Tiêu chuẩn loại massera cho phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hòa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Quốc An

TIÊU CHUẨN LOẠI MASSERA CHO
PHƯƠNG TRÌNH ðẠO HÀM RIÊNG
CỦA HÀM TRUNG HÒA

Chuyên ngành : Toán giải tích.
Mã số
: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :
PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008


1

MỞ ðẦU
1. Lý do chọn ñề tài
Phương trình vi phân, phương trình ñạo hàm riêng có rất nhiều ứng dụng
trong thực tiễn có thể nói hầu như mọi lĩnh vực ñều có thể ứng dụng : y khoa,
xây dựng, ñiện tử, kiến trúc ,…, việc chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu,
nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân ,phương trình ñạo hàm riêng, ñặc
biệt là phương trình ñạo hàm riêng của hàm trung hòa có chứa hàm làm chậm
bị chặn, chứa hàm làm chậm không bị chặn ñược các nhà toán học trên thế
giới sử dụng nhiều phương pháp khác nhau ñể chứng minh. Sử dụng tiêu

chuẩn loại Massera là một trong những phương pháp tìm lời giải tuần hoàn
của phương trình ñạo hàm riêng của hàm trung hòa .
Bài báo của Massera [12], người khởi xướng việc nghiên cứu nhận thấy
mối liên hệ giữa lời giải bị chặn và lời giải tuần hoàn .
Trong [12] mối liên hệ này ñược giải thích bởi phương trình vi phân thường
tuần hoàn hai chiều. Kế tục Massera, một số tác giả khác cũng xem xét những
mối quan hê tương tự, nhận thấy : Yoshizama cho phương trình vi phân n –
chiều ; Lopes và Hale cho phương trình thường n – chiều và phương trình
hàm với ñiều kiện làm chậm và Yong [16] cho phương trình hàm vi phân.
Gần ñây Ezzinbi [3], sử dụng tiêu chuẩn loại Massera, ñã chỉ ra sự tồn tại lời
giải tuần hoàn cho phương trình ñạo hàm riêng
•

x (t ) = Ax (t ) + F (t, xt ) ,

(1.3)

x0 = ϕ ∈ C = C ([−r ,0]: X ) ,

Với A là phần tử vi phân của nửa nhóm compact của những toán tử tuyến
tính bị chặn trong không gian Banach.
Mục ñích của chúng ta trong luận văn này là thiết lập những kết quả tương
tự như những kết quả trong [3], cho phương trình ñạo hàm riêng của hàm


2

trung hòa với ñiều kiện làm chậm ( 1.1) – (1.2). ðó là lý do tôi chọn ñề tài
“Tiêu chuẩn loại Massera cho phương trình ñạo hàm riêng của hàm
trung hòa”.

2. Mục ñích nghiên cứu
Sử dụng tiêu chuẩn loại Massera chỉ ra sự tồn tại lời giải tuần hoàn của
phương trình ñạo hàm riêng của hàm trung hòa chứa hàm làm chậm bị chặn,
chứa hàm làm chậm không bị chặn .
3. ðối tượng và nội dung nghiên cứu
Lời giải tuần hoàn cho phương trình ñạo hàm riêng của hàm trung hòa .
4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn
Tiêu chuẩn loại Massera là một công cụ rất mạnh ñể chỉ ra mối liên hệ
giữa lời giải bị chặn và lời giải tuần hoàn của phương trình ñạo hàm riêng của
hàm trung hòa .
5. Cấu trúc luận văn
Nội dung luận văn chúng tôi gồm phần mở ñầu, bốn chương nội dung và
phần kết luận. Cụ thể :
Phần mở ñầu : Nêu lý do chọn ñề tài
Phần nội dung :
Chương 1 : Giới thiệu chung về những kết quả nghiên cứu có liên quan
ñến ñề tài, các ký hiệu ñược sử dụng trong ñề tài ,các kết quả
sẽ ñược sử dụng.
Chương 2 : Lời giải tuần hoàn cho phương trình ñạo hàm riêng của hàm
trung hòa có hàm làm chậm bị chặn.
Trong chương này chúng ta chứng minh sự tồn tại lời giải tuần hoàn của
bài toán giá trị ñầu :
d
( x(t ) + G (t , xt )) = Ax ( t ) + F (t , xt )
dt
x0 = ϕ ∈ C = C ([−r ,0]: X )

( 2.1)
( 2.2 )

3

Chương 3 : Lời giải tuần hoàn cho phương trình ñạo hàm riêng của hàm
trung hòa có hàm làm chậm không bị chặn :
Trong chương này chúng ta tập trung ñến sự tồn tại của lời giải ω - tuần
hoàn cho phương trình ñạo hàm riêng của hàm trung hòa với mô hình làm
chậm không bị chặn có dạng :
d
( x ( t ) + G ( t , xt ) ) = Ax ( t ) + F ( t , xt )
dt
xσ = ϕ ∈ B

( 3.1)
( 3.2 )

Với xt : ( −∞,0] → X , xt (θ ) = x(t + θ ) thuộc vào không gian pha B trừu
tượng xác ñịnh trước và F , G : ℝ × B → X là những hàm liên tục.
Chương 4: Ứng dụng
Trong chương này chúng ta sẽ minh họa một số kết quả của việc sử dụng
tiêu chuẩn loại Massera ñể tìm lời giải tuần hoàn của hàm trung hòa có hàm
làm chậm bị chặn (hoặc hàm làm chậm không bị chặn) .
Phần kết luận : ðưa ra những kết luận mà luận văn ñạt ñược, chưa ñạt
ñược và ñưa ra những ñề xuất (nếu có ).


4

Chương 1
GIỚI THIỆU CHUNG VỀ NHỮNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CÓ

LIÊN QUAN ðẾN ðỀ TÀI ,CÁC KÝ HIỆU ðƯỢC SỬ DỤNG
TRONG ðỀ TÀI, CÁC KẾT QUẢ SẼ ðƯỢC SỬ DỤNG
1.1. Giới thiệu
Bằng cách sử dụng tiêu chuẩn Massera chúng ta chứng minh sự tồn tại
lời giải tuần hoàn cho phương trình ñạo hàm riêng của hàm trung hòa
d
( x (t ) + G(t, xt )) = Ax (t ) + F (t, xt ) , t > 0
dt
x0 = ϕ ∈ D

(1.1)
(1.2)

Với A là phần tử vi phân của nửa nhóm compact, giải tích của những
toán tử tuyến tính (T (t ))t ≥0 trên không gian Banach X. Hàm chậm
x t , x t (θ ) = x (t + θ ) thuộc không gian pha D thích hợp và G, F : ℝ × D → X là

những hàm liên tục.
Bài báo của Massera [12], người khởi xướng việc nghiên cứu nhận thấy
mối liên hệ giữa lời giải bị chặn và lời giải tuần hoàn .
Trong [12] mối liên hệ này ñược giải thích bởi phương trình vi phân
thường tuần hoàn hai chiều. Kế tục Massera, một số tác giả khác cũng xem
xét những mối quan hệ tương tự, nhận thấy : Yoshizama cho phương trình vi
phân n – chiều ; Lopes và Hale cho phương trình thường n – chiều và phương
trình hàm với ñiều kiện làm chậm và Yong [16] cho phương trình hàm vi
phân. Gần ñây Ezzinbi [3], sử dụng tiêu chuẩn loại Massera, ñã chỉ ra sự tồn
tại lời giải tuần hoàn cho phương trình ñạo hàm riêng
•

x (t ) = Ax (t ) + F (t, xt ) ,

x0 = ϕ ∈ C = C ([−r ,0]: X ) ,

(1.3)


5

Với A là phần tử vi phân của nửa nhóm compact của những toán tử
tuyến tính bị chặn trong không gian Banach.
Mục ñích của chúng ta trong luận văn này là thiết lập những kết quả
tương tự như những kết quả trong [3], cho phương trình ñạo hàm riêng của
hàm trung hòa với ñiều kiện làm chậm ( 1.1) – (1.2).
Những phương trình vi phân trung hòa ñược phát triển trong nhiều lĩnh
vực của toán ứng dụng và những phương trình như vậy ñược mở rộng nhiều
trong những năm gần ñây.Một tài liệu hướng dẫn rất hay về phương trình vi
phân của hàm trung hòa với ñiều kiện làm chậm là cuốn sách của nhà toán
học Hale [8] với những chỉ dẫn ở trong ñó. Làm việc ñầu tiên với phương
trình ñạo hàm riêng của của hàm trung hòa với ñiều kiện làm chậm là
Hernandez và Henriquez trong [9,10]. Trong những bài báo này, Họ ñã chứng
minh tồn tại lời giải yếu, mạnh và lời giải tuần hoàn cho phương trình trung
hòa
d
( x (t ) + G(t, xt )) = Ax (t ) + F (t, xt ) ,
dt
x0 = ϕ ∈ B

(1.4)

Với A là phần tử vi phân của nửa nhóm giải tích của những toán tử
tuyến tính trên không gian Banach và B là pha không gian xác ñịnh bởi các

tiên ñề. Trong trường hợp tổng quát, những kết quả này ñược suy từ ñịnh lý
nửa nhóm và ñịnh lý ñiểm bất ñộng của Sadovskii.
Luận văn này có năm chương. Trong chương 2 chúng ta tập trung ñến sự
tồn tại lời giải tuần hoàn cho phương trình ñạo hàm riêng của hàm trung hòa
xác ñịnh trên ℝ × C ([− r ,0]: X ) . Trong chương 3, bằng cách sử dụng kết quả
của chương 2, chúng ta xét sự tồn tại của lời giải tuần hoàn cho phương trình
trung hòa với với mô hình làm chậm bị chặn trên ℝ × B ,với B là một pha
không gian ñịnh nghĩa bởi các tiên ñề như trong Hale và Kato [5]. Chương 4


6

sẽ chứa những ví dụ minh họa .Những kết quả của chúng ta có ñược dựa trên
những tính chất của nửa nhóm giải tích và những ý tưởng, kỹ thuật chứng
minh của Harnandez và Henriquez [9,10] và Ezzinbi[3].
1.2. Ký hiệu
Trong luận văn này, ta sẽ ñược ký hiệu X là một không gian Banach với
chuẩn . , A ký hiệu là phần tử vi phân của nửa nhóm giải tích, compact,
(T (t ))t ≥0 ,của những toán tử tuyến tính trên X và ñược ñịnh nghĩa như sau :
T (t ) x − x


toàn taïi  và
A : D( A) → X với D( A) =  x ∈ X : lim
t →0
t



T (t ) x − x dT (t ) x

vôùi x ∈ D( A)
=
t →0
t
dt t =0

Ax = lim

Dựa vào ñịnh lý C 0 nửa nhóm của Pazy [13].
Trong luận văn này, x (.,ϕ ) ký hiệu lời giải cùa (1.1) - (1.2). Hơn nữa,
B r (x : Z ),(B r [x : Z ]) ký hiệu là quả cầu mở, (quả cầu ñóng) trong không

gian Metric Z với tâm tại x và bán kính bằng r .Với hàm bị chặn

ξ :[a,b ] → [0, ∞)

và

a ≤t ≤b

ξa ,t = sup{ξ (s ) : s ∈ [a,t ]}

chúng

ta

sẽ

ký

hiệu

ξa ,t

bởi

(1.6)

Nếu D là không gian pha Banach, chuẩn trong D sẽ ñược ký hiệu . D .
ðể chứng minh những kết quả chính của luận văn ,chúng ta sẽ sử dụng
những kết quả sau.
1.3. Một số kết quả ñược sử dụng trong luận văn
1.3.1. ðịnh lý 1.2 [5].
Cho Y là không gian Banach và Γ := Γ1 + y với Γ1 :Y →Y là toán tử
tuyến tính bị chặn và y ∈Y . Nếu tồn tại x 0 ∈Y sao cho tập {Γ n (x 0 ) : n ∈ ℕ}
là compact tương ñối trong Y, thì Γ có ñiểm bất ñộng trong Y.


7

1.3.2. ðịnh lý 1.3 [4]
Cho X là không gian Banach và M là tập con lồi, khác rỗng của X. nếu
Γ : M → 2 X là ánh xạ ña trị sao cho

Với mỗi x ∈ M thì tập Γ(x ) lồi, ñóng khác rỗng.

(i)

(ii) Tập Γ(M ) = ∪ Γ(x ) là compact tương ñối
x ∈M

(iii) Γ là nửa liên tục trên.
Thì Γ có ñiểm bất ñộng trong M.
1.3.3. ðịnh lý Ascoli
Tập M ⊂ C ( K , R n ) là tập compact tương ñối nếu và chỉ nếu M bị chặn
ñều và ñẳng liên tục .
1.3.4. ðịnh lý hội tụ bị chặn Lebesgue

Cho dãy hàm số { fn} hội tụ theo ñộ ño ñến hàm số f trên một tập hợp
A và fn ≤ g h.k.n trên A với mọi n, trong ñó g là một hàm số khả tích trên
A thì lim ∫ fn d µ = ∫ fd µ
n→∞

A

A

1.3.5. ðịnh lý ñiểm bất ñộng của Sadovskii
1.3.5.1. ðịnh nghĩa ñộ ño phi compact Kuratovskii
Cho X là không gian Banach, A là tập con bị chặn .ðộ ño phi compact
Kuratovski ñịnh bởi : χ (A) = inf {d > 0 / A ñược phủ bởi một số hữu hạn các
tập hợp A1, A2,...An có ñường kính ≤ d}.
Tính chất :
( i ) χ (A)=χ (A)=χ (coA)
(ii ) χ ( A) = 0 ⇔ A là compact tương ñối .
(iii ) χ ( A ∪ B) = max { χ ( A), χ (B)}
(iv ) χ ( A + B) = χ ( A) + χ (B)
(v ) χ (tA) = t χ ( A)

8

1.3.5.2. ðịnh nghĩa toán tử cô ñặc
Ánh xạ f : D ⊂ X → X ñược gọi là k – cô ñặc nếu tồn tại k∈(0,1) sao
cho: χ ( f ( A)) ≤ k χ ( A) với mọi A bị chặn chứa trong D.
1.3.5.3. ðịnh lý ñiểm bất ñộng của Sadovskii
Giả sử
(i)

Toán tử T : M ⊆ X → M là k – cô ñặc, ở ñây

(ii)

M khác rỗng, ñóng, bị chặn và là tập con lồi của không gian

Banach X .
Khi ñó T có ñiểm bất ñộng .
1.3.6. Một số ñịnh lý C0 nửa nhóm
1.3.6.1. ðịnh nghĩa nửa nhóm (ñịnh nghĩa 1.1) [13]
Cho X là không gian Banach. Một họ tham biến T (t ),0 ≤ t < ∞ của
những toán tử tuyến tính từ X vào X là nửa nhóm của những toán tử tuyến
tính bị chặn trên X nếu:
(i) T (0) = I (I là toán tử ñồng nhất trên X)
(ii) T ( t + s ) = T(t)T(s) với mỗi s, t ≥ 0 (Tính chất nửa nhóm).
1.3.6.2. ðịnh nghĩa C0 nửa nhóm (ñịnh nghĩa 2.1) [13]
Một nửa nhóm T (t ),0 ≤ t < ∞ ,của những toán tử tuyến tính bị chặn
trên X là nửa nhóm liên tục mạnh của những toán tử tuyến tính bị chặn nếu
lim T (t ) x = x với mỗi x ∈ X .
t→0

Nửa nhóm liên tục mạnh của những toán tử tuyến tính trên X ñược gọi
là nửa nhóm của lớp C0 hay ñơn giản là C0 nửa nhóm .
1.3.6.3. ðịnh lý 2.2 [13]
Nếu T (t ) là C0 nửa nhóm.
Khi ñó tồn hằng số ω và M ≥ 1 sao cho T (t ) ≤ Meωt , 0 ≤ t < ∞


9

1.3.6.3.1. Hệ quả 2.3 [13]
Nếu T (t ) là C0 nửa nhóm khi ñó với mỗi x ∈ X , t → T (t ) x là hàm liên
tục từ ℝ +0 ( ñường thẳng thực không âm ) vào X.
1.3.6.4. ðịnh lý 2.3 [13]
Cho T (t ) là C0 nửa nhóm và A là phần tử vi phân của nó. Khi ñó :
1
a) Với x ∈ X , lim
h →0 h

t +h

∫ T (s) xds = T (t) x
t

t

b) Với x ∈ X , ∫ T (s) xds ∈ D( A) vaø A  ∫ T (s) xds  = T (t ) x − x
0
0

t

c) Với x ∈ D(A) , T (t ) x ∈ D(A) vaø

d
T (t ) x = AT (t ) x = T (t ) Ax
dt

t

t

s

s

d) Vôùi x ∈ D(A) , T (t ) x − T (s) x = ∫ T (τ ) Axdτ = ∫ AT (τ ) xdτ
1.3.6.4.1. Hệ quả 2.5 [13]
Nếu A là phần tử vi phân của C0 nửa nhóm T (t ) , khi ñó D (A), miền
xác ñịnh của A, trù mật trong X và A là toán tử tuyến tính ñóng .
1.3.6.5. ðịnh lý 3.2 [13, tr.48]
Cho T (t ) là C0 nửa nhóm. Nếu T (t ) là compact với t > t0 thì T (t ) liên tục
trên không gian tô pô những toán tử ñều với t > t0 .
Nếu (T (t ))t ≥0 là nửa nhóm giải tích và bị chặn ñều sao cho 0 ∈ ρ (A ) thì
nó có thể ñịnh nghĩa bậc hữu tỉ (−A )α , α ∈ (0,1] ,như là toán tử tuyến tính
ñóng trên miền xác ñịnh của nó D(− A)α . Hơn nữa không gian con D(− A)α là
trù mật trong X và biểu thức x

α

= (− A)α x , x ∈ D(− A)α , ñịnh nghĩa là

chuẩn trong D(− A)α . Nếu X α biểu diễn không gian D(− A)α xác ñịnh bởi
chuẩn . α , thì theo [11, tr.74] ta có những tính chất sau :