ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP CỦA LÍ THUYẾT THÔNG TIN ĐỂ TÍNH ENTROPY CỦA LỖ ĐEN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HCM

BÁO CÁO TỐNG KẾT ĐỀ TÀI CẤP TRƢỜNG

ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP
CỦA LÍ THUYẾT THÔNG TIN
ĐỂ TÍNH ENTROPY CỦA LỖ ĐEN

Mã số :CS.2005.23.96
Chủ nhiệm đê tài: Lê Nam

Tp.HCM tháng 4 năm 2006


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HCM

BÁO CÁO TỐNG KẾT ĐỀ TÀI CẤP TRƢỜNG

ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP
CỦA LÍ THUYẾT THÔNG TIN
ĐỂ TÍNH ENTROPY CỦA LỖ ĐEN

Mã số :CS.2005.23.96
Chủ nhiệm đê tài: Lê Nam

Tp.HCM tháng 4 năm 2006


Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96

MỤC LỤC

TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ....................................................................................... 1
PHẦN A .................................................................................................................................. 2
I. ĐẶT VẤN ĐỀ ................................................................................................................... 2
II. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN .............................................................................................. 4
1. Mục đích của đề tài ....................................................................................................... 4
2. trong lí thuyết thông tin và trọng vật lí ........................................................................... 4
3. Tính Entropy của lỗ đen theo vật lí lƣợng tử .................................................................. 5
4. Tính Entropy của lỗ đen bằng phép lượng tử hóa diện tích ................................... 7
I I I . K ế t l u ậ n ................................................................................................................... 8
PHẦN B .................................................................................................................................. 9
I. ENTROPY TRONG TOÁN HỌC VÀ TRONG VẬT LÍ ....................................................... 9
1. Entropy và thông tin .................................................................................................. 9
2.

Entropy và độ mất trật tự ..................................................................................... 11

3.

Entropy và sự mất thông tin................................................................................. 12

4. Kết luận ...................................................................................................................... 13
II. ENTROPY CỦA LỖ ĐEN ............................................................................................ 15
1.

Sơ lược v ề lỗ đen ................................................................................................ 15

2.

Tính Entropy của lỗ đen theo vật lí lƣợng tử .............................................................. 16

3.

Ý nghĩa của Entropy lỗ đen theo lí thuyết thông tin .................................................... 18

4.

Kết luận ................................................................................................................... 20

T À I L I Ệ U T H A M K H Ả O ................................................................................................ 21
BÁO CÁO KINH PHÍ ............................................................................................................ 22
THUYẾT MINH ĐỀ TÀI ......................................................................................................... 1


Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96

TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƢỜNG
Tên đề tài :

Áp dụng phƣơng pháp của lí thuyết thông tin để tính Entropy của
lỗ đen
Mã số: cs.2005.23.96
Chủ nhiệm đề tài: Lê Nam Tel: ..................................................... ………………………...
E-mail:
………………………………………………………………………………………………….
Cơ quan chủ trì đề tài : Khoa Vật lí Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM Cơ quan và cá nhân
phối hợp thực hiện : không. Thời gian thực hiện: 6/2005 - 6/2006

1. Mục tiêu
-

Trình bày lại khái niệm Entropy đầy đủ, chi tiết hơn nhưng không nặng nề về mặt toán học
nhằm giúp ích cho việc giảng dạy môn Nhiệt học - Vật lí thống kê.
Tính toán gần đúng (định tính) Entropy của lỗ đen và giải thích ý nghĩa của nó nhờ lí thuyết
thông tin

2. Nội dung chính
-

Entropy trong toán học, cụ thể là Entropy và thông tin.
Entropy và độ mất trật tự - sự mất thông tin.
Tính Entropy lỗ đen nhờ hệ thức bất định.
Tính Entopy lỗ đen theo phép lượng tử hóa diện tích.
Giải thích Entropy lỗ đen theo lí thuyết thông tin.

3. Kết quả chính đạt đƣợc (khoa học, ứng dụng, đào tạo, kinh tế-xã
hội)
Xây dựng thành 3 bài giảng cho 3 môn khác nhau
- Entropy trong toán học và trong vật lí cho Vật lí thống kê.
- Entropy của lỗ đen và hệ thức bất định cho Cơ lượng tử.
- Entropy của lỗ đen và phép lượng tử hóa diện tích cho thuyết tương đối rộng.

1


Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96

PHẦN A

I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Cho phép tác giả điểm qua cách trình bày về Entropy trong các giáo trình môn Vật lí thống kê
bằng tiếng Việt hiện nay.
S á c h Nhiệt động lực học và vật lí thống kê, V ũ T ha n h K h i ế t , N X B Đ ạ i h ọ c
Q u ố c g i a H à N ộ i , . 1 9 9 6 , v i ế t n hư s a u : Đại lượng S mới được đưa vào gọi là
Entropỵ, đó là một hàm trạng thái của hệ, độ biến thiên của hàm đó bằng nhiệt lượng mà hệ
nhận được trong quá trình thuận nghịch ( t r a ng 7 2 ) .
Entropy bằng hàm số nhân với logarit của tổng số các trạng thái vi mô khá dĩ của hệ
ứng với một trạng thái vĩ mô cho trước ( t r a ng 1 8 5 ) .
S á c h Vật lí thống kê, N g u y ễ n N h ậ t K h a n h, N X B Đ ạ i h ọ c Q u ố c g i a
T p . H C M , 1 9 9 8 v i ế t n hư s a u :
Ta đưa vào ký hiệu
khoảng từ

đến

là số các trạng thái vi mô của hệ ứng với năng lượng trong

+ E thì logarit của nó gọi là Entropy của hệ ở trạng thái cân bằng

(tr.15).
S á c h Vật lí thống kê, Đ ỗ T r ầ n C á t , N X B K ho a h ọ c K ỹ t hu ậ t H à N ộ i,
2 0 0 1 v i ế t n hư s a u :
Đại lượng

chính là số trạng thái có trong khoảng năng lượng E ứng với năng lượng

trung bình E. Entropy của hệ được định nghĩa bằng hệ số Boltimann nhân với logarit của
( t r a ng 5 6 ) .
S á c h Vật lí thống kê, N g u y ễ n Q u a ng B á u , B ù i B ằ n g Đ o a n, N g u y ễ n V ă n

H ù ng , N X B Đ ạ i h ọ c Q u ố c g i a H à N ộ i , 1 9 9 9 v i ế t n hư s a u :
Entropy tỉ lệ với logarit tự nhiên của số các trạng thái vi mô khả dĩ ứng với trạng thái vĩ
mô của hệ ( t r a ng 3 9 ) .
S á c h Vật lí thống kê và nhiệt động lực thống kê, Đ ỗ X u â n H ộ i, T r ư ờ n g Đ H S P
T p . H C M , 2 0 0 3 v i ế t n hư s a u :
Trong lĩnh vực truyền thông khi ta không thể biết trước một cách chắn chắn kết quả của
một biến cố ta cần phải dùng lí thuyết xác suất, tức là khi đó ta không có đầy đủ thông tin v ề
biến cố này. Để đo lường mức độ thiếu thông tin về các biến cố ta đưa vào khái niệm Entropy
thống kê.
2


Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96
Xét tập biến cố A1,A2,...,An ứng với xác suất p 1 , p 2 , … p n . Entropy thống kê liên kết
với tập hợp này được định nghĩa như sau :
∑

k là hằng số dương; ∑

Entropy có giá trị cực đại khi tất cả các biến cố là đồng xác suất tức là ta hoàn toàn
thiếu thông tin vê các biến cố. Vậy Entropy thống kê cực đại khi trạng thái của các biến cố
hoàn toàn mất trật tự (hỗn độn). Khi chọn hệ số k là hằng số Boltzmann thì Entropy thống kê
trùng với Entropy nhiệt động lực do Clausius đề ra. Vậy Entropy thống kê được xem như là
độ đo sự thiếu thông tin liên quan đến những trạng thái vi mô của hệ. Nói cách khác, Entropy
là độ đo tính hỗn loạn (độ mất trật tự) của hệ (trang 32).
Tác giả xin phép có một vài nhận xét sau :
-

Tác giả Nguyễn Thanh Khiết sử dụng định nghĩa Entropy của Clausius và

Boltzmann.
-

Tác giả Nguyễn Nhật Khanh, Đỗ Trần Cát, Nguyễn Quang Báu chỉ sử dụng định

nghĩa của Boltzmann.
-

Tác giả Đỗ Xuân Hội sử dụng định nghĩa Entropy thống kê của lí thuyết thông tin

và cách đưa ra khái niệm này là hiện đại nhất, phù hợp với định nghĩa về Entropy của
các sách mới nhất hiện nay. Ví dụ : trong sách Gravity, B. Schutz, Cambridge
Univercity Press, 2003 có viết: Entropy là số đo độ mất trật tự trong hệ. Nó cũng đồng
thời là số đo lượng thông tin chứa trong hệ (tr.427).
Khi đọc sách của các tác giả trên, tôi nảy ra ý định sẽ trình bày lại khái niệm Entropy một
cách đầy đủ và chi tiết hơn về những phần mà các tác giả trên chưa đưa ra hoặc đưa ra chưa
thật đầy đủ. Cách trình bày mà đề tài yêu cầu sẽ không phức tạp. nặng nề về mặt toán học mà
sẽ nhấn mạnh đến khía cạnh vật lí nhằm giúp ích cho việc giảng dạy của giảng viên cũng như
việc tự đọc của sinh viên khi tiếp xúc với môn Vật lí thống kê và Nhiệt đại cương.
Đề tài sẽ mở rộng sang lĩnh vực nhiệt động học lỗ đen mà cụ thể là trình bày cách tính
định tính (gần đúng) Entropy của lỗ đen. Việc tính toán của Entropy của lỗ đen sẽ theo hai
cách khác nhau. Cách thứ nhất theo nguyên lí bất định trong Cơ lượng tử và cách thứ hai theo
phép lượng tử hóa do Planck đề xướng. Cả hai hướng tiếp cận này sẽ được trình bày chi tiết
do không nặng về mặt toán học. Hy vọng với cách trình bày không phức tạp trên sẽ phù hợp
với việc đưa vào khi giảng dạy môn Cơ lượng tử và

3


Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96

thuyết tương đối rộng cho sinh viên khoa Vật lí. Những ý tưởng trên đã thúc giục tác giả
đăng kí đề tài mang mã số cs.2005.23.96.

II. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN
1. Mục đích của đề tài
Có thể việc khó khăn nhất theo tác giả là tìm kiếm tài liệu vì đa số những tài liệu cần
thiết không có trên mạng internet. Rất may tác giả có liên hệ với các đồng nghiệp Trường
Tổng hợp Chicago và Trường Oxfoxrd nên đã tìm được những tài liệu cần thiết như bài báo
gốc của Jayner và Brillouin, bài báo gốc của nhà toán học Nga Khinchin. bài giảng về vật lí
lỗ đen cho các nghiên cứu sinh trẻ của các chuyên gia hàng đầu thế giới như R.Wald,
J.Bekensfein, T.Jacobson và 't.Hooft.
Vấn đề tiếp theo là từ các tư liệu trên cần tìm cách đơn giản hóa để có thể đưa vào
giảng dạy ở bậc đại học và đây là mục tiêu chính của đề tài này. Đề tài chia làm ba phần như
sau : Entropy trong lí thuyết thông tin và trong vật lí, tính toán Entropy của lỗ đen theo vật lí
lượng tử và cuối cùng là lượng tử hóa diện tích lỗ đen theo phương pháp của Planck.

2. trong lí thuyết thông tin và trọng vật lí
Hiện nay có nhiều bài giảng về nhập môn lí thuyết thông tin như : Information theory
and Statistics của Kullback hay A Short Course in InformationTheory của MacKay ... Trong
các bài giảng này, khái niệm về Entropy trong toán học được trình bày ngắn gọn và dễ hiểu.
Mặc dù dễ hiểu nhưng đó là sự dễ hiểu dành cho sinh viên khoa Toán. Đối với sinh viên vật lí
cần phải đơn giản hơn và ngắn gọn hơn nữa bởi vì phải đơn giản thì tính sử dụng mới cao còn
nếu không ngắn gọn thì không còn thời gian để đưa vào vì chương trình đã chật cứng rồi. Sau
khi lựa chọn nhiều phương án khác nhau tác giả đặt vấn đề như sau :
- Cho một ví dụ rất cụ thể, rất đời thường để sinh viên làm quen với khái niệm thông tin.
Sau đó dùng đồ thị để từ đó đưa ra hàm thông tin I(p) = -k log p .
- Tận dụng biểu thức tính trị trung bình trong toán xác suất và trong cơ lượng tử để đưa ra
công thức.

- Đưa ra một số ví dụ cụ thể để minh họa rồi từ đó dẫn tới công thức Shannon và so sánh

kết quả vừa tìm được với công thức Entropy đã có trong Vật lí thống kê. Như vậy, ta đã thực
hiện được hai mục đích là đưa vào khái niệm

4


Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96
thông tin chứa trong hệ và đồng nhất thông tin chứa trong hệ với Entropy nhiệt
động do Boltzmann đưa ra thông qua công thức

Để nói lên sự liên hệ giữa Entropy và độ mất trật tự, tác giả dựa trên công trình của
nhà toán học Nga Khinchin. Toàn bộ phần chứng minh nặng nề về toán học đã được lược bỏ,
tác giả chỉ giữ lại những kết luận quan trọng nhất của Khinchin và trình bày lại theo ngôn
ngữ của nhà vật lí. Để minh họa, tác giả đưa ra một vài ví dụ cụ thể để từ đó rút ra kết luận :
Entropy là số đo lượng thông tin chứa trong hệ và cũng là số đo độ mất trật tự (disorder)
trong hệ:
Như vậy Entropy của hệ tăng sẽ đồng nghĩa với lượng thông tin chứa trong hệ tăng kéo
theo độ mất trật tự tăng. Hệ càng mất trật tự thì thông tin ta nắm về được về hệ sẽ giảm đi. Từ
ý tưởng này đã dẫn đến khái niệm mất thông tin (The Information Loss) do Brillouin đưa ra
vào năm 1957. Tóm lại, Entropy tăng ⟶ thông tin chứa trong hệ tăng⟶thông tin ta nắm
được giảm (mất thông tin).

Phần cuối của mục này sẽ là vấn đề hướng của thời gian. Đây là vấn đề rất phức tạp
liên quan đến triết học, toán học, vật lí học nên tác giả chỉ giới hạn trong lĩnh vực nhiệt động
học. Do Entropy của hệ kín luôn tăng nên ta định nghĩa hướng của thời gian như sau :
Chiều dương của thời gian sẽ là hướng mà trong đó Entropy của hệ nhiệt động cô lập
tăng. Như vậy việc Entropy luôn tăng đã quyết định mũi tên thời gian chỉ theo một chiều và
không bao giờ đảo ngược lại được.

3. Tính Entropy của lỗ đen theo vật lí lƣợng tử

Theo vật lí lượng tử, trong không thời gian luôn sinh các cặp hạt - phản hạt áo. Chúng
luôn sinh ra, gặp nhau và tự hủy. Xét cặp photon - phản photon sinh ra ngay sát cạnh chân
trời sự kiện của lỗ đen. Do bên trong lỗ đen có quỹ đạo ứng với năng lượng âm nên các
photon với -E (phản photon) sẽ đâm vào lỗ đen còn photon với + E sẽ chuyển động ra xa vô
cùng và người quan sát ở đây sẽ nhận thấy lỗ đen bức xạ ra các photon với +E. Do photon với
-E đâm vào lỗ đen sẽ làm khối lượng của lỗ đen giảm đi. Từ cơ chế này, ta có thể tính được
gần đúng nhiệt độ lỗ đen bằng hệ thức bất định Heisenberg
.

5


Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96

c : Vận tốc ánh sáng.
h : Hằng số Planck.
G : Hằng số hấp dẫn.
k : Hằng số Boltzmann.
m : khối lượng lỗ đen
Nếu ta thêm vào mẫu số số hạng 2 n thì ta nhận được công thức chính xác nhiệt độ lỗ
đen Hawking.

Từ công thức trên ta tính được Entropy của lỗ đen (định luật một nhiệt động học)

Thông thường các nhà vật lí lí thuyết hay sử dụng hệ đơn vị hình học G = ћ = k = c =1
nên công thức tính Entropy của lỗ đen có dạng rất gọn :

A : diện tích chân trời sự kiện (diện tích lỗ đen).
Do bức xạ nên khối lượng lỗ đen giảm đi làm giảm diện tích lỗ đen. Điều này có nghĩa
bức xạ làm giảm Entropy và điều này trái với định luật hai nhiệt động học. Bekenstein đã đưa

ra định luật hai tổng quát (Generalized Second Law) như sau : Entropy tổng quát = Entropy
lỗ đen + Entropy bên ngoài lỗ đen sẽ không bao giờ giảm theo thời gian.

Đây là định luật rất đặc biệt vì nó là giao điểm của ba lĩnh vực riêng biệt nhau của vật
lí: Nhiệt động học, Thuyết tương đối rộng và Vật lí lượng tử. Định luật này được trình bày
trong các báo khoa học và các giáo trình dành cho nghiên cứu sinh và các nhà nghiên cứu trẻ.
Bài toán trên có thể đưa vào giảng dạy cho sinh viên như một minh họa độc đáo cho hệ
quả của hệ thức bất định trong cơ lượng tử. Bài toán trên cũng có thể đưa vào

6


Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96
giáo trình thuyết tương đối rộng vì theo sự phân bố của khoa Vật lí thì môn này được học
song song với cơ lượng tử và vật lí thống kê.

4. Tính Entropy của lỗ đen bằng phép lƣợng tử hóa diện tích
Ta nhắc lại giả thuyết do Planck đưa ra vào năm 1900. Một dao động điều hòa có tầng số
v chỉ có thể có những giá trị năng lượng gián đoạn. Giá trị đó bằng số nguyên lần một đại
lượng là hv và được gọi là lượng tử năng lượng.
E = n.hv
n= 1,2,3, ...
h : hàng số Planck
Giả thuyết trên được thực nghiệm xác nhận và nó được gọi là phương pháp lượng tử
hoa Planck. Xuất phát từ phương pháp trên của Planck, năm 1995, Bekenstein và Mukhanov
đã lượng tử hóa diện tích lỗ đen như sau :
- Dựa vào gợi ý của J.Wheeler hai ông chọn độ dài nhỏ nhất là độ dài Planck
Lp
cm.
- Diện tích nhỏ nhất của chân trời sự kiện A0 = α

với α bằng số nào đó được xác
định nhờ lí thuyết trường lượng tử trong không thời gian cong.
- Diện tích của lỗ đen không quay bất kì A sẽ bằng :
A = n.A0 = n α

; n = 1,2,3...

- Hòan toàn tương tự như điện tử trong vật lí lượng tử mỗi diện tích A0 có 2 trạng
thái khác nhau. Ta giả thuyết A0 có 2 trạng thái vì hạt graviton có 2 trạng thái khác
nhau nên có thể xem như diện tích A0 là hạt graviton. Ta tính được Entropy của lỗ
đen có diện tích A.
S=k.lnW = 1.ln2n = n.ln2; coi k =1
Sử dung kết quả của Havvking ta thấy

nên công thức tính Entropy sẽ là :
S=

Áp dụng công thức Shannon ta tính được lượng thông tin chứa trong lỗ đen.

7


Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96

Khi A = A0 ta có I = 1 bít. Áp dụng cho lỗ đen có khối lượng bằng khối lượng mặt trời ta
được

Mặt trời của ta có thể xem như hệ khí cổ điển lí tưởng nên ta tính được Entropy của
mặt trời
.

. T ừ đây suy ra ngay mặt trời chứa 1057 bít. Ta có thể đặt câu hỏi tại sao
khi mặt trời biến thành lỗ đen thì Entropy của nó tăng lên ghê gớm như vậy,nhiều hơn gấp 10
lần. Việc tăng Entropy trên có thể đươc giải thích một cách hợp lí nhất nhờ lí thuyết thông
tin. Khi hình thành lỗ đen hoặc khi diện tích lỗ đen tăng do có vật chất bị cuốn vào lỗ đen thì
ta hoàn toàn mất thông tin về lượng vật chất nằm trong lỗ đen. Sự mất thông tin này tương
ứng với việc tăng Entropy. Tóm lại, do lỗ đen nuốt hầu như tất cả thông tin rơi vào nó nên lỗ
đen mới có Entropy lớn cực kì khủng khiếp đến như vậy. Lỗ đen là vật thể có Entropy lớn
nhất mà con người được biết.
Nếu đưa bài toán trên vào giáo trình thuyết tương đối rộng thì ta thấy hai cái lợi sau :
Một là nhắc lại phương pháp lượng tử hóa của Planck mà sinh viên đã được học ở
chương trình đại cương và hai là hiểu sâu sắc thêm khái niệm Entropy của lỗ đen thông qua lí
thuyết thông tin. Như vậy, ta đã đưa được một trong những vấn đề mới nhất của vật lí hiện
nay vào giáo trình dạy cho sinh viên.

II I. K Ế T LU Ậ N
Mục đích của đề tài này gồm những vấn đề sau : Một là nêu lại một cách có hệ thống
khái niệm Entropy theo các tác giả khác nhau cả trong toán học lẫn trong vật lí học và hai là
lí giải Entropy của lỗ đen nhờ lí thuyết thông tin.
Tác giả nhận thấy với những kết quả đã trình bày trong phần II thì các mục tiêu của đề
tài đã được thực hiện. Do cách trình bày không nặng về toán học nên tác giả hi vọng tài liệu
này sẽ giúp ích cho giáo viên cũng như sinh viên khi tham khảo.
Việc đưa những vấn đề mới nhất của vật lí hiện nay vào giảng dạy sẽ đạt những mục
đính như : kích thích sự tìm tòi, ham học hỏi của sinh viên, giúp sinh viên dễ dàng hơn trong
việc nghiên cứu khoa học và đồng thời kích thích việc nghiên cứu khoa học của giáo viên.

8


Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96

PHẦN B
I. ENTROPY TRONG TOÁN HỌC VÀ TRONG VẬT LÍ
1. Entropy và thông tin
Ta sẽ xây dựng hàm I(p) thỏa mãn các điều kiện được mô tả ở hình 1. Thông tin
chứa đựng trong thông báo sẽ bằng zero nếu như sự kiện tương ứng đã hoàn thành. Ví dụ :
khi người ta báo cáo mặt trời đã lặn vào hôm qua thì thông tin của sự kiện này bằng zero. Khi
đó ta cho I(p) = 0. Ngược lại, thông tin chứa đựng nhiều hơn khi các sự kiện có khả năng xảy
ra không được biết trước. Nói các khác I(p) sẽ tăng khi p giảm như mô tả trên đồ thị. Ta nhận
thấy hàm I(p) = -klogp (1) thỏa mãn yêu cầu của ta với k là hàng số dương. Người ta hay
chọn k = 1 hoặc bằng hằng số Boltzmann còn logarit lấy theo cơ số 2 hoặc cơ số e.

Hình 1. Đồ thị nói lên sự phụ thuộc của thông tin I(p)
vào xác suất ngẫu nhiên p.
Ta nhận thấy khi p = 1 ta có I(1) = 0, khi p = 0 ta có I(0) = .
Bây giờ ta xét tập các sự kiện A1,A2,...,An ứng với sác xuất xảy ra ngẫu nhiên
p1,p2,...,pn (a priori probabilities). Khi sự kiện Ai thực sự xảy ra với xác suất pi thì thông tin
có được sẽ là I(Pi). Vậy thông tin trung bình của tất cả các sự kiện trên sẽ là

Ví dụ ta tung đồng xu thì mặt sấp và mặt ngửa sẽ có xác suất bằng nhau và bằng 1/2. Khi đó
thông tin khi chọn k = 1 sẽ là

9


Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96
do chọn logarit cơ số 2 nên ta có 1 bít 1 thông tin.
Hoặc ta có một hệ chỉ có 2 trạng thái độc lập nhau với xác suất bằng nhau. Ta nói hệ
có 1 bít thông tin. Như vậy, 1 bít thông tin là khả năng giải quyết độ không chắc chắn đối với
2 sự kiện có xác suất bằng nhau.
Một ứng dụng của lí thuyết thông tin đơn giản trên là hệ đếm nhị phân. Chỉ với câu trả

lời "có" và "không" hay 1 và 0 ta có thể mô tả đầy đủ số nguyên bất kì từ tập (0, 1, 2, 9) của
hệ đếm thập phân. Do xác suất xuất hiện ngẫu nhiên của một trong mười chữ số trên là như
nhau và đều bằng 1/10 nên khi chọn k = 1 ta có

Từ kết quả trên ta thấy nếu hỏi 3 lần thì sẽ không đủ nhưng với 4 câu hỏi "có" hoặc
"không" sẽ mô tả chính xác các số của hệ thập phân. Như vậy, hệ nhị phân cần 4 câu hỏi hay
cần 4 cột chữ số:
Hệ thập phân
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

0
1
0
1
0
1
0
1
0
1

Hệ nhị phân
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0

1
1

Bây giờ ta chọn k bằng hằng số Boltzmann và áp dụng công thức chuyển logarit cơ số 2
sang cơ số e thì biểu thức (2) sẽ có dạng

ở đây
Ta thấy (4) là công thức tính Entropy của hệ trong tập hợp chính tắc. Nó xuất hiện
trong tất cả các giáo trình Vật lí Thống kê dành cho sinh viên khoa Vật lí.

1

Từ bit là viết tắt của binary digit

10


Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96
Công thức (3) được nhà toán học Mỹ Claude Shannon tìm ra lần đầu tiên vào năm
1948 và ông cũng là người đặt nền móng cho lí thuyết thông tin. Từ hai công thức trên ta đi
tới kết luận quan trọng : lượng thông tin chứa trong hệ (hoặc tập các sự kiện) tỷ lệ với
Entropy. Thông thường người ta đồng nhất Entropy với lượng thông tin chứa trong hệ.

2. Entropy và độ mất trật tự
Khái niệm trật tự - order - hay ngược nghĩa với nó là mất trật tự - disorder - có định tính
như nhau. Một bức tường gạch rõ ràng là trật tự hơn một đống gạch. Một loạt các bức thư
được phân thành nhóm theo thứ tự chữa cái giống như trong từ điển sẽ trật tự hơn rất nhiều
nếu phân theo các chữ cái do một con khỉ nghịch trên bàn phím tạo ra.
Trong cơ học thống kê ta quan tâm tới độ mất trật tự trong sự phân bố của hệ theo các
trạng thái vi mô cho phép. Để làm rõ vấn đề trên ta xét ví dụ sau.

Giả sử đứa bé được dặn ở nhà chờ bố mẹ đi làm về và nó có thể vào bất cứ phòng nào trong
căn nhà nó muốn. Rõ ràng đứa trẻ sẽ không ngồi chờ trong một phòng. Nó sẽ đi lang thang
không nghỉ từ phòng này sang phòng kia với tỉ lệ Pi đối với phòng thứ i (a fraction of time Pi
in the i-room). Ta cần xác định số đo định lượng của sự mất trật tự trên theo sự phân bố của
các p, đã cho. Trước khi đo độ mất trật tự ta cần thêm một số yêu cầu định tính sau :
a. Việc đo độ mất trật tự được xác định thông qua tập {Pi}.
b. Do ∑

nên nếu như một trong số các Pi bằng đơn vị (tất cả các pi, còn

lại bằng zero hết) thì hệ sẽ hoàn toàn trật tự. số đó định lượng độ mất trật tự lúc này phải
bằng zero.
c. Với W cố định độ mất trật tự cực đại sẽ ứng với trường hợp khi các pi = với i = 1,2,...W.
Điều này có nghĩa là đứa bé sẽ đi lang thang vào các phòng một cách hoàn toàn ngẫu nhiên.
Nó không hề ưu tiên cho bất kì phòng nào trong nhà.
d. Độ mất trật tự tăng nếu W tăng. Nhà càng lớn càng nhiều phòng thì độ mất trật tự càng lớn.
e. Giả.sử khi đứa bé lang thang ở lầu 1, ta tính được độ mất trật tự D(l) của sự phân bố của nó
theo tất cả các phòng của lầu 1. Tương tự ta có D(2) cho lầu 2. Khi đó, tổng số độ mất trật tự
khi ta gộp cả lầu 1 và lầu 2 lại mới nhau là

11


Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96
(Độ mất trật tự lầu 1 và lần 2) = D(l) + D(2)
Từ tất cả các yêu cầu trên nhà toán học Nga A. Khinchin đã chứng minh được :
Độ mất trật tự của hệ = -k∑

ln pi

(5)

k hằng số dương có thể chọn bằng 1 hoặc bằng hằng số Boltzmann.
Khi ta chọn k = kB thì công thức (5) chính là công thức tính Entropy trong vật lí thống
kê. Ta có thể phát biểu ý nghĩa của Entropy như sau :
Entropy là số đo định lượng độ mất trật tự của hệ.
Entropy cũng là số đo thông tin chứa trong hệ do hệ càng hỗn loạn thì càng chứa
nhiều thông tin và rõ ràng để xây dựng lại một hệ giống y như vậy cần rất nhiều quy tắc, luật
lệ, thông số trong khi để xây dựng lại một hệ có tính trật tự cao cần ít thông tin hơn. Hệ có
tính trật tự cao sẽ có Entropy nhỏ. Ngược lại, hệ có độ mất trật tự cao sẽ có Entropy lớn hơn.
Entropy
Entropy

thông tin chứa trong hệ
độ mất trật tự của hệ.

3. Entropy và sự mất thông tin
Trong phần này ra sẽ xem xét vấn đề vừa nêu dưới một góc độ khác. Như đã biết ở
phần hai khi hệ có tính trật tự cao thì thông tin chứa trong hệ ít. Trong khi hệ có độ mất trật
tự cao thì thông tin chứa trong hệ lớn nhưng thông tin mà ta nhận được lại ít. Ví dụ : với hệ
khí tại trạng thái cân bằng nhiệt ta đo được nhiệt độ, thể tích, mật độ. áp suất, nghĩa là chỉ với
vài thông số. Như vậy, thông tin về hệ mà ta nắm được rất ít. Trong khi đó, với mạng tinh thể
do có cấu trúc cao hơn hệ khí nên ta đo được nhiều thông số hơn để mô tả mạng tinh thể.
Ngoài những thông số vừa nêu ở trên ta còn biết thêm sự sắp xếp các nguyên tử trong mạng,
khoảng cách giữa chúng, độ pha tạp giữa chúng, ... Tóm lại, hệ có Entropy thấp sẽ cho ta
nhiều thông tin hơn. Từ đây ta đi tới khái niệm mất thông tin1.
Entropy tăng sẽ làm thông tin chứa trong hệ tăng nhưng do vậy thông tin mà ta nắm
được lại ít đi. Ta nói ta bị mất thông tin do có thêm một lượng thông tin tương ứng với độ
tăng Entropy ẩn chứa trong hệ mà ta không có cách gì biết được. Khi mạng tinh thể bị nóng
chảy rồi biến thành hơi thì toàn bộ thông tin về sự sắp xếp giữa các nguyên tử, khoảng cách

giữa chúng, ... đã bị mất.
Entropy tăng thông tin ta nắm được giảm
mất thông tin.

1

the iníbrmation loss

12


Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96
S=- I
Nhà Vật lí Mỹ Brillouin là người đầu tiên đề cập tới khái niệm mất thông tin trong bài
báo đăng trong Tạp chí Vật lí ứng dụng năm 1951, số 22, tr.334
4. Entropy và mũi tên thời gian
Tất cả chúng ta đôi khi tự hỏi : thời gian là gì ? Nó bắt đầu như thế nào và dẫn đến
đâu ?. Mọi cố gắng để trả lời câu hỏi thời gian là gì đều thất bại và tất cả những gì ta có thể
làm là tìm ra một mô hình toán học thật tốt về thời gian và nó có thể đưa ra được những tiên
đoán phù hợp với thực nghiệm.
Theo Newton thời gian là tách biệt đối với không gian và được xem như một đường
thẳng dài vô tận theo cả hai chiều. Thời gian được xem là vĩnh cửu theo nghĩa là đã tồn tại và
sẽ tồn tại mãi mãi.
Theo Einstein thời gian và không gian kết chặt với nhau. Sự phân bố vật chất sẽ làm
cong cả không gian lẫn thời gian. Như vậy, thời gian có hình dạng của nó. Lí thuyết của
Einstein tiên đoán rằng vũ trụ và bản thân thời gian phải có điểm bắt đầu và kết thúc.
Mặc dù có sự khác biệt nhưng cả hai mô hình trên đều có chung một điểm là thời gian
chỉ trôi theo một chiều. Một trong những điều kì lạ trong thế giới ta đang sống là Entropy
tăng, độ mất trật tự tăng trong khi thời gian tiếp tục trôi và không có cách gì quay ngược thời
gian lại. Từ đây, ta có thể định nghĩa hướng của thời gian như sau : chiều dương của thời gian

sẽ là hướng mà trong đó Entropy của hệ nhiệt động cô lập tăng. Như vậy, việc Entropy luôn
tăng đã quyết định mũi tên thời gian (arrow of time) chỉ hướng theo một chiều và không bao
giờ đảo ngược lại được.
Ta có tờ báo và không khí trong phòng. Chúng sẽ có it Entropy hơn là sau khi đốt tờ
báo cho ta CO2, tro, ít hơi nước và phần không khí còn lại. Quá trình trên xảy ra theo chiêu
dương của thời gian. Ta không thể quay ngược theo trục thời gian được bởi nếu làm được
điều đó có nghĩa là ta có thể tạo ra quá trình làm giảm Entropy, một điều trái với qui luật tự
nhiên.
Ta có thể chế tạo tờ báo từ CO2, tro, không khí nhưng khi đó ta lại làm Entropy của
môi trường xung quanh thay đổi và kết quả là Entropy luôn tăng.

5. Kết luận
Khái niệm Entropy lần đầu tiên được nhà vật lí Đức R. Clausius (1822 - 1888) đưa ra
khi ông nghiên cứu về tính chất động học của chất khí. Ông đưa ra đại lượng

1

Journal of Applied Physics, Vol.22, 3, (1951).

13


Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96
Entropy1 của hệ như là nhiệt năng mà hệ hấp thụ chia cho nhiệt độ của hệ thông qua công
thức :

Khi hệ thực hiện một quá trình nào đó mà không có sự trao đổi nhiệt thì Entropy của
hệ khí sẽ không thay đổi. Tuy nhiên, do nhiệt chỉ truyền từ nơi có nhiệt độ cao tới nơi có
nhiệt độ thấp hơn nên Clausius đã chứng minh được rằng tổng số thay đổi Entropy luôn
dương.

Nhà vật lí xuất sắc người Áo Boltzmann (1844 - 1906) đã chỉ ra rằng ta có thể tính
Entropy bằng cách tính số các cách khác nhau mà phân tử khí có thể phân bố trong khi không
làm thay đổi trạng thái vĩ mô của hệ như : áp suất, nhiệt độ, mật độ. Con số đó rất lớn và nó
được biểu thị qua công thức mang tên ông :
W : - tổng số cách mà các hạt trong bệ có thể phân bố mà không làm thay đổi đặc tính vĩ mô
của hệ, hay nói cách khác, W là tổng số các trạng thái vi mô ứng với một trạng thái vĩ mô đã
cho của hệ.
kB : hàng số Boltzmann.
Tiếp theo Boltzmann, nhà toán học Mĩ Shannon đã đồng nhất Entropy của hệ với lượng
thông tin chứa trong hệ. Ông đã tìm ra công thức tính lượng thông tin chứa trong hệ mà thực
chất nó dẫn tới công thức của Boltzmann.

Cùng với nhiều nhà toán học khác, nhà toán học Nga A. Khinchin đã nghiên cứu sự liên
quan của độ mất trật tự với thông tin và Entropy. Ông chứng minh rằng ta có thể đồng nhất
độ mất trật tự của hệ với Entropy của hệ thông qua công thức Shannon :
Độ mất trật tự = -k∑ lnpi
Cùng thời với Khinchin và Shannon, nhà vật lí Mĩ Brillouin đưa ra khái niệm mất thông
tin mà thực chất là nhìn nhận vấn đề mà Shannon đặt ra dưới một góc độ khác. Khi Entropy
của hệ tăng ta đã mất một lượng thông tin do lượng thông tin này đã được hệ tiếp nhận và
chứa trong nó.

1 Để mô tả dòng nhiệt, ông định nghĩa sự thay đổi Entropy.

14


Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96

II. ENTROPY CỦA LỖ ĐEN
1. Sơ lƣợc v ề lỗ đen

Lỗ đen là gì ? Để trả lời câu hỏi này ta có nhiều đáp án. Lỗ đen là nghiệm của phương
trình Einstein trong thuyết tương đối rộng. Nghiệm này mô tả vùng không thời gian mà bản
thân vùng đó và biên của nó hoàn toàn không nhìn thấy được đối với người quan sát bên
ngoài. Vùng không nhìn thấy đó gọi là lỗ đen. Ta cũng có thể trả lời theo cách khác như sau :
Lỗ đen là vật thể mà trường hấp dẫn của nó mạnh tới mức các tia sáng xuất phát từ bề mặt
của nó đều bị giữ lại hết, không thể thoát ra ngoài được và người quan sát ở xa sẽ không thấy
gì hết. Theo định nghĩa thứ hai thì lỗ đen có thể chuyển động, quay, va chạm nhau và hút các
vật thể khác.
Các quan sát cho thấy sự tồn tại của lỗ đen là thật mặc dù các quan sát trên đều là
gián tiếp. Ta chia lỗ đen ra làm ba loại :
- Loại cực lớn (Supermassive black holes) là nhân của các thiên hà. Ví dụ nhân của
thiên hà ta đang sống (dải Ngân Hà) là một lỗ đen có khối lượng cỡ một triệu lần
khối lượng mặt trời.
- Loại vừa có khối lượng cỡ từ 5-20 lần khối lượng mặt trời.
- Loại thứ ba gọi là lỗ đen nguyên thủy (the primordial black holes). Vào thời điểm
ban đầu vũ trụ của ta có mật độ khối lượng rất lớn và do có sự thăng giáng rất lớn
của mật độ vật chất mà có khả năng hình thành các lỗ đen
nguyên thủy có khối lượng cỡ 1015g với kích thước cỡ hạt proton.
Một nét đặc trưng nổi bật của lỗ đen là chân trời sự kiện (the event horizon), biên của
vùng không nhìn thấy được.
Chân trời sự kiện là mặt cong kín có tính chất rất đặc biệt là chỉ cho ánh sáng hoặc
các vật đi vào mà không thể đi ra khỏi lỗ đen. Chính điều này đã làm cho nhiều thông tin sau
khi vào lỗ đen sẽ bị giam giữ trong đó mãi mãi và do vậy sẽ không thể ghi nhận lại được
(không thể tái lập lại được) đối với người quan sát ở ngoài lỗ đen. Lí do là không có bất kì
một tín hiệu nào với bất kì bản chất nào có thể đi qua chân trời sự kiện từ trong ra ngoài.
Chân trời sự kiện đã tạo nên rào cản đối với dòng thông tin.
Đối với lỗ đen không quay, còn gọi là lỗ đen Schwarzschild, thì chân trời sự kiện là
mặt cầu với bán kính là Rs = 2Gmc-2. Từ đây ta tính được diện tích chân trời sự kiện (diện
tích lỗ đen).

15


Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96

2. Tính Entropy của lỗ đen theo vật lí lƣợng tử
Ta sẽ mô tả quá trình bức xạ Havvking một cách định tính như sau. Theo Vật lí lượng
tử, trong khắp không gian chứa đầy các cặp hạt - phản hạt "ảo". Chúng luôn luôn sinh ra theo
từng cặp, tách ra sau đó gặp lại nhau và tự hủy. Các cặp trên gọi là ảo vì ta không thể quan
sát chúng một cách trực tiếp bằng máy đo hạt. Ta chỉ có thể gián tiếp đo chúng thông qua
dịch chuyển Lamb trong phổ Hydrô.
Tại vùng không, thời gian ngay sát cạnh lỗ đen có bốn quá trình sinh ra và tự hủy của
các cặp hạt - phản hạt "ảo" (Virtual pairs of particles antiparticles). Ta xét từng quá trình một.

Quá trình I : Các cặp hạt - phản hạt ảo sinh ra, gặp nhau và tự hủy ở ngoài lỗ đen.
Quá trình II : Các cặp hạt, phản hạt ảo sinh ra ở ngoài lỗ đen, cùng chuyển động vào
lỗ đen và tự hủy trong đó.
Quá trình III : Các cặp hạt - phản hạt sinh ra ở ngoài lỗ đen nhưng hạt có năng lượng
dương chui vào lỗ đen còn hạt có năng lượng âm bay ra xa vô cùng.
Quá trình IV : Các hạt - phản hạt sinh ra ở ngoài lỗ đen nhưng hạt có năng lượng âm
chui vào lỗ đen và sẽ bị hủy với một hạt như vậy bên trong lỗ đen làm khối lượng lỗ đen
giảm đi còn hạt với năng lượng dương bay ra xa vô cùng. Người quan sát ở đó sẽ nhận thấy
lỗ đen đã bức xạ ra hạt có năng lượng dương và quá trình bốc hơi này sẽ làm lỗ đen nhỏ lại
và cuối cùng biến mất.
Do bên trong lỗ đen tồn tại quỳ đạo ứng với năng lượng âm nên quá trình IV sẽ vượt
trội hơn và kết quả là người quan sát ở xa sẽ thấy các hạt với năng lượng dương

16

Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96
phát ra từ lỗ đen. Ta áp dụng nguyên lí bất định trong cơ lượng tử để tính gần đúng
nhiệt độ lỗ đen.
Xét cặp hạt - phản hạt là photon được sinh ra ngay sát cạnh lỗ đen. Do bên trong lỗ
đen tồn tại quỹ đạo ứng với năng lượng âm nên hạt photon có năng lượng âm sẽ bay vào lỗ
đen. Nó sẽ kết hợp với photon trong lỗ đen làm năng lượng của lỗ đen giám đi hay nói cách
khác làm giảm khối lượng của lỗ đen. Photon với năng lượng dương (hạt thực) sẽ bay ra xa
vô cùng và kết quả tạo ra bức xạ Hawking. Do vị trí của photon bức xạ xuất phát từ vùng lân
cận bề mặt lỗ đen nên độ bất định của tọa độ của nó có thể chọn x~rs (bán kính lỗ đen).
Ta có hệ thức bất định

Do AE = Ap.c và theo nhiệt động học E
Từ (1) và (2) ta có

k.T nên p =

hay p

(2)

Từ đây ta tính được nhiệt độ lỗ đen

Đây là kết quả gần đúng nên sau khi áp dụng lí thuyết trường lượng tử trong không thời gian cong, Hawking đã tính được biểu thức chính xác cho nhiệt độ lỗ đen.

Từ (4) ta có thể dễ dàng tính được Entropy của lỗ đen.

k : hằng số Boltzmann ;

17

Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96

ћ = : hằng số Planck ; 2n
G : hằng số hấp dẫn ;
A : diện tích lỗ đen ;
m : khối lượng lỗ đen ;
c : vận tốc ánh sáng.
Ta viết lại (5) dưới dạng sau :
S

1077k. ( )2

(6)

m : khối lượng lỗ đen
Ms : khối lượng mặt trời.
Do bức xạ Hawking nên khối lượng của lỗ đen giảm dần kéo theo sự giảm diện tích lỗ
đen. Mặt khác, diện tích của lỗ đen giảm sẽ làm Entropy giảm. Điều này trái với định luật hai
nhiệt động học. Bekenstein là người đầu tiên đưa ra định luật hai tổng quát như sau
(generalized second law): Entropy của lỗ đen + Entropy bên ngoài lỗ đen sẽ không bao giờ
giảm theo thời gian,
S = SBH + Soutside
S : Entropy tổng quát, The total generalized entropy.
Ta có thể hiểu (7) như sau : Do bức xạ Hawking nên làm diện tích của lỗ đen giảm
kéo theo sự giảm Entropy của lỗ đen nhưng bức xạ Hawking là bức xạ nhiệt nên làm
Entropy.của môi trường xung quanh tăng.
Kết quả là Entropy tổng quát không bao giờ giảm. Như vậy, ta có thêm một định luật
mới cho vật lí - định luật hai tổng quát của nhiệt động học.
Định luật hai tổng quát thực sự là định luật rất đặc biệt vì nó là giao điếm của ba lĩnh

vực riêng biệt nhau của vật lí : Nhiệt động học, Thuyết tương đối rộng và Lí thuyết lượng tử.
Đó hoàn toàn là sự trùng hợp ngẫu nhiên hay ở đây còn có ý nghĩa sâu sắc, cơ bản nào khác
đứng sau lưng sự trùng hợp kì lạ của ba lĩnh vực vật lí riêng biệt trên hay không ? Cho tới tận
ngày hôm nay, chúng ta vẫn chưa có câu trả lời.

3. Ý nghĩa của Entropy lỗ đen theo lí thuyết thông tin

18


Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96
Năm 1900, Planck đã đưa ra giả thuyết sau : một dao động điều hòa có tần số v chỉ có
thể có những giá trị năng lượng xác định .gián đoạn. Giá trị đó bằng số nguyên lần một đại
lượng là hv được gọi là lượng tử năng lượng.
E = n.hv;
n : 1,2,3. ..
h : hằng số Planck =6,63.10-34 js
Giả thuyết trên là đúng và nó có tên là phương pháp lượng tử hóa năng lượng
Planck.
Do mô hình không - thời gian của ta là nhẵn và liên tục ứng với độ dài nhỏ nhất là độ
dài Planck lp nên Jonh Wheeler đề nghị nên chọn độ dài Planck làm lượng tử độ
dài. Dựa trên sự gợi ý của Wheeler, năm 1995, Bekenstein và Mukhanov đã lượng tử
hóa diện tích lỗ đen như sau : Diện tích lỗ đen sẽ bằng số nguyên lần một đại lượng là
= A 0 gọi là diện tích nguyên tô (diện tích nhỏ nhất)

Diện tích lỗ đen A = n.

= n.A0

(9)

n : số lượng tử bằng 1,2,3,...
α là một hệ số dương nào đó.
Ta thấy chân trời sự kiện giống như bàn cờ do các ô cờ ghép lại và mỗi ô cờ có diện
tích bằng A0 . Nếu mỗi diện tích nhỏ nhất này có hai trạng thái khác nhau giống
như Spin của điện tử thì lỗ đen với diện tích A = n.A0 sẽ có 2n trạng thái "bề mặt" tất cả. Tất
nhiên, nếu có suy biến thì nó sẽ có mặt trong biểu thức tính Entropy. Giả sử không có suy
biến, ta viết công thức tính Entropy theo Boltzmann :

Ta tính số lượng tử n từ biểu thức (9) rồi thay vào tính Entropy ta được :

19


Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96
Vấn đề bây giờ là làm sao xác định chính xác hệ số

. Lúc này ta cần sự giúp

đỡ của các công trình của Hawking. Việc tính toán của Hawking cho ta
lượng tử hóa chân trời sự kiện tuân theo công thức :

. Vậy

Theo công thức Shannon ta tính được lượng thông tin chứa trong lỗ đen với diện tích
chân trời sự kiện A :

Khi A = A0 ta có I = 1. Ta nói diện tích nguyên tố A0 ứng với 1 bít thông tin và diện
tích ứng với 1 bít thông tin sẽ là :

Xét lỗ đen không quay có khối lượng bằng khối lượng mặt trời :

Vậy lượng thông tin chứa trong lỗ đen có m = msun là :

Khi các vật rơi vào lỗ đen hoặc khi lỗ đen hình thành thì mọi thông tin của chúng điều
bị che dấu bởi chân trời sự kiện. Ta mất hết mọi thông tin về chúng do lỗ đen đã nuốt hết
thông tin. Do nuốt nhiều thông tin như vậy nên Entropy của nó sẽ có giá trị cực kì lớn.

4. Kết luận
Theo Boltzmann, Entropy bằng klnW với W là số các trạng thái vi mô khác nhau ứng
với một trạng thái vĩ mô cho trước của hệ. Như vậy, ta có thế suy luận rằng W chính là số
cách tạo ra lỗ đen với khối lượng và diện tích cho trước hoặc có thể coi

20


Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96
đó là số cách khác nhau để tạo ra chân trời sự kiện từ các lượng tử diện tích A0 . Cũng có thể
W là số cách mà vật có thể rơi vào lỗ đen hoặc cũng có thể đó là số các trạng thái lượng tử
bên trong lỗ đen ứng với diện tích cho trước của lỗ đen. Cuối cùng do Entropy là số đo độ
mất thông tin nên lỗ đen càng nuốt nhiều thông tin thì Entropy của nó càng lớn.
Tóm lại, chúng ta đang thảo luận về một trong những vấn đề tiền duyên của vật lí lí
thuyết về lí thuyết hấp dẫn (one of the frontieral of theoretical research in Gravitation
Theory) và trong tương lai không xa khi lí thuyết lượng tử hấp dẫn được xây dựng hoàn
chỉnh thì bản chất thật sự của Entropy lỗ đen sẽ được giải đáp thỏa đáng.
Với cách trình bày ngắn gọn, không nặng về mặt toán học như trên, tác giả hy vọng đề
tài này sẽ giúp ích cho việc giảng dạy cho sinh viên nhằm góp phần nhỏ vào việc đưa những
v ấ n đ ề m ớ i n h ấ t và o bà i g i ả n g .

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] J.Bekenstein (2001): limits of information. Gr-grc/0009016
[2] L.Brillouin(1951) : information and entropy - J.App.Phys-Vol 22-3,334-337
[3] V.Frolov (1998): Black hole physics-Kluwer Academic publisher, p466-499
[4]

EJayner (1957): Information Theory and Statistical Mechanics-Phys.Rev.vol 108, 2, p
171-190

[5] A.Khinchin (1957) : Mathematical Foundations of Information Theory - Dover Inc -New
York, p 2-18
[6] S.Kullback (1997) : Information Theory and Statistics- Dover -Inc - New York, p 7-9
[7] D.Mackay(1995) : A Short Course Information Theory - Cambridge University
Press - pl-

9

[8] P.Mitra (1996): Black Hole Entropy, hep-th/ 960318
[9] T.Jacobson (2005): Black Hole Thermodynamics - Physics 776 - Advenced Gravitation
Theory, Lecture notes, University Utrecht - Neitherlands.
[10] G.t Hooft (1997): Information and Information loss in Quantum Gravity -Lecture at
Kuala Lumpur on Frontiers in Quantum Physics - p. 10-21.

21


Báo cáo tổng kết đề tài CS.2005.23.96

BÁO CÁO KINH PHÍ
Tên đề tài: Áp dụng phương pháp của lí thuyết thông tin để tính Entropy của lỗ đen
Mã số : c s . 2 0 0 5 . 2 3 . 9 6

1.

Lập đề cương nghiên cứu

1.000.000 đ

2.

Thu thập tài liệu

7.000.000 đ

3.

Viết báo cáo và in ấn

1.000.000 đ

4.

Nghiệm thu đề tài

1.000.000 đ

5.

Tổng cộng

10.000.000đ

Bằng chữ : Mười triệu đồng chẵn.

22