Tài Liệu Toán Cao Cấp A1_Giải tích 1 năm học 2016_2017 Thầy Nguyễn Đức Trung

TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017)
GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă

CăTRUNG

TÀIăLI UăTHAMăKH O
TOÁNăCAOăC P A2 - GI I TÍCH 1

GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă

CăTRUNG

N MăH C: 2016 -2017

TRANG CH :ă
/>
Link: />
1


TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017)
GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă

CăTRUNG

L IăNịIă
CH

U

NGăTRỊNHăGI NGăD YăTOÁNăCAOăC Pă

TRÊNăMOON.VNăN MăH Că2016ă- 2017

Chúc m ng các b n đƣ b c vƠo m t ng ng c a m i c a cu c đ i.
Vi c đ
i h c m ra cho các em m t trang m i v i đ y c h i nh ng
không kém thách th c. Thách th c không ch vi c h c xa nhƠ ho c môi
tr ng mƠ c h i ti p xúc đ h i đáp v i Gi ng viên r t h n ch trên nh ng
gi ng đ ng l n hƠng tr m Sinh viên mƠ kh i l ng ki n th c đ x .
T ib ch c
i h c, m t môn h c đ c chia ra lƠm các phơn môn (hay
còn g i lƠ h c ph n). Các h c ph n có tính đ c l p t ng đ i v n i dung
ki n th c nên đ c t ch c h c vƠ đánh giá k t qu h c t p đ c l p hoƠn.
BƠi t p hoƠn toƠn đ c t p trung d n vƠo cu i ch ng ho c chuyên đ
ch không theo bƠi (các bu i h c). Các bƠi t p c ng đ c gi i theo tính ch
đ ng h c t p c a Sinh viên. R t nhi u b n Sinh viên ng ngƠng v i vi c h c
b c
i h c nên k t qu h c t p các môn h c
i c ng th ng th p h n
nh ng môn h c chuyên ngƠnh n m th 3, th 4 (ho c th 5).
Tuy nhiên, ch ng trình gi ng d y Toán Cao C p t i Moon.vn v n thi t
k bƠi t p t i cu i các bƠi h c lỦ thuy t (qua Video theo truy n th ng
Moon.vn) vƠ cu i các ch ng (Ph n luy n t p chuyên đ ). C ng nh m đ lƠm
quen v i cách h c
i h c, m t s video bƠi t p đ c đ a ra v i m c đích
h ng d n các em cách lƠm bƠi t p vƠ trình b y b c
i h c.
Link: />
2

TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017)
GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă

CăTRUNG

Th y thi t k ch ng trình v i l ch phát sóng s m đ các em có c h i
ti p c n s m v i ki n vƠ k n ng lƠm bƠi t p t t. Hy v ng v i s chu n b
s m vƠ t t, các em s thƠnh đ t b i theo kinh nghi m: 95% thƠnh công do
vi c chu n b .
các b n Sinh viên ti n theo dõi ch ng trình h c, Th y thi t k
ch ng trình đƠo t o đ c đánh mƣ s chi ti t theo các phơn đo n đ n v ki n
th c tu n t đ các em d dƠng theo dõi. Các em có th vƠo đ ng link sau đ
bi t rõ v toƠn b ch ng trình: />T i b c Ph thông, các em h c m t ch ng trình Toán duy nh t còn đ i
v i Toán Cao C p thì s khác bi t r t l n đ c th hi n t ng Tr ng, thơm
chí t ng kh i ngƠnh h c trong Tr ng.
i v i các kh i ngƠnh K thu t, Khoa h c (S ph m, KHTN), Công
ngh , ch ng trình Toán Cao C p đ c h c lƠ Toán A g m có 4 h c
ph n riêng bi t v i đ ng link chính cho Toán A
( />o Toán A1:
i s tuy n tính
o Toán A2: Gi i tích 1
o Toán A3: Gi i tích 2
o Toán A4: Gi i tích 3

i v i các kh i ngƠnh Nông – Lâm – Y – D c, ch ng trình Toán
Cao C p đ c h c lƠ Toán B g m có 2 h c ph n riêng bi t v i đ ng
link chính cho Toán B ( />o Toán B1:
i s tuy n tính
o Toán B2: Gi i tích


i v i các kh i ngƠnh Kinh t , Th ng m i, TƠi chính, Ngơn hƠng,
Lu t ho c Qu n tr kinh doan ... ch ng trình Toán Cao C p đ c h c
lƠ Toán C g m có 2 h c ph n riêng bi t v i đ ng link chính cho Toán
C ( />o Toán C1:
i s tuy n tính
o Toán C2: Gi i tích



Link: />
3


TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017)
GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă

CăTRUNG

T i Moon.vn, ki n th c lỦ thuy t đƣ đ c b trí v i các n i dung chi ti t
cho t ng kh i ngƠnh thông qua h th ng video bƠi gi ng cùng giáo trình đ y
đ c ng nh các tóm t t lỦ thuy t v n d ng đ nhanh chóng có th gi i bƠi
t p cho c Toán A, Toán B vƠ Toán C. i kèm lỦ thuy t c b n lƠ m t kho d
li u kh ng bƠi t p đ c t ng h p t các
thi gi a vƠ cu i H c k các n m
g n đơy c a các kh i ngƠnh:
 Toán A1, A2, A3 và A4: h n 3500 bƠi t p
 Toán B1 và B2: g n 2000 bƠi t p
 Toán C1 và C2: g n 2000 bƠi t p
Các bƠi t p tr ng y u đ c quay Video đi kèm l i gi i giúp các em ôn t p
d dƠng, ti p c n ph ng pháp gi i nhanh chóng vƠ chính xác.

Th y vƠ đ i ng các Supper Mods (c ng đ u lƠ các Gi ng viên d y
i
h c) r t vui đ c trao đ i trên di n đƠn Toán cao c p t i Moon.VN trên
Facebook v i đ ng link sau: />Các em c ng có th th c tr c ti p v i th y t i trang Facebook cá nhơn v i
đ ng link sau: />Chúc các em nhanh chóng thu l
n ng vƠ v n d ng sáng t o !

mđ

c nh ng ki n th c, hoƠn thi n k

Link: />
4


TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017)
GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă

CăTRUNG

M CăL C

CH

NG I: GI I H N DÃY S

................................................................. 7

§1: S

TH C ............................................................................................ 7

§2: S

PH C ............................................................................................ 9

§3:GI I H N DÃY S ........................................................................... 20
§4: M T S
CH

Vệ D ................................................................................ 25

NG II: HÀM S

M T BI N ............................................................ 33

§1: KHÁI NI M HÀM M T BI N S ................................................... 33
§2:GI I H N HÀM S .......................................................................... 35
§3: S

LIÊN T C C A HÀM S .......................................................... 41

§4: M T S
CH
§1:

Vệ D ................................................................................ 45

NG III: VI PHÂN HÀM M T BI N S ........................................... 53
O HÀM ......................................................................................... 54

§2:VI PHÂN ............................................................................................ 57
§3:

O HÀM VÀ VI PHÂN C P CAO ................................................. 58

§4:CÁC

NH Lụ C

B N C A PHÉP TệNH VI PHÂN ..................... 59

§5: NG D NG C A PHÉP TệNH VI PHÂN ......................................... 62

Link: />
5


TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017)
GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă

CH

CăTRUNG

NG IV:PHÉP TệNH TệCH PHÂN HÀM M T BI N ........................ 65

§1: TệCH PHÂN KHÔNG XÁC
§2:TệCH PHÂN XÁC

NH.................................................... 65

NH ................................................................... 71

§3 :TệCH PHÂN SUY R NG ................................................................. 77

Link: />
6


TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017)
GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă

CăTRUNG

CH

NGăI: GI IăH N DÃYăS
§1:ăS ăTH C

1) S c n thi t m r ng t p h p s h u t : Trong th c t vƠ nghiên c u s
h u t không đáp ng đ c,nên nh t thi t ph i m r ng t p h p s
Ví d : Tìm s h u t (n u có) mƠ khi bình ph

c k t qu b ng 2

nh ngh a:

2)

1. S th p phơn vô h n không tu n hoƠn đ
t
2. N u g i t p h p s h u t lƠ
th c
đ

ng s đó đ

c xác đ nh b i



c xem lƠ bi u di n m t s vô

vƠ t p h p s vô t lƠ I.thì t p h p s

I.

N u v i m i t p X  x có m t s M sao cho x  M thì nói t p X b
ch n trên b i s M.Trái l i n u có s m đ x  m thì nói t p X b ch n d i
.T p b ch n trên(d i) có th không b ch n d i(trên).S M hay m đ c g i
lƠ c n trên hay d i c a t p X.
Nh n xét:M t t p b ch n trên(d
3.

i) có vô s c n trên(d

i).

nh ngh a

 S bé nh t trong các c n trên đ
là M = SupX .

c g i lƠ c n trên đúng vƠ đ

cg i

xX

 S l n nh t trong các c n d
m = inf X .

iđ

c g i lƠ c n d

i đúng đ

c g i lƠ

xX

3)

nh lỦ

Link: />
7

TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017)
GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă

CăTRUNG

S Mđ

c g i lƠ c n trên đúng c a t p
X  x o  X sao cho x o  M   .

S mđ

c g i lƠ c n d i đúng c a t p
X  x o  X sao cho x o  m   .

Link: />
8


TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017)
GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă

CăTRUNG

§2:ăS ăPH C
2.1.D ngăđ iăs ăc aăs ăph c.
-

nh ngh a s i: S i đ

nh
z  a  bi đ
g i lƠ ph n
Re(z). Ph n
-

c g i lƠ đ n v

o, lƠ m t s sao cho i 2  1.

ngh a s ph c: Cho a vƠ b lƠ hai s th c vƠ i lƠ đ n v o, khi đó
c g i lƠ s ph c. S th c a đ c g i lƠ ph n th c vƠ s th c b đ c
o c a s ph c z. Ph n th c c a s ph c z  a  bi đ c kí hi u lƠ
o c a s ph c z  a  bi đ c kí hi u lƠ Im(z).

-Khi c ng (tr ) hai s ph c ta c ng (tr ) ph n th c vƠ ph n o t

ng ng.

-Khi nhơn hai s ph c ta th c hi n gi ng nh nhơn hai bi u th c đ i s v i
chú ý i 2  1.
-Mu n chia hai s ph c ta nhơn t vƠ m u cho s ph c liên h p c a m u.
-S ph c z  a  bi đ

c g i lƠ s ph c liên h p c a s ph c z  a  bi.

*Tính ch t c a s ph c liên h p:
Cho z vƠ w lƠ hai s ph c, z và w lƠ hai s ph c liên h p t

ng ng. Khi đó:

(i) z  z lƠ m t s th c.
(ii) z.z lƠ m t s th c.
(iii) z  z khi vƠ ch khi z lƠ m t s th c.
(iv) z  w  z  w
(v) z.w  z.w
(vi) z  z

Link: />
9


TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017)
GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă



(vii) z n  z

2.2.D ngăl

n

CăTRUNG

v i m i n

.

ngăgiácăc aăs ăph c.

Modun c a s ph c z  a  bi lƠ m t s th c d

ng đ

c đ nh ngh a nh sau

mod(z)  z  a 2  b 2
N u coi s ph c z  a  bi lƠ m t đi m có t a đ

z  a 2  b2 
Góc  đ

 a  0

2

 a,b  thì

  b  0  lƠ kho ng cách t đi m  a,b  đ n g c t a đ .
2

c g i lƠ argument c a s ph c z vƠ đ

c kí hi u lƠ arg(z)  .

a
a





cos

r
b
a 2  b2

ho c tan   v i 0    2
Tìm argument s ph c 
b
a
sin   b 

r
a 2  b2
D ng l

ng giác c a s ph c z  a  bi là z  r  cos   isin 

Link: />
10


TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017)
GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă

CăTRUNG

Nhơn hai s ph c
c ng l i.

d ng l

ng giác: modun nhơn v i nhau vƠ argument

Chia hai s ph c

d ng l

ng giác: modun chia cho nhau vƠ argument tr

ra.

2.3.D ngăm ăc aăs ăph c.
nh lỦ Euler: ei  cos   isin  .

2.4.Nơngăs ăph c lênăl yăth a.
L y th a b c n c a i: Gi s n lƠ s t nhiên, khi đó i n  i r v i r lƠ ph n d
c a n chia cho 4.
Ví d : Tính z  i1987

1987  4.496  3  z  i3  i
Công th c De-Moivre: Cho r  0, cho n lƠ s t nhiên. Khi đó

r  cos   isin   r n  cos n  isin n
n

Khai c n b c n c a s ph c

n

  2k
  2k 

z  n r  cos   isin    z k  n r  cos
 isin

n
n 


2.5.

nhălỦăc ăb năc aăđ iăs .

a th c P  z  b c n có đúng n nghi m k c nghi m b i.
Ví d : Gi i ph

ng trình sau trong

z9  i  z  9 i  z  9 cos

: z9  i  0


 isin
2
2

Link: />
11


TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017)
GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă

CăTRUNG



  k2
  k2
, k  0,1,...,8
 z k  cos 2
 isin 2
9
9

2.6.ăM tăs ăvíăd ăs ăph c
Ví d 1: Tìm s ph c z bi t z  2 z   2  i  1  i  (1)
3

Gi i:
Gi s
(1)

z  a  bi  z  a  bi
 a  bi  2(a  bi)  (23  3.22 i  3.2i 2  i 3 )(1  i)

 a  bi  2a  2bi  (8  12i  6  i)(1  i)  (11i  2)(1  i)
13

3a  13 a 
13
 3a  bi  11i  11i  2  2i  13  9i  

3  z   9i
3
b  9

b  9
2

Ví d 2: Cho z1  2  3i, z2  1  i . Tính z1  3z2 ;

z1  z2
; z13  3z2
z2

Gi i:
+) z1  3z2  2  3i  3  3i  5  6i  z1  3z2  52  62  61

+)

z1  z2 3  4i  3  4i 1  i  7  i
z z
49 1 5 2
 1 2 




 
2
z2
1 i
1 i
2
z2
4 4
2

+) z13  3z2  8  36i  54i 2  27i 3  3  3i  49  6i  z13  3z2  2437
Link: />
12


TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017)
GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă

CăTRUNG

(1  i 2) 1  i 
Ví d 3: Tìm môđun c a z bi t z  2 z 
(1)
2i
2

Gi i:
Gi s

z  a  bi  a , b 


(1  i 2) 1  2i  i 2 

2i  2 2i 2
(1)  a  bi  2a  2bi 

2i
2i
(2i  2 2)  2  i  i(4  2 2)  4 2  2
 3a  bi 

4  i2
5
4 2 2
4  2 2
a
;b 
15
5
z

32  4  16 2  144  72  144 2
225  128 2

225
15

Ví d 4: Tìm t t c các s ph c z, bi t z2  z  z (1)
2

Gi i:
Gi s

z  a  bi  a , b 



(1)   a  bi 2   a 2  b2  a  bi  a 2  b2i 2  2abi  a 2  b2  a  bi
1
1

a   2 ; b  2
2b 2  a  0

2
 2b  a  bi  2abi  0  
 b  0; a  0
b  2ab  0

1
1
a  ; b 
2
2


Link: />

13


TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017)
GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă

V y z  0; z 

CăTRUNG

1 1
1 1
 i; z   i
2 2
2 2

Ví d 5: Tìm các c n b c hai c a s ph c z  5  12i
Gi i:
Gi s

m  ni (m; n  ) lƠ c n b c hai c a z

Ta có: (m  ni)2  5  12i

 m2  2mni  n2i 2  5  12i  m2  2mni  n2  5  12i
m2  n2  5(1)
m  n  5 


6

mn
2
12


m  (2)
n

2

2

2

6
Thay (2) vào (1) ta có:    n2  5  36  n4  5n2
n

 n4  5n2  36  0  n2  4; n2  9(loai)
n  2  m  3
 n  2  m  3


V y z có hai c n b c hai lƠ 3  2i và 3  2i.
Ví d 6: Tìm các c n b c hai c a s ph c z  164  48 5i
Gi i:

Link: />
14

TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017)
GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă

Gi s

CăTRUNG

m  ni (m; n  ) lƠ c n b c hai c a z

Ta có: (m  ni)2  164  48 5i

 m2  2mni  n2  164  48 5i
m2  n 2  164(1)
m2  n 2  164 


24 5
(2)
n 
2mn  48 5
m


Thay (2) vào (1) ta có: m2  (

24 5 2
)  164  m4  164m2  2880  0
m

m  4  n  6 5
 m2  16; m2  180(loai)  
 n  4  m  6 5
V y z có hai c n b c hai lƠ 4  6 5i,  4  6 5i
Ví d 7: Tìm t p h p các đi m bi u di n s ph c z sao cho u 

z  2  3i
là
zi

m t s thu n o.
Gi i:
Gi s

z  a  ib ( a , b  R) , khi đó
u

a  2  bi  3i (a  2  (b  3)i)(a  (b  1)i)

a  (b  1)i
a 2  (b  1) 2

T s b ng a 2  b2  2a  2b  3  2(2a  b  1)i
Link: />
15


TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017)
GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă

CăTRUNG

u lƠ s thu n o khi vƠ ch khi
a 2  b2  2a  2b  3  0 (a  1) 2  (b  1) 2  5





2
a
b
1
0

(a ; b)  (0;1), (2; 3)

V y t p h p các đi m bi u di n s ph c z lƠ đ
kính b ng

ng tròn tơm I (1; 1) , bán

5 , khuy t 2 đi m (0;1) và (-2;-3).

Ví d 8: Tìm t p h p các đi m M bi u di n s ph c z th a mƣn
a)

z
3
zi

b) z  z  3  4i

c) z  i  z  i  4

Gi i:
a)

t z  x  yi  x, y 


2

9
9

Ta có: z  3 z  i  x  y  9  x   y  1   x   y   


8  64

2

2

V y t p h p các đi m M lƠ đ
b)

t z  x  yi  x, y 

2

2

2

3
 9
ng tròn tơm I  0;  , bán kính R  .
8
 8



Ta có z  z  3  4i  x2  y2   x  3   4  y  6 x  8 y  25
2

V y t p h p các đi m M lƠ đ
c)

t z  x  yi  x, y 

2

ng th ng 6x  8 y  25.



Ta có z  i  z  i  4  x2   y  1  x2   y  1  4
2

2

Link: />
16


TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017)
GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă

CăTRUNG

 x2   y  12  4


 x2   y  12  16  8 x2   y  12  x2   y  12

2
 x2   y  12  16
2

 x   y  1  16


2
2
2
2
2
2

1
4
x
y
y





 
4 x  4 y  8 y  4  y  8 y  16
 x2   y  12  16

 x2 y2
 
1
3
4

 y  4


1
 2
 3

Ta th y các đi m n m trong hình tròn (1) vƠ trên elip (2) vƠ tung đ các đi m
n m trên elip luôn th a mƣn đi u ki n y  4.
V y t p h p các đi m M lƠ elip có ph

Ví d 9: Vi t s ph c sau d

x2 y2
ng trình

 1.
3
4

i d ng đ i s : z 



3 i

1  i 



9

5

Gi i:
+ Xét z1 



 3 1 

  
  
 i   2 cos     isin    
3  i  2
 6 
  6
 2 2 



  9
 z19  29 cos  
  6




 9  
9
  isin      2  cos  isin 
2
2

 6 


1 

 1
 


i   2 cos  isin 
+ Xét z2  1  i   2 
4
4
2 

 2
Link: />
17


TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017)
GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă

 z25 

CăTRUNG

 2   cos 54  isin 54   4
5

  3
z19
 z  5  64 2 cos  
z2
  4

5
5 


 isin
2  cos

4
4 


1 
 1

 3  

i   64  64i
  isin      64 2  
2
2 

 4 


Ví d 10: Tìm ph n th c vƠ ph n o c a s ph c sau: z 



2  6i



2008

5 
 
 sin  isin

3
6 


2009

Gi i:
2008

z



2  6i



2008

5 
 
 sin  isin

3
6 



2009


1
3 
i 
2 2  
2
2


 

2009



 cos  isin 
6
6




 
   
 2 2  cos   3   isin   3   




 


2009
  
  
cos   6   isin   6  



 

  2008 
 2008
os
isin
c






3
3





 2009 
 2009 
cos  
  isin  

6 
6 



2 2



 2 2









2008

2008

2008

  2008 2009
cos   3  6
 






 2008 2009  

  isin  

3
6  



Link: />
18


TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017)
GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă

  669
 23012 cos  
2
 

CăTRUNG


 669  
3012
  isin  
   2 i
2 



Do đó: ph n th c b ng 0; ph n o b ng -2 3012.

Link: />
19


TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017)
GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă

CăTRUNG

§3:GI IăH NăDÃYăS
1) KHÁI NI M:
Cho dƣy s x1, x 2 ,....., x n 1, x n ,..
S ađ

c g i lƠ gi i h n c a dƣy bi n x n n u b t đ u t m t ch nƠo

đó t c lƠ đ i v i m i s th t n khá l n bi n x n sai khác a nh bao nhiêu
c ng đ

c.
c g i lƠ gi i h n c a dƣy x n  n u   0, N()  N  0 sao

Ho c: s a đ

cho n  N đ u th a mƣn x n  a    lim xn  a . Khi đó ta có th vi t
n 

x n  a ho c lim xn = a.

Khi đó ta nói dƣy x n h i t đ n a.

c bi t khi x n = a v i m i n thì lim x n = a.

T (1) có   x n  a    a    x n  a   vƠ kho ng m (a  ,a  ) đ

c

g i lƠ lơn c n c a đi m a.Nh v y v i lơn c n bé b t k c a đi m a,t t c các
giá tr c a x n b t đ u t m t giá tr nƠo đ y c a n c n ph i r i vƠo lơn c n đó.
Ví d
a. Ch ng minh r ng lim

n 1

n  n 2

Ch ng minh: đ

n 1
n 2
2

2

0 

0

n 1
n 2
2

  hay

2
2
1 1
 2   hay    n 

n n
n

n 1
n 1
2
 0   t c lƠ lim 2

Ch n N     1 v y v i n  N ta có 2
0
n  n  2
n 2


b. Ch ng minh r ng lim

n2  1

n  3n 2

n2  1
3n 2  2



2



1
3

1
1
1
1 2
 2
   3n 2   2  n 


3 3n  2
3 3


Link: />
20


TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017)
GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă

CăTRUNG

 1 2
   1 thì khi đó v i m i n > N ta có đi u ph i ch ng minh.
Ch n N  
3

3


1.

il

l

ng

ng vô cùng bé (g i lƠ vô cùng bé - VCB): bi n x n đ

c g i lƠ đ i

vô cùng bé n u lim x n = 0.
1
1
(1)n 1
đó lƠ các vô cùng bé
Ví d : x n  ;x n   ;x n 
n
n
n

2.

il

ng vô cùng l n (VCL): Dãy x n đ

c g i lƠ VCL n u v i các

giá tr n
khá l n , nó s tr nên vƠ mƣi mƣi có giá tr tuy t đ i l n h n m t s A > 0
l n tùy Ủ cho tr c. Hay lim x n    v i A  0 đ l n
n 

N0  0 sao cho n  N0  x n  A

Ví d : x n  qn khi q  1 lƠ m t VCL

Chú Ủ : + S 0 không ph i lƠ m t VCB,c ng nh 1023 c ng không ph i lƠ
VCL
+ Ngh ch đ o c a m t VCB (VCL) lƠ m t VCL (VCB)
2) CÁC TệNH CH T C A GI I H N DÃY
1.

nh lỦ:
lim x n  a ,a  p(a  q)   N0  0 sao cho n  N0 : x n  p(x n  q)
n 

Ch ng minh: ch n   a  p  a    p thì lim x n  a  a    x n  a  
n 

khi n  N0  x n  p t

2.

ng t cho tr

ng h p a < q

nh lỦ 2: lim x n  a thì a lƠ duy nh t.
n 

Link: />
21


TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017)
GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă

CăTRUNG

Ch ng minh: Gi s lim x n  a và a  a  r : a  r  a
n 

Do lim xn  a nên có N1  0 ; n  N1
n 

và lim xn  a nên có N2  0 ; n  N2
n 

xn  r
xn  r

Ch n N = max N1, N2  n  N x n  r ;x n  r . i u nƠy vô lỦ , nên a  = a .
nh lỦ 3 :N u x n có gi i h n thì x n gi i n i

3.

Ch ng minh: lim x n  a  a  1  x n  a  1
n 

Ch n M  max  a  1, x1, x 2 ,....x N  thì x n  M n
nh lỦ 4:

4.

Cho x n  yn  zn và lim xn  lim zn  a  lim yn  a ( nguyên lỦ b k p gi a)
n 

n 

n 

Ch ng minh: lim x n  a    0, N1 n  N1 a    x n  a  
n 

lim z n  a    0, N2 n  N2 a    z n  a  

n 

Khi N  max N1, N2

 a    x n  yn  z n  a    a    yn  a    lim yn  a
n 

nh ngh a: Dƣy x1, x 2 ,....., x n 1, x n ,..

5.

6.



c g i lƠ dƣy t ng n u x1  x 2  .....x n 1  x n ,..



c g i lƠ dƣy t ng nghiêm ng t n u x1  x 2  ....., x n 1  x n ,..



c g i lƠ dƣy gi m n u x1  x 2  .....x n 1  x n ,..



c g i lƠ dƣy gi m nghiêm ng t n u x1  x 2  ....., x n 1  x n  ..
nhăLỦ Cho x n  a; yn  b thì ta có các k t qu sau

Link: />
22


TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017)
GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă

CăTRUNG

 lim f (x) 
x 

 x n  yn  a  b khi ,   cosnt
 x n yn  ab


xn
a

yn

b

khi b  0

 x n  yn  a  b
nh lỦ: M i dƣy đ n đi u b ch n đ u h i t .N u x n  đ n đi u

7.

t ng(gi m) vƠ
b ch n trên(d

i) thì h i t ,

 

8. Dãy con: Cho dãy x n vƠ m t dƣy x n k đ

c trích ra t dƣy x n

đơy

dãy n k 

 

là dƣy t ng vƠ ch s ch y lƠ k ch không ph i n.Dƣy x n k g i lƠ dƣy con
c a dƣy x n .
L uăỦ:
1. x:0  x  x 0  

2. M i dƣy lƠ dƣy con c a chính nó
9.

nh ngh a:


Dãy  n n 1 trong đó n  a n ,bn ; đ
 n 1  n


c g i lƠ dƣy đo n th t n u

n  1,2,......

lim (bn  a n )  0

n 



10. B đ : N u  n n 1 lƠ dƣy các đo n th t thì t n t i m t đi m duy nh t
Link: />
23


TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017)
GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă

CăTRUNG

thu c m i đo n c a dƣy.
Ch ng minh: Do n 1  n

n  1,2,...... nên

a1  a 2  .....  a n  ....  bn nên a n  lƠ dƣy đ n đi u t ng vƠ b ch n trên,nên

lim a n    a n    bn n . Gi s có  c ng thu c m i đo n  n ,

n 

th thì 0      bn  a n nh ng lim (bn  a n )  0 . Nên    .
n 

11. B đ bônxanô-Vơystrat:T m i dƣy đo n th t luôn rút ra đ
con

c m t dƣy

h it .
Ch ng minh :Gi s

x n  có

a  x n  b n .Chia  a,b  thƠnh hai ph n b ng

nhau ,khi đó ít nh t có m t đo n ch a vô s các ph n t c a x n  g i đo n đó
là 1 .l i chia 1 thƠnh hai hai ph n b ng nhau vƠ l i có m t ph n ch a vô s

các ph n t c a x n  g i lƠ  2 .C ti p t c nh v y ta thu đ

n n 1 trong đó

bn  a n 

ba
2n

c dƣy đo n th t

 0 khi n   .Nên có s  thu c m i đo n

 n .Trong m i đo n
 n rút ra m t ph n t b t k ,kỦ hi u lƠ x n k  n k và a n  x n k  bn nh ng

lim a n  lim bn    lim x n k  

n 

12.

n 

n 

nhălỦă(Côsi):

i u ki n c n vƠ đ đ dƣy x n  h i t lƠ
  0, N sao cho n,m  N : a n  a m  

Ch ng minh :
(  )Do lim xn  a   0 N : xn  a
n 


2

 n N; m N: xm  a


2

 xn  xm  xn  a  xm  a    xn  xm  

Link: />
24


TLTK: LT – TOÁNăCAOăC P A2 - GI IăTệCHă1 (N MăH Că2016ă-2017)
GI NGăVIÊN:ăTS.ăNGUY Nă

CăTRUNG

x n  x m   c đ nh m t m thì hi n nhiên x n  b ch n nên t n t i

() T

dãy

  Th

con x n k

a mƣn lim x n k  
n 

và do x n    x n  x n k  x n k      lim x n  
n 

n

13. S

e:Cho dƣy s

 1
x n  1   tìm gi i h n c a dƣy s đó.
 n

Ch ng minh : Ta có
n

1 n(n  1) 1
n(n  1)(n  2)..(n  n  1) 1
 1
x n  1    1  n. 
. 2  ... 
. n
n
n

1.2
1.2.3..n
n
n



11

1  1  1  1  2 
1  1  2   n  1 
1    1  1    ...  1  1  ...1 

2!  n  3!  n  n 
n!  n  n  
n 

m t khác
x n 1  1  1 

1
1 
1 
1 
2  
n 
1 
  ... 
1 
1 

...1 

2!  n  1 
(n  1)!  n  1  n  1   n  1 

Hi n nhiên x n  x n 1 và x n  2 

1 1
1
1
 2  ...  n  ..  2 
3
1
2 2
2
1
2

T c lƠ dƣy x n  đon đi u t ng vƠ b ch n trên,do đó  lim x n vƠ ng
n 

ch ng minh đ

i ta

c gi i h n đó lƠ e = 2,718218828459015…đó lƠ s vô t .

§4: M TăS ăVệăD
Ví d 1: Tính gi i h n dƣy s v i n   :
4n 2  n  1

a) lim
3  2n 2

Link: />
25