một số kiểu bất đẳng thức khó

1


MỘT KIỂU BẤT ĐẲNG THỨC HAY.
Trong qus trình làm toán về chứng minh bất đẳng thức nêu bạn gặp dạng toán chứng minh bất đẳng thức
dạng:
nmzyxgzyxf  ),,(),,(
(*)
Mà ta đã chứng minh được chắc chắn:
mzyxf ),,(
(1)
g(x,y,z)
)2(n

Rõ ràng không thể cộng lại để suy ra (*) vì đó là 2 bđt ngược chiều. Muốn làm điều đó chắc chắn phải tạo
“ liên kết “ giữa 2 biểu thức f và g trước khi đánh giá hay nói cách khác không thể đánh giá đọc lập
f(x,y,z) và g(x,y,z)
BẠN CẦN NHỚ: Khi gặp loại trên đều là các bất đẳng thức hay và khó!
Sau đây là một ví dụ mua vui:
Bài toán:
Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thõa mãn:
4
2
333


R
r
abc

cba
Thì tam giác ABC đều ( r và R lần
lượt là các bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC ).
Nhận xét : đây là loại 2 bất đẳng thức ngược chiều A
m

B
n
mà A+B = m+n
Như vậy không thể đánh giá đọc lập hai bất đẳng thức mà nhất thiết phải “liên kết “ chúng sau đó mới
đánh giá!
Lời giải : Theo định lý về diện tích S của tam giác ABC ta có
p
S
r 
(
2
cba
p


) và R
s
abc
4


Và
))()(( cpbpappS 
.

abc
abccaaccbbcabba
abc
cbabcaacb
R
r 2))()((2
222222






Xét hiệu P =
abc
abccbabcaacbabccba
R
r
abc
cba 

 ))())(3
1
2
3
333333


=
06 






















a
b
b
a
b
c
c
b
a

c
c
a
( do
2
x
y
y
x
) Từ đó P
4
. Dấu “ = “ xẩy ra
cba 

Tức là tam giác ABC đều.
Hẹn gặp lại các bạn lần sau với nhiều bài toán bất đẳng thức cực hay và con đường tìm ra lời giải sáng
tạo!