Phương pháp ner tìm nghiệm gần đúng phương trình vi phân

BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

NGUYỄN THỊ KIM THANH

PH Ư Ơ N G P H Á P N E R
TÌM NG H IỆM G Ầ N Đ Ú N G
PH Ư Ơ N G T R ÌN H VI P H Â N

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC

Hà Nội-2016
2


BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

NGUYỄN THỊ KIM THANH

PH Ư Ơ N G P H Á P N E R
TÌM NG H IỆM G Ầ N Đ Ú N G
PH Ư Ơ N G T R ÌN H VI P H Â N

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Đình Định

Hà Nội-2016

Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Đình Định, người đã tận tình hướng dẫn để
em có thể hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
giáo trong phòng sau đại học, trường đại học sư phạm Hà Nội 2 đã dạy
bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt
quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2016

Học viên

Nguyễn Thị Kim Thanh


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS. Lê Đình
Định, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: “Phương phấp
NER tìm nghiệm gần đúng phương trình vi phẫn ” được hoàn thành bởi

sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2016

Học viên

Nguyễn Thị Kim Thanh

lĩ


M ục lục

Mỏ đầu

1

1 Kiến thức chuấn bị

4

1.1 Tống quan về phương trình vi phân

4

1.1.1

Phương trình vi phân

1.1.2

Bài toán Caưchy đối với phương trình vi phân cấp 1 5

1.1.3

Bài toán Cauchy đối vối phương trình vi phân cấp n

1.2 Một số phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân

4

6

7

1.2.1

Phương pháp Newton

1.2.2

Phương pháp Eưler

17

1.2.3

Phương pháp Euler cải tiến

19

1.2.4

Phương pháp Richarson

21

2 Phường pháp phối hớp NER giải phường trình vi phân

7

23

2.1

Một số khái niệm cơ bản và định lý cần dùng ...............

23

2.2

Phương pháp phối hợp N E R .............................................

29

2.2.1

Biếu diễn nghiệm của hệ phương trình vi phân . .

29

2.2.2

Lập nghiệm theo phương pháp Richarson

36

iii


K ết luận

43

Tài liệu tham khảo

44

ĩv


MỞ Đ Ầ U

1. Lý do chọn đề tài
Phương trình vi phân là phương trình toán học biểu diễn mối quan
hệ giữa một hàm chưa biết với đạo hàm của nó. Phương trình vi phân
đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực như: kĩ thuật, vật lý, kinh
tế, ...Có nhiều phương pháp giải phương trình vi phân trong đó việc tìm
nghiệm đúng phương trình vi phân là rất khó khăn. Người ta chỉ tìm
nghiệm đúng được một vài phương trình vi phân đặc biệt còn đa số là
tìm nghiệm xấp xỉ. Có 2 hướng tìm nghiệm của phương trình vi phân là
hướng tìm nghiệm giải tích và hướng tìm nghiệm gần đúng. Các phương
pháp giải tích là các phương pháp tìm nghiệm dưới dạng biểu thức giải
tích như phương pháp hệ số bất định. Các phương pháp giải số như
phương pháp Euler, phương pháp Runge-Kuta,.. tìm nghiệm dưới dạng
xấp xỉ. Dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Đình Định cùng với mong muốn

nghiên cứu và tìm hiểu sâu sắc hơn về phương trình vi phân, tôi đã chọn
đề tài “Phương pháp N E R tìm nghiệm gần đúng phương trình
vi p h â n ” làm luận văn thạc sĩ.

1


2. M ục đích nghiên cứu
• Nghiên cứu phương trình vi phân và hệ thống lại một số phương
pháp giải phương trình vi phân.
• Phối hợp các phương pháp giải phương trình vi phân thành phương
pháp mới giải gần đúng phương trình vi phân.

3. N hiệm vụ nghiên cứu
• Tìm hiểu về phương trình vi phân thường và một số phương pháp
giải phương trình vi phân.
• Phối hợp các phương pháp đã biết đưa ra phương pháp mới giải
gần đúng phương trình vi phân.

4. Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Phương trình vi phân.
• Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu về một số phương pháp giải phương
trình vi phân.

5. Phương pháp nghiên cứu
• Phương pháp lý luận: Trước tiên đọc và nghiên cứu các tài liệu,
giáo trình có liên quan đến phương trình vi phân và một số phương pháp
giải phương trình vi phân. Sau đó phân hóa, hệ thống các kiến thức.
• Một số phương pháp giải phương trình vi phân.
2

6. Đ óng góp của luận văn
Nội dung luận văn đưa ra phương pháp mới tìm nghiệm xấp xỉ của
phương trình vi phân. Song bên cạnh đó ở phần kiến thức cơ sở, luận văn
cũng đề cập tới một số một số vấn đề liên quan khác như: Các kiến thức
về phương trình vi phân, một số phương pháp quen thuộc giải phương
trình vi phân. Những kiến thức được đưa thêm vào không chỉ phục vụ
cho việc làm luận văn này mà còn có thể giúp bạn đọc có thêm kiến thức
để học tốt học phần Giải tích.

3


Chương 1
K iến thứ c chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của
giải tích số như: Tổng quan về phương trình vi phân, bài toán Cauchy đối
với phương trình vi phân, một số phương pháp quen thuộc giải phương
trình vi phân và các ví dụ minh họa, ... Những kiến thức này được sử
dụng để trình bày phương pháp NER tìm nghiệm gần đúng phương trình
vi phân. Các kiến thức này ta có thể tìm thấy trong [1], [3] và [4],

1.1
1.1.1

Tổng quan về phương trình vi phân
Phương trình vi phân

Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa các biến độc lập

hàm cần tìm và đạo hàm của nó. Phương trình vi phân cấp n là một hệ
thức có dạng
F{x,y,y',y",...,y{n)) = 0,

4

(1.1)


trong đó X là biến độc lập, y là hàm số cần tìm, y ', y" ,..., y

là các đạo

hàm của hàm số y = y(x). Ta gọi cấp của phương trình vi phân là cấp
cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình. Nghiệm của phương
trình vi phân là một hàm số y — y(x) khi thay vào phương trình ta được
một đồng nhất thức.
Khi n = 1 ta có phương trình vi phân cấp 1.
1.1.2

Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp 1

a. Bài toán Cauchy
Tìm nghiệm y = y(x) của phương trình y' = f ( x , y ) sao cho khi
X = x 0 thì y ( x ữ) = yữ trong đó x 0, y0 là các giá trị tùy ý cho trước và ta

gọi là các giá trị ban đầu.
Điều kiện nghiệm phải tìm y = y(x) nhận giá trị y ( x ữ) = yữ được gọi
là điều kiện ban đầu và kí hiệu là
y(xo) = Vob. Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm

Định lý 1.1. Cho phương trình vi phân y' = f ( x , y ) và các giá trị ban
đầu x ữ,y ữ. Giả sử f ( x , y ) và các đạo hàm riêng của f ( x , y ) xác định và
liên tục trên miền D của không gian M2. Giả sử (a:0, yo) G D khi đó trong
một lân cận nào đó của điểm Xq tồn tại duy nhất một nghiệm y = y(x)
của bài toán Cauchy.

5


1.1.3

Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp n

a. Bài toán Cauchy
Bài toán Cauchy đối với phương trình (1.1) được hiểu như sau:
Tìm nghiệm y = y ( x ) của phương trình (1.1) sao cho khi X = Xq thỏa
mãn các giá trị ban đầu
y ( x o) = y0, y { x 0) = 3/1, . . . , y ( n _ 1) ( x 0 ) = yn- 1 ,

trong đó x 0, y 0, y i , y n- i là các giá trị tùy ý cho trước và ta gọi là các giá
trị ban đầu.
Điều kiện nghiệm phải tìm y = y(x) nhận giá trị y ( x 0) = y0 được gọi là
điều kiện ban đầu và kí hiệu là
y( x o) = ỉto-

b. Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm
Đ ịnh lý 1.2. Cho phương trình vi phẫn cấp n (Ịl.ip và các giá trị ban
đầu
x 0,yo,y'{x 0)

=

y u " - , y {n~ l ) {xữ) = yn- 1 -

Giả sử ĩ có các đạo hàm riêng
df d p

dp

dy dy2

dyn

xác định và liên tục trên miền D (D là miền xác định của phương trình
& ■
Giả sử (x0 , yo, yi, •••, yn- 1 ) £ D khỉ đó trong một lân cận nào đó của điểm
x0 : \x —x0\ < ô tồn tại duy nhất một nghiệm y = y(x) của phương trình
(1.1) thỏa mãn các điều kiện ban đầu.
6


1.2

M ột số phương pháp giải gần đúng phương trình
vi phân

1.2.1

Phương pháp Newton

Trong mục này ta sẽ đi sâu nghiên cứu phương pháp Newton để tính
nghiệm gần đúng của phương trình dạng tổng quát sau:
f{x) = 0,

( 1.2)

trong đó f ( x ) là một hàm số.
Hàm f ( x ) liên tục trên khoảng mà ta cần tìm nghiệm.
Phương trình (1.2) có nghiệm duy nhất X* € (a,b).
Ta có nhận xét sau:
Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và thỏa mãn điều kiện f(a)f(b) < 0 thì trên
(a, 6) luôn có ít nhất một nghiệm của (1.2). Nghiệm đó sẽ là duy nhất
nếu f'(x) liên tục và giữ nguyên dấu trên (ữ, b).
Giả sử ta có \f'{x)\ > 777,1 > 0 trên [a,b], và x*,x E [a,Ị3]. Khi đó ta có
đánh giá
\x —XA <

\f(x)\
777,1

(1.3)

giá trị xấp xỉ ban đầu của thuật toán tính nghiệm cần phải lựa chọn, và
nếu càng gần nghiệm thì càng tốt, vì chẳng những điều đó làm giảm bớt
số bước lặp mà trong nhiều trường hợp là điều kiện cần thiết đảm bảo
cho quá trình lặp sẽ hội tụ đến nghiệm cần tìm.
Giả sử X* E [a,b] và trên đó ta có f"(x) giữ nguyên dấu. Không mất
tính tổng quát, ta coi f"{x) > 0. Ta chọn trên khoảng (a, b) điểm x ữ sao
7

cho f ( x Q) . f ”(xo) > 0. Điểm như vậy gọi là điểm Fourier. Cũng không
làm mất tính tổng quát, ta có thể coi Xq trùng b. Từ điểm B ta vẽ tiếp

Hình 1.1:

tuyến với đường cong. Gọi Xị là giao điểm của tiếp tuyến đó với trục
hoành. Từ điểm Pi(xiĩ f(xi)) ta lại vẽ tiếp tuyến với đường cong tại đó
và lại nhận được điểm x2 trên Ox. Bằng cách đó ta tạo được dãy số
{6, Xi,*2,
Dễ dàng thấy rằng:

“* * '■ * * - / © '

A\
<14)

Từ những giả thiết ban đầu, ta dễ dàng chứng minh được rằng
lim xn = X*

n —*oo

Bây giờ ta rút ra thêm một điều kiện để dừng phép lặp khi tính nghiệm.
Giả sử \fff(x)\ < M2 trên đoạn [a, 6]. Khi đó ta có
1
f ( x n) = f{x„-l) + f'( x n-i)(xn - z„_i) + ự'{rị){xn - Xn- i Ỵ .
8


Từ đây và từ (1.4) ta suy ra

ỉ { x n) = ^f"{v){xn - Xn-l)2 -> \f{xn)\ = ^ M 2{xn - xn_ị)2.

(1.5)

Biểu thức này cho thấy phương pháp Newton có tốc độ hội tụ bậc hai.
Vì thế nếu giải bằng phương pháp Newton thì nghiệm xấp xỉ hội tụ về
nghiệm đúng nhanh hơn bất kì phương pháp nào khác. Có thể thấy từ
(1.4) rằng phương pháp này rất hữu hiệu khi trong lân cận của nghiệm
cần tìm, đạo hàm bậc nhất của hàm f(x) ^ 0 và hữu hạn.
Sử dụng (1.5) và (1.3) ta có thể viết
I\xn - z*|I ^< - - y (, l n - xn-i)X2

( 1. 6)

¿ T ĩl\

Đây chính là một điều kiện dừng lặp của phương pháp Newton. Nếu ta
muốn tính nghiệm gần đúng với sai số £ thì ta có thể dùng một trong
hai điều kiện
f (xn) "C £\,
hoặc
2 2rrii£
{xn - ÍCn_i) <
Mọ
Trong đó £i là đại lượng xác định theo £ dùng để đánh giá mức độ triệt
tiêu của hàm số.
Sử dụng phương pháp này để tính nghiệm của phương trình trong ví dụ
sau
Ví dụ 1.1. Tìm nghiệm của phương trình
f(x) = x3 + 3.3x2 + 2.2x - 3.5 = 0.

9


Giải.
Tiêu chuẩn dừng lặp (1.6 bây giờ có dạng
2
2mị£
11 X 10“5
(xn —xn-i) < ——— = ------------.
v
’
M2
63

sau 5 bước lặp ta đã nhận được xỗ = 0.700001. Nếu lấy xữ = 1 thì chỉ
sau 3 bước lặp ta nhận được kết quả tương tự.
Dưới đây là một chương trình trên FORTRAN nhằm thể hiện thuật toán
Newton
real a, b, eps
!a, b : boundaries bracketing the root
!eps: tolerance
integer k, nstep
real fa, X, y, c, del
parameter (nstep — 25, del — l.e —9)
f a = /(a)
!chose the Fourier point among if (fa.lt.0.) then
X= a
y = b

else
X= b
y=a
endif
c = d2f(y)
if (c.ge.o.) then
b= y
10


a —x

else
b= x
a=y
endif
x= b
do k = 1, nstep
f a = f(x)
if (abs (fa) . It . eps) then
rnewton= x
write *, * 'k — , k
goto 50
endif
c = df(x)
V = fa /c
x = x —y
if (abs (y) .It .del) then
rnewton=x
write (*, *)'k

k

goto 50
endif
enddo
pause ’not yet convergenced’
50 if ((a—rnewton)*(b—rnewton) .gt .0.) then
write (*, *) ’root out of [a,b] ’, x
ll


pause
else
return
endif
END
Sử dụng chương trình Newton để giải phương trình trong ví dụ trên, ta
lại nhận được nghiệm

X

= 0.7 sau ba bước lặp, nhanh hơn khá nhiều so

với phương pháp dây cung cùng với điều kiện ban đầu.
Ví dụ 1.2. Sử dụng phương pháp Newton để tìm nghiệm xấp xỉ của
phương trình
f{x) = ex —cos(x) —2 = 0.
Giải.
Ta kết hợp chương trình AROOTB với chương trình Newton để giải

phương trình trên, dùng một chương trình chính có cấu trúc như sau:
Program NEWTON
integer na, nb
real a, b, hs, eps, root
a= 3
6= 5
hs = 0.3
esp= l.e —7
call AXB (a, b, na, nb, hs)
root=Rnewton(a, b, eps)
write (*, *) ’root=’, root
12


END
Dễ thấy rằng phương trình trên có một nghiệm nằm trên [0, 2]. Lấy các
số liệu ban đầu cho a, b, hs như trong chương trình NEWTON, ta nhận
được a = 0,6; 6 = 1,2 sau khi gọi AROOTB và nghiệm root = 0.9488147
sau 5 lần lặp theo phương pháp Newton.
Có thể thấy rằng hiệu quả của phương pháp Newton phụ thuộc nhiều
vào sự lựa chọn xấp xỉ ban đầu x0. Nếu chọn không tốt thuật toán sẽ
không hội tụ hoặc hội tụ đến nghiệm khác.
Trong trường hợp việc tính toán đạo hàm f'(x) phức tạp, người ta có
thể thay f '( x k) trong (1.4) bằng f ( x o) nghĩa là thay tiếp tuyến tại các
điểm (xk, f ( x k)) bằng tiếp tuyến cố định tại điểm ban đầu a^o- Việc này
có làm giảm tốc độ hội tụ nhưng đơn giản hóa việc tính toán.
Trong nhiều bài toán thực tế hàm số f(x) không được cho dưới dạng
tường minh mà chỉ được xác định sau khi đã thực hiện hàng loạt các
phép tính trung gian. Trong trường hợp như vậy thì việc tính ĩ'{x) không
thể bằng công thức giải tích mà phải bằng công thức gần đúng theo kiểu

vi phân. Ta xem xét vấn đề này trên một ví du hình thức sau. Giả sử ta
cần tìm hai hàm số yi(x) và 2/2 (íc) thỏa mãn các phương trình
dyi
=
dx
dy2
=
dx

/ ì (a?, 2/1,2/2),
/2(3?, 2/1,2/2),

(1.7)

và các điều kiện biên
( 2 / 1 52 / 2 ) =

0 ; < ^ 2 ( 2 / 1 52 / 2 ) u = fe = 0(6 > à).

Một trong những phương pháp thường dùng để giải bài toán này là
13


p h ư ơ n g p h á p b ắ n h iệ u c h ỉn h có n ộ i d u n g n h ư s a u :

Cho yi (ữ) = a (tùy ý). Kết hợp điều kiện này với điều kiện biên ta có
thể tính được y2(a) = ị3(a). Khi đó ta có thể tích phân phương trình (1.7)
với các điều kiện ban đầu này để xác định yi(b) = ri(a),y2(b) = r2(a).
Các đại lượng này bắt buộc phải thỏa mãn điều kiện biên ụ>2(ri,r2) =
F(a) = 0. Đây chính là phương trình để xác định a thích hợp cho bài

toán trên. Rõ ràng ta không có dạng tường minh cho F. Vì vậy ta sẽ sử
dụng phương pháp cải biên của phương pháp Newton cho những phương
trình như thế này.
Ta lấy cho a một giá trị aữ nào đó cụ thể rồi tích phân hệ (1.7) từ a
đến b với các điều kiện ban đầu
yi(à) = a0,y2(a) = P(a0) = A),
và nhận được đại lượng
ip2{yi{b),y2{b)) = F {ao).
Tiếp theo ta lấy
y i ( a ) = OÍQ + A qq —¥ y 2(ũí) = Ị3{oiữ + Aữo),

trong đó Aao là đại lượng đủ nhỏ và tùy ý, rồi lại tích phân hệ (1.7)
với các điều kiện ban đầu như thế này và được tại

X

=

b

đại lượng

F(a0+ Acco). Để tính a cho bước lặp tiếp theo, ta dùng công thức tương
tự (1.6)
F(a0)A a0
— OÍQ T doí\.
F(a 0 + A ùíq) —F(a o)
Từ bước này trở đi ta sẽ tính số gia theo công thức
Qti — Qto ~

F(ak)dak
14


Tiêu chuẩn để dừng lặp trong các trường hợp này tiện lợi hơn cả sẽ là
điều kiện \F(ak)\ < E.
Dưới đây là một phương án thể hiện phương pháp Newton cải biên cho
các trường hợp khi mà hàm số cần tính nghiệm không cho được dưới
dạng tường minh.
Subroutine RNTMDF (xO, dxO, eps, z)
real xO, dxO, eps, z
!a;0 : chosen initial approximated value of root
\dx0 : chosen initial correction of root
! esp: tolerance
! z: found root on output
integer k, nstep
real fl, f2, dx, del
parameter (nstep=50, dell.e-9)
x=xO
k= l
call FORM(x,....,fl)
! FORM: procedure for calculating value (fl) of the function root of
which is seeking
if (abs (fl) . It . eps) then
z=X
return
else
if (k.eq.l dx = dx0)

15

x — x + dx

call FORM (x,...,f2)
if (abs(f2).lt.eps) then
z =x

return
endif
dx = - / 1 * d x / ( f 2 - /1)

if (abs(dx). It. del) then
z —x

return
else
/2 = / l
k = k+1

if (k. gt. nstep) goto 2
goto 1
endif
endif
2 write (*, *) not yet convergenced
return
END

16

1.2.2

Phương pháp Euler

Ta xét phương trình vi phân
y ' = f { x, y) ,

(1-8)

y{x o) = yQ.

(1.9)

Giả sử hàm f xác định trong hình chữ nhật D
D = ị{x,y) e M2 : \x - Xol <0, 1 y - Voị < &} ,

(1.10)

thỏa mãn điều kiện
\f{x,yi) - ỉ { x ,y 2)\ < N\yi - y2\{N =const),

f | = Ẽ +/ẩ | - M(M=consí)-

(1.11)

(L12)

Giả sử h là số dương đủ nhỏ, đặt Xị = x0 + ỉh (ỉ = 0; 1; 2;...). Giá trị
xấp xỉ của nghiệm y(xị) « ìji được tính theo công thức

M+ 1

=y<+hf(xt,

0; 1; 2;...),

(1.13)

trong đó các giá trị x 0,y0 được xác định từ điều kiện ban đầu (1.8).
Công thức fll.l3|) được gọi là phương pháp Euler.
Đường cong tích phân y = y(x) đi qua điểm Mữ(xữ, yữ) được thay thế
bởi đường gấp khúc M0MịM2... với các đỉnh tại Mị^Xị, yi)(i = 0,1,2,...)
trong đó yi(i = 1,2,...) được xác định theo công thức (1.13). Đường gấp
khúc nói trên được gọi là đường gấp khúc Euler, đoạn thẳng MịMi+i
được gọi là cạnh của đường gấp khúc, đoạn thẳng đó đi qua Mị và có hệ
số góc bằng hệ số góc của đường cong tích phân.
17


Nếu hàm f ( x ) thỏa mãn các điều kiện (1.10), (1.11) thì ta có công
thức đánh giá sai số như sau
\ v M - Vn\ < ^ - [ ( l + hNỴ - (1],1.14)
trong đó y(xn) là giá trị chính xác của nghiệm tại điểm X = xn còn yn
là giá trị xấp xỉ của nghiệm tại điểm X = xn.
Phương pháp Euler có thể áp dụng để giải phương trình vi phân
thường. Chẳng hạn xét hệ phương trình
y1= fi{x,y,z),

{

z' = Ỉ 2 (x,y,z),

với điều kiện ban đầu y(x0) = y0,z(x0) = z0.
Các giá trị xấp xỉ y(xi)

{

y i+ 1 =

yi +

yi,z(xi)

Zị được tính theo công thức

h ỷ ^ X ị^ i^ i),

Zi+ 1 = Zị + h f 2{xị, yi: Zị) {i = 0; 1; 2;...).

Ví dụ 1.3. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình sau bằng phương
pháp Euler
y' = ~2 với

= 1, X € [0 ; 0 , 5], h = 0 , 1.

Giải.
Ta có bảng sau .
Sai số mắc phải cỡ 0,1 « 10.h2.
N hận xét 1.1. Qua ví dụ trên ta thấy phương pháp Euler có ưu điểm
là đơn giản, nhưng sai số mắc phải khá lớn.

Để nâng cao độ chính xác của nghiệm gần đúng thông thường ta dùng
phương pháp Euler dưới dạng cải tiến.
18


2

)

A /i =

hf(xi,yi

)

y(xị) =

Xị

Vi

0

0

1

0

0

1

1

0,1

1

0,05

0,005

1,0025

2

0,2

1,005

0,1005

0,0101

1,0101

3

0,3

1,0151

0,1523

0,0152

1,0228

4

0,4

1,0303

0,2061

0,0206

1,0408

5

0,5

1,0509

0,2627

0,0263

1,0645

f(xi,yi

e

4

Bảng 1.1: *

1.2.3

Phương pháp Euler cải tiến

a. Phương pháp Euler cải tiến th ứ nhất

Phương pháp này đòi hỏi trước tiên tính các giá trị
£¿+1/2 = Xị + ị,
< Vi+l/2 = Xi + |/ i ,
/¿+1/2 = f ( xi+l/2i Vi+1/2)-

Sau đó tính yi+1 = Vi + hfi+l/2.
V í dụ 1.4. Áp dụng phương pháp Euler cải tiến thứ nhất tìm giá trị xấp
xỉ của nghiệm trên đoạn [0,1] của phương trình

9Hp
y' = y ~ z , 2/(0) = 1y

(1.15)

Giải.
Kết quả tính toán được trình bày trong bảng sau
Dựa vào nghiệm chính xác y = \/2x + 1 ta thấy sai số của giá trị y5 theo
phương pháp Euler cải tiến bằng £ = 1,8237—1, 7362 = 0, 0875 nhỏ hơn
19