Bài toán tối ưu với hàm thuần nhất dương

đại học Thái Nguyên
Tr-ờng đại học khoa học
-------------

0

-------------




Nguyễn Xuân Huy



Bài toán tối -u
với hàm thuần nhất d-ơng





Luận văn thạc sĩ toán học

Thái Nguyên - 2009
www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

đại học Thái Nguyên
Tr-ờng đại học khoa học
-------------

0

-------------


Nguyễn Xuân Huy




Bài toán tối -u
với hàm thuần nhất d-ơng


Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.36


Luận văn thạc sĩ toán học

Ng-ời h-ớng dẫn khoa học
GS-TS Trần Vũ Thiệu






Thái Nguyên - 2009
www.VNMATH.com
Å Ð
Ä Ò Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
½ ÆÒ Ò Ø Ú ò Ø Ð 
½º½ ÌÔ Ò Úñ ØÔ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º 
½º¾ ÀñÑ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
¾ ô ñ ØÓôÒ Ø Ù ½
¾º½ ô ô ÒÑ  òÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
¾º¾ ñ ØÓôÒ Ø Ù Ò ÖñÒ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¿
¾º¿ ñ ØÓôÒ Ø Ù  ÖñÒ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
¿ ñ ØÓôÒ Ø Ù Ú ñÑ ØÙÒ ÒØ Ò ¿¾
¿º½ ÀñÑ ØÙÒ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¾
¿º¾ ñ ØÓôÒ Ø Ù Ú ñÑ ØÙÒ ÒØ Ò º º º º º º º º º º º º º ¿
¿º¿ ô Ø ÕÙò  ÒÙ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
¿º Ì Ù ØÓñÒ  º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º 
ÃØ ÐÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
Ìñ ÐÙ ØÑ òÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º 
½
www.VNMATH.com
ề

ủẹ ỉ ỉề ềỉ ề ề ề ũề éủ ủẹ ỉề ềỉà ệỉ ếề
ỉ ủ í ễ ỉệểề ề ề ềá ỉ ỉệểề ềề ề ỉ
ẹ ủẹ ỉíề ỉềá ủẹ á ủẹ ểạểéìá ụ ủẹ ỉ ỉề
ềỉ éủ ụ ủẹ ỉề ềỉ ề ủẹ ỉề ềỉ é ủề
ệỉ ềá ẹ ề ỉề ỉể ề ẹỉ ỉ é ứề ừềá ủẹ ỉề
ềỉ ẳá ụ ề ỉí ỉể ề ẹỉ ỉ é ỉ ụ ỉệ ủẹ ề
ỉí ủẹ ỉề ềỉ ẵá ỉề ễ ễ à ẹ ề ỉ
ụ ỉệ ủẹ ề ỉề ễ ễ à ỉ ỉệề ếề ỉệề ủẹ
ỉề ềỉ éủ ụ ừể ủẹ ệề ẹỉ ủẹ ỉề ềỉ ề éủ ẹỉ ủẹ
ỉề ềỉ ủ ụ ủẹ ỉề ềỉ ỉ ề ế ụ ừể ủẹ ệề
ề ề é éệà
ỉủ éề ề ễ ỉ éễ ủ ỉểụề ỉ ụ ủẹ ỉề ềỉ ềá
ề éủ ủẹ ẹ ỉ ủ ụ ủẹ ệủề ủ ỉểụề éủ ụ ủẹ ỉề
ềỉ ỉ ụ ềà ẫ ểừ ỉíề ỉề ủ ế ểừ éủ
ềề ỉệề ễ ệề éễ ủ ỉểụề ềủí ẻ ỉẹ ủ ỉểụề ỉ
ụ ủẹ ỉề ềỉ ề éủ ểủề ỉểủề ề ỉỉ ủ á ễ ỉ ì
ề ụ ủ ỉểụềá ễề ễụễ ỉ ễ ỉíề ủ ẹ ệề ễừẹ ề
ề ề
ỉ éề ề éủ ỉẹ ủ ỉệề ủí ẹỉ ì ỉ ếũ ũề éề
ếề ỉ ủ ỉểụề ỉ ụ ủẹ ỉề ềỉ ề ụ ề ễ ỉệểề
éề ề ỉệề ủí ẹỉ ụ ỉ ẹỉ ỉểụề á ẹỉ ì ụ ềẹ
ủ ì ề ề ỉệểề éề ề ẹ ỉể ủ ề ẹề ểừ
ặ ề éề ề ỉủề ề
ề ẵ óặề ề ỉ ũ ỉ éọ ỉ ỳề ỉỳỉ ẹỉ ì ề
ỉ ũềá ề ỉỉ ũ ỉ é ề ụ ụ ềẹ ỉễ ề ủ ể
ềá ỉễ é ủ ể éá ềề é ủ ỉễ é ềá ề ụ ụ ềẹ ềá
ừềá ề ỉễ é ề ủ ụ ụ ềẹ ủẹ éá ủẹ é ỉ ề
ắ
www.VNMATH.com
ẹỉ ì ỉề ỉ ũề ề ặ ề ỉệề ủí ỉệểề ề ềủí ì

ề ề ề ìá ềề ụ ủ ỉểụề ỉ ễ ỉíề ề ề
ủ ủ ỉểụề ỉ ủẹ ỉề ềỉ ề ề ệề
ề ắ óụ ủ ỉểụề ỉ ọ ỉệề ủí ỳề ỉỳỉ ụ ụ ềẹ ủ ỉ ếũ
ủ ỉểụề ỉ ễ ỉíềá ễề ỉ ỉ ễề ủ ỉ ỉểủề á ỉ
ề ệủề ủ ỉ ệủề á ụ ề ề ủ ề
ỉ á ỉ éủ ề è ể ỉ ệủề
ụ ụ ềẹ ềề ỉễ ĩá ụ ềẹ ề ếíá ủẹ ệề ủ ềề ỉ
ệề ề ỉ ặ ú ệ ẹề ểừ ể
ụ ụ ềẹ ủ ỉ ếũ ỉệề ủí
ề óủ ỉểụề ỉ ủẹ ỉề ềỉ ềọ ễ ỉ éễ ủ
ỉểụề ỉ ễ ỉíề ụ ủẹ ỉề ềỉ ề ủ ỉểụề ĩỉ ỉ
ề ừỉ ề ẹỉ ủ ỉểụề ó
min-max
ọ ề ũềá ó
max
ọ éủ ủ ỉểụề ỉíề
ỉề ỉề ỉề ẹỉ ệủề í ềỉ è ề ụ ề ừỉ ẹ
ể ế ểừ ỉíề ỉề ủ ế ểừ ỉểủề ễề ệủề ỉíề ỉề ẻ
ềề ũ ỉỉ ềỉ ềá ỉ ệ ủ ỉểụề ỉ ề é ỉề
ề ủ ỉểụề ỉ é
ể ỉ ề ừề ềề éề ề ềủí ẹ ề éừ ỉẹ ỉủ
éá ìỳễ ĩễ ủ ỉệề ủí ụ ỉ ếũ ềề ú ỉể ỉ ệ
èệểề ếụ ỉệề ỉ éề ề ề ề ỉệểề ĩ é ề ũề ỳ ỳề ề
ỉệụề ềề ì ìỉ ềỉ ề èụ ũ éề ề ệỉ ẹểề ềề
ì ễ ụ ỉí ủ ụ ừề ề ềễ éề ề ểủề ỉề
ề
ặề ễ ềủíá ỉụ ũ ĩề ủí ỉ éề ỉ ề ì ìỳ ề ỉí ề ề
ậạèậ èệề ẻ è ú ỉề ỉề ễ ỉệểề ìỉ ếụ ỉệề éủẹ éề ề
èụ ũ ĩề ề ỉủề ũẹ ề ụ ỉíá ẻề ề ề ỉề ỉềá
ẻề èểụề ủ ặá ể ề ề ỉề ỉềá ể èểụề ủ ẩề ủể

ỉừể ì ừ ỉệề ừ ể ạ ừ èụ ặíề ú ỉề ỉề
ũề ừí ủ ỉừể ẹ ề ỉề é ể ỉụ ũ ỉệểề ếụ ỉệề ỉễ ỉừ
ỉệề

www.VNMATH.com
Ìô ò Ò ÜÒ Ò ØñÒ òÑ Ò Ò ÐóÒ õÓ Ë ôÓ  Úñ ñÓ ØõÓ
ÉÙòÒ ÆÒ¸ Ò ôÑ Ù Úñ ô ØÝ  ôÓ ÌÖÒ ÌÀÈÌ ÀÓñÒ ÉÙ
Îظ Ò Øô ò Ò Øô ó ØõÓ ÒÒ Ù Ò ØÙÒ Ð ÒØ  Øô ò ÓñÒ
ØñÒ ÒÑ Ú  ØÔº
Ìô ò Ò ÜÒ ñÝ Ø × ÕÙ ÑÒ Úñ ÐÒ Ø Ò ×Ù ×ú Ø  Ñ¸ 
Ò Úñ Ò ØÒ ó ÐÙÒ ÙÝÒ ¸ Ò ÚÒ Øô ò ØÖÓÒ ×ÙØ ÕÙô ØÖÒ
 Ó  Úñ ÚØ ÐÙÒ ÚÒ Òñݺ
Àñ Æ¸ ØôÒ »¾¼¼
Ìô ò

www.VNMATH.com
ề ẵ
ặề ề ỉ ũ ỉ é
ề ềủí ềỳ éừ ỳề ỉỳỉ ẹỉ ì ề ỉ ũềá ề ỉỉ ũ ỉ é
ỉễ éá ủẹ é ủ ụ ỉề ỉà ễ ể ỉẹ ủ ềề ụ ủ
ỉểụề ỉ ặ ề ỉệề ủí ề ềủí í ỉệề ụ ỉủ é ẵá
ắ
ẵẵ èễ ề ủ ỉễ é
ẵẵẵ èễ ề
ể
x
1
á
x
2

éủ ẹ ỉệểề
R
n
ề ỉứề ế
x
1
á
x
2
éủ ỉễ ụ ẹ
x = x
1
+ (1 )x
2
= x
2
+ (x
1
x
2
)
á
R
èễ
M R
n
éủ ỉễ ề ề
M
ề ũ ề ỉứề ế
ẹ ỉ ỉ

M
á ỉ éủ
x
1
, x
2
M
á
R x
1
+ (1 )x
2
M

ặ ụ ụá
M
éủ ỉễ ề ề ề ỉ ễ ỉíề ỉề ẹ ỉ
ỉ
M
ỉề ụ ì ữề
1
è ẹỉ ẹ
x R
ừề
x =
k

i=1

i

x
i


1
,
2
,ããã ,
k
R
ủ
k

i=1

i
= 1

www.VNMATH.com
éủ ỉ ễ ề ụ ẹ

1
,
2
,ããã ,
k
R
n
ặ
M R

n
éủ ẹỉ ỉễ
ề ủ
x
0
M
ỉ ỉễ
L = M x
0
=

x x
0
| x M

éủ ẹỉ ề ề
ểềá ỉ éủ ề
a, b L
ỉ ẹ ẹ
c = a + àb

, à R
ề ỉ
L

L
ề ễễ ề ủ ễễ ềề ềà ẻ íá ẹỉ ỉễ ề ỉ
ề
M = x
0

+ L =

x
0
+ v | v L

á
ỉệểề
x
0
M
ủ
L
éủ ề ề ểề ề ề ểề
L
ỉề ề
ỉễ ề
M
ề ễ ỉ ủể ụ ề
x
0
á ỉ
x
0
éủ ẹ ỉ ỉ
M
ề ềá ề ề ểề
L
ềủí ĩụ ề í ềỉ è
L

éủ ề ề
ểề ìểề ìểề
M
è ềíề ẹềìểềà í ề éủ ì ỉễ
ề
M
éủ ỉ ềíề ề ề ểề ìểề ìểề ề
ể ề ề ééà ẹỉ ỉễ
E R
n
éủ ể ỉỉ ũ ụ ỉễ ề

E
éủ ỉễ ề ề ềỉ
E
á éủ
a E

ẻ ẵẵ èễ ềẹ
M
ễề ỉệề ỉíề ỉề
Ax = b
á ỉệểề
A
éủ ẹ ỉệề ễ
m ì n
ủ ỉ
b R
m
á éủ ẹỉ ỉễ ề èỉ íá

x
1
, x
2
M
á
R
á ỉ
A

x
1
+ (1 )x
2

= Ax
1
+ (1 )Ax
2
= b + (1 )b = b
x
1
+ (1 )x
2
M
ẻ ẵắ ể ề ỉễ
E =

x R
3

| 0 x
1
1, 0 x
2
1, x
3
= 0

éủ ẹỉ ễứề ề ề
E
á ỉ
a E =

x R
3
| x
3
= 0


ẵẵắ ậ ủ ẹ ỉệểề ỉề
ậ í ỉ ềíềà ẹỉ ỉễ
M R
n
éủ ì ể ề
ềá éủ
dim M
ể ỉễ
M R
n

dim M < n
ỉ ẹ
a M
éủ ẹ ỉệểề ỉề ệéỉ ềỉệểệ ễểềỉà
M
ề ỉề ỉừ ề
ẹ
B(a, )
ìể ể

B(a, ) a M

M

ẩề ỉệểề ỉề ỉễ
M
á éủ
ri M
á éủ ỉễ ỉỉ ũ ụ ẹ
ỉệểề ỉề
M
ỉ ỉễ
M R
n
éủ ỉ ềíề í
ề
dim M = n
ỉí ệữề ỉễ
M

ễề ỉệểề ụ ệề
int M =
à
ủ ề ỉ ềíề í

www.VNMATH.com
ẻ ẵ ể
E =

x R
3
| 0 x
1
1, 0 x
2
1, x
3
= 0

á ỉ
int E =
á
ri E =

x R
3
| 0 < x
1
< 1, 0 < x
2

< 1, x
3
= 0

á ủ
dim E = 2

ẵẵ èễ é ủ ẹ ề
ể ẹ
x
1
, x
2
R
n
èễ ỉỉ ũ ụ ẹ ừề
x = x
1
+ (1 )x
2
= x
2
+ (x
1
x
2
)
á
0 1
á

éủ ểừề ỉứề ề
x
1
á
x
2
á éủ

x
1
, x
2


èễ
M R
n
éủ ỉễ é ểềĩ ìỉà ề ề ề ểừề ỉứề
ề ẹ ỉ ỉ ềá ỉ éủ
x
1
, x
2
M
á
0 1
ỉ
x
1
+ (1 )x

2
M

à
à
à à
ề ẵẵ àá à ạ èễ é àá à ạ èễ ề é
è ề ề ỉí ệữề ể ẹỉ ỉ ụ ỉễ é éủ ỉễ é èí
ềề ễ ụ ỉễ é ỳ éủ ỉễ é
è ẹ
x R
n
ừề
x =
k

i=1

i
x
i


1
,
2
,ããã ,
k
0
ủ

k

i=1

i
= 1
éủ ỉ ễ é ụ ẹ
x
1
, x
2
,ããã , x
k
R
n
ặ

i
0

i = 1, 2,ããã , k
ỉ ỉ ề
x
éủ ỉ ễ é ỉ
x
1
, x
2
,ããã , x
k

R
n

ề ẵẵ ỉ ỉễ
M R
n
éủ é ủ ề ỉỉ ũ ụ ỉ ễ
é ềề ễề ỉ ỉ ề

www.VNMATH.com
ề ẵắ
à ặ
M R
n
éủ ỉễ é ủ ì ỉ
R
n
ỉ
M = {y | y = x, x M}
ề éủ ỉễ é
à ặ
M
1
, M
2
R
n
éủ ỉễ é ỉ
M
1

+ M
2
=

x | x = x
1
+ x
2
, x
1
M
1
, x
2
M
2

ề éủ ỉễ é
ể é ểềĩ ééà ỉễ
E R
n
éủ ể ỉỉ ũ ụ ỉễ é
E
ủ éủ
conv E
éủ ỉễ é ề ềỉ
E


convE

convE
ề ẵắ ẻ ể é
ề ẵ ể é ỉễ
E R
n
ỉỉ ũ ụ ỉ ễ é ụ ễề
ỉ ỉ
E

ể ỉễ é
M R
n
ỉ ẹ
x M
éủ ẹ ề ĩỉệẹ
ễểềỉà
M
ề
x
ề ỉ ề ừề ỉ ễ é ỉ
ẹ ễề ỉ ỉ ềủể
M
á ỉ éủ
y, z M, y = z
ìể ể
x = y + (1 )z, 0 < < 1

èể ề ềá ẹỉ ẹ ề ề ỉ éủ ẹ ỉệểề ỉễ é ẻ
í ỉỉ ũ ụ ẹ ề éủ ụ ẹ ề ặ ỉễ ễ ề
ề ỉ ề ề ẹ ề

ề ẵ ỉ ỉễ é ề ụ ệề
M R
n
ẹ ề ủ
ề ề ề ẹỉ ề ỉứề ềủể

www.VNMATH.com
à
à
ề ẵ à ạ ề ề ẹ ề
à ạ ề ỉệề ì ẹ ề
ỉ ỉệề ệỉ ếề ỉệề ỉễ é ề ủ ề éủ
ề é ẵẵ ệềạ éẹềà ỉ ỉễ é ềá ề ỉệểề
R
n
éủ ể é
ụ ẹ ề ề
ẵẵ ậ ễứềá ề ề ề
ể
a R
n
\ {0}
ủ
R
èễ
H := {x R
n
| < a, x > = }
éủ ẹỉ ì ễứề íễệễéềà éủ ẹỉ ỉễ ề ì ữề
n 1

è ỉ
a
éủ ỉ ễụễ ỉíề ì ễứề ềủí ụ ỉễ
x
0
x
a
< a, x >=
ề ẵ ậ ễứề ỉệểề
R
2
{x R
n
|< a, x > }
ể
{x R
n
|< a, x > }
à

a R
n
\ {0}
ủ
R
n
éủ ề ề ề ề ủ ỉễ
{x R
n
|< a, x > < }

ể
{x R
n
|< a, x > > }
à
éủ ề ề ề ẹ ĩụ ề ì ễứề
{x R
n
| < a, x > = }
ể ỉễ
M R
n
á ỉ
a R
n
\{0}
ủ ì ỉ
R
è ì ễứề
H := {x R
n
| < a, x > = }

www.VNMATH.com
éủ ì ễứề ỉ ìễễểệỉề íễệễéềà
M
ỉừ
x
0
M

ề
x
0
H
ủ
M
ềữẹ ề ỉệểề ề ề ề ề ĩụ ề
H
á ỉ éủ
< a, x
0
>=
ủ
< a, x > , x M

M
a
x
0
ề ẵ ậ ễứề ỉ
M
ỉừ
x
0
ề é ẵắ ẫ ẹ ẹ ề
x
0
ỉễ é
M R
n

ỉề ỉừ ỉ ềỉ ẹỉ
ì ễứề ỉ
M
ỉừ
x
0

ề é ẵ ỉ ỉễ é ề ụ ệề
M R
n
éủ ể ụ ề
ề ề ỉ ề
ẵẵ ặề ủ ềề é
èễ
M R
n
éủ ềề ểềà ề
x M, 0 x M
ỉ ềề éề ẹ
0 R
n
èễ
M R
n
éủ ềề é ề
M
éủ ềề éủ éá ề éủ ỉ
x
1
, x

2
M
ủ

1
,
2
0
ỉ

1
x
1
+
2
x
2
M

0
0
ề ẵ à ạ ặề é
à ạ ặề ề é
ẻ ẵ ụ ỉễ ì í éủ ụ ềề é ề ỉừ
0
ỉệểề
R
n

ẵẳ

www.VNMATH.com
R
n
+
:= {x = (x
1
, x
2
,ããã , x
n
) : x
i
0, i = 1, 2,ããã , n}
ểệỉềỉ ề
ẹà
R
n
++
:= {x = (x
1
, x
2
,ããã , x
n
) : x
i
> 0, i = 1, 2,ããã , n}
ểệỉềỉ ềà
ề ẵ èễ
M R

n
éủ ềề é ủ ề ỉỉ ũ ụ ỉ ễ
ỉíề ỉề ề ẹ ụ ễề ỉ ề
ể ỉễ
k
ỉ
v
1
, v
2
,ããã , v
k
R
n
èễ
cone

v
1
, v
2
,ããã , v
n

:=

v R
n
| v =
k

i=1

i
v
i
,
i
0, i = 1,ããã , k

R
n
éủ ềề ìề ỉễ

v
1
, v
2
,ããã , v
k

ẻ ỉ
v
h


v
1
, v
2

,ããã , v
k

éủ ề ỉỉ í ềểề ììềỉéà ề
cone

v
1
,ããã , v
h1
, v
h+1
,ããã , v
k

= cone

v
1
, v
2
,ããã , v
k


0 0
v
1
v
2

v
3
v
1
v
2
v
3
à
à
ề ẵ à ạ ẻ ỉ
v
2
éủ ề ỉỉ í
à ạ ể ỉ
v
2
ể ỉ
v
3
éủ ề ỉỉ í
ẵẵ ẩề é ĩá ễề ề
ể ỉễ é ụ ệề
D R
n
ẻ ỉ
d = 0
éủ ễề é ĩ
ệììểề ệỉểềà
D

ề
{x + d | 0} D
ẹ
x D

ề ề ỉứề ìểề ìểề ẹỉ ễề é ĩ
d
ĩỉ ễụỉ ỉ ẹỉ
ẹ ỉ
D
ềữẹ ề ỉệểề
D
ấ ệủề ệữề ỉễ
D
ề ề
ủ
D
ẹỉ ễề é ĩ
èễ ỉỉ ũ ụ ễề é ĩ ỉễ é
D R
n
ề ỉ
0
ỉừể ỉủề
ẹỉ ềề é ặề é éủ ềề é ĩ ỉễ
D
ủ éủ
rec D

ẵẵ

www.VNMATH.com
è ề ễề
d
1
ủ
d
2
ụ ỉ ìỉềỉà ề
d
1
= d
2

> 0

ẩề é ĩ
d
ỉễ
D
éủ ễề ề ĩỉệẹ ệỉểềà

D
ề ề ỉề ỉừ ụ ễề é ĩ ụ ỉ
d
1
ủ
d
2

D

ìể ể
d =
1
d
1
+
2
d
2


1
,
2
> 0

ẵẵ ụ ề é ỉụ ỉễ é
í éủ ềề ề é ũề ềỉ ũ ỉ éá éủ ề
é ỉíỉ ỉ
ể ỉễ
C, D R
n
ủ ì ễứề
H := {x R
n
| < a, x > = }

a R
n
\ {0}

ủ
R
è ề ì ễứề
H
ỉụ ỉễ
C
ủ
D
ề
< a, x > < a, y > x C, y D
ủ ì ễứề
H
ỉụ ứề í ỉụ ỉà ỉễ
C, D
ề
< a, x > < < < a, y > x C, y D
ề é ẵ ề é ỉụ à ặ ỉễ é
C, D R
n
ề ệề ủ ệ
ề ỉ ẹỉ ì ễứề ỉụ ề
ề é ẵ ề é ỉụ à ặ ỉễ é ề
C, D R
n
ề ệềá ệ
ề ủ ỉ ềỉ ẹỉ ỉệểề ỉễ í éủ ểẹễ ỉ ẹỉ ì ễứề ỉụ ứề
ề
ếũ ẵẵ ệìà ể ỉ
a R
n

ủ ẹ ỉệề
A
ễ
m ì n

á
< a, x > 0
ẹ
x
ỉểũ ẹúề
Ax 0
ủ
y R
n
, y 0
ìể ể
a = A
T
y

ệì ệỉ ề ề ề ẻ ẹỉ ề á ềủí ệ ệữề
ềề
K = {x R
n
| Ax 0}
ềữẹ ứề ỉệểề ề ề ề
{x R
n
|< a, x > 0}
ủ ỉ ễụễ ỉíề ì ễứề

{x R
n
|< a, x > = 0}
ềữẹ ỉệểề ềề ìề ụ ủề ẹ ỉệề
A

ẵẵ èễ é ề
èễ é ề
P R
n
éủ ể ẹỉ ì ừề ề ề ề ề
ặ ụ ụá ề éủ ỉễ ềẹ ẹỉ ừề ụ ỉ ứề ỉ ỉíề
ẵắ
www.VNMATH.com
ỉề
< a
i
, x > b
i
, i = 1, 2,ããã , m.
ẵẵà
ỉ ứề ỉ ỉệểề
(1.1)
éủ ẹỉ ệủề ấủề
k {i = 1, 2,ããã , m}
éủ ẹỉ ệủề ỉ ề

x |< a
i
, x > b

i
, i = 1, 2,ããã , m

=

x |< a
i
, x > b
i
, i {1, 2,ããã , m} \ {k}

è
A
éủ ẹ ỉệề ễ
mìn

a
i
= (a
1
, a
2
,ããã , a
n
), i = 1, 2,ããã , n
á
ỉ
b = (b
1
, b

2
,ããã , b
m
)
T
ủ
x = (x
1
, x
2
,ããã , x
n
)
T
ỉ
(1.1)
ỉ
ừề ẹ ỉệề ề ì
Ax b
ẻ ẹỉ ễề ỉệề ỉíề ỉề ỉ ề ỉề ề ỉ
ễề ỉệề ỉíề ỉề ềề ỉễ ềẹ ễề ỉệề ủ ỉ ễề
ỉệề ỉíề ỉề



< a
i
, x > = b
i
, i = 1, 2,ããã , m

1
< a
i
, x > b
i
, i = m
1
+ 1,ããã , m
ề éủ ẹỉ ỉễ é ề
ỉí ệữề ỉễ é ề éủ ẹỉ ỉễ éá ề ỉ ỉễ é ề ề
éủ ề é í ỉỳỉ éủ ề
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
ề ẵ ề ềủí éủ ể ề ề ề
ể ỉễ é ề
D
ĩụ ề
(1.1)
ặ ẹ
x
0
D

ỉểũ ẹúề
< a
i
, x
0
>= b
i
á ỉ ỉ ề ẹ
x
0
ỉểũ ẹúề ỉ ệủề
i
èễ
ẵ
www.VNMATH.com
I(x
0
) :=

i {1, 2,ããã , m} < a
i
, x
0
>= b
i

éủ ỉễ ễ ụ ì ụ ệủề ỉểũ ẹúề ỉ ỉừ
x
0
D

ẹ ề ỉễ é ề
D
éủ ẹỉ ề
D
èễ
ểề é
F =
éủ ẹỉ ề
D
ề
F
ẹỉ ẹ ỉệểề ỉề
ẹỉ ểừề ỉứề ềủể ỉ
D
ỉ
F
ề ũ ểừề ỉứề á
ề éủ
y D, z D, x = y + (1 )z F

0 < < 1 y F, z F
ẵắ ủẹ é
ẵắẵ ề ề ủẹ é ủ ủẹ é ỉ
ủẹ
f
éủ ủẹ é ểềĩ ềỉểềà ĩụ ề ỉệề ỉễ é
D R
n
ề ỉ

x
1
, x
2
D
ủ ỉ ì ỉ
[0, 1]
ỉ
f

x
1
+ (1 )x
2

f (x
1
) + (1 )f(x
2
)

è
f
éủ ủẹ é ỉ ìỉệỉéí ểềĩ ềỉểềà ỉệề ỉễ é
D
ề
f

x
1

+ (1 )x
2

< f(x
1
) + (1 )f(x
2
)

ỉ
x
1
, x
2
D, x
1
= x
2
ủ ỉ ì ỉ
(0, 1)
ề ĩụ ề
ủẹ
f
éủ
dom f = {x D | f(x) < +}
ễệễ ỉệề ỉà ủẹ é
f
éủ ỉễ ễ
epi(f) := {(x, ) D ì R | x D, f(x)}

ủẹ é
f : D R{+}
ỉ ẹ ệề ỉủề ủẹ é ỉệề ỉểủề
ề ề
R
n
ữề ụ ỉ
f(x) = +, x / dom f
ẻ í ề ũềá
ỉ ỉề ĩỉ
f
éủ ủẹ é ỉệề
R
n

ề ẵ
à ủẹ
f
ĩụ ề ỉệề ỉễ é ụ ệề
D R
n
éủ ủẹ é ủ
epi(f)
éủ ỉễ é
à ủẹ
g
ĩụ ề ỉệề ỉễ é ụ ệề
D R
n
éủ ủẹ éẹ ủ

ỉễ íễểệễ ỉà ề éủ ỉễ éá ỉệểề
ẵ
www.VNMATH.com
hypo(g) := {(x, α) ∈ D × R | x ∈ D, α ≤ g(x)}
º
´µ
´µ
ÀÒ ½ºº ´µ ¹ ÔÖÔ  ÑØ ñÑ Ð
´µ ¹ ÀÝÔÓÖÔ  ÑØ ñÑ ÐÑ
½º¾º¾º ô ÔÔ ØÓôÒ Ú ñÑ Ð
Ó ñÑ Ð
f
1
Üô Ò ØÖÒ ØÔ Ð
D
1
⊆ R
n
¸ ñÑ Ð
f
2
Üô Ò ØÖÒ ØÔ
Ð
D
2
⊆ R
n
Úñ × Ø
λ > 0
º ô ÔÔ ØÓôÒ

λf
1
¸
f
1
+ f
2
¸
max{f
1
, f
2
}

Ò Ò Ò ×Ù
(λf
1
)(x) := λf
1
(x), ∀x ∈ D
1
(f
1
+ f
2
)(x) := f
1
(x) + f
2
(x), ∀x ∈ D

1
∩ D
2
max{f
1
, f
2
}(x) := max{f
1
(x), f
2
(x)}, ∀x ∈ D
1
∩ D
2
º
ÅÒ  ½ºº Ó ñÑ
f
1
Ðñ Ð ØÖÒ
D
1
¸
f
2
Ð ØÖÒ
D
2
Úñ  × Ø
α > 0, β > 0

º Ã ¸ ô ñÑ
αf
1
+ βf
2
Úñ
max{f
1
, f
2
}
Ðñ Ð ØÖÒ
D
1
∩ D
2
º
½º¾º¿º ÌÒ ÐÒ Ø Úñ õÓ ñÑ ØÓ Ò  ñÑ Ð
Ó ñÑ Ð
f
Üô Ò ØÖÒ ØÔ Ð Ñ
D ⊆ R
n
º Ì 
Ò Ð ½ºº ÆÙ
f
Ðñ ñÑ Ð Üô Ò ØÖÒ ØÔ Ð Ñ
D ⊆ R
n
Ø

f
ÐÒ Ø
ØÖÒ
D
º
Ò Ð ½ºº ÆÙ
f : D −→ R
Ðñ ÑØ ñÑ Ð Üô Ò ØÖÒ ØÔ Ð
D ⊆ R
n
Ø Ò  õÓ ñÑ ØÓ Ñ Ò
d ∈ R \ {0}
Øõ Ñ Ñ
x
0
∈ dom f
Úñ
f
′
(x
0
, d) ≤ f(x
0
+ d) − f(x
0
)
À ÕÙò ½º¾º ÆÙ
f
Ðñ ñÑ Ð ò Ú Üô Ò ØÖÒ ØÔ Ð Ñ
D

Ø
f
 õÓ
ñÑ ØÓ Ñ Ò
d ∈ R \{0}
Øõ Ñ Ñ
x
0
∈ dom f
Úñ
< ▽f(x
0
), d >= f
′
(x
0
, d) ≤ f(x
0
+ d) − f(x
0
)
½
www.VNMATH.com
½º¾ºº ÌÙ ÙÒ ÒÒ Ø ñÑ Ð ò Ú
Ò Ð ½ºº Ó
f
Ðñ ñÑ ò Ú ØÖÒ ØÔ Ð Ñ
D ⊆ R
n
º Ã  ñÑ

f
Ðñ
ñÑ Ð ØÖÒ
D
 Úñ  
f(y) − f(x) ≥ < ▽f(x), y − x >, ∀x, y ∈ D
Ì ó Ø Ú ñÑ ÑØ Ò
f
Üô Ò ØÖÒ ÓòÒ Ñ
D = (a, b) ⊆ R
Ø
f
Ðñ ñÑ Ð ØÖÒ
D
 Úñ  
f
′′
(x) ≥ 0,∀x ∈ D
Ò Ð ½ºº Ó
f
Ðñ ñÑ ò Ú  ÐÒ ØÖÒ ØÔ Ð Ñ
D ⊆ R
n
º Ã 
f
Ðñ ñÑ Ð ØÖÒ
D
 Úñ   Ñ ØÖÒ À××
▽
2

f(x)
Ðñ Ò Üô Ò Ò
ØÖÒ
D
¸ Ø Ú
∀x ∈ D
Ø
y
T
▽
2
f(x)y ≥ 0, ∀y ∈ R
n
ÀñÑ
f
Ðñ ñÑ Ð Ø ØÖÒ
D
ÒÙ
▽
2
f(x)
Üô Ò Ò ØÖÒ
D
¸ Ø Ú
Ñ
x ∈ D
¸ Ø
y
T
▽

2
f(x)y > 0, ∀y ∈ R
n
\ {0}.
À ÕÙò ½º¿º Ó ñÑ ØÓñÒ ÔÒ
f(x) =
1
2
< x, Qx > + < c, x > + α
¸
ØÖÓÒ 
Q
Ðñ Ñ ØÖÒ ÚÙÒ  ÜÒ Ô
n
¸
c ∈ R
n
Úñ
α ∈ R
º Ã ¸
f
Ðñ
ñÑ Ð ØÖÒ
R
n
ÒÙ
Q
Ðñ Ñ ØÖÒ Ò Üô Ò Ò ´
f
Ðñ ñÑ Ð Ø ØÖÒ

R
n
ÒÙ
Q
Ðñ Ñ ØÖÒ Üô Ò Òµº
Î  ½ºº Ó
f(x
1
, x
2
) = 2x
2
1
+ 3x
1
x
2
+ 4x
2
2
º Ì 
▽f(x) =


4x
1
3x
2
3x
1

8x
2


▽
2
f(x) =


4 3
3 8


Î Ñ ØÖÒ À×××
▽
2
f(x)
Üô Ò Ò ÒÒ ñÑ
f
ó Ó Ðñ ñÑ Ð
Ø ØÖÒ
R
2
º
½
www.VNMATH.com
ÌÑ Ðõ¸ Ò ÒñÝ ó Òú Ðõ ô ô ÒÑ Ú ØÔ Ð ´ØÔ Ò Úñ Ó
Ò¸ ØÔ Ð Úñ Ó Ð¸ ÒÒ Ð Úñ ØÔ Ð  Ò¸ Ò Ú ô ô ÒÑ
Ò¸ õÒ¸ Ò  ØÔ Ð  Òµ Úñ ô ô ÒÑ Ú ñÑ Ð¸ ñÑ Ð Ø
Ò ÑØ × ØÒ Ø  òÒ  Òº Æ ÙÒ ØÖÒ ñÝ ØÖÓÒ Ò ×

Ò Ò  ô Ò ×Ù¸  ÒÒ Ù ô ñ ØÓôÒ Ô ØÙÝÒ Ò ÙÒ Úñ
ñ ØÓôÒ Ø Ù Ú ñÑ ØÙÒ ÒØ Ò Ò ÖÒº
½
www.VNMATH.com
ề ắ
ụ ủ ỉểụề ỉ
ề ềủí ễ ỉ ụ ủ ỉểụề ỉ ễ ỉíềá ể ẹ ỉ ễề
ủ ỉ ỉểủề á ỉ ề ệủề ủ ỉ ệủề ẻ ẹ éểừ
ủ ỉểụề ĩỉ ề ụ ề ề ủ ỉ ặ ề ề
í ỉệề ụ ỉủ é ẵá ắ ủ
ắẵ ụ ụ ềẹ ũề
ỉ ủ ỉểụề ỉ ỉề ếụỉ ễụỉ ề ì
min f(x)

x D (P
1
)
ể
max f(x)

x D (P
2
)
ỉệểề
D R
n
éủ ỉễ ềẹ ễ ềề í ỉễ ệủề ủ
f : D R
éủ ủẹ ẹ ỉ ẹ
x D

éủ ẹỉ ềẹ ễ
ềề í ẹỉ ễề ụề ễ ềề ỉ ỉỳỉ éủ ẹỉ ễề
ụềà
ẹ
x

D
ẹủ
< f(x

) f(x), x D
éủ ềẹ ỉ ềẹ ỉà ể ềẹ ỉ ỉểủề
ềẹ ỉ ỉểủề ạ éểé ẹềẹịệàá ể ề ũề éủ ềẹ
ẵ
www.VNMATH.com
 ñ ØÓôÒ
(P
1
)
º Æ Ø Ò  ÑØ ÒÑ Ø Ù Ðñ ÑØ ÔÒ ôÒ Ø
Ù Ý Ð ò  ñ ØÓôÒ ó Óº Ñ
x
∗
∈ D
  Ðñ ÒÑ  ØÙ
ØÓñÒ  Ø ´×ØÖØÐÝ ÐÓÐ ÑÒÑÞÖµ ÒÙ
f(x
∗
) < f(x), ∀x ∈ D
Úñ

x = x
∗
ÃÒ Ôò ñ ØÓôÒ
(P
1
)
ÒñÓ Ò  ÒÑ  ØÙ ØÓñÒ  Úñ ÒÙ ñ
ØÓôÒ  ÒÑ  ØÙ ØÓñÒ  Ø  ú  ÒÑ ØÓñÒ  غ
ÆÑ  ØÙ ÆÑ  ØÙ
ØÓñÒ  Ø
ØÓñÒ  Ò Ø
ÃÒ  ÒÑ
 ØÙ ØÓñÒ 
ÀÒ ¾º½º
ô ØÖ Ø Ù ´Ý ô ØÖ  ØÙµ  ñ ØÓôÒ
(P
1
)
  Ù Ðñ
min
x∈D
f(x)
Ó
min{f(x) | x ∈ D}
ÆÙ ñ ØÓôÒ
(P
1
)
 ÒÑ Ø Ù Ðñ
x

∗
Ø
f(x
∗
) = min{f(x) | x ∈ D}
Ì  Ù
Agrmin{f(x) | x ∈ D}
  ØÔ ÒÑ Ø Ù  ñ ØÓôÒ
(P
1
)
º ÆÙ
x
∗
Ðñ ÑØ ÒÑ Ø Ù  ñ ØÓôÒ Ø  Ø ÚØ
x
∗
= agrmin{f(x) | x ∈ D}
Ý
x
∗
∈ Agrmin{f(x) | x ∈ D}
º
Ñ
x
∗
∈ D
  Ðñ ÒÑ Ø Ù  ÔÒ Ó ÒÑ  ØÙ
 ÔÒ  ñ ØÓôÒ
(P

1
)
ÒÙ ØÒ Øõ ÑØ
ǫ
¹ ÐÒ Ò
B(x
∗
, ǫ)
 Ñ
x
∗
∈ D
×Ó Ó
f(x
∗
) ≤ f(x), ∀x ∈ B(x
∗
, ǫ) ∩ D
Ñ
x
∗
∈ D
  Ðñ ÒÑ Ø Ù  ÔÒ Ø Ó ÒÑ 
ØÙ  ÔÒ Ø  ñ ØÓôÒ
(P
1
)
ÒÙ ØÒ Øõ ÑØ
ǫ
¹ ÐÒ Ò

B(x
∗
, ǫ)

Ñ
x
∗
∈ D
×Ó Ó
f(x
∗
) < f(x), ∀x ∈ B(x
∗
, ǫ)∩ D
Úñ
x = x
∗
½
www.VNMATH.com
ề ắ ặẹ ỉ
ỉểủề ỉ
ề ềẹ
ỉ ỉểủề
ặẹ ỉ
ỉểủề ề ỉ
ặ ỉ ề ỉề ễụỉ ủ ỉểụề
(P
1
)
ừề

min{f(x) | x D}
ể
min
xD
f(x)
ể
f(x) min

x D
èề ỉá ủ ỉểụề
(P
2
)
ề ỉề ễụỉ ừề
max{f(x) | x D}
ể
max
xD
f(x)
ể
f(x) max

x D
ụ ụ ềẹ ỉề ỉ ề ề ề ể ủ ỉểụề
(P
2
)
ỉá ề
ỉề ỉừ ẹỉ

ạ éề ề
B(x

, )
ẹ
x

D
ìể ể
f(x

) f(x), x B(x

, ) D
ỉ
x

D
éủ ềẹ ỉ ễề ể ềẹ ừ
ễề ủ ỉểụề
(P
2
)
ặ ỉề ỉừ ẹỉ

ạ éề ề
B(x

, )
ẹ

x

D
ìể ể
f(x

) > f(x), x B(x

, ) D
ủ
x = x

ỉ
x

éủ ềẹ ỉ ễề ỉ ể ềẹ ừ
ễề ỉ ủ ỉểụề
(P
2
)

ẹ
x

D
ỉểũ ẹúề
f(x

) f(x), x D
éủ ềẹ ỉ

ể ềẹ ỉ ỉểủề ể ềẹ ừ ỉểủề éểé ẹĩẹịệà
ể ề ũề éủ ềẹ ủ ỉểụề
(P
2
)

ặ
x

D
ỉểũ ẹúề
f(x

) > f(x), x D
ủ
x = x

ỉ ỉ
x

éủ
ềẹ ỉ ỉểủề ỉ ìỉệỉéí éểé ẹĩẹịệà ủ ỉểụề
(P
2
)
ụ
ỉệ ỉ í ụ ỉệ ừà ủ ỉểụề
(P
2
)

éủ
ắẳ
www.VNMATH.com
max
xD
f(x)
ể
max{f(x) | x D}
èề ỉ ề ủ ỉểụề
(P
1
)
á ỉ
Agrmax{f(x) | x D}
éủ
ỉễ ềẹ ỉ ủ ỉểụề
P
2
ặ
x

éủ ẹỉ ềẹ ỉ ủ ỉểụề ỉ
ỉ ỉ
x

= agrmax{f(x) | x D}
ể
x

Agrmax{f(x) | x D}

ặề ĩỉ ắẵ
à ủ ỉểụề
(P
1
)
ỉề ề ủ ỉểụề
max f(x)

x D
ỉể ề ỉễ ềẹ ỉ ủ ỉểụề ềủí ỉệề ề ủ ụ ỉệ ỉ
ề ỉ ề á ỉ
min{f(x) | x D} = max{f (x) | x D}.
ẻ íá ề ũẹ ỉề ỉề ếụỉá ỉ ề ĩỉ ủ ỉểụề
(P
1
)
ể ủ ỉểụề
(P
2
)

à ặ
D = R
n
ỉ ỉ ề
(P
1
)
éủ ủ ỉểụề ỉ ề ệủề ặ

éừá ề
D R
n
ỉ ỉ ề
(P
1
)
éủ ủ ỉểụề ỉ ệủề èệểề ụ ủ
ỉểụề ỉ ệủề á ỉễ
D
ỉề ĩụ ề
D = {x R
n
| g
i
(x) 0, i = 1, 2,ããã , m},
ắẵà
ỉệểề á
g
i
(x), i = 1, 2,ããã , m
éủ ụ ủẹ ỉ ĩụ ề ỉệề ỉễ
A D
ỉề ỉề
A = R
n
à è
g
i
(x), i = 1, 2,ããã , m

éủ ụ ủẹ ệủề
ỉ
g
i
(x) 0, (i = 1, 2,ããã , m)
éủ ẹỉ ệủề ủ
ỉểụề ẻ ệủề
g
i
(x) 0 g
i
(x) 0
ủ
g
i
(x) =



g
i
(x) 0
g
i
(x) 0
ềề ệ ệủề ề
(2.1)
ể ẹ ỉ ụ éểừ ệủề
ặề ĩỉ ắắ ặẹ ỉ ỉểủề ề éủ ềẹ ỉ ễề ềề
ề éừ ỳ ề èí ềềá ề

D
éủ ỉễ é ủ
f(x)
éủ ủẹ é
ỉ ềẹ ỉ ễề ủ ỉểụề
(P
1
)
ề éủ ềẹ ỉ ỉểủề
ắẵ
www.VNMATH.com
ủ ỉểụề ỉá ỉ
ề ắẵ ể ủẹ é
f : R
n
R
ủ ỉễ é ụ ệề
D R
n
ỉ ủ
ỉểụề ỉ
min{f(x) | x D}

à ặ
x

éủ ềẹ ỉ ễề ủ ỉểụề ỉ
x

ề éủ ềẹ

ỉ ỉểủề
à ặ
x

éủ ềẹ ỉ ễề ỉ ể
f
éủ ủẹ é ỉ ỉ
x

ề éủ ềẹ ỉ ỉểủề í ềỉ ủ ỉểụề
ặề ĩỉ ắ ặ ủ ỉểụề
(P
1
)
ề ềẹ ỉ ỉ ụ ỉệ ỉ
ủ ỉểụề ềủíá éủ
inf f(D)
á éủ ề éề ềỉ í ụ ỉệ ềẹẹà
ủẹ
f
ỉệề
D
ũ ì
t
0
= inf f(D)

t
0
R {}

á
f(x) t
0
, x D
ủ
{x
k
} D
ìể ể
lim
k
f(x
k
) = t
0
èề ỉá ề ủ ỉểụề
(P
2
)
ề ềẹ ỉ ỉ ụ ỉệ ỉ
ủ ỉểụề ềủíá éủ
sup f(D)
á éủ ề ỉệề ề ềỉ í ụ ỉệ ìễệẹẹà
ủẹ
f
ỉệề
D
ặ
t

= sup f (D)

t

R {+}
á
f(x) t

, x D
ủ
{x
k
} D
ìể ể
lim
k
f(x
k
) = t

ẻ ắẵ ể
f(x) = cosx
á
x D = R
á ủ ỉểụề
(P
1
)
ỉề ề
ì ềẹ ỉ ỉểủề ủ

Argmin{cos(x) | x D} = {x = (2k + 1), k = 0,1,2,ããã}
ủ ụ ỉệ ỉ
éủ
min{cos(x) | x R} = 1
Argmax{cos(x) | x D} = {x = 2k, k = 0,1,2,ããã}
ủ ụ ỉệ ỉ
éủ
max{cos(x) | x R} = 1

ẻ ắắ ể
f(x) = x
1
ủ
D =

x R
2
| x
1
2
+ x
2
2
4, x
1
2
1

ủẹ
f

ềẹ ỉ ỉểủề í ềỉ ỉệề
D
éủ
x = (2, 0)
T
ủ ì ềẹ
ỉ ễềá éủ ũ ểừề ỉứề ề
x = (1,

3)
T
ủ
x = (1,

3)
T

ụ ỉệ ỉ ủ ỉểụề
(P
1
)
ỉề ề éủ
min
xD
f(x) = 2

èề ỉá
x = (2, 0)
T
éủ ềẹ ừ ỉểủề í ềỉ ủ ỉểụề

(P
2
)
ắắ
www.VNMATH.com
ØÒ Ò¸ ØØ ò ÒÒ Ñ Ò÷Ñ ØÖÓÒ ÓõÒ ØøÒ Ò
x = (−1,
√
3)
T
Úñ
x = (−1,−
√
3)
T
Ù Ðñ ÒÑ  õ  ÔÒ Úñ ô ØÖ Ø Ù  ñ
ØÓôÒ
(P
2
)
ØÒ Ò Ðñ
max
x∈D
f(x) = 2
º
−2
O
2
x
1

x
2
ÀÒ ¾º¿
¾º¾ ñ ØÓôÒ Ø Ù Ò ÖñÒ Ù
ñ ØÓôÒ Ø Ù Ô ØÙÝÒ Ò ÖñÒ Ù  ÔôØ Ù Ò ×Ù
min f(x)
Ú
x ∈ R
n
(P
krb
)
ØÖÓÒ 
f : R
n
→ R
Ðñ ÑØ ñÑ Ô ØÙÝÒº
Ò Ð ¾º½º ´Ù Ò Ø Ù  Òص Ó ñÑ
f
Üô Ò¸ ò Ú ÐÒ Ø
ØÖÒ
R
n
º ÆÙ
x
∗
∈ R
n
Ðñ ÒÑ  ØÙ  ÔÒ  ñ ØÓôÒ
(P

krb
)
Ø
▽f(x
∗
) = 0
º
À ÕÙò ¾º½º ò ×
f
Ðñ ñÑ Ð ò Ú ØÖÒ
R
n
º Ã 
x
∗
∈ R
n
Ðñ ÒÑ 
ØÙ ØÓñÒ   ñ ØÓôÒ
(P
krb
)
 Úñ  
▽f(x
∗
) = 0
º
Ò Ð ¾º¾º ´Ù Ò Ø Ù  µ ò × ñÑ
f
 ÐÒ ò Ú ÐÒ Ø

ØÖÒ
R
n
º Ã 
µ ÆÙ
x
∗
∈ R
n
Ðñ Ñ  ØÙ  ÔÒ 
f
ØÖÒ
R
n
Ø
▽f(x
∗
) = 0
Úñ
▽
2
f(x
∗
)
Ò Üô Ò Ò
µ Æ Ðõ¸ ÒÙ
¾¿
www.VNMATH.com