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . .

43

2.3

3 Phương pháp điểm gần kề giải bao hàm thức đơn điệu


cực đại

45

3.1

Giới thiệu bài toán và các trường hợp riêng quan trọng

45

3.2

Thuật toán và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.2.1

Thuật toán điểm gần kề . . . . . . . . . . . . .

48

3.2.2

Sự hội tụ

49

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kết luận

56

Tài liệu tham khảo

57


1

Mở đầu
Toán tử đơn điệu là một trong những lĩnh vực cơ bản và quan
trọng của giải tích hiện đại đã và đang được nhiều nhà toán học hàng
đầu giới nghiên cứu, đặc biệt phải kể đến như E. F. Browder, T. R.
Rockfellar, J. G. Minty... Bên cạnh các kết quả đạt được có ý nghĩa
quan trọng về mặt lí thuyết, toán tử đơn điệu còn là công cụ được sử
dụng nhiều và hiệu quả trong lĩnh vực toán ứng dụng chẳng hạn như

bất đẳng thức biến phân, cân bằng, tối ưu hóa... Nó giúp ích cho việc
chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho rất nhiều các lớp bài
toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng.
Nội dung của luận văn là trình bày các kiến thức cơ bản nhất về
hàm số đơn điệu một biến thực đến toán tử đơn điệu, đơn điệu cực
đại trong không gian Hilbert. Xét ứng dụng của toán tử đơn điệu cực
đại trong phương pháp điểm gần kề để giải bao hàm thức.
Mục đích chính của luận văn là bước đầu giúp em làm quen với
công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về hàm đơn điệu
một biến thực, toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert và phương
pháp điểm gần kề giải bao hàm thức với toán tử đơn điệu. Qua đó
thấy được sự phát triển của lí thuyết toán tử đơn điệu và một ứng
dụng quan trọng trong việc giải bao hàm thức, cụ thể là:
Nghiên cứu về các điều kiện cần và đủ cho hàm đơn điệu một biến
thực cùng với các tính chất cơ bản của chúng. Tiếp đến mở rộng ra
cho toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert.
Sau đó nghiên cứu về tính đơn điệu cực đại của tổng hai toán tử
đơn điệu cực đại.


2

Phần cuối của luận văn dành để giới thiệu phương pháp điểm gần
kề giải bao hàm thức với toán tử đơn điệu cực đại.
Những nội dung trên được tổng hợp từ các nguồn tài liệu khác
nhau về hàm đơn điệu một biến thực và toán tử đơn điệu trong không
gian Hilbert.
Với nội dung này, hi vọng bản luận văn: “Từ hàm đơn điệu một
biến thực đến toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert” sẽ là một
tài liệu tham khảo cho những ai quan tâm đến đề tài này.

3

Chương 1
Hàm đơn điệu một biến và đơn
điệu bậc cao
Nội dung của chương là trình bày các kiến thức cơ bản về hàm đơn
điệu một biến thực, hàm đơn điệu bậc cao như: Khái niệm, tính chất
và các điều kiện liên quan đến đạo hàm cấp 1 và cấp 2. Các khái niệm
và kết quả được tham khảo từ tài liệu [2], [3].

1.1
1.1.1

Hàm đơn điệu và các tính chất liên quan
Hàm đơn điệu

Ta thường kí hiệu I(a, b) ⊂ R là nhằm ngầm định một trong bốn
tập hợp (a, b), [a, b), (a, b] hoặc [a, b] với a < b.
Định nghĩa 1.1. Khi hàm số f (x) xác định trên tập I(a, b) ⊂ R và
thỏa mãn điều kiện:
Với mọi x1 , x2 ∈ I(a, b) và x1 < x2 , ta đều có f (x1 ) ≤ f (x2 ) thì ta
nói rằng f (x) là hàm đơn điệu tăng trên I(a, b).
Đặc biệt, khi ứng với mỗi cặp x1 , x2 ∈ I(a, b) và x1 < x2 , ta đều có
f (x1 ) < f (x2 ) thì ta nói rằng f (x) là một hàm đơn điệu tăng thực sự
trên I(a, b).
Ngược lại, nếu với mọi x1 , x2 ∈ I(a, b) và x1 < x2 , ta đều có
f (x1 ) ≥ f (x2 ) thì ta nói rằng f (x) là hàm đơn điệu giảm trên I(a, b).

4

Đặc biệt, khi ứng với mỗi cặp x1 , x2 ∈ I(a, b) và x1 < x2 , ta đều có
f (x1 ) > f (x2 ) thì ta nói rằng f (x) là một hàm đơn điệu giảm thực sự
trên I(a, b).
Ví dụ 1.1. Hàm y = f (x) = x2 là hàm đơn điệu giảm thực sự trên
(−∞, 0] và là hàm đơn điệu tăng thực sự trên [0, +∞).
Định nghĩa 1.2. Giả sử f (x), g(x) là các hàm trên [a, b] và khả vi
trên (a, b). Khi đó:
i) f (x), g(x) và được gọi là cùng tính đơn điệu nếu f (x)·g (x) > 0.
ii) f (x), g(x) và được gọi là khác tính đơn điệu nếu f (x)·g (x) < 0.
1.1.2

Các tính chất của hàm đơn điệu

Định lý 1.1. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên khoảng (a, b).
a) Nếu f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ (a, b) ⇔ hàm số y = f (x) đơn điệu
tăng trên khoảng đó.
b) Nếu f (x) ≤ 0 với mọi x ∈ (a, b) ⇔ hàm số y = f (x) đơn điệu
giảm trên khoảng đó.
Chứng minh. Lấy hai điểm x1 , x2 (x1 < x2 ) trên khoảng (a, b). Vì
f (x) có đạo hàm trên khoảng (a, b) nên f (x) liên tục trên [a, b] và có
đạo hàm trong khoảng (x1 , x2 ). Áp dụng định lí Lagrange cho hàm số
y = f (x) trên [x1 , x2 ], khi đó tồn tại c ∈ (x1 , x2 ) sao cho:
f (x2 ) − f (x1 ) = f (c)(x2 − x1 ).
a) Nếu f (x) > 0 trên (a, b) thì f (c) > 0, mặt khác x2 − x1 > 0
nên f (x2 ) − f (x1 ) > 0 hay f (x2 ) > f (x1 ), suy ra hàm số f (x) đơn
điệu tăng trên khoảng đó.
b) Nếu f (x) < 0 trên (a, b) thì f (c) < 0, mặt khác x2 − x1 > 0 nên

f (x2 ) − f (x1 ) < 0 hay f (x2 ) < f (x1 ), suy ra hàm số f (x) đơn điệu
giảm trên khoảng đó.


5

Định lý 1.2. Hàm f (x) xác định trên R+ là một hàm đơn điệu tăng
khi và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương a1 , a2 , ..., an và x1 , x2 , ..., xn , ta
đều có:

n

n

n

ak f (xk ) ≤

ak
k=1

k=1

xk

f

.

(1.1)

k=1

Chứng minh. Khi f (x) đơn điệu tăng trên R thì hiển nhiên ta có:
n

f (xj ) ≤ f

xk

, j = 1, 2, ..., n.

k=1

Suy ra
n

aj f (xj ) ≤ aj f

xk

, j = 1, 2, ..., n.

(1.2)

k=1

Lấy tổng theo j (j = 1, 2, ..., n), từ (1.2) ta thu được (1.1).
Ngược lại, với n=2, từ (1.1) ta có:
f (x) + εf (h) < (1 + ε)f (x + h), ∀ε, h > 0.

(1.3)

Khi ε −→ 0 ta thu được f (x + h) ≥ f (x), hay f (x) là hàm đơn điệu
tăng.
Định lý 1.3. Để bất đẳng thức
n

n

f (xk ) ≤ f
k=1

xk

(1.4)

k=1

được thỏa mãn với mọi bộ số dương x1 , x2 , ..., xn , điều kiện cần và đủ
là hàm g (x) :=

f (x)
x

là đơn điệu tăng trên R+ .

Chứng minh. Nhận xét rằng, ta có hàm số f (x) = xg(x) và (1.4) sẽ

6

có dạng (1.1) với ak = xk (k = 1, 2, ..., n):
n

n

xk g(xk ) ≤

n

xk
k=1

k=1

xk

g

(1.5)

k=1

hiển nhiên được thỏa mãn ⇔ g(x) là một hàm đơn điệu tăng trên
R+ .
Hệ quả 1.1. Giả sử g (x) :=

f (x)
x

là hàm đơn điệu tăng trong [0, +∞).

Khi đó với mọi dãy số dương và giảm x1 , x2 , ..., xn , ta đều có:
n−1

f (xk − xk+1 ).

f (x1 − xn ) ≥
k=1

Nhận xét rằng, (1.5) ⇔ (1.1) ⇔ g(x) là một hàm đơn điệu tăng
Thật vậy, chỉ cần chọn hàm g(x) có tính chất:
0 < g(x) ∈ R+ , ∀x ∈ R+
và
max g(x) ≤ 2 min g(x)
ta dễ dàng chứng minh rằng (1.5) được thỏa mãn. Chẳng hạn, ta thấy
hàm số
g(x) = 3 + sin x, x ∈ R+
thỏa mãn điều kiện trên và vì vậy nó thỏa mãn điều kiện (1.5). Tuy
nhiên hàm g(x) không phải là hàm đơn điệu tăng trên R+ . Nếu bổ xung
thêm điều kiện g (x) :=

f (x)
x

là hàm đồng biến trên R+ và x1 , x2 , ..., xn ,

là bộ số gồm các số lớn hơn 1, thì ta thu được bất đẳng thức thực sự:
n

n

f (xk ) < f
k=1

xk

.

k=1

Tương tự, ta cũng có thể phát biểu các đặc trưng đối với hàm đơn
điệu giảm.


7

Định lý 1.4. Hàm f (x) xác định trên R+ là một hàm đơn điệu giảm
khi và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương a1 , a2 , ..., an và x1 , x2 , ..., xn , ta
đều có:

n

n

ak f (xk ) ≥

n

ak
k=1

k=1

xk

f

.

k=1

Định lý 1.5. Để đẳng thức
n

n

f (xk ) ≥ f
k=1

xk
k=1

được thỏa mãn với bộ số dương x1 , x2 , ..., xn , điều kiện cần và đủ là
hàm g (x) :=

f (x)
x

đơn điệu giảm trên R+ .

Nhận xét rằng, trong số các hàm sơ cấp một biến, thì hàm tuyến
tính f (x) = ax đóng vai trò đặc biệt quan trọng, vì nó rất dễ nhận
biết về tính đơn điệu tăng (khi a > 0) và tính đơn điệu giảm (khi
a < 0) trong mỗi khoảng tùy ý cho trước. Các định lí tiếp theo sẽ cho
ta thấy rõ hơn về đặc trưng (bất đẳng thức hàm) của hàm tuyến tính.
Định lý 1.6. Giả thiết rằng với mọi cặp bộ số dương
a1 , a2 , ..., an ; x1 , x2 , ..., xn
ta đều có
n

n

ak f (xk ) ≥ f
k=1

ak x k

(1.6)

k=1

thì f (x) = ax, trong đó a là hằng số.
Chứng minh. Lấy n = 2 và chọn x1 = x, x2 = y; a1 =
(1.6) ta thu được:
f (x) f (y)
≥
, ∀x, y ∈ R+ .
x

y

y
2x ,

a2 = 12 , từ


8

Suy ra g (x) :=

f (x)
x

là một hàm hằng trên R+ .

Tiếp theo, ta nêu một số tính chất của hàm đơn điệu liên quan đến
tích phân.
Định lý 1.7. (Maclaurin, Cauchy).
Giả thiết rằng f (x) là một hàm đơn điệu giảm trên (0, +∞). Khi đó
ta luôn có
n

n

f (k) ≤
k=1

n−1

f (x)dx ≤

f (k).

(1.7)

k=0

0

Khi f (x) là đơn điệu giảm thực sự thì có dấu bất đẳng thức thực sự.
Chứng minh. Thật vậy, theo giả thiết f (x) là một hàm đơn điệu giảm,
nên ta luôn có
k+1

f (k + 1) ≤

f (x)dx ≤ f (k), k = 1, 2, ...
k

Lấy tổng theo k, ta thu được (1.7), chính là điều phải chứng minh.

Định lý 1.8. Giả thiết rằng f (x) là một hàm đơn điệu giảm trên
(0, +∞) và dãy {ak } là một dãy tăng trong (0, +∞). Khi đó, ta luôn
có
an

n

(ak − ak−1 )f (ak ) ≤
k=1

n

f (x)dx ≤
a0

(ak − ak−1 )f (ak − 1). (1.8)
k=1

Khi f (x) là hàm nghịch biến thì có dấu bất đẳng thức thực sự.
Chứng minh. Thật vậy, theo giả thiết f (x) là một hàm đơn điệu giảm,


9

nên ta luôn có
ak

ak

f (ak ) ≤
ak−1

ak

f (x)dx ≤
ak−1

f (ak−1 ).
ak−1

Lấy tổng theo k, ta thu được (1.8), chính là điều phải chứng minh.

Định lý 1.9. Giả thiết rằng f (x) là một hàm đơn điệu giảm trên
[0, +∞) và f (0) = 0. Gọi f −1 (x) là hàm ngược của f (x). Khi đó ta
luôn có

a

ab ≤

b

f −1 (x)dx, ∀a, b ≥ 0.

f (x)dx +
0

0

Chứng minh. Bất đẳng thức được suy trực tiếp bằng cách so sánh diện
tích tạo bởi đường cong y = f (x) và x = g(y) với diện tích hình chữ
nhật tạo bởi x = 0, x = a; y = 0, y = b.
Hệ quả 1.2. Giả thiết rằng f (x) là một hàm đơn điệu giảm trên
[0, +∞) và f (0) = 0. Gọi f −1 (x) là hàm ngược của f (x). Khi đó ta
luôn có
ab ≤ af (a) + bf −1 (b), ∀a, b ≥ 0.
Định lý 1.10. Cho hàm số y = f (x) liên tục, không âm và đơn điệu

tăng trên [α, β) với 0 ≤ α < β. Khi đó ∀a ∈ [α, β); ∀b ∈ [f (α), f (β))
ta có:

a

b

f −1 (x)dx

f (x)dx +
α

ab − αf (α).

f (α)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f (a) = b.
Chứng minh. Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn x = α, x =
a; y = 0, y = f (x) thì
a

S1 =

f (x)dx.
α

Gọi S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi x = f (α), x = b; y =


10

0, y = b thì
b

f −1 (x)dx.

S2 =
f (α)

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi x = 0, x = a; y =
0, y = b thì
S = ab.
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi x = 0, x = α; y =
0, y = f (α), thì S = αf (α). Trong cả hai trường hợp f (a) ≤ b hoặc
f (a) > b, ta đều có S1 + S2 ≥ S − S . Do đó:
a

b

f (x) dx +
α

f −1 (x) dx ≥ ab − αf (α) .

f (α)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f (a) = b.
Định lý 1.11. Cho hàm số y = f (x) liên tục và đơn điệu giảm trên
[0, b], ∀a ∈ [0, b]. Khi đó ta luôn có
a

b

f (x)dx ≥ a

b
0

f (x)dx.

(1.9)

0

Tương tự, với f (x) liên tục và đơn điệu tăng trên [0, b], ∀a ∈ [0, b].
Khi đó ta luôn có
a

b

f (x)dx ≤ a

b
0

f (x)dx.
0

Chứng minh. Nếu a = 0 hoặc b = 0 thì bất đẳng thức (1.9) trở thành
đẳng thức.

Nếu 0 < a < b, thì do f (x) nghịch biến trên [0, b] nên với mọi x
thỏa mãn điều kiện 0 < a ≤ x ≤ b, ta đều có f (x) ≤ f (a). Suy ra
b

b

f (x)dx ≤ f (a)
a

dx = (b − a)f (a).
a


11

Vậy nên
b

1
f (a) ≥
b−a

f (x)dx.

(1.10)

a

Mặt khác, khi 0 < x ≤ a, thì f (x) ≥ f (a). Suy ra
a

a

f (x)dx ≥
0

f (a)dx = af (a).
0

hay
a

1
a

f (x)dx ≥ f (a).

(1.11)

0

Từ (1.10) và (1.11), suy ra
1
a

a
0

1
f (x)dx ≥ f (a) ≥

b−a

b

f (x)dx
a

hay
a

1
a

f (x)dx ≥
0

Do đó

b

1
b−a

f (x)dx
a

a

(b − a)

(1.12)

b

f (x)dx ≥ a
0

f (x)dx.
a

hay
a

(b − a)

0

f (x)dx ≥ a
0

b

f (x)dx +
a

f (x)dx
0

Vậy nên
a

b

f (x)dx ≥ a

b
0

f (x)dx.

(1.13)

0

Ta chứng minh rằng, dấu đẳng thức xảy ra khi a = b hoặc a = 0.


12

Thật vậy, nếu tồn tại c ∈ (0, b) sao cho
c

b

b

f (x)dx = c
0

thì

1
c

c
0

f (x)dx.
0

1
f (x)dx =
b

b
0

1
f (x)dx =
b−c

b

f (x)dx.
c

Vậy
1
c

c

0

1
f (x)dx =
b−c

b

f (x)dx.

(1.14)

c

Từ (1.14) suy ra tồn tại ξ ∈ (0, c) và δ ∈ (c, b), sao cho
1
1
(c − 0)f (ξ) =
(b − c)f (δ).
c
b−c
Mà δ > ξ, điều này trái với giả thiết rằng f (x) là hàm số nghịch
biến trong (a, b). Vậy không xảy ra dấu của đẳng thức.
Hệ quả 1.3. Nếu b = 1 và f (x) liên tục và nghịch biến trên [0, 1] thì
∀a ∈ [0, 1], ta đều có
a

1

f (x)dx

a

0

f (x)dx.
0

Nếu b = 1 và f (x) liên tục và đồng biến trên [0, 1] thì ∀a ∈ [0, 1], ta
đều có

a

1

f (x)dx ≤ a
0

f (x)dx.
0

Định lý 1.12. (Bất đẳng thức thứ tự Chebyshev).
Giả sử f (x) và g(x) là hàm đơn điệu tăng và {xk } là một dãy đơn
điệu tăng:
x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn .


13

Khi đó với mọi bộ trọng (pj ):

pj ≥ 0, j = 1, 2, ..., n; p1 + p2 + ... + pn = 1
ta đều có
n

n

n

pk g (xk )

pk f (xk )

≤
k=1

k=1

k=1

pk f (xk ) g (xk ) .

Chứng minh. Theo giả thiết thì
0 ≤ [f (xk ) − f (xj )] [g(xk ) − g(xj )] .
hay
f (xk )g(xj ) + f (xj )g(xk ) ≤ f (xj )g(xj ) + f (xk )g(xk ).

(1.15)

Để ý rằng
n

n

n

pj pk [f (xk )g(xj ) + f (xj )g(xk )] = 2
j,k=1

pk f (xk )
k=1

pk g(xk ) .
k=1

và
n

n

pj pk [f (xj )g(xj ) + f (xk )g(xk )] = 2
j,k=1

pk f (xk )g(xk ).
k=1

Kết hợp các đẳng thức này với (1.15) ta thu được
n

n

pk f (xk )
k=1

n

pk g(xk )
k=1

≤

pk f (xk )g(xk ) .
k=1


14

1.2

Hàm đơn điệu bậc cao

Định nghĩa 1.3. Hàm số f (x) có đạo hàm cấp n, (n ∈ N∗ ) không
đổi dấu trong khoảng (a, b) được gọi là đơn điệu ngặt (thực sự bậc n).
Nếu f (n) (x) > 0, ∀x ∈ (a, b) thì ta nói hàm số f (x) đơn điệu tăng bậc
n trong khoảng đó.
Định nghĩa 1.4. Hàm số f (x) có đạo hàm cấp n, (n ∈ N∗ ) không đổi
dấu trong khoảng (a, b) được gọi là đơn điệu ngặt (thực sự bậc n) .
Nếu f (n) (x) < 0, ∀x ∈ (a, b) thì ta nói hàm số f (x) đơn điệu giảm
bậc n trong khoảng đó.
Định nghĩa 1.5. Nếu hàm số f (x) đồng thời có đạo hàm bậc nhất
và bậc hai dương trong I(a, b) thì ta nói hàm số f (x) đơn điệu tăng

liên tiếp bậc (1, 2) trong I(a, b).
Định nghĩa 1.6. Nếu hàm số f (x) đồng thời có đạo hàm bậc nhất
và bậc hai âm trong I(a, b) thì ta nói hàm số f (x) đơn điệu giảm liên
tiếp bậc (1, 2) trong I(a, b).
Ví dụ 1.2. Hàm f (x) = x4 là hàm đơn điệu tăng bậc 2 trên (0, +∞)
và là hàm đơn điệu giảm bậc 2 trên (−∞, 0).
Định lý 1.13. Với mọi hàm số f (x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2n+1,
n ∈ N∗ và f 2n+1 (x) = 0 với mọi x ∈ (a, b), đều tồn tại đa thức P2n (x)
bậc không quá 2n sao cho hàm số
h(x) := f (x) − P2n (x)
đơn điệu trong khoảng (a,b).
Định lý 1.14. Với mọi hàm số f (x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2n,
n ∈ N∗ và f 2n+1 (x) = 0 với mọi x ∈ (a, b), đều tồn tại đa thức P2n (x)
bậc không quá 2n − 1 sao cho hàm số
h (x) := f (x) − P2n−1 (x)


15

lồi hoặc lõm trong khoảng (a,b).
Nhận xét 1.1. Nếu hàm số f (x) đơn điệu tăng (giảm) liên tiếp bậc
(1, 2) trong I(a, b) thì với mọi v ∈ uf (x), ∀x ∈ I(a, b), phương trình
f (x) = v luôn có nghiệm duy nhất, kí hiệu f−1 (x) = v thuộc I(a, b) .
Nhận xét 1.2. Nếu hàm số f (x) lồi (lõm) và có đạo hàm bậc nhất là
các hàm số âm (dương) trên I(a, b) thì với mọi v ∈ uf (x), ∀x ∈ I(a, b),
phương trình f (x) = v luôn có nghiệm duy nhất, kí hiệu f−1 (x) = v
thuộc I(a, b) .
Định lý 1.15. Giả sử n ∈ N∗ là một số chẵn và hai dãy số
{xk , yk ∈ I(a, b), k = 1, 2, ..., n}
thỏa mãn các điều kiện

xx + x2 + ... + xn = y1 + y2 + ... + yn , xk = yk , k = 1, 2, ..., n
Khi đó, ứng với mọi hàm f1 (t) , f2 (t) , ..., fn (t) đơn điệu tăng bậc n
trên I(a, b) sao cho f1n−1 (yk ) > 0, k = 1, 2, ..., n, ta đều có:
n

k=1

n

fk (yk )
fk (xk )
≥
+
fkn−1 (yk ) k=1 fkn−1 (yk )
n

+... +
k=1

n

k=1

f k (yk ) (xk − yk )
1!fkn−1 (yk )

fkn−1 (xk − yk )n−2
·
(n − 2)!fkn−1 (yk )

(1.16)

Chứng minh. Thật vậy, ta có
fkn−1 (yk )
f k (yk )
(xk − yk ) + ... +
(xk − yk )n−1
fk (xk ) = fk (yk ) +
1!
(n − 1)!
fkn (yk )
+
(xk − yk )n .
n!

(1.17)


16

Trong đó, yk nằm trong khoảng min {xk , yk }, max {xk , yk }. Theo
giả thiết các hàm fk (t) có fkn−1 (yk ) > 0, k = 1, 2, ..., n và đồng biến
bậc n trên I(a,b) nên ta có
fkn−1 (yk )
f k (yk )
(xk − yk ) + ... +
(xk − yk )n−1
fk (xk ) = fk (yk ) +
1!
(n − 1)!

fkn (yk )
+
(xk − yk )n .
n!
và

(1.18)

fk (xk ) fk (yk )
≤
+ (xk − yk )
fk (yk )
fk (yk )
n

k=1

fk (xk )
≤
fk (yk )
n

k=1

n

k=1

fk (yk )
+ (xk − yk )

fk (yk )

fk (xk )
≤
f k (yk )

n

k=1

fk (yk )
f k (yk )

do
x1 + x2 + ... + xn = y1 + y2 + ... + yn , xk = yk , k = 1, 2, ..., n.
Dấu đẳng thức sảy ra khi xk = yk , k = 1, 2, 3...n.
Định lý 1.16. Giả sử n ∈ N∗ là một số lẻ và hai dãy số
{xk , yk ∈ I (a, b) , k = 1, 2, ..., n}
thỏa mãn các điều kiện
x1 + x2 + ... + xn = y1 + y2 + ... + yn , xk = yk , k = 1, 2, ..., n
Khi đó, ứng với mọi hàm f1 (t) , f2 (t) , ..., fn (t) đồng nhất bậc n


17

trên I(a,b) sao cho f1n−1 (yk ) > 0, k = 1, 2, ..., n, ta đều có
n

k=1

n

n

fk (yk )
f k (yk ) (xk − yk )
fk (xk )
≥
+
fkn−1 (yk ) (xk − yk ) k=1 fkn−1 (yk ) (xk − yk ) k=1
1!fkn−1 (yk )
n

+... +
k=1

fkn−1 (xk − yk )n−2
·
(n − 2)!fkn−1 (yk )

(1.19)

Định lý 1.17. Giả sử n ∈ N∗ là một số chẵn và hai dãy số
{xk , yk ∈ I (a, b) , k = 1, 2, ..., n}
thỏa mãn điều kiện
x1 + x2 + ... + xn = y1 + y2 + ... + yn , xk = yk , k = 1, 2, ..., n.
Khi đó, ứng với mọi hàm f1 (t) , f2 (t) , ..., fn (t) đồng nhất bậc n
trên I(a,b) sao cho f1n−1 (yk ) < 0, k = 1, 2, ..., n, ta đều có
n

k=1

fk (xk )
≥
fkn−1 (yk )

n

k=1

fk (yk )
+
fkn−1 (yk )

n

+... +
k=1

n

k=1

fk (yk )(xk − yk )
1!fkn−1 (yk )

fkn−1 (xk − yk )n−2
·
(n − 2)!fkn−1 (yk )

(1.20)

Định lý 1.18. Giả sử n ∈ N∗ là một số lẻ và hai dãy số
{xk , yk ∈ I (a, b) , k = 1, 2, ..., n}
thỏa mãn điều kiện
x1 + x2 + ... + xn = y1 + y2 + ... + yn , xk = yk , k = 1, 2, ..., n.
Khi đó, ứng với mọi hàm f1 (t) , f2 (t) , ..., fn (t) đồng nhất bậc n


18

trên I(a,b) sao cho f1n−1 (yk ) < 0, k = 1, 2, ..., n, ta đều có
n

k=1

n

n

fk (yk )
f k (yk ) (xk − yk )
fk (xk )
≥
+
fkn−1 (yk ) (xk − yk ) k=1 fkn−1 (yk ) (xk − yk ) k=1
1!fkn−1 (yk )
n

+... +

k=1

fkn−1 (xk − yk )n−2
·
(n − 2)!fkn−1 (yk )

(1.21)