Bài tập dãy số(có tóm tắt lý thuyết đầy đủ)

Trường THPT Ba Gia
DÃY SỐ
A/ LÝ THUYẾT :
1) Định nghĩa : Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N
*
được gọi là một
dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số ) .Kí hiệu : u : N
*

→
R
n
a
u(n) .
Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển :
u
1
, u
2
, u
3
, u
4
, ……,u
n, ……,
Trong đó u
n
= u(n) hoặc viết tắt là (u
n
) ,và gọi u
1

là số hạng đầu ,u
n
là số hạng thứ n và là số
hạng tổng quát của dãy số .
2) Dãy số tăng , dãy số giảm :
+ Dãy số (u
n
) được gọi là dãy số tăng nếu ta có u
n+1
> u
n
với mọi n
∈
N
*
.
+ Dãy số (u
n
) được gọi là dãy số giảm nếu ta có u
n+1
< u
n
với mọi n
∈
N
*
.
* Từ đó suy ra :Để chứng minh dãy số (u
n
) tăng , giảm ta làm như sau :

Cách 1 : Lập hiệu u
n+1
- u
n
+ Nếu u
n+1
- u
n
> 0 thì dãy số (u
n
) là dãy số tăng
+ Nếu u
n+1
- u
n
<0 thì dãy số (u
n
) là dãy số giảm
Cách 2 : nếu các số hạng trong dãy đều dương thì ta có thể lập tỉ số
1n
n
u
u
+
+ Nếu
1n
n
u
u
+

>1 thì dãy số (u
n
) là dãy số tăng
+ Nếu
1n
n
u
u
+
< 1 thì dãy số (u
n
) là dãy số giảm
3) Dãy số bị chặn :
+ Dãy số (u
n
) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho : u
n

≤
M ,
n
∗
∀ ∈Ν
.
+ Dãy số (u
n
) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho : u
n

≥

m ,
n
∗
∀ ∈Ν
.
+ Dãy số (u
n
) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới ,tức là tồn tại
các số m ,M sao cho : m
≤
u
n

≤
M ,
n
∗
∀ ∈Ν
.
B / BÀI TẬP :
BÀI 1 :Viết 5 số hạng đầu của các dãy số sau :
GV:Nguyễn Thị Thu Ba
1
Trường THPT Ba Gia
U
n
= 10
1-2n
; U
n

= 3
n

-7 ; U
n
= 3
n
– 2
n
; U
n
=
3
3
n
n
;
U
n
=
2
2 1n
n
+
; U
n
=
3
2
n

n
n

BÀI 2 :Xét tính tăng , giảm của các dãy số (U
n
) biết :
a) U
n
= 2n + 3 g) U
n
=
2
n
n
b) U
n
= 2n
3
– 5n + 1 f) U
n
=
2
3
n
n
c) U
n
= 3
n
– n h) U

n
=
2
3 2 1
1
n n
n
− +
+
d) U
n
=
2
1
n
n +
i) U
n
=
2
2
1
2 1
n n
n
+ +
+
e) U
n
=

2 1
2
n
n
−
+
j) U
n
= n -
2
1n −
f) U
n
=
1
3
2
n
n+
k) U
n
=
1n n
n
+ −

BÀI 3 :Cho dãy số (U
n
) được xác định bởi : U
1

= 1 và U
n+1
= U
n
+7 ,
n
∗
∀ ∈Ν
a) Tính U
2
; U
4
; U
6
b) Cmr : U
n
= 7n - 6 ,
n
∗
∀ ∈Ν
BÀI 4 : Cho dãy số (U
n
) được xác định bởi : U
2
= 2 và U
n+1
= 5.U
n
,
n

∗
∀ ∈Ν
a) Tính U
2
; U
4
; U
6
b) Cmr : U
n
= 2.5
n-1
,
n
∗
∀ ∈Ν
BÀI 5 : Cho dãy số (U
n
) được xác định bởi : U
1
= 1 và U
n+1
= 3U
n
+10 ,
n
∗
∀ ∈Ν
Cmr : U
n

= 2.3
n
– 5 ,
n
∗
∀ ∈Ν
BÀI 6 : Cho dãy số (U
n
) được xác định bởi : U
1
= 2 và U
n+1
= 3U
n
+2n-1 ,
n
∗
∀ ∈Ν
Cmr: U
n
= 3
n
- n ,
n
∗
∀ ∈Ν
GV:Nguyễn Thị Thu Ba
2
Trường THPT Ba Gia
BÀI 7 : Cho dãy số (U

n
) được xác định bởi :
a)
1
1
2
1
2
n
n
U
U
U
+
=



= −


,
n
∗
∀ ∈Ν
b)
1
1
2
1

n n
U
U U
+
=


= −

,
n
∗
∀ ∈Ν
c)
1
1
1
2
3
n n
U
U U
+

=



=


,
n
∗
∀ ∈Ν
Tìm số hạng tổng quát của các dãy số trên
BÀI 8 :Xét tính bị chặn của các dãy số (U
n
) được xác định bởi :
a)
2
2
1
2 3
n
n
U
n
+
=
−
,
n
∗
∀ ∈Ν
b) U
n
=
7 5
5 7
n

n
+
+
,
n
∗
∀ ∈Ν
c) U
n
= 2n
2
+ 2 ,
n
∗
∀ ∈Ν
d) U
n
=
1
( 1)n n +
,
n
∗
∀ ∈Ν
e) U
n
=
2
1
2 3n −

,
n
∗
∀ ∈Ν
GV:Nguyễn Thị Thu Ba
3