Tóm tắt kiến thức toán cấp ba – Trần Phú Hiếu.

TRƯỜNG THPT LÊ LỢI
Tổ: Tốn-Tin

Lý thuyết –Lớp 12: Ơn Thi TNTHPT- Năm 2009

PHẦN I: GIẢI TÍCH
I) Bảng tóm tắc công thức đạo hàm :
Hàm số sơ cấp cơ bản
Hàm hợp ( Hàm mở rộng)
1) (C)’ = 0 ( C: hằng số )
2) (x)’ = 1
/
/
3) ( x α ) = αx α −1 ; (α ∈ R)
* ( u α ) = α .u α −1 .u '
/
4) ( x ) =

1
2 x

/

*

( u)

/

=

1
2 u

.u ' (=

u'
2 u

) ; (u > 0)

/

−1
1
5)  ÷ = 2
x
 x

−1
− u'
1
*   = 2 .u ' (= 2 ) ; ( u ≠ 0 )
u
u
u

1
= 1 + tan 2 x
cos 2 x
−1

2
8) ( cot x ) ' = 2 = −(1 + cot x)
sin x

* ( tan u ) ' =

6) (sinx)’ = cosx
7) ( cosx)’ = - sinx
7) (tanx)’ =

9) (ex)’ = ex
10) (ax)’ = axlna ; (a: hằng số; a> 0)
1
; ( x > 0)
x
1
; (1 ≠ a > 0; x > 0 )
12) ( log a x ) ' =
x ln a

11) ( ln x ) ' =

* ( sinu)’ = u’.cosu
* ( cosu)’ = - u’.sinu

* ( cot u )

/

1

.u '
cos 2 u
−1
=
.u '
sin 2 u

* (eu)’= eu.u’
* ( au)’ = aulna.u’
1
.u ' ; ( u > 0 )
u
1
.u '
* ( logau)’ =
u ln a
( 1 ≠ a > 0; u > 0)

* (lnu)’=

* Ghi Chú: Các hàm số đều có nghĩa
II) Qui tắc tính đạo hàm:
/
/
1) ( u ± v ± ..... ± w) = u '± v'±.... ± w'
u '.v − u.v'
u
4)   =
(v ≠ 0 )
v2

2) (u.v)’ = u’.v + u.v’
v
/
3) ( uvz ) = u ' vz + v' uz + z ' uv
III) Đơn điệu – cực trò . GTLN- GTNN . Lồi – lõm – điểm uốn
A) Đơn điệu:
Hàm số (C) : y = f(x) xác đònh trên D
• Hàm số tăng (đồng biến) trên D <=> y’ ≥ 0 ; ∀x ∈ D
/
• Hàm số giảm ( nghòch biến) trên D <=> y ≤ 0 ; ∀x ∈ D
B) Cực trò: Hàm số (C) : y = f(x)
• Hàm số có cực trò <=> y’ có nghiệm và y’ đổi dấu khi x qua nghiệm đó
• Hàm số không có cực trò <=> y’ không đổi dấu
• Hàm số có 1 cực trò <=> y’ đổi dấu 1 lần
Biên Soạn: Trần Phú Hiếu

1

ĐT: 0908.653.207


TRƯỜNG THPT LÊ LỢI
Tổ: Tốn-Tin

Lý thuyết –Lớp 12: Ơn Thi TNTHPT- Năm 2009

• Hàm số có n cực trò <=> y’ đổi dấu n lần
• Hàm số đạt cực trò x= x0 <=> f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu khi x qua x0
 f ' ( x0 ) = 0
 f " ( x0 ) < 0

• Hàm số đạt cực đại tại x = x0 <=> 

 f ' ( x0 ) = 0
 f " ( x0 ) > 0

• Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 <=> 

* Chú ý: Đối với một hàm số bất kì , hàm số chỉ có thể đạt cực trò tại những mà tại
đó đạo hàm triệt tiêu hoặc dạo hàm không xác đònh.
C) GTLN-GTNN:
* Lập bảng biến thiên của hàm số trên D. Từ đó xác đònh GTLN-GTNN
• Đặc biệt: Khi MXĐ D = [a;b] và hàm số liên tục trên D ta có thể làm như sau:
Bước 1: Tìm y’. Giải y’ = 0 và chọn các nghiệm x1 ; x2 ; ...........;xi thuộc [a;b]
Bước 2: Tính f(x1) ; f(x2) ; ........; f(xi) ; f(a) ; f(b)
Bước 3: Số lớn nhất ( nhỏ nhất) trong các số trên là GTLN (GTNN) cần tìm
IV) Các bước khảo sát và vẽ đồ thò hàm số:
A) Hàm đa thức : (Hàm bậc 3 và hàm trùng phương)
Bước 1 : MXĐ : D = R
Bước 2 : Đạo hàm cấp 1 (y’ = ...)
Bước 5 : Giới hạn – Bảng biến thiên (y’)
Bước 6 : Điểm đặc biệt
Bước 7 : Vẽ đồ thò và kết luận tính đối xứng
B) Hàm phân thức : ( Bâc1/Bậc1 )
Bước 1: MXĐ : D = ...
Bước 2 : Đạo hàm cấp 1 (y’= ...)
Bước 3 : Giới hạn và tiệm cận
Bước 4 : Bảng biến thiên
Bước 5 : Điểm đặc biệt
Bước 6 : Vẽ đồ thò và kết luận tính đối xứng

V) Sự tương giao ( Vò trí tương đối) : Cho (C) : y = f(x) và (D) : y = g(x)
 y = f ( x)
 y = g ( x)

• Toạ độ giao điểm của (C) và (D) là nghiệm của hệ : 

• Biện luận sự tương giao của (C) và (D) :
Bước 1: Lập pt hoành độ giao điểm của (C) và (D) : f(x) = g(x)
Bước 2: Căn cứ vào số nghiệm của phương trình
Số giao điểm của (C)
và (D). ( Số nghiệm pt = số giao điểm của (C) và (D)).

Biên Soạn: Trần Phú Hiếu

2

ĐT: 0908.653.207


TRƯỜNG THPT LÊ LỢI
Tổ: Tốn-Tin

Lý thuyết –Lớp 12: Ơn Thi TNTHPT- Năm 2009

VI) Tiếp tuyến:
Dạng 1: Biết tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến với (C) : y = f(x) tại điểm M(x0 ; y0) ∈ (C ) là :
y – y0 = f’(x0)(x – x0)
Dạng 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến
Phương trình tiếp tuyến với (C) : y = f(x) có hệ số góc k là:

 f ' ( x0 ) = k
 y 0 = f ( x0 )

y – y0 = k(x – x0) với (x0 ; y0) là toạ độ tiếp điểm xác đònh bởi : 

* Chú ý : Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau.
Hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc bằng (-1)
VI) Biện luận số nghiệm phương trình bằng đồ thò. Cho hàm số (C) : y = f(x)
Biện luận phương trình : F(x;m) = 0 ; ( ẩn x ; tham số m)
@ Phương pháp:
* Biến đổi phương trình F(x;m) = 0 về dạng : f(x) = g(m) ; ( g(m) là đường thẳng)
* Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thò:
(C) : y = f(x) ( Đã được vẽ)
(D) : y = g(m) ( đường thẳng cùng phương Ox và cắt Oy tại g(m)
* Dựa vào đồ thò (C) ta kết luận số nghiệm của phương trình
VII) Nguyên hàm – Tích phân
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
I) Bảng nguyên hàm :
Hàm sơ cấp
Hàm hợp

∫ dx = x + C
α
∫ x dx =

∫

xα +1
+ C ; ( α ≠ −1)
α +1

dx
= ln x + C ; ( x ≠ 0 )
x

∫ e dx = e
x

x
∫ a dx =

x

+C

ax
+ C ( 0 < a ≠ 1)
ln a

∫ cos xdx = sin x + C
∫ sin xdx = − cos x + C
1

∫ cos

2

x

1

∫ sin

2

x

∫ du = u + C
α
∫ u du =

∫

du
= ln u + C ; ( x ≠ 0 )
u

∫ e du = e
u

u
∫ a du =

u

+C

au
+ C ( 0 < a ≠ 1)
ln a

∫ cos udu = sin u + C
∫ sin udu = − cos u + C
1

dx = tan x + C

∫ cos

dx = − cot x + C

∫ sin

Biên Soạn: Trần Phú Hiếu

uα +1
+ C ; ( α ≠ −1)
α +1

2

u

1
2

u

du = tan u + C
du = − cot u + C

3

ĐT: 0908.653.207


TRƯỜNG THPT LÊ LỢI
Tổ: Toán-Tin

Lý thuyết –Lớp 12: Ôn Thi TNTHPT- Năm 2009

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
Vấn đề 1: Diện tích hình phẳng:
 (C ) : y = f ( x)
b

(H) :  (C ') : y = g ( x) Khi đó : Diện tích hình (H) là : S = ∫ f ( x) − g ( x) dx
a
 x = a; x = b ( a < b )


Vấn đề 2: Công thức thể tích khối tròn xoay :
(C ) : y = f ( x)
b

2
(
)
H
:
y

=
0
π
Xoay quanh Ox :
Thể tích là : V = ∫ ( f ( x) ) dx

a
 x = a; x = b (a < b)


VIII./ SỐ PHỨC

•

Số i : i = -1

•

Số phức dạng : z = a + bi Với : 

•

Môđun của số phức : z = a 2 + b 2

•

Số phức liên hợp của z = a + bi là z = a − bi

•

a+ bi = c + di ⇔ 

•
•
•

(a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i
(a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i

•
•
•

2

 a : Phan thuc
 b : phan ao

( a, b ∈ R )

a = c
b = d

a + bi ( a + bi ) ( c − di )
=
c + di
c2 + d 2

Các căn bậc hai của số thực a < 0 là : ±i a

Xét phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 ( a khác 0 ; a, b, c ∈ R )
Đặt ∆ = b 2 − 4ac

−b
2a
−b ± ∆
o Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực : x1,2 =
2a
−b ± i ∆
o Nếu ∆ < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức : x1,2 =
2a

o Nếu ∆ = 0 thì phương trình có một nghiệm kép(thực) : x =

Biên Soạn: Trần Phú Hiếu

4

ĐT: 0908.653.207


TRƯỜNG THPT LÊ LỢI
Tổ: Tốn-Tin

Lý thuyết –Lớp 12: Ơn Thi TNTHPT- Năm 2009

PHẦN II: HÌNH HỌC
CHƯƠNG I: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
• Thể tích khối chóp : V =

1
Bh. ( B: diện tích đáy ; h: chiều cao)
3

• Thể tích khối lăng trụ : V = Bh . ( B: diện tích đáy ; h: chiều cao)
• Thể tích khối hộp chữ nhật có kích thước a,b,c là : V = abc
• Thể tích khối lập phương cạnh a là : V = a3
 Chú ý :
* Trong các bài tốn ta thường sử dụng kết quả :Cho khối chóp OABC,trên
các đoạn thẳng OA,OB,OC lần lượt lấy ba điểm A’,B’,C’ khác O.Khi đó :
VO. A'B 'C ' OA' OB' OC '
=
.
.
.
VO. ABC
OA OB OC

Cơng thức về hình nón:Gọi l là độ dài đường sinh của hình nón,h là đường cao,r là bán kính
đáy.
a/ Diện tích xung quanh: Sxq = π rl
b/ Diện tích tồn phần : Stp = Sxq + Sđáy.
1
3

2
c/ Thể tích khối nón: V = π r h

Cơng thức về hình trụ: Gọi l là độ dài đường sinh của hình trụ,r là bán kính đáy.
a/ Diện tích xung quanh: Sxq = 2π rl

b/ Diện tích tồn phần : Stp = Sxq + 2Sđáy.
c/ Thể tích khối trụ: V = π r 2 h ; (h = l)
Cơng thức của hình cầu:
a/ Diện tích mặt cầu: S = 4π r 2 .
4
3

3
c/ Thể tích khối cầu: V = π r .

CHƯƠNG II : TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ ĐIỂM
r

a = ( a1 ; a2 ; a3 )

Cho hai vectơ : r

b = ( b1 ; b2 ; b3 )

a = b
r r  1 1
a) a = b ⇔ a2 = b2
a = b
 3 3
r r
b) a ± b = ( a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 )

c) Tích
vô hướng của hai vectơ:

rr
a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3
r
d) k a = ( ka1 ; ka2 ; ka3 ) ; ( k ∈ R )

Biên Soạn: Trần Phú Hiếu

r

2
2
2
d) a = a1 +a2 +a3
e) Góc giữa hai vectơ :

( )

Gọi ϕ = a; b .Khi đó : cos ϕ =
r

r

rr

f) a ⊥ b ⇔ a.b = 0

5

ĐT: 0908.653.207

a.b
a .b


TRƯỜNG THPT LÊ LỢI
Tổ: Tốn-Tin

Lý thuyết –Lớp 12: Ơn Thi TNTHPT- Năm 2009

Cho hai điểm A(x ;y ; Z ) ; B(xB ; yB ; ZB )


o
o

o

o

A A
A
uuur
AB = ( xB − x A ; yB − y A ; Z B − Z A )
uuur
Độ dài : AB = AB =

( xB − x A )

2

+ ( yB − y A ) + ( Z B − Z A )
2

2

x A + xB

x
=
I

2
 2 xI = x A + x B


y A + yB

⇔  2 yI = y A + yB
I là trung điểm AB.Ta có:  yI =
2

2 z = z + z
 I
A
B

z A + zB
 Z I = 2
x A + xB + xC


 xG =
3

y A + yB + yC

G là trọng tâm tam giác ABC <=>  yG =
3

z A + z B + zc

 zG =
3


TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

r
r
Cho hai vectơ : a = ( a1 ; a2 ; a3 ) va b = ( b1; b2 ; b3 )




r

r

rr

 a2 a3 a3 a1 a1 a2 

;
;
÷
b
b
b
b
b1 b2 
3
3
2
1


Tích có hướng của a va b la :  a; b  = 

MẶT CẦU
Phương trình mặt cầu: Mặt cầu (S) có tâm I(a,b,c),bán kính R dạng:
* (x-a)2 + (y – b)2 + (z-c)2 = R2 (1)
* x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (2)

Chú ý :
• (2) là phương trình mặt cầu  a2 + b2 + c2 – d > 0
• (2) có tâm I(a,b,c) ,bK R = a 2 + b 2 + c 2 − d > 0
KHOẢNG CÁCH
Khoảng cách từ M0(x0;y0;Z0) đến mp ( α ) : Ax + By + CZ + D = 0 là: d(M0; ( α ) ) =

Ax0 + By0 + Cz0 + D

MẶT PHẲNG

Biên Soạn: Trần Phú Hiếu

6

ĐT: 0908.653.207

A2 + B 2 + C 2


TRƯỜNG THPT LÊ LỢI
Tổ: Tốn-Tin

Lý thuyết –Lớp 12: Ơn Thi TNTHPT- Năm 2009

Phương trình tổng quát của mp ( α ) có dạng : Ax + By +

1)
CZ + D = 0 (A2 + B2 + C2 > 0) có :

r

VTPT : n = ( A; B; C )

r

Qua M(x0 ; y0 ; z0 ) và có VTPT n = ( A; B; C ) thì mp ( α )

2)
có dạng :A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
3)

Qua A(a;0;0) ; B(0;b;0) ; C(0;0;c) thì mp (ABC) là :
x y z
+ + = 1 ( Gọi là phương trình theo đoạn chắn)
a b c

( a; b; c ≠ 0 )
r rr
rr
n
a
;
b
4) Qua M(x0 ; y0 ; Z0 ) và có cặp VTCF
thì VTPT là: =  a; b  = ( A; B; C ) là : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z
ĐƯỜNG THẲNG

 Qua M ( x0 ; y0 ; z0 )
r
thì :
VTCF a = ( a1 ; a2 ; a3 )

Đường thẳng ∆ : 

 x = x0 + a1t

 PTTS của ∆ :  y = y0 + a2t ; ( t ∈ R )
z = z +a t
0
3



 PTCT của ∆ :

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
≠ 0)
a1
a2
a3 .(a1,a2,a3

Biên Soạn: Trần Phú Hiếu

7

ĐT: 0908.653.207