Một số lớp bất đẳng thức và bài toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

NGUYỄN TÀI TUỆ

MỘT SỐ LỚP BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỚI ĐA THỨC
ĐỐI XỨNG BA BIẾN

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số:
60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Hà Nội – Năm 2014


Mục lục
MỞ ĐẦU

3

1

.
.

.
.
.
.

5
5
6
6
6
7
7

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

9
9
9
15
21
31

33
33
36
41
43

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

45
45
45
50
53
55
56
56
59
60
62

2

Một số kiến thức bổ trợ
1.1 Đa thức đối xứng ba biến . . . . . . . .
1.2 Tính chất cơ bản của bất đẳng thức . .
1.3 Bất đẳng thức thường dùng . . . . . . .
1.3.1 Bất đẳng thức AM-GM . . . . .
1.3.2 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
1.3.3 Bất đẳng thức Karamata . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

Bất đẳng thức với tổng không đổi
2.1 Bất đẳng thức có tổng không đổi với hàm phân
2.1.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM . . . .
2.1.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
2.1.3 Sử dụng các tính chất của hàm số . . .
2.1.4 Bài toán liên quan . . . . . . . . . . . .
2.2 Bất đẳng thức có tổng không đổi với hàm vô tỉ
2.2.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM . . . .
2.2.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
2.2.3 Sử dụng các tính chất của hàm số . . .
2.2.4 Bài toán liên quan . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

thức hữu tỉ .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .

3 Bất đẳng thức có tích không đổi
3.1 Bất đẳng thức có tích không đổi với hàm phân thức hữu tỉ
3.1.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM . . . . . . . . . . .
3.1.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . . . . . . .
3.1.3 Sử dụng các tính chất của hàm số . . . . . . . . . .
3.1.4 Bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Bất đẳng thức có tích không đổi với hàm vô tỉ . . . . . . .
3.2.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM . . . . . . . . . . .
3.2.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . . . . . . .
3.2.3 Sử dụng các tính chất của hàm số . . . . . . . . . .
3.2.4 Bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


MỤC LỤC

4 Một số lớp bài toán cực trị với đa thức đối
4.1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM . . . . . .
4.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . .
4.3 Sử dụng các tính chất của hàm số . . . . . .
4.4 Bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . .

xứng ba
. . . . . .

. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .

biến
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

63
63
68
73
77

KẾT LUẬN

78

TÀI LIỆU THAM KHẢO

79

2


MỞ ĐẦU
Bất đẳng thức là một nội dung cổ điển và quan trọng của Toán học. Ngay
từ đầu, sự ra đời và phát triển của bất đẳng thức đã đặt dấu ấn quan trọng,
chúng có sức hút mạnh mẽ đối với những người yêu toán, không chỉ ở vẻ đẹp
hình thức mà cả những bí ẩn nó mang đến luôn thôi thúc người làm toán phải
tìm tòi, sáng tạo. Bất đẳng thức còn có nhiều ứng dụng trong các môn khoa
học khác và trong thực tế. Ngày nay, bất đẳng thức vẫn luôn chiếm một vai trò
quan trọng và vẫn thường xuất hiện trong các kì thi quốc gia, quốc tế, Olympic.
Là một giáo viên THPT, tôi muốn nghiên cứu sâu hơn về bất đẳng thức nhằm
nâng cao chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh
giỏi, vậy nên tôi đã chọn bất đẳng thức làm luận văn thạc sĩ của mình.
Bất đẳng thức vô cùng rộng lớn, trong thời gian ngắn, tôi chỉ có thể nghiên
cứu lĩnh vực nhỏ trong đó. Dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH Nguyễn Văn Mậu,
tác giả đã hoàn thành luận văn với để tài
"Một số lớp bất đẳng thức và bài toán cực trị với đa thức đối xứng
ba biến."
Luận văn được chia làm bốn chương:
• Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ.

• Chương 2: Bất đẳng thức với tổng không đổi.
• Chương 3: Bất đẳng thức có tích không đổi.
• Chương 4: Một số lớp bài toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến.

Mặc dù có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận
văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong nhận được sự góp
ý của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Qua luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH
Nguyễn Văn Mậu, người Thầy đã truyền cho tác giả có niềm say mê nghiên cứu
3


MỞ ĐẦU

toán học. Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học
tập và hoàn thiện luận văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học,
Khoa Toán- Cơ - Tin, các thầy cô đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành
bản luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 01 tháng 12 năm 2014
Tác giả

4


Chương 1

Một số kiến thức bổ trợ
1.1

Đa thức đối xứng ba biến

1.1.1 Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1. Một đơn thức ϕ(x, y, z) của các biến x, y, z được hiểu là hàm
số có dạng
ϕ(x, y, z) = aklm xk y l z m ,

trong đó k, l, m ∈ N được gọi là bậc của biến x, y, z , số aklm ∈ R∗ = R\{0} được
gọi là hệ số của đơn thức, còn số k + l + m được gọi là bậc của đơn thức ϕ(x, y, z).
Định nghĩa 1.2. Một hàm số P (x, y, z) của các biến x, y, z được gọi là một đa
thức nếu nó có thể được biểu diễn ở dạng tổng hữu hạn các đơn thức
aklm xk y l z m ,

P (x, y, z) =

n ∈ N.

k,l,m∈N
k+l+m=n

Bậc lớn nhất của các đơn thức trong đa thức được gọi là bậc của đa thức.
Định nghĩa 1.3. Đa thức P (x, y, z) được gọi là đối xứng, nếu nó không thay
đổi với mọi hoán vị của x, y, z , nghĩa là
P (x, y, z) = P (y, x, z) = P (z, y, x) = P (x, z, y).

Định nghĩa 1.4. Đa thức f (x, y, z) được gọi là thuần nhất bậc m, nếu
f (tx, ty, tz) = tm f (x, y, z),

t=0

Định nghĩa 1.5. Các đa thức
σ1 = x + y + z, σ2 = xy + yz + zx, σ3 = xyz,

được gọi là đa thức đối xứng cơ sở của các biến x, y, z.
1.1.2 Tổng lũy thừa
5


Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ

Định nghĩa 1.6. Các đa thức sk = xk + y k + z k , (k = 0, 1, ...), được gọi là tổng
lũy thừa bậc k của các biến x, y, z.
Định lý 1.1 ( Công thức Newton). Với mọi k ∈ Z, ta có hệ thức
sk = σ1 sk−1 − σ2 sk−2 + σ3 sk−3 .

Định lý 1.2. Một tổng lũy thừa sk = xk + y k + z k đều có thể biểu diễn được
dưới dạng một đa thức bậc n theo các biến σ1 , σ2 , σ3 .
Định lý 1.3 (Công thức Waring). Tổng lũy thừa sk được biểu diễn qua cá đa
thức đối xứng cở sở theo công thức
sk
=
k

1.2

0≤l,m,n
l+2m+3n=k

(−1)k−l−m−n (l + m + n − 1)! l m n

σ1 σ2 σ3 .
l!m!n!

Tính chất cơ bản của bất đẳng thức

1. a > b ⇔ a + c > b + c.
2. a > b, b > c thì a > c.
3. a > b thì
ca > cb khi c > 0
ca < cb khi c < 0.

4. a > b, c > d thì a + c > b + d.
5. a > b > 0, c > d > 0 thì ac > bd.
6. Với n nguyên dương, ta có
a < b ⇔ a2n+1 < b2n+1
0 < a < b ⇒ a2n < b2n .

1.3
1.3.1

Bất đẳng thức thường dùng
Bất đẳng thức AM-GM

Định lý 1.4. Giả sử a1 , a2 , . . . , an là các số thực không âm, khi đó ta luôn có
√
a1 + a2 + · · · + an
≥ n a1 a2 . . . an .
n

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an .

6


Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ

Hệ quả 1.1. Với mọi số thực dương a1 , a2 , . . . , an ta có
1
1
1
+
+ ··· +
a1 a2
an

(a1 + a2 + · · · + an ) ≥ n2 .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an .
Hệ quả 1.2. Với mọi số thực a, b, c, ta luôn có
1. a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
2. a2 + b2 + c2 ≥

(a + b + c)2
3

3. (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca)
4. a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ≥ abc(a + b + c)
5. (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c).
1.3.2

Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

Định lý 1.5. Nếu a1 , a2 , . . . , an , b1 , b2 , . . . , bn là các số thực tùy ý thì
(a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 ≤ a21 + a22 + · · · + a2n

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

b21 + b22 + · · · + b2n .

( )

a2
an
a1
=
= ··· =
( ở đây ta sử dụng quy ước
b1
b2
bn

nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0).
x
yi

Nhận xét 1.1. Theo bất đẳng thức ( ), chọn ai = √ i và bi =

√

yi với xi , yi ∈

R, yi > 0. Ta thu được bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức ( hay còn
gọi là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel).
Hệ quả 1.3. Nếu x1 , x2 , . . . , xn là các số thực và y1 , y2 , . . . , yn là các số thực
dương thì
x21 x22
x2
(x1 + x2 + . . . xn )2
+
+ ··· + n ≥
.
y1
y2
yn
y1 + y2 + · · · + yn
x
x
x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 = 2 = · · · = n .
y1
y2
yn
1.3.3

Bất đẳng thức Karamata

Định lý 1.6. Cho hai dãy số {xk , yk ∈ I(a, b), k = 1, 2, . . . , n}, thỏa mãn điều kiện
x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn , y1 ≥ y2 ≥ · · · ≥ yn

7

Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ

và


x1 ≥ y1




 x1 + x2 ≥ y 1 + y 2
........



x1 + x2 + · · · + xn−1 ≥ y1 + y2 + · · · + yn−1



x 1 + x2 + · · · + xn = y 1 + y 2 + · · · + y n

Khi đó, ứng với hàm số lồi f (x)(f (x) ≥ 0) trên I(a, b), ta đều có
f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) ≥ f (y1 ) + f (y2 ) + · · · + f (yn ).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xi = yi , i = 1, 2, . . . n.
Ta cũng phát biểu tương tự đối với hàm số lõm bằng cách đổi chiều dấu bất
đẳng thức.
Bổ đề 1.1. Cho hàm số y = f (x) liên tục và có đạo hàm cấp 2 trên I(a; b).
a. Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ I(a; b) thì f (x) ≥ f (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ), ∀x0 ∈ I(a; b).

b. Nếu f (x) ≤ 0, ∀x ∈ I(a; b) thì f (x) ≤ f (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ), ∀x0 ∈ I(a; b).
Đẳng thức trong hai bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi x = x0 .

8


Chương 2

Bất đẳng thức với tổng không đổi
2.1
2.1.1

Bất đẳng thức có tổng không đổi với hàm phân thức hữu
tỉ
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM

Đối với bất đẳng thức P (x, y, z) ≥ 0 (≤ 0), Trong đó P (x, y, z) là đa thức hoặc
phân thức hữu tỉ và có tổng x + y + z không đổi, thì khi đó sử dụng các kĩ thuật
của bất đẳng thức AM − GM như dự đoán dấu bằng xảy ra, AM − GM ngược
dấu, đặt ẩn phụ, ... tỏ ra rất hiệu quả.
Bài toán 2.1. Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng
minh rằng
a2
b2
c2
+
+
≥ 1.
b+2 c+2 a+2

Chứng minh.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
a2
b+2
2a
+
≥
b+2
9
3
b2
c+2
2b
+
≥
c+2
9
3
c2
a+2
2c
+
≥ .
a+2
9
3

Cộng các bất đẳng thức cùng chiều ta được
a2
b2

c2
5
2
+
+
≥ (a + b + c) − = 1.
b+2 c+2 a+2
9
3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

9


Chương 4. Một số lớp bài toán cực trị với đa thức đối xứng ba biến

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Võ Quốc Bá Cẩn - Trần Quốc Anh, Sử dụng AM-GM để chứng minh bất
đẳng thức, NXBĐH Sư Phạm.
[2] Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội.
[3] Nguyễn Văn Mậu, 2002, Bất đẳng thức, định lý và áp dụng, NXBGD.
[4] Nguyễn Văn Mậu, Các bài toán nội suy và áp dụng,NXB GD .
[5] Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số và phân thức hữu tỷ, NXB GD 2002.
[6] N.V. Mậu, T.N. Dũng, N.Đ. Phất, N.T. Thanh, Số phức và áp dụng, NXB
GD 2009.
[7] Trần Phương, Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh, Vẻ đẹp bất đẳng thức
trong các kì thi Olympic toán học, NXBĐHQG Hà Nội.
[8] Cao Minh Quang,Một số dạng toán về bất đẳng thức ba biến với tích các

biến không đổi, Hội thảo khoa học Các chuyên đề toán học bồi dưỡng học sinh
giỏi Đồng Tháp 2013.
[9] Phạn Văn Thuận, Lê Vĩ, Bất đẳng thức suy luận và khám phá, NXBĐHQG
Hà Nội.
Tiếng Anh
[10] D. Djukic, V. Jankovic, I. Matic and N. Petrovic, The IMO Compendium
1959-2004, Springer-Verlag 2004.
[11] D, S. Mitrinovic, J. E. Pecaric, ” Recent Advances in Geometric Inequalities”, Kluwer Academic Publishers, 1989.

79