Điều chỉnh chuyên ngành từ hình học và tô pô sang chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÙI VĂN HUẤN

BÀI TOÁN CHIA HẾT TRONG SỐ HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÙI VĂN HUẤN

BÀI TOÁN CHIA HẾT TRONG SỐ HỌC

Chuyên ngành:

Phương pháp toán sơ cấp

Mã số:

60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. PHẠM VĂN QUỐC

Hà Nội - 2014


Lời cảm ơn
Để hoàn thành được chương trình đào tạo cao học và hoàn thành luận văn
này, tác giả luận văn đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ, quan tâm, tạo điều kiện
của gia đình, của các Thầy Cô giáo, của cơ quan và các bạn bè đồng nghiệp.
Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các Thầy, Cô giáo
đã tham gia giảng dạy cho chúng em trong quá trình học cao học. Đặc biệt, em
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Phạm Văn Quốc đã tận tình hướng
dẫn và chỉ bảo em trong quá trình hoàn thành luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm khoa Toán – Cơ – Tin học, phòng
Sau đại học và các phòng, ban trong trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại
học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa học và
các thủ tục bảo vệ luận văn tốt nghiệp.
Tác giả luận văn xin cảm ơn các các cấp quản lý đã tạo điều kiện cho tôi
được tham gia khóa học cao học để nâng cao trình độ chuyên môn của mình.
Xin cảm ơn các bạn đồng nghiệp, bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ tôi
trong quá trình học và thực hiện luận văn.


Mục lục
Lời Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Chương 1. Các kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1. Phép chia trong tập hợp các số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1. Phép chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2. Phép chia có dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.3. Số nguyên tố, hợp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.4. Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.5. Một số tính chất khác về chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.6. Một vài hàm số học thông dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2. Đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.1. Khái niệm đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.2. Một số tính chất của đồng dư thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.3. Hệ thặng dư và lớp thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.4. Một số định lý nổi tiếng trong lý thuyết đồng dư . . . . . . . . . . . .

13

Chương 2. Một số phương pháp giải bài toán chia hết . . . . . . .

15

2.1. Phương pháp áp dụng các tính chất của phép chia hết . . . . . . . . . .

15

2.1.1. Áp dụng các tính chất cơ bản của phép chia hết. . . . . . . . . . . . .

15

2.1.2. Phương pháp xét số dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.3. Áp dụng hằng đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2. Phương pháp áp dụng đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.2.1. Áp dụng tính chất của đồng dư thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.2.2. Áp dụng các định lý về đồng dư. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2


2.3. Một số phương pháp khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.3.1. Phương pháp quy nạp toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.3.2. Phương pháp chứng minh phản chứng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.3.3. Sử dụng nguyên lý Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Chương 3. Một số bài toán áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.1. Một số áp dụng trong giải phương trình nghiệm nguyên . . . . . . . . .

48

3.2. Một số bài toán về tính chia hết các số hạng của dãy số nguyên .

53

3.3. Một số bài toán về tìm số nguyên thỏa mãn điều kiện cho trước liên
quan đến chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.4. Một số bài tập khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

3


Lời mở đầu
Số học là một phân môn quan trọng và là lĩnh vực cổ xưa nhất của Toán
học. Số học sớm được giảng dạy trong chương trình phổ thông từ khi học
sinh bắt đầu học Toán học, với việc làm quen với các con số và các khái niệm
đơn giản như tính chia hết, ước số chung lớn nhất, bội số chung nhỏ nhất,. . .
Cho đến các công trình nghiên cứu của các nhà khoa học, Số học cũng là lĩnh
vực có nhiều những bài toán, giả thuyết đang được nghiên cứu và chưa được
giải đáp. Trên con đường tìm kiếm lời giải cho những bài toán, giả thuyết đó,
nhiều tư tưởng lớn, lý thuyết lớn của Toán học đã được nảy sinh.
Trong chương trình phổ thông hiện nay, Số học chưa được giành nhiều
thời gian để học chuyên sâu nhưng là lĩnh vực xuất hiện nhiều trong các đề
thi Học sinh giỏi các cấp và trở thành một bộ phận quan trọng trong chương
trình giảng dạy Toán ở các lớp chọn và các lớp chuyên Toán, là công cụ tốt
để rèn luyện trí thông minh và tư duy Toán học.
Tác giả đã lựa chọn đề tài “Bài toán chia hết trong số học” với mục đích
tham khảo để tiếp cận và hoàn thiện thêm những vấn đề cơ bản của Số học,
làm cơ sở học tập và nghiên cứu các lĩnh vực khác của lý thuyết số sơ cấp.
Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1 – Các kiến thức cơ sở.

Trong chương này, tác giả trình bày tóm tắt lại một số khái niệm, tính
chất về phép chia trong tập các số nguyên và một số vấn đề liên quan. Trong
đó, lý thuyết đồng dư là một công cụ cơ bản và mạnh mẽ để giải các bài toán
chia hết.

4


Chương 2 – Một số phương pháp giải bài toán chia hết.
Trong chương này, tác giả trình bày một số phương pháp phổ biến thường
được sử dụng trong các bài toán liên quan đến chia hết như: phương pháp sử
dụng các tính chất của phép chia hết, phương pháp sử dụng lý thuyết đồng
dư và các định lý nổi tiếng, phương pháp quy nạp toán học, phương pháp
chứng minh bằng phản chứng, phương pháp áp dụng nguyên lý Dirichlet, . . .
Chương 3 – Một số bài toán áp dụng. Trong chương này, tác giả trình
bày một số bài toán của Số học liên quan đến phép chia hết như: áp dụng
trong giải các phương trình nghiệm nguyên, tính chất chia hết của các số
hạng của dãy số nguyên, bài toán tìm số nguyên thỏa mãn tính chất cho
trước,. . . .
Với tất cả sự cố gắng, nhưng với thời gian, năng lực có hạn, luận văn
không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp
ý kiến của các Thầy giáo, Cô giáo và các bạn để luận văn được hoàn thiện
hơn.

5


Chương 1

Các kiến thức cơ sở

Trong số học, tính chất chia hết giữ một vị trí quan trọng. Nó là cơ sở
để đưa ra và giải quyết các bài toán về số nguyên tố, hợp số, ước chung lớn
nhất, bội chung nhỏ nhất, lý thuyết đồng dư,...
Trong chương này, chúng ta cùng hệ thống lại một số kiến thức cơ bản
và thường xuyên được áp dụng trong các bài toán về chia hết trong số học.

1.1. Phép chia trong tập hợp các số nguyên
Trong tập hợp các số nguyên, các phép toán cộng, trừ, nhân luôn thực
hiện được. Tuy vậy, phép chia một số nguyên a cho một số nguyên b = 0
không phải lúc nào cũng thực hiện được.
Khi phép chia số nguyên a cho số nguyên b = 0 được thương là một số
nguyên x thỏa mãn phương trình bx = a thì ta nói rằng a chia hết cho b.

1.1.1. Phép chia hết
Định nghĩa 1.1. Cho a, b là các số nguyên, b khác 0.
Ta nói rằng a chia hết cho b (hay b chia hết a) nếu tồn tại số nguyên c sao
cho a = bc.
Khi đó, ta còn nói a là bội số của b hay b là ước số của a.
.
Ký hiệu là: a .. b hay b | a.
6


Trên tập hợp các số nguyên, ta có các tính chất sau:
Tính chất 1.2.
1. Với mọi số nguyên a = 0, ta có: a | 0.
2. Với mọi số nguyên a, ta có: 1 | a.
3. (Tính chất phản xạ) a | a.
4. (Tính chất bắc cầu) Nếu a|b và b|c thì a|c.
5. Nếu a|b và a|c thì a | (mb + nc).

Nếu a|b và a|(b ± c) thì a|c.
6. Nếu a|c và b|c thì (ab)|(cd).
Nếu a|b thì với mọi số tự nhiên n, ta có: (an ) | (bn ).
7. Nếu a|b thì |a| ≤ |b|. Vì vậy:
Nếu a|b và a, b nguyên dương thì a ≤ b.
Nếu a|b và b|a thì |a| = |b|.
8. Nếu a|b thì (±a) | (±b).
Mọi số nguyên a đều có ±1 và ±a (nếu a = 0) là các ước số của a, gọi
là các ước tầm thường của a.
Các ước số còn lại gọi là ước thực sự của a.

1.1.2. Phép chia có dư
Định lý 1.3. Cho a, b là các số nguyên, b khác 0. Khi đó tồn tại duy nhất
cặp số nguyên (q, r), sao cho a = bq + r, 0 ≤ r < |b|.
Định nghĩa 1.4. Cho a, b là các số nguyên, b khác 0. Khi đó, ta nói rằng a
chia cho b có thương là q và số dư là r nếu a = bq + r, 0 ≤ r < |b|.
Khi r = 0 thì ta được a chia hết cho b.
Khi r = 0 thì ta nói rằng a không chia hết cho b.
7


1.1.3. Số nguyên tố, hợp số
Định nghĩa 1.5. Số nguyên tố là số nguyên dương lớn hơn 1 và chỉ có hai
ước số nguyên dương là 1 và chính nó. Số nguyên dương khác 1 và không là
số nguyên tố được gọi là hợp số.
Định lý 1.6 (Euclide). Tập hợp các số nguyên tố là vô hạn.
Định lý 1.7 (Định lý cơ bản của số học). Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều
phân tích được thành tích các thừa số nguyên tố và phân tích đó là duy nhất
nếu không kể đến thứ tự các thừa số nguyên tố.

1.1.4. Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất
Định nghĩa 1.8. Ước chung lớn nhất của hai số nguyên a, b không đồng thời
bằng 0 là số nguyên lớn nhất chia hết cả a và b, ký hiệu là (a, b).
Khi (a, b) = 1, ta nói rằng hai số a và b nguyên tố cùng nhau.
Tính chất 1.9.
1. (ma, mb) = m (a, b), với mọi m nguyên dương.
(a, b)
a b
,
=
.
Nếu d > 0 là ước chung của a, b thì
d d
d
a b
Nếu (a, b) = d thì
,
=1.
d d
2. Nếu m|a, m|b thì m| (a, b).
3. (a, b) = (a, −b) = (b, a) = (b, a + kb), với mọi số nguyên k.
4. Nếu (a, m) = (b, m) = 1 thì (ab, m) = 1.
5. Nếu m| (ab)và (m, a) = 1 thì m|b.
.
.
.
6. Nếu a..m, a..n và (m, n) = 1 thì a.. (mn).
Định lý 1.10. Cho a và b là các số nguyên, và d = (a, b). Khi đó tồn tại các
số nguyên m, n sao cho d = ma + nb.
8

Tài liệu tham khảo
[1] Doãn Minh Cường, (2008), Số học, NXB ĐHSP.
[2] Phan Huy Khải, (2009), Các bài toán cơ bản của số học, NXB Giáo Dục.
[3] Hà Huy Khoái, (2004), Số học, NXB Giáo dục.
[4] Nguyễn Vũ Lương, (2009), Các bài giảng về số học, NXB ĐHQGHN.
[5] Nguyễn Văn Mậu, (2008), Một số vấn đề số học chọn lọc, NXB Giáo dục.
[6] Nguyễn Văn Nho, (2005), Chuyên đề số học, NXB ĐHQG TP HCM.
[7] Phạm Minh Phương, (2008), Các chuyên đề số học, NXB Giáo dục.
[8] Phạm Văn Quốc, (2012), Một số bài toán số học liên quan đến lũy thừa.
[9] Đặng Hùng Thắng, (2010), Bài giảng số học, NXB Giáo dục.
[10] www.diendantoanhoc.net.
[11] www.mathlinks.ro.
[12] Titu Andreescu, Dorin Andrica, (2006), Number Theory, USA.
[13] Titu Andreescu, Dorin Andrica, Zuming Feng, (2006), 104 Number Theory Problems, USA.
[14] W. Sierpinski, (1988), Elementary Theory of Numbers, POLAND.

68