SKKN toán 8

Sáng kiến kinh nghiệm
I. Đặt vấn đề:
Đại số là một ngành lớn của toán học. Đối tợng nghiên cứu của nó là các
phép tính ví dụ nh cộng, trừ, nhân, chia, cụ thể hơn là mối quan hệ giữa các phép
tính. Có thể nói Đại số có lịch sử lâu đời nhất trong trong toán học. Tuy nhiên nó
ngày càng phát triển với những bớc nhảy vọt. Đại số là ngành học mà nó là động
lực thúc đẩy sự phát triển của toán học nói chung và có ứng dụng cần thiết trong
thực tế cuộc sống nh trong khoa học kỹ thuật. Trong trờng học, Đại số là môn toán
học đầy hứng thú song cũng rất phức tạp. Nó là môn học rèn luyện kỹ năng tính
toán, phát huy trí thông minh sáng tạo cho học sinh từ đó phát hiện ra những tài
năng trẻ.
Là giáo viên dạy toán trong đó có phân môn Đại số lớp 8 tôi không khỏi có
những trăn trở về bộ môn này. Đứng trớc một môn học với biết bao kiến thức với
những dạng toán phức tạp và đa dạng đòi hỏi ngời thầy phải tìm ra cho mình một
phơng pháp dạy sao cho phù hợp với kiến thức, phù hợp với đối tợng học sinh mà
mình tiếp cận để đạt đợc hiệu quả cao nhất. Đối với từng dạng toán phải đa ra ph-
ơng pháp giải phù hợp đặc biệt là trong công tác phát hiện và bồi dỡng những học
sinh có năng khiếu toán.
Một trong những dạng toán hấp hẫn mà không dễ dàng với học sinh là:
"Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của 1 biểu thức". Đây là 1 vấn đề không đơn giản
nhng rất cần thiết cho việc bồi dỡng học sinh giỏi. Và bởi lẽ nó không đơn giản
nên tôi chỉ dám đề cập đến 1 khía cạnh nhỏ là: "Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của
biểu thức bằng phơng pháp bất đẳng thức".
1
Sáng kiến kinh nghiệm
II. Nội dung:
Ta đã biết các bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất có 1 vị trí xứng đáng
trong chơng trình học và dạy toán ở các trờng THCS. Các bài toán này rất phong
phú, đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức và vận dụng 1 cách hợp lý nhiều khi khác
độc đáo. Tuy nhiên để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có rất nhiều phơng pháp song
ở đây tôi chỉ đề cập đến phơng pháp bất đẳng thức.

Đứng trên quan điểm hàm số ngời ta định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
của 1 hàm số trên 1 miền nào đó nh sau:
"Cho hàm số F(x) xác định trên miền D. Ta nói rằng M là giá trị lớn nhất
F(x) trên D nếu nh đồng thời thoả mãn 2 điều kiện sau đây:
1. F(x) M

x D
2. Tồn tại x
0
D sao cho F(x
0
) = M
Khi đó ta kí hiệu M = max F(x)
x D
Số m gọi là giá trị bé nhất của F(x) trên D, nếu nh đồng thời thoả mãn 2
điều kiện sau:
1. F(x) m

x D
2. Tồn tại x
0
D sao cho F(x
0
) = m
Khi đó ta kí hiệu: m = min F(x)
x D
Phơng pháp bất đẳng thức thực ra dựa trực tiếp vào định nghĩa trên. Nghĩa là
để tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của 1 biểu thức A ta cần chứng minh rằng
Ak hoặc Ak (với k = cmst)

giá trị của biểu thức và chỉ ra trờng hợp xảy ra
dấu đẳng thức.
Để sử dụng phơng pháp này ngoài những bất đẳng thức cơ bản đã học tôi
muốn đề cập đến 1 bất đẳng thức rất hay sử dụng là bất đẳng thức Côsi:
Nếu a
1
, a
2
,a
n
là các số không âm, ta có:
2
Sáng kiến kinh nghiệm
1,
n
n
anaa
n
aaa
...
...
21
21

++
(1)
2, Dấu "=" trong (1) xảy ra

a
1

= a
2
= a
3
=.a
n
Trong khuôn khổ có hạn tôi không đi sâu vào chứng minh bất đẳng thức
này. và ta hay thờng sử dụng các trờng hợp riêng của trờng hợp tổng quát trên:
+ Bất đẳng thức côsi cho 2 số không âm: a, b
Ta có: a + b

2
ab

Dấu "=" xảy ra

a = b
+ Bất đẳng thức côsi cho 3 số không âm: a, b, c
Ta có: a + b + c

3
3
abc
Dấu "=" xảy ra

a = b = c
Sau đây ta xét 1 số ví dụ về bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu
thức bằng phơng pháp bất đẳng thức.
Ví dụ 1: "Với giá trị nào của x để biểu thức
A = x

2
- 2x + 5 có giá trị nhỏ nhất ?"
Đây là biểu thức cha biết x, giá trị của A tuỳ thuộc vào giá trị của biểu thức
x. A có giá trị thay đổi nhng nó tồn tại 1 giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất ấy là
bao nhiêu? ứng với giá trị nào của x? Để trả lời ta phải tìm cách để chứng minh
rằng A

k (k là hằng số) khi đó A
min
= k ứng với giá trị của x làm cho A = k.
Muốn chứng minh đợc ta phải tách biểu thức A thành nhóm thích hợp.
Lời giải:
Ta có A = x
2
- 2x + 5 = x
2
- 2x + 1 + 4

A = (x -1)
2
+ 4
Mà (x-1)
2


0

dấu "=" xảy ra

x = 1

Vậy A
min
= 4

x = 1
Hay với x = 1 thì biểu thức A có giá trị nhỏ nhất bằng 4.
3
Sáng kiến kinh nghiệm
Ví dụ 2:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc hai:
f(x)=
125
2
+
xx
b) Tìm giá trị lớn nhất của tam thức bậc hai:
f(x)=
23
2
+
xx
Bài giải:
a) Ta có f(x)=
125
2
+
xx
=
1
5

2
5
2
+







xx
=
1
5
1
5
1
5
2
5
22
2
+

+
xx
=
1
5
1
5
1
5
2
+

x
=
5
4
5
1
5
2
+







x
Với

x, x

R thì
0
5
1
2

x
nên ta có:
f(x) =
5
4
5
4
5
1
5
2








x
Với

x, x

R
Vậy f(x) đạt giá trị nhỏ nhất là
5
4
, đạt đợc khi x =
5
1
b) f (x) =
23
2
+
xx
=







xx
3
1
3
2
=
2
6
1

6
1
3
1
3
22
2






















+

xx
=
12
23
6
1
3
2








x
Vì
0
6
1
2

x


x, x

R nên
12
23
12
23
6
1
3
2








x
4
Sáng kiến kinh nghiệm
Và f(x) đạt giá trị lớn nhất là

0
6
1

3
2
=







x
0
6
1
= x

6
1
= x
Kết quả: f(x) đạt giá trị lớn nhất
12
23

ứng với giá trị x =
6
1
của biến.
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = (x
2

+ x + 1)
2
Mới thoạt nhìn bài toán học sinh rất dễ nhầm lẫn và có vẻ đơn giản. Ta sẽ
cho rằng A

0

x (vì là bình phơng của 1 biểu thức) và do đó A có giá trị nhỏ
nhất bằng 0. Không phải vậy. Nếu để ý kĩ hơn ta sẽ nhận ra ngay A >0

x
Vì x
2
+ x + 1 0
Lời giải của bài toán nh sau:
Ta có x
2
+ x + 1 = x
2
+ x +
4
3
4
1
+
Nên: x
2
+ x + 1

4
3


x dấu "=" xảy ra

x =
2
1
Do đó A
min


(x
2
+ x + 1)
min

=> Giá trị nhỏ nhất của A =
16
9
4
3
2
=

x = -
2
1
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng
16
9
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = (2x - 1)
2
- 3
12

x
+ 2
Bài toán này biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất có chứa cả giá trị tuyệt đối.
Mới nhìn ta có cảm giác là phức tạp. Song nếu bình tĩnh suy xét ta sẽ thấy ngay 1
5