Bài toán tối ưu tuyến tính với ràng buộc bù tuyến tính trong không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

MẠC VĂN TOÁN

BÀI TOÁN TỐI ƯU TUYẾN TÍNH VỚI RÀNG BUỘC
BÙ TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

MẠC VĂN TOÁN

BÀI TOÁN TỐI ƯU TUYẾN TÍNH VỚI RÀNG BUỘC
BÙ TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. NGUYỄN NĂNG TÂM

HÀ NỘI, 2016

i

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm, Thầy
đã trực tiếp giảng dạy, tận tình hướng dẫn và tạo mọi điều kiện giúp tôi hoàn
thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Giám đốc Sở, Phòng Kế hoạch Tài chính Sở
Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bắc Giang và gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận
lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2; các thầy giáo, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ
tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ và động viên
để tôi hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Mạc Văn Toán


ii

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn này do tôi hoàn thành dưới sự hướng dẫn của
PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm.
Trong quá trình hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà toán học với sự trân trọng và biết ơn sâu sắc. Luận văn này không
trùng lặp với bất kỳ luận văn, luận án khác. Các kết quả trích dẫn trong luận
văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Mạc Văn Toán


iii

Mục lục

Lời cảm ơn

i

Lời cam đoan

ii

Các ký hiệu thường dùng

1

Lời mở đầu

2

1

Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Tôpô yếu trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3

Toán tử trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4

Bài toán bù tuyến tính trong không gian Hilbert . . . . . . .

13

2

Bài toán quy hoạch tuyến tính với ràng buộc bù tuyến tính

15

2.1

Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.1.1

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1.2

Ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2

Tìm một nghiệm chấp nhận được . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.3

Tìm một điểm dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.4

Tìm một cực tiểu toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.5

Vấn đề giải bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.5.1

Các bài toán đối ngẫu với tham số tự do . . . . . . .

30

2.5.2

Tập Z và công thức minimax . . . . . . . . . . . . .

32


iv

2.6

3

Tiếp cận Benders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Bài toán tối ưu tuyến tính với ràng buộc bù trong không gian
Hilbert

40

3.1

Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.2

Tập ràng buộc của bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.2.1

Một số kết quả cho nón đa diện . . . . . . . . . . .

42

3.2.2

Kết quả tồn tại trong trường hợp nón tổng quát . . .

43

3.2.3

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

Kết luận

49

Tài liệu tham khảo

50


1

Các ký hiệu thường dùng
R

Đường thẳng thực

∅

Tập hợp rỗng

|x|

Giá trị tuyệt đối của x

H

Không gian Hilbert

Rn

Không gian Hilbert n chiều

·

Chuẩn trong không gian Hilbert

intC

Phần trong của C

C

Bao đóng của C

x, y , xT y

Tích vô hướng của phần tử x và y

H∗

Không gian liên hợp của H

inf g

Cận dưới đúng của ánh xạ g

sup g

Cận trên đúng của ánh xạ g

S⊥

Phần bù trực giao của S

x⊥y

x trực giao với y

RanT

Ảnh của toán tử T

KerT

Hạt nhân của toán tử T

A∗

Toán tử liên hợp của toán tử A

K∗

Nón đối ngẫu của nón K

spanC

Không gian con sinh bởi C

∂C

Biên của C

LCP(T, K, q)

Bài toán bù tuyến tính suy rộng


2

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Cho H là một không gian Hilbert với tích vô hướng ·, · và K là một nón
lồi, đóng trong H với nón đối ngẫu K ∗ = {y ∈ H : x, y

0, ∀x ∈ K} .

Bài toán bù tuyến tính LCP(f, K) xác định bởi ánh xạ affin liên tục f :
H → H và nón K là tìm x0 ∈ K sao cho f (x0 ) ∈ K ∗ và f (x0 ), x0 = 0.
Bài toán tối ưu tuyến tính với ràng buộc bù tuyến tính trong H là bài toán

có dạng:



min c, x



với x ∈ Sol(LCP(f, K)),

trong đó c là phần tử cố định của H, Sol(LCP(f, K)) là tập nghiệm của bài
toán bù LCP(f, K).
Bài toán tối ưu tuyến tính với ràng buộc bù tuyến tính trong không gian
Hilbert là một bài toán quen biết trong cả lý thuyết cũng như trong tính toán,
có nhiều ứng dụng trong lý thuyết cũng như trong thực tế. Nhiều tác giả trong
và ngoài nước đã và đang quan tâm nghiên cứu bài toán này theo nhiều hướng,
nhiều khía cạnh.
Sau khi học được các kiến thức về Toán giải tích, với mong muốn tìm hiểu
sâu hơn về các kiến thức đã học, mối quan hệ và ứng dụng của chúng. Tôi đã
chọn đề tài nghiên cứu "Bài toán tối ưu tuyến tính với ràng buộc bù tuyến
tính trong không gian Hilbert".
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu và nghiên cứu một số tính chất định tính của bài toán tối ưu tuyến
tính với ràng buộc bù tuyến tính trong không gian Hilbert.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu những tính chất định tính của bài toán tối ưu tuyến tính với
ràng buộc bù tuyến tính trong không gian Hilbert.


3

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Bài toán tối ưu tuyến tính với ràng buộc bù tuyến
tính trong không gian Hilbert.
Phạm vi nghiên cứu: Những tính chất định tính.
5. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến đề tài
và sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm.
6. Những đóng góp mới
Trình bày được một cách có hệ thống và làm rõ được một số tính chất của
bài toán tối ưu tuyến tính với ràng buộc bù tuyến tính trên không gian Hilbert
theo những tài liệu đã được các nhà khoa học nghiên cứu và công bố. Một số
kết quả tổng quát đã được diễn giải và tính toán lại một cách chi tiết.


4

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về không
gian Hilbert, một số toán tử trên không gian Hilbert và bài toán bù tuyến tính
trên không gian Hilbert.
Nội dung trình bày ở chương này chủ yếu được lấy từ các tài liệu tại [1, 2].

1.1

Không gian Hilbert

Cho H là không gian vectơ trên trường số thực R.
Định nghĩa 1.1.

Ta gọi mỗi ánh xạ
., . : H × H → R;

(x, y) → x, y

là một tích vô hướng trên H nếu các điều kiện sau đây thỏa mãn: với mọi
x, y, z ∈ H và α ∈ R
i) x, y = y, x ,
ii) αx, y = α x, y ,
iii) x, y + z = x, y + x, z ,
iv) x, x

0,

x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0.

Số x, y được gọi là tích vô hướng của x và y.


5

Lưu ý. Trong những phần sau của luận văn, ta cũng thường kí hiệu số
x, y bởi xT y.
Không gian vectơ H cùng với một tích vô hướng xác định được gọi là
không gian có tích vô hướng và thường được viết là (H, ., . ).
Mệnh đề 1.1.
Cho không gian vectơ H cùng với một tích vô hướng ., . xác định. Khi đó
công thức
x, x

x =
xác định một chuẩn trên H.
Định nghĩa 1.2.

Nếu không gian có tích vô hướng (H, ., . ) với chuẩn xác định như trên là
một không gian đủ, thì ta gọi (H, ., . ) là một không gian Hilbert.
Ta gọi số chiều của H là số chiều của không gian Hilbert (H, ., . ).
Ví dụ 1.1.1.
Lấy H = Rn . Với x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ H biểu thức
n

x, y =

xi yi
i=1

xác định một tích vô hướng trên không gian Rn và với chuẩn
x =

x, x .

Khi đó, Rn trở thành một không gian Hilbert hữu hạn chiều.
Định nghĩa 1.3.
Tập S ⊂ H được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ S, đoạn thẳng nối x, y đều
nằm trong S. Nói cách khác, S ⊂ H là tập lồi khi và chỉ khi:
∀x, y ∈ S, ∀λ ∈ [0, 1] ta có λx + (1 − λ) y ∈ S.


6

Định nghĩa 1.4.
Cho K ⊂ H là một tập hợp khác rỗng. K được gọi là nón nếu ∀λ

0 và

x ∈ K ta luôn có λx ∈ K.
Nón K được gọi là nón lồi nếu K là tập lồi.
Nón K được gọi là nón lồi đóng nếu K vừa là nón lồi vừa là tập đóng.
Định nghĩa 1.5.
Cho một tập hợp khác rỗng S ⊂ H. Nón đối ngẫu của S, được ký hiệu là
S ∗ , là tập hợp {y ∈ H | x, y

0, ∀x ∈ S}. Nếu S là tập rỗng thì nón đối

ngẫu sẽ là H.
Định lý 1.1.
Cho H là không gian Hilbert với x, y ∈ H ta luôn có bất đẳng thức sau
| x, y |

x y .

Bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức Cauchy- Schwarz.
Chứng minh.
Nếu x = 0 thì hiển nhiên nhiên bất đẳng thức Cauchy- Schwarz đúng. Xét
trường hợp x = 0. Với t ∈ R, đặt ϕ(t) = tx + y, tx + y . Theo định nghĩa
tích vô hướng ta có ϕ(t)

0, ∀t. Ta lại có

ϕ(t) = x, x t2 + 2 x, y t + y, y

là một tam thức bậc hai biến t.
Do tính không âm của ϕ(t) ta phải có ∆ = x, y
đây suy ra | x, y |

x

2

− x, x . y, y

y .

Ta có điều phải chứng minh.

Định lý 1.2. Cho H là một không gian Hilbert. Khi đó
·, · : H × H → R
là một hàm liên tục.

0. Từ


7

Chứng minh.
Cho {xn }, {yn } là hai dãy trong không gian Hilbert H lần lượt hội tụ về
x0 và y0 . Khi đó, ta có
| xn , yn − x0 , y0 |

| xn , yn − xn , y0 | + | xn , y0 − x0 , y0 |
= | xn , yn − y0 | + | xn − x0 , y0 |

xn

yn − y0 + xn − x0

y0 .

Theo giả thiết {xn } hội tụ trong H nên nó bị chặn, nghĩa là tồn tại số α > 0
sao cho xn

α với mọi số tự nhiên n. Vì vậy, ta có

| xn , yn − x0 , y0 |

α y n − y0 + x n − x 0

y0 .

Chuyển qua giới hạn ta được
lim | xn , yn − x0 , y0 | = 0.

n→∞

Vậy định lý được chứng minh.
Định lý 1.3.
Cho S là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert H. Khi
đó, với mỗi x ∈ H tồn tại duy nhất y ∈ S sao cho
x − y = inf{ x − z | z ∈ S}.
Ta kí hiệu d(x, S) = inf{ x − z | z ∈ S}.
Định nghĩa 1.6.
Hai phần tử x, y của không gian Hilbert H gọi là trực giao nếu x, y = 0,

kí hiệu x⊥y.
Nếu S là một tập con của không gian Hilbert H thì tập
S ⊥ = {x ∈ H | x⊥y,
gọi là phần bù trực giao của S.

∀y ∈ S}


8

Từ Định nghĩa 1.6 ta suy ra tính chất đơn giản sau:
1) 0⊥x ∀x ∈ H;
2) Nếu x⊥y thì y⊥x;

n

3) Nếu x⊥yi , yi ∈ H, i = 1, . . . , n thì x⊥

αi yi , ∀αi ∈ R, i = 1, 2, . . . , n
i=1

4) x ∈ H, (yn ) ⊂ H, yn → y khi n → ∞. Nếu x⊥yn (n ∈ N∗ ) thì x⊥y.
Định lý 1.4.
Giả sử S là một không gian con đóng của không gian Hilbert H. Khi đó
mỗi phần tử x ∈ H biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng x = y + z,
trong đó y ∈ S và z ∈ S ⊥ .
Chứng minh.
Nếu x ∈ S thì đặt y = x, z = 0. Ta có khẳng định đúng. Xét trường hợp
x∈
/ S. Vì S đóng nên tồn tại duy nhất y ∈ S sao cho x − y = d(x, S).

Đặt z = x − y, ta có x = y + z. Ta phải chứng minh z ∈ S ⊥ .
Thật vậy, với mọi α ∈ R, u ∈ S ta có
z = x−y

x − (y + αu)

= z − αu .
Từ đó suy ra
z

2

z − αu, z − αu
= z

2

− α u, z − α z, u + α2 u 2 .

Chọn α = z, u và u , ta suy ra 0

−| z, u |2 . Do đó, z, u = 0 với mọi

u ∈ S và u = 1. Như vậy ta đã chỉ ra z ∈ S ⊥ .
Tiếp theo ta chứng minh sự biểu diễn là duy nhất, giả sử x = y1 + z1 với
y1 ∈ S, z1 ∈ S ⊥ . Khi đó, y − y1 = z1 − z, ta có y − y1 ∈ S và y − y1 ∈ S ⊥ .
Từ đó suy ra y − y1 , y − y1 = 0. Do vậy y = y1 và do đó z = z1 .
Vậy định lý được chứng minh.

9

Định nghĩa 1.7.
Theo định lý trên, mọi x ∈ H đều biểu diễn được duy nhất dạng x = y + z
với y ∈ S, z ∈ S ⊥ . Như vậy, H = S ⊕ S ⊥ . Ánh xạ P : H → S, xác định
P (x) = y với x = y + z ∈ S ⊕ S ⊥ , được gọi là phép chiếu trực giao từ H lên
S
Định lý 1.5.
Phép chiếu trực giao P từ không gian Hilbert H lên không gian con đóng
S = {0} là một toán tử tuyến tính liên tục.
Chứng minh.
Với x1 , x2 ∈ H, α ∈ R, theo định lý 1.4 ta có
x1 = P x1 + z1 ; x2 = P x2 + z2 ,
trong đó z1 , z2 ∈ S ⊥ .
Vì vậy
x1 + x2 = P x1 + P x2 + z1 + z2 ,
trong đó P x1 + P x2 ∈ S, z1 + z2 ∈ S ⊥ . Từ tính duy nhất của sự biểu diễn
trong định lý trên ta suy ra
P (x1 + x2 ) = P x1 + P x2 .
Tương tự P (αx1 ) = αP (x1 ). Vậy P tuyến tính.
Mặt khác, với x ∈ H ta có
x

2

= Px

2

+ z

2

P x 2.

Từ đó suy ra P bị chặn. Vậy P liên tục. Định lí được chứng minh.
Định lý 1.6 (Định lý F.Riesz).
Với mỗi vectơ a cố định thuộc không gian Hilbert H, hệ thức:
f (x) = a, x

(1.1)


10

xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục f (x) trên không gian H, với
f = a .

(1.2)

Ngược lại bất kì phiếm hàm tuyến tính liên tục nào trên không gian Hilbert
H cũng đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng (1.1), trong đó a là một vectơ
của H thỏa mãn (1.2).
Định lý trên cho phép ta thiết lập một tương ứng đôi một giữa hàm tuyến
tính liên tục f trên H và vectơ a ∈ H. Tương ứng đó là một phép đẳng cự
tuyến tính, cho nên nếu ta đồng nhất phiếm hàm f với các vectơ a sinh ra nó
thì ta có H∗ = H, nghĩa là: Không gian Hilbert trùng với không gian liên hợp
của nó.

1.2

Tôpô yếu trong không gian Hilbert

Định nghĩa 1.8.
Tôpô yếu nhất trên H để các ánh xạ f ∈ H∗ liên tục được gọi là tôpô yếu
trên H.
Mệnh đề 1.2.
Dãy {xk } ⊂ H hội tụ yếu đến x ∈ H nếu và chỉ nếu f (xk ) → f (x) với
mọi f ∈ H∗ .
Chứng minh.
Giả sử {xk } hội tụ yếu đến x và f ∈ H∗ . Với mọi ε > 0 tồn tại k0 để
xk ∈ U (f, x¯, ε) với mọi k
với mọi k

k0 . Nhưng điều đó có nghĩa là |f (xk )−f (x)| < ε

k0 . Vậy f (xk ) → f (x).

Bây giờ giả sử f (xk ) → f (x) với mọi f ∈ H∗ . Lấy lân cận tùy ý có dạng
U (f1 , f2 , . . . , fp , x, ε) của x. Vì fi (xk ) → fi (x) với i = 1, . . . , p nên tồn tại
k0 để |fi (xk ) − fi (¯
x)| < ε với mọi k

k0 , i = 1, 2, . . . , p. Điều này có nghĩa

là xk ∈ U (f1 , f2 , . . . , fp , x, ε) với mọi k

k0 , tức là xk hội tụ yếu đến x.

11

Mệnh đề 1.3.
Hình cầu đơn vị đóng trong không gian Hilbert H là compact yếu.

1.3

Toán tử trong không gian Hilbert

Cho A là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H. Với mỗi
y ∈ H cố định, ta xét phiếm hàm f : H → R được xác định như sau:
f (x) = Ax, y , x ∈ H.
Định nghĩa 1.9.
Cho A là một toán tử trong không gian Hilbert H,
ánh xạ A∗ : H → H được xác định như sau:
∀y ∈ H, A∗ y = y ∗
trong đó
Ax, y = x, A∗ y = x, y ∗ .
Khi đó A∗ được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A.
Định lý 1.7.
Giả sử H là một không gian Hilbert và A là một toán tử liên tục từ H vào
H. Khi đó: A∗∗ = A và A∗∗ = A .
Định lý 1.8.
Giả sử H là không gian Hilbert và A, B là toán tử liên tục từ H vào H,
λ ∈ R. Khi đó:
(A + B)∗ = A∗ + B ∗ ,
(λA)∗ = λA∗ ,
(B ◦ A)∗ = A∗ ◦ B ∗ .

12

I ∗ = I (I là toán tử đồng nhất trên H).
Định lý 1.9.
Giả sử H là không gian Hilbert và A là một toán tử liên tục từ H vào
H. A là một phép đồng phôi khi và chỉ khi A∗ là một phép đồng phôi và
(A∗ )−1 = (A−1 )∗ .
Định nghĩa 1.10.
Với M ⊂ H, ta kí hiệu spanM là không gian tuyến tính nhỏ nhất của
H chứa M , intM là phần trong của M trong H, ∂M là biên của tập M và
M ⊥ = {x ∈ H : x, e = 0 ∀e ∈ M } = 0. Với mỗi toán tử T , chúng ta
viết RanT = {T x : x ∈ H}, KerT = {x ∈ H : T x = 0} lần lượt là ảnh và
nhân của T .
Định nghĩa 1.11.
Cho H là một không gian Hilbert, T là một toán tử tuyến tính bị chặn trên
H, K là nón lồi, đóng trong H. Ta nói T là đồng dương cộng trên K nếu:
i) h ∈ K ⇒ T h, h

0;

ii) h ∈ K và T h, h = 0 ⇒ (T + T ∗ )h = 0.
Định nghĩa 1.12.
Cho H là một không gian Hilbert, T là một toán tử tuyến tính bị chặn trên
H, K là nón lồi, đóng trong H. Ta nói T là đơn điệu trên K nếu
T x − T y, x − y

0; x, y ∈ K.

Định nghĩa 1.13.
Cho M là một tập trong không gian Hilbert H. M được gọi là khả ly nếu

M chứa một tập con đếm được trù mật trong M .
Định nghĩa 1.14.
Nón K trong không gian H được gọi là mỏng nếu K khả ly và vectơ 0
không thuộc vào bao đóng yếu của tập {h ∈ K : h = 1}.


13

Lưu ý rằng, mọi nón trong không gian hữu hạn chiều của H đều mỏng
(xem [4]).
Với α > 0 và phần tử e = 0 cố định trong không gian Hilbert khả ly H ta
có nón {x ∈ H : x, e

α x

e } là mỏng (xem [4]).

Định nghĩa 1.15.
Nón K trong H được gọi là một nón đa diện nếu tồn tại một tập hợp hữu
hạn {a1 ; a2 ; .....an } ⊂ K sao cho
n

K=

x∈H:x=

λm am , λm

0 .

m=1

Chúng ta lưu ý rằng hình nón đa diện luôn mỏng.
Định nghĩa 1.16.
Với q1 , q2 ∈ H, ta kí hiệu q2 ⊗ q1 là toán tử tuyến tính trên H xác định bởi
(q2 ⊗ q1 )(x) = q1 , x (q2 )
Định nghĩa 1.17.
Ánh xạ ϕ từ K vào R được gọi là nửa liên tục dưới đối với tôpô yếu của
H nếu như:
lim inf ϕ(y)

ϕ(x)

khi y hội tụ yếu đến x trong K.

1.4

Bài toán bù tuyến tính trong không gian Hilbert

Định nghĩa 1.18. Cho tập K ⊂ H, K = ∅. Nón đối ngẫu của K, ký hiệu K ∗ ,
là tập hợp {y ∈ H| x, y

0, ∀x ∈ K}.

Định nghĩa 1.19. Cho H là một không gian Hilbert với tích vô hướng ., .
K là nón lồi, đóng trong không gian H với nón đối ngẫu K ∗ . Bài toán bù, ký
hiệu là CP(f, K) xác định bởi ánh xạ f đi từ không gian Hilbert H vào chính
nó và nón K là tìm vectơ x0 ∈ K sao cho f (x0 ) ∈ K ∗ và f (x0 ), x0 = 0.

14

Kết luận
Nội dung chính của chương bao gồm một số kiến thức cơ sở về không gian
Hilbert thực và toán tử đơn tuyến tính trên không gian Hilbert. Những nội
dung trình bày trong chương này sẽ được sử dụng trong phần sau.


15

Chương 2
Bài toán quy hoạch tuyến tính với ràng
buộc bù tuyến tính
Chương này trình bày một số nội dung về bài toán quy hoạch tuyến tính
với ràng buộc bù tuyến tính trong Rn . Những nội dung này được viết dựa trên
bài báo tại [7], [8].

2.1

Phát biểu bài toán

Cho c ∈ Rn , d ∈ Rm , q ∈ Rn , M ∈ Rn×n và N ∈ Rn×m . Xét bài toán quy
hoạch tuyến tính với ràng buộc bù tuyến tính (LPCC) tìm (x, y) ∈ Rn × Rm
sao cho
min f (x, y)

= cT x + dT y

với điều kiện x
và

(1)

0

(2)

y ∈ Ky ,
w = q + Mx + Ny

(3)
0

(4)

xT (q + M x + N y) = 0,

(5)

(2.1)

trong đó Ky là một tập đa diện trong Rm . Các điều kiện (2)-(4) được gọi là
các ràng buộc tuyến tính, điều kiện (5) được gọi là ràng buộc bù, hàm f gọi là
hàm mục tiêu. Ta sẽ gọi mỗi bộ (x, y, w) thỏa mãn tất cả các ràng buộc tuyến
tính trong (2.1) là một nghiệm chấp nhận được tuyến tính của (LPCC). Tập
gồm tất cả các nghiệm chấp nhận được tuyến tính của (LPCC) được gọi là tập


16

chấp nhận được tuyến tính của (LPCC) và kí hiệu Kl . Một (LPCC) được gọi
là chấp nhận được tuyến tính (tương ứng, không có nghiệm chấp nhận được
tuyến tính) nếu Kl = ∅ (tương ứng, Kl = ∅).
Như phát biểu ở trên, ràng buộc bù trong bài toán (2.1) là tương đương
với n ràng buộc xi wi = 0, i = 1, . . . , n. Một nghiệm (x, y, w) của (LPCC)
được gọi là bù nếu n điều kiện này đúng, nghĩa là với mỗi i = 1, . . . , n, có
ít nhất một biến thành phần xi = 0 hoặc wi = 0. Ta gọi mỗi (x, y, w) mà
vừa là nghiệm tuyến tính vừa là nghiệm bù là một nghiệm chấp nhận được
của (LPCC). Tập gồm tất cả các nghiệm chấp nhận được của bài toán (LPCC)
được gọi tập chấp nhận được của (LPCC) và kí hiệu là K. Một (LPCC) được
gọi là có phương án chấp nhận được (tương ứng, không có phương án chấp
nhận được) nếu K = ∅ (tương ứng, K = ∅).
Tập nghiệm của bài toán (LPCC) 2.1 sẽ được kí hiệu là SOL(2.1).
Chúng ta thấy rằng (LPCC) là tương đương với cực tiểu hóa một số các
bài toán quy hoạch tuyến tính, mỗi bài được định nghĩa trên một mảnh của
tập chấp nhận được của (LPCC). Mỗi tập con α của {1, . . . , m} với phần bù
α
¯ chúng ta xét LP(α):
min f (x, y)

= cT x + dT y

với điều kiện x

0
(2.2)

y ∈ Ky
wα = (q + M x + N y)α
và

0 và xα = 0

wα¯ = (q + M x + N y)α¯ = 0 và xα¯

0

Các khẳng định sau là hệ quả của các tính chất thay thế điều kiện bù.
Nhận xét 2.1.
(a) LPCC (2.1) không có phương án chấp nhận được nếu và chỉ nếu LP
(α) không có phương án chấp nhận được với mọi α ⊆ {1, . . . , m};
(b) LPCC (2.1) có phương án chấp nhận được và hàm mục tiêu không bị
chặn nếu và chỉ nếu LP (α) có phương án chấp nhận được và có một hàm mục


17

tiêu không bị chặn đối với một số α ⊆ {1, . . . , m};
(c) LPCC (2.1) là có phương án chấp nhận được và đạt một giá trị tối ưu
hữu hạn khi và chỉ khi một tập hợp con α ⊆ {1, . . . , m} tồn tại sao cho LP
(α) có phương án chấp nhận được và (b) mỗi LP(α) có phương án chấp nhận
được như vậy có một giá trị tối ưu hữu hạn; trong trường hợp này, giá trị tối
ưu của LPCC (2.1), ký hiệu là LPCCmin , là tối thiểu của các giá trị tối ưu của
tất cả các bài toán LP có phương án chấp nhận được như vậy.
(d) Tập nghiệm SOL(2.1) của bài toán LPCC (2.1) luôn là tập đóng. Thật
vậy, giả sử (xk , y k ) ⊂ SOL(2.1) là một dãy các nghiệm của bài toán LPCC
(2.1) và (xk , y k ) → (x0 , y 0 ). Ta chỉ ra (x0 , y 0 ) ∈ SOL(2.1). Lấy x, y bất kì
thỏa mãn hệ (2)-(5). Vì (xk , y k ) là nghiệm của bài toán LPCC (2.1), ta có
cT xk + dT y k

cT x + dT y
xk

0

y k ∈ Ky k
w k = q + M xk + N y k

(2.3)
0

(xk )T (q + M xk + N y k ) = 0
Cho k → ∞ ta nhận được
cT x0 + dT y 0

cT x + dT y
x0

0

y 0 ∈ Ky 0
w 0 = q + M x0 + N y 0

(2.4)
0

(x0 )T (q + M x0 + M y 0 ) = 0
Vì (x, y) là phần tử bất kì thỏa mãn (2)-(5), hệ trên cho ta (x0 , y 0 ) ∈ SOL(2.1).
Vậy, ta có điều phải chứng minh.

18

2.1.1

Ví dụ

Xét n = 1, c = 1, d = 1,m = 1, M = 1, N = 2, q = −3, Ky = R+ . Khi
đó, bài toán (2.1) trở thành
min f (x, y)

=x+y

với điều kiện x

0

y

0,

và

(2.5)

w = −3 + x + 2y

0

x(−3 + x + 2y) = 0,

2.1.2

Ví dụ.

Xét n = 2, c = (0, 1), d = (1, 0), m = 2,

M=

1 0
1 0

,

N=

0 −1
1

0

,

q=

0
−1

Ky = R+ × R+ . Khi đó, bài toán (2.1) trở thành

min f (x, y)

= x 2 + y1

với điều kiện x1

0, x2

0,

y1

0, y2

0

và

w1 = x1 − y2

(2.6)
0, w2 = −1 + x1 + y1

0

x1 (x1 − y2 ) = 0, x2 (−1 + x1 + y1 ) = 0.

2.2

Tìm một nghiệm chấp nhận được

Xét bài toán (2.1).
Dựa vào ràng buộc bù trong bài toán (2.1), K có thể là tập không lồi. Ví
dụ sau minh họa các định nghĩa trên:
min f (x1 , y1 ) = x1 + 2y1

(2.7)


19

với điều kiện w1 = 2 + x1 − y1
x1

0, w1

0, y1

(2.8)

0

(2.9)

x1 w1 = 0

(2.10)

x1 + y1

1

(2.11)

Tập chấp nhận được tuyến tính Kl và tập chấp nhận được K được biểu diễn
trong Hình 2.1. Tập Kl là miền gạch sọc và K là hợp của đoạn thẳng [1, 2] trên
trục y1 với một phần của đường thẳng y1 = 2 + x1 (w1 = 0) về bên phải của
trục y1 . Suy ra rằng (LPCC) là có phương án chấp nhận được (chấp nhận được
tuyến tính) và tập chấp nhận được K là không lồi. Hơn nữa, có một nghiệm
tối ưu toàn cục duy nhất cho bài toán (LPCC) này là điểm (x1 = 0, y1 = 1).
Vì tập chấp nhận được của (LPCC) là không lồi, nên tìm một phương án chấp

Hình 2.1: Tập chấp nhận được tuyến tính và tập chấp nhận được của ví dụ

nhận được nói chung là một mục tiêu khó. Thật ra, để tìm nghiệm chấp nhận
được ta phải giải bài toán bù tuyến tính tổng quát (GLPC). Bài toán này được
nghiên cứu trong [6], [7] và nó là mở rộng của bài toán bù nổi tiếng (LCP).
(LCP) được nghiên cứu sâu sắc trong vài năm gần đây [7] và bao gồm tìm
nghiệm của hệ sau
w = q + M x, x

0, w

0, xT w = 0

(2.12)

Như nghiên cứu trong [5], [7] lớp các ma trận M đóng một vai trò quan trọng