Bài tập cấp số nhân(có tóm tắt lý thuyết đầy dủ)

Trường THPT Ba Gia
CẤP SỐ NHÂN
A/lý thuyết :
1/định nghĩa :
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn),trong đó kể từ số hạng thứ hai trở đi
,mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q .
Số q được gọi là công bội của CSN .
Nếu (u
n
) là CSN với công bội q ,ta có công thức truy hồi :
u
n+1
= u
n
. q ,
n
∗
∀ ∈Ν
.
2 ) Số hạng tổng quát của một CSN :
Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u
1
và công bội q thì số hạng tổng quát u
n
được xác định
bởi công thức :
U
n
= u
1
. q

n-1
,
2n∀ ≥
.
3) Tính chất các số hạng của CSN :
Trong một CSN ,bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối ) đều là tích của
hai số hạng đứng kề với nó ,nghĩa là :
2
1 1
.
k k k
u u u
− +
=
,
2k
∀ ≥
.
4/ Tổng n số hạng đầu của một CSN :
Cho cấp số nhân (u
n
) với công bội q
≠
1.đặt
S
n
= u
1
+ u
2

+ …..+u
n
.
Khi đó : s
n
=
1
(1 )
1
n
u q
q
−
−
B/Bài tập :
Bài 1 : Cho dãy số (u
n
) với u
n
=2
2n+1
a) Cmr dãy số (u
n
) là một CSN
b) Số 2048 là số hạng thứ mấy của dãy số này ?
Bài 2 : Viết năm số xen giữa các số 1 và 729 để được một CSN có 7 số hạng .Tính tổng các
số hạng của cấp số này .
Bài 3 : Viết 6 số xen giữa các số -2 và 256 để được một CSN có 8 số hạng .Số hạng thứ 15
là bao nhiêu ?
Bài 4 : Một CSC và một csn đều là các dãy tăng . các số hạng thứ nhất đều bằng 3 ,các số

hạng thứ 2 bằng nhau .Tỉ số giữa các số hạng thứ 3 của csn và csc là
9
5
. Tìm hai cấp số ấy
Bài 5 : Cho 4 số nguyên dương ,trong đó 3 số đầu lập thành một csc ,3 số sau lập thành một
csn .biết rằng tổng của số hạng đầu và cuối là 37 ,tổng của hai số hạng giữa là 36 .Tìm 4 số
đó .
Bài 5 : Các dãy số (u
n
) sau đây ,dãy số nào là csn ?
1
Trường THPT Ba Gia
a) u
n
=(-5)
2n+1
; b) u
n
=(-1)
n
.3
3n+1
;
c)
1
2
1
2
n n
u

u u
+
=


=

d)
1
1
1
2
5
n n n
u
u u u
+
=



= +


Bài 6 : CSN (u
n
) có :
1 5
2 6
51

102
u u
u u
+ =


+ =

a) Tìm số hạng đầu và công bội của CSN ;
b) Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên sẽ bằng 3069 ?
c) Số 12 288 là số hạng thứ mấy ?
Bài 7 : Tìm các số hạng của CSN (u
n
) ,biết
a) q=2 , u
n
=96 ,s
n
=189 ;
b) u
1
=2 , u
n
=
1
8
,s
n
=
31

8
.
Bài 8 : Tìm số hạng đầu và công bội của CSN (u
n
) ,biết :
a)
5 1
4 2
15
6
u u
u u
− =


− =

; b)
2 4 5
3 5 6
10
20
u u u
u u u
− + =


− + =

Bài 9 : Bốn số lập thành một cấp số cộng .lần lượt trừ đi mỗi số ấy cho 2,6,7,2 ta nhận

được một cấp số nhân .Tìm các số đó .
Bài10 : Viết 4 số xen giữa các số 5 và 160 để được một cấp số nhân .
Bài 11 : Ba số khác nhau có tổng bằng 114 có thể coi là ba số hạng liên tiếp của một cấp số
nhân ,hoặc coi là các số hạng thứ nhất , thứ tư và thứ 25 của một cấp số cộng .Tìm các số
đó .
Bài 11 : Ba số có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân ,hoặc
là các số hạng thứ 2 ,thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng . Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng
đầu của cấp số cộng để tổng của chúng là 820 ?
Bài 12 : Một cấp số cộng và một cấp số nhân có số hạng thứ nhất bằng 5 ,số hạng thứ hai
của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10 ,còn các số hạng thứ 3 bằng
nhau .Tìm các cấp số ấy .
Bài 13 : Trong các dãy số sau ,dãy số nào là cấp số nhân ? Hãy xác định công bội của cấp
số nhân đó .
2
Trường THPT Ba Gia
a) Dãy số (a
n
) xác định bởi a
1
=1 và a
n+1
=
7
n
a
với
1n
∀ ≥
;
b) Dãy số (b

n
) xác định bởi b
1
=3 và b
n+1
=
n
b
n
với
1n
∀ ≥
;
c) Dãy số (c
n
) xác định bởi c
1
=2 và c
n+1
=
6
n
c
với
1n
∀ ≥
;
d) Dãy số (d
n
) mà d

n+1
=3d
n
với
1n∀ ≥
;
Bài 14 : Cho một cấp số nhân có 5 số hạng với công bội dương . biết rằng số hạng thứ 2
bằng 3 và số hạng thứ 4 bằng 6 .Hãy tìm các số hạng còn lại của cấp số nhân đó .
Bài 15 : Một cấp số nhân có 7 số hạng với công bội và số hạng đầu là các số âm . biết rằng
tích của số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 bằng 5184 , tích của số hạng thứ 5 và số hạng thứ 7
bằng 746 496 .Hãy tìm cấp số nhân đó .
Bài 16 : Cho một cấp số nhân có 7 số hạng ,số hạng thứ 4 bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243
lần số hạng thứ 2 . Hãy tìm các số hạng còn lại của cấp số nhân đó .
Bài 17 : Cho CSN (u
n
) có u
20
=8u
17
và u
3
+u
5
=272 .Hãy tìm số hạng đầu và công bội của cấp
số nhân đó .
Bài 18 : Cho CSN (u
n
) có 6u
2
+5u

1
=1và 3u
3
+2u
4
=-1 . Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số
nhân đó .
Bài 19 : Cho CSN (u
n
) có công bội q
( )
0;1∈
.Hãy tíng tổng 25 số hạng đầu tiên của cấp số
nhân đó ,biết rằng u
1
+u
3
=3 và
2 2
1 3
5u u+ =
Bài 20 :Cho dãy số (u
n
) xác định bởi : u
1
=2 và u
n+1
=3
2
n

u
-10 với
1n
∀ ≥
;
Cmr: Dãy số (u
n
) vừa là cấp số cộng ,vừa là cấp số nhân .
Bài 21 : Ba số x,y,z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q
≠
1;đồng
thời ,các số x,2y,3z theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộngvới công sai khác 0 .Hãy tìm q
.
Bài 22 : Ba số x,y,z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân ;đồng thời chúng lần lượt là
số hạng đầu , số hạng thứ ba và số hạng thứ chín của một cấp số cộng .Hãy tìm ba số đó
,biết rằng tổng của chúng bằng 13 .
Bài 23 : Ba số x,y,z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân ;ba số x ,y-4 ,z theo thứ tự đó
cũng lập thành một cấp số nhân ;đồng thời ,các số x ,y-4 ,z-9 theo thứ tự đó lập thành một
cấp số cộng .Hãy tìm x,y,z .
3
Trường THPT Ba Gia
Bài 24 : Các số x+5y ,5x+2y ,8x+y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng ;đồng thời các
số (y-1)
2
,xy-1 ,(x+2)
2
theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân .Hãy tìm x và y .
4