Đa thức trêbưsep và xấp xỉ trêbưse

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

PHẠM MINH ĐẠO

ĐA THỨC TRÊBƯSEP
VÀ XẤP XỈ TRÊBƯSEP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn: PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn
Hà Nội - 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

PHẠM MINH ĐẠO

ĐA THỨC TRÊBƯSEP
VÀ XẤP XỈ TRÊBƯSEP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn: PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn

Hà Nội - 2014


Mục lục
Phần mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Chương 1. Đa thức Trêbưsep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3. Một vài ứng dụng của đa thức Trêbưsep . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.3.1. Độ lệch của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.3.2. Định lí Berstein- Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Chương 2. Xấp xỉ Trêbưsep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.1. Xấp xỉ một hàm số bởi đa thức Trêbưsep . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.2. Chuỗi Trêbưsep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.3. Hệ số Trêbưsep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.4. Tính chất tối ưu của khai triển Trêbưsep. . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

54
55

PHẦN MỞ ĐẦU

Đa thức Trêbưsep (P.L. Chebyshev) có vị trí rất đặc biệt trong toán
học. Nó xuất hiện ngay trong các bài toán trong toán học sơ cấp, đặc biệt
trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế. Đa thức Trêbưsep
cũng có rất nhiều ứng dụng trong toán học như Lý thuyết xấp xỉ, lý
thuyết nội suy,.... Vì đa thức Trêbưsep rất quan trọng, nên có rất nhiều
bài báo và các công trình toán học nghiên cứu về nó. Chính vì thế nên
tôi được thầy hướng dẫn là PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn giao cho làm
luận văn thạc sỹ khoa học với tên đề tài
"ĐA THỨC TRÊBƯSEP VÀ XẤP XỈ TRÊBƯSEP"
Luận văn này được trình bày để làm rõ thế nào là đa thức Trêbưsep
loại 1, loại 2 và một ứng dụng của đa thức Trêbưsep trong chứng minh
định lí Berstein- Markov, xấp xỉ Trêbưsep .
Ngoài phần mở đầu luận văn gồm hai chương, phần kết luận và danh
mục tài liệu tham khảo.
Chương 1. Đa thức Trêbưsep.
Chương này giới thiệu định nghĩa về đa thức Trêbưsep loại 1, loại 2
và một số tính chất của nó như tính chất trực giao,...
Phần cuối của chương này là một số ứng dụng của đa thức Trêbưsep
là độ lệch của đa thức và chứng minh định lí Berstein- Markov.
Chương 2. Xấp xỉ Trêbưsep.
Chương này giới thiệu xấp xỉ một hàm số bởi đa thức Trêbưsep, chuỗi
Trêbưsep, hệ số Trêbưsep và tối ưu của khai triển Trêbưsep.
Luận văn được trình bày dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo
PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn

3

sâu sắc đến Thầy. Tôi xin gửi lời cám ơn của mình tời toàn bộ các thầy
cô giáo trong khoa Toán-Cơ-Tin học, Khoa sau đại học trường Đại học
KHTN- Đại học quốc gia Hà Nội đã giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt
quá trình học tập tại đây.
Tôi cũng xin cảm ơn các bạn trong lớp cao học toán 2011-2013 nghành
Toán Giải tích Khoa Toán Cơ-Tin học trường Đại học Khoa học Tự
nhiên- ĐHQG Hà Nội đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập
và làm luận văn này.
Cuối cùng tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, các đồng
nghiệp và các học sinh trường THPT Yên Phong số 2- Bắc Ninh đã động
viên và tạo điều kiện, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên
các vấn đề trong luận văn vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không thể
tránh khỏi có những sai sót trong cách trình bày. Mong được sự góp ý
xây dựng của thầy cô và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn!


Chương 1
Đa thức Trêbưsep
1.1. Định nghĩa
Trước hết, ta nhắc lại rằng một đa thức là một hàm số p(x) được viết
dưới dạng
p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn ,

(1.1)

trong đó a0 , . . . , an là các số thực và x là biến thực. Nếu an = 0, thì ta
nói rằng p là đa thức bậc n. Tập hợp các đa thức có bậc không vượt quá

n ta kí hiệu là Pn ; nghĩa là, nếu
p(x) = a0 + a1 x + · · · + ak xk

và k ≤ n thì p ∈ Pn .
Xét hàm số
Tn (x) = cos nθ,

(1.2)

trong đó n là một số tự nhiên, x = cos θ, và 0 ≤ θ ≤ π . Khi θ tăng từ 0
đến π thì x giảm từ 1 đến -1. Hàm số Tn (x) được định nghĩa bởi (1.2)
xác định trên khoảng −1 ≤ x ≤ 1, ta kí hiệu khoảng đó là I ; có nghĩa
là, cho x ∈ I , ta tìm được giá trị duy nhất của θ = arccos x thỏa mãn
0 ≤ θ ≤ π và Tn (x) có giá trị cos nθ. Vì vậy Tn (x) là một hàm số đơn trị


5

xác định trên I , có thể viết như sau
(1.3)

Tn (x) = cos n(arccos x),

trong đó 0 ≤ arccos x ≤ π .
Ta nhắc lại rằng
eiθ = cos θ + i sin θ,

và
(1.4)

einθ = (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ.

Dùng khai triển nhị thức Newton, ta có
(cos θ + i sin θ)n = cosn θ + Cn1 cosn−1 θ(i sin θ)
+Cn2 cosn−2 θ(i2 sin2 θ) + · · · + Cnn (i sin θ)n .

Cân bằng phần thực của phương trình (1.4), ta thu được
cos nθ = cosn θ − Cn2 cosn−2 θ sin2 θ + Cn4 cosn−4 θ sin4 θ + · · ·
2[n/2]

+ (−1)[n/2] Cn

cosn−2[n/2] θ sin2[n/2] θ.

(1.5)

Thay sin2 θ = 1 − cos2 θ vào (1.5) ta thu được
[n/2]

cos nθ =

q

(−1)

q

Cn2q

n−2q

cos

(−1)k Cqk cos2k θ

θ

q=0

.

(1.6)

k=0

Vế phải của (1.6) là một đa thức với x = cos θ, và vì vậy hàm số Tn (x)
được định nghĩa trong (1.3) là một đa thức. Ta tiến tới xác định các hệ
số của chúng.
Vế phải của (1.6) là có hình dạng tổng tam giác; cụ thể là, nếu ta viết
Aq = (−1)q Cn2q cosn−2q θ,

q = 0, . . . ,

n
,
2

và
Bk,q = (−1)k Cqk cos2k θ,

k = 0, 1, . . . , q,


6

thì
cos nθ = A0 B0,0
+ A1 B0,1 + A1 B1,1
+

..
.

+ A[n/2] B0,[n/2] + · · · + A[n/2] B[n/2],[n/2] .

(1.7)

Cộng lại lấy tổng bên phải của ( 1.7 ) bằng cởi đường chéo kế tiếp, ta
thu được
cos nθ = (A0 B0,0 + A1 B1,1 + · · · + A[n/2] B[n/2],[n/2] )
+ (A0 B0,1 + A1 B1,2 + · · · + A[n/2] B[n/2]−1,[n/2] )
+

..
.

+ (A[n/2]−1 B0,[n/2]−1 + A[n/2] B1,[n/2] )
+ A[n/2] B0,[n/2] ;

hoặc, bằng cách thay thế Aq và Bk,q với những vị trí đứng của chúng cho



[n/2]

cos nθ =

k=0

[n/2]

(−1)

k

j=k

Cn2j Cjk  cosn−2k θ.

(1.8)

Đẳng thức (1.8) biểu thị rằng Tn (x) là một đa thức bậc n.
Nếu ta viết
(1.9)

Tn (x) = t0 + t1 x + · · · + tn xn .

Thì từ (1.8), ta rút ra
tn−(2k+1) = 0,

k = 0, . . . ,

n−1
,
2

(1.10)
[n/2]

tn−2k = (−1)

k

Cn2j Cjk ,
j=k

k = 0, . . . ,

n
.
2


7

Vậy Tn (x) có các giá trị trong I , là một đa thức bậc n, xác định với mọi
giá trị của x (đúng cho cả mọi số phức x). Đa thức Tn (x) như vậy gọi là
đa thức Trêbưsep bậc n, và ta có định nghĩa sau
Định nghĩa 1.1.1. Với n ∈ N, đa thức Trêbưsep loại 1 là đa thức Tn (x)
thỏa mãn điều kiện
Tn (x) := cos(n arccos x).

Với
n=0

T0 (x) = 1,

n=1

T1 (x) = x,

n=2

T2 (x) = 2x2 − 1,

n=3
n=4
n=5

T3 (x) = 4x3 − 3x,

T4 (x) = 8x4 − 8x2 + 1,

T5 (x) = 16x5 − 20x3 + 5x.

Hình 1.1: Đồ thị của T0 , T1 , T2 , T3 , T4 , T5

Đặt cos θ = x (θ = arccos x), ta có
cos(k − 1)θ = Tk−1 (cos θ), cos kθ = Tk (cos θ).

8

Từ hệ thức
cos(k + 1)θ + cos(k − 1)θ = 2 cos θ cos kθ,

suy ra

Tk+1 (cos θ) = 2 cos θ cos kθ − cos(k − 1)θ = 2 cos θTk (cos θ) − Tk−1 (cos θ).

Hay

Tk+1 (x) = 2xTk (x) − Tk−1 (x).

Từ đó ta đưa đến định nghĩa sau tương đương với Định nghĩa 1.1.1 như
sau
Định nghĩa 1.1.2. Với n ∈ N, đa thức Trêbưsep (loại 1) bậc n là đa
thức Tn (x) ,xác định như sau
T0 (x) = 1, T2 (x) = x
Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x) (n ≥ 1).

Lấy vi phân Tn (x) = cos nθ đối với x ta thu được
Tn′ (x) =

d
cos nθ
dθ

Từ đó ta có định nghĩa sau

dθ

−n sin nθ
sin nθ
=
=n
,
dx
− sin θ
sin θ

x = cos θ.

Định nghĩa 1.1.3. Các đa thức Un (x) (n ∈ N) được xác định như sau
Un (x) =

sin(n + 1)θ
sin(n + 1) arccos x
1
′
√
Tn+1
(x) =
=
,
n+1
sin θ
1 − x2

(trong đó cos θ = x (θ = arccos x)) được gọi là các đa thức Trêbưsep loại
2.
Theo Định nghĩa 1.1.3, ta có

n=0

U0 (x) = 1;

n=1

U1 (x) = 2x;

n=2

U2 (x) = 4x2 − 1;

n=3
n=4
n=5

U3 (x) = 8x3 − 4x;

U4 (x) = 16x4 − 12x2 + 1;

U5 (x) = 32x5 − 32x3 + 6x.


Tài liệu tham khảo
[1] Theodore J. Rivlin, The Chebyshev polynomials, John Wiley & Sons,
1974.
[2] G.Poslya G. Szego, Problems and Theorems in Analysis (Volume
II), Springer- Verlag, 1976.
[3] Phan Đức Chính, Bất đẳng thức, NXB Văn hóa thông tin, 2006.
[4] Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số & Phân thức hữu tỉ, NXBGD,

2002.
[5] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thủy Thanh, Giới hạn Dãy số &Hàm
số, NXBGD, 2002.
[6] Nguyễn Văn Mậu, Phạm Thị Bạch Ngọc, Một số bài toán chọn lọc
về lượng giác, NXBGD, 2006.

55