Chuyên đề bồi dưỡng MTCT CASIO

Chuyên đề I Số học
1) Phép thử trên máy tính bỏ túi :
@ ví dụ 1 : tìm số có 3 chữ số abc biết tổng của 3 chữ số của nó chính bằng
Thơng của phép chia 1000 cho số đó.
Bài giải:
Vì (a+b+c) = 1000 : abc; mà abc là số có 3 chữ số nên kết quả phép chia 1000 :
abc chỉ có thể là số 10 ; vậy : 1 (a+b+c) 10.
Ta thử với ( a+b+c) lần lợt các giá trị từ 2 đến 10 ta đợc:
1000:2= 500 (loại) do 5+0+0 2
1000:4= 250 (loại) do 2+5+0 4
1000:5= 200 (loại) do 2+0+0 5
1000:8= 125 thỏa mãn điều kiện 1+2+5 =8

vậy ta có abc = 125 ;

b) ví dụ 2 : Tìm a,b,c,d biết : a5. bcd = 7850.
Bài giải :
Ta có : a5. bcd = 7850 => a5 Ư 7850 nên ta thử với a bằng các số lần lợt các
số từ 1 đến 9 ta đợc : 7850 chia hết cho 25 đợc thơng là 314 vậy a=2; b=3; c=1;
d=4.
c) Ví dụ 3: tìm tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn : 100 n 200
và

A = 19026 + 25n cũng là số tự nhiên ;

Bài giải :
Ta có :

A = 19026 + 25n

A 2 = 19026 + 25n

cong thức : n = (ANS 2 19026) : 25 =

Mà : 147 A 155 khi 100 n 200 ( ta thay n = 100 và n =200 vào: A = 19026 + 25n
Thử với : 147 A 155 ( có 9 trờng hợp : 147; 148; 149; 150; 151; 152; 153;
154; 155 ) vào
2
cong thức : n = ( A 19026) : 25

Ta đợc : n= 127 khi A = 149 và n= 151 khi A= 151
Cách thay : 147 SHIFT STO A
Page 1

( ALFA A2 - 19026 ) :25 =


ALFA A +1 SHIFT STO A SHIFT = = = ..
d) Ví dụ 4: tìm tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn : 1010 n 2010 và
cũng là số tự nhiên ;

a = 20203 + 21n

Bài giải :
Ta có :

a = 20203 + 21n a 2 = 20203 + 21n n =

a 2 20203
21

Mà : 203 A 249 khi 1010 n 2010 ( ta thay n = 1010 vào
và n =2010 vào : a = 20203 + 21n a = 249

a = 20203 + 21n a = 203

2
Thử với : 203 a 249 ( có 47 trờng hợp từ : 203 ->249 ) vào công thức : n = a 20203

Ta đợc : n= 1118 khi a = 209 và n= 1158 khi a= 211
n= 1301 khi a = 218 và n= 1406 khi a= 223
n= 1557 khi a = 230 và n= 1601 khi a= 232
n= 1758 khi a = 239 và n= 1873 khi a= 244
Cách thay:

203 =

ANS 2 20203
21

:

(21 Ans + 20203) + 1 =

- Bấm liên tiếp dấu = và ghi lại các kết quả khi n là số tự nhiên ( đ ợc 8 giá trị )

Cách thay: 203 SHIFT STO A (ALFA A ^2 +20203) :21=
ALFA A +1 SHIFT STO A SHIFT =
e) Bài tập VN: tìm tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn : 1000 n 2000
và

a = 54756 + 15n

cũng là số tự nhiên ;

( Đáp số : 1428 ; 1539 ; 1995 )
x 2 + 2 y 2 = 2377

e) Ví dụ 5 : Tìm số tự nhiên x,y biết :
Bài giải :
Vì

2377 là số lẻ và 2 y 2 là số chẵn x 2 là số lẻ nê n x cũng là số lẻ.

x 2 + mà
2 y 2 0=<2377
x < 50 (mà
do 2377 < 50 2 = 2500 )

mặt khác ta có : x 2 + 2 y 2 = 2377 2y 2 = 2377 x 2
2377 x 2
2377 - x 2
y =
y =
2
2
Page 2
Thử lần lợt với x bằng 1; 3; 5; 7; 9; .......; 49 ( có 24 số )
2

vào công thức y =

2377 - x 2
ta có ( x; y ) = ( 35;24 )
2

21


Cách thử :

2377 - Ans2
1=
: (2377 - Ans2 ) + 2 =
Bấm liên tiếp dấu = và2ghi lại các kết quả khi y là số tự nhiên ( đợc y=24

khi x=35 )

Bài tập đề nghị :
1) Tìm x biết : 2x78 chia hết cho 17

(x=2)

2) Tìm x;y để : @ 135x4y chia hết cho 45.

(5;0) (0;5) (9;5)

b) 1234 xy chia hết cho 72.

(0;8) (8;0)

3) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho 7 mà khi chia cho 2; 3; 4; 5; 6 đều d 1.
4) Tìm tất cả các tam giác vuông có cạnh là số nguyên dơng sao cho : số đo diện
tích bằng số đo chu vi.
5) Tìm một số có 2 chữ số biết :
@ Tổng của số đó với số viết ngợc lại là số chính phơng.
b) Hiệu của số đó và số viết ngợc lại là số chính ơng.
6 Tìm số tự nhiên : abcd biết ab-cd = 1 và abcd là số chính phơng.
7) Tìm x và y biết : xxxxx = 16 yyyy +r
và xxxx = 16yyy + ( r +200 ).
8) Tìm các số x; y; z thỏa mãn :
@ xxyy là số chính phơng.
b) xyyy là số chính phơng.

c) xyz+ xzy = zzz.
d ) xy 2 = yx 2 + zz 2
e) xxyy = xx 2 yy 2

Page 3


Rút Kinh Nghiệm : Trong ví dụ 3 ta còn có cách viết qui trình bấm phím khác
đơn giản hơn là :
147 Shift Sto A 19026 + 25 A =
Alfa A + 1 Shift

sto A

Shift

=

2) Tính số d và các chữ số cuối cùng :
a) Tìm số d trong phép chia số A cho số B
+ ta thực hiện phép chia A:B tìm phần thơng nguyên trớc dấu phẩy kí hiệu là {x}
R = A- B. {x}
Chú ý 1: - Với A là số có lũy thừa:
VDụ nh : 915 : 2008 thì ta viết 915 = 98 . 97
Ta lấy 98 : 2008 số d trong phép chia là R1 = 1225
97 : 2008 số d trong phép chia là R2 = 1932
R chính là số d trong phép chia ( R1. R2 ) : 2008 = 1857
Chú ý 2 : Với A là số có nhiều hơn 9 chữ số ta làm nh sau:
Vdụ: Tìm số d trong phép chia 512512512512 : 2008 ta làm nh sau:
Lấy 9 chữ số đầu tin cậy đợc trên máy là 512512512 : 2008 d làR1= 632
Lấy số d R1=632 rồi viết thêm vào sau nó các chữ số còn lại của A là 512
Ta có 632512 và 632512 :2008 đợc số d cần tìm là R2 = 2000.
b) Tìm 3 chữ số cuối cùng của 727
Ta thấy 3 chữ số cuối cùng của 727 chính là số d trong phép chia 727 : 103
Bài toán quay trở về dạng tìm số d trong phép chia 727 : 1000
727 = (79 )3 mà 79 : 1000 d 607 suy ra 6073 : 1000 d 543 nên 3 chữ số cần
tìm là 543.
c)Tìm số d trong phép chia :

32^2009 cho 11

ta xét qui luật : 30 =1(mod 11)

31 =3(mod 11)

32=9(mod 11)

33 =5(mod 11)

34 =4(mod 11)

35 =1(mod 11)

Page 4


Chu kì là 5 => (35 )k =1(mod 11) 35k =1(mod 11)
Vậy ta xét tiếp xem 22009 bằng bao nhiêu lần nhóm (5k):
20 =1(mod 5)

21=2(mod 5)

22=4(mod 5)

23 =3(mod 5)

24 =1(mod 5)

Chu kì là 4 => (24 )m =1(mod 5) 24k = 1(mod 5)
Vậy ta có : 22009 = 24.502 .21 => 32^2009 =35k^502 .32 =1.32 (mod 11) = 9 (mod 11)
Suy ra 32^2009

: 11 có số d bằng 9

Bài Tập đề nghị : - Tìm số d trong các phép chia sau
@ 1234567890987654321 : 123456

( Kquả là R = 8817)

b) 715

( Kquả là R = 1486)

: 2001

c) 19052002 : 20969

(Kquả là 12150 )

d)26031931: 280202

(Kquả là 253347)

e)21021961 :1781989
f) 123456789:23456

(7861)

g) 517 :2001

(38)

h) 919

(1890)

:2007

i)9 12 :2006

(135)

k)1311 : 2006

(55)

l) 17762003 :4000
m) 20012010 : 2003

(256)

3) Tìm ƯCLN và BCNN :
a)Dùng phơng pháp rút gọn để tìm ƯCLN(a,b) và BCNN(a,b) :
Dùng MTBT bấm a/b = Đợc kết quả là m/n => MTBT đã rút gọn để đợc phân số
tối giản do đó ƯCLN (a,b) = a:m và BCNN = a.n.
Chú ý : a.b = ƯCLN(a,b) . BCNN(a,b)
Nếu a có nhiều hơn 9 chữ số thì ta lấy a: b tìm số d R
Page 5


=> ƯCLN (a, b) = ƯCLN(b, R)
Chú ý : Bài toán tìm ƯCLN có thể hỏi nh sau : Tìm số tự nhiên a lớn nhất để khi
chia các số 212949; 224997; 239053 cho a ta đợc cùng một số d.
Ta có :

212949 = m.a + r ; 224997 = n.a + r ; 239053 = p.a + r ;

=> 239053 224997 = x a ( theo t/c chia hết của một tổng )
239053 212949 = y a ( theo t/c chia hết của một tổng )
Mà a lớn nhất lên a = Ư CLN (x; y )
b) Dùng thuật toán Ơcơlít : lấy a:b tìm số d R ; lấy b : R1 tìm số d R2 lấy tiếp
R1 :R2
đợc R3 .. nếu Rk = 0 thì Rk-1 chính là ƯCLN(a,b)
Bài tập đề nghị :
Tìm ƯCLN và BCNN của :
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)

9148 và 16632
75125232 và 175429800
222222; 506506 ; 714714 ; 999999.
11264845 và 33790075
1582370 và 1099647
100712 và 68954
191 và 473
7729 và 11659
24614205 và 10719433

ƯCLN=4; BCNN= 38037384.
ƯCLN= 412776

ƯCLN = 1001.
ƯCLN = 1115.
ƯCLN = 2003.
ƯCLN = 2.
ƯCLN = 1
ƯCLN = 131.
ƯCLN = 21311.

4) Tìm chữ số thập phân thứ 2001 sau dấu phảy khi thực hiện phép chia
a) 1:49
Bgiải :
-

lấy 1:49 = 0,(020408163265306122448979591836734693877551)

Là số thập phân vô hạn tuần hoàn chu kỳ có 42 chữ số.
Lấy 2001 : 42 đợc số d là 27 => vậy chữ số cần tìm chính là chữ số thứ 27 trong
chu kỳ và chính là : 1
Qui trình 500MS:

1 SHIFT STO A
49 SHIFT STO B

( ( ( ( ALFA A x 10 ^ 8) : ALFA B ) + 9.5 ) x 10^(-) 11 +1 -1 ) x 10^11 -10 =
Page 6


( ALFA A x 10^8 ) - ( ANS x ALFA B ) SHIFT STO A
Δ SHIFT Δ =
Qui tr×nh 570MS:

1 SHIFT STO A
49 SHIFT STO B

( ( ( ALFA A x 10 ^ 8 : ALFA B) + 9.5 ) x 10^(-) 11 +1 -1 ) x 10^11 -10 =

( ALFA A x 10^8 ) - ( ANS x ALFA B ) SHIFT STO A
Δ SHIFT Δ =
b) 10:23

( chu kú 22, sè d lµ sè 21 )

Cách cho 570MS: ấn mod 3 lần, chọn 3 để vào Base

1 SHIFT STO A
49 SHIFT STO B

ALFA A x 10000000 : ALFA B =
ALFA A x 10000000 -( ALFA B x ANS) SHIFT STO A

Δ SHIFT Δ = ==

c) 1 :53
5) sè nm lµ sè cã bao nhiªu ch÷ sè :
1 - sè 300300 lµ sè cã bao nhiªu ch÷ sè :
2 - sè 3326 lµ sè cã bao nhiªu ch÷ sè :
Bgi¶i : 300300 = (3 . 100 )300 = 3300 . 10600
= 27 100 .10600 = 2,7100 . 10700
= 1,3….1043 . 10700 => cã 744 chø sè.
BÊm m¸y : m log(n)=

lµm trßn sè
300 log(300) = 743.1363764 => 744 ch÷ sè
326 log(3) = 155.541529 => 156 ch÷ sè

Bài toán -- Câu 10 ( bài 2 – vòng 8 - Violimpic lớp 6 ):

Hai số a=
Page 7

21993

và b= 51993 viết liền nhau tạo thành số có bao nhiêu chữ số ?


Bấm MTBT :
+ Tính 1993 log 2 = 599,95… vậy : a là số có

600 chữ số.

+ Tính 1993 log 5 = 1993,047 .. và : b là số có 1394 chữ số.
⇒

a viết cạnh b được số có :

600 + 1394 = 1994 chữ số.

6) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất n sao cho: n lập phương là số có ba chữ số đầu tiên đều là
chữ số 7 và bốn chữ số cuối cùng đều là chữ số 7.
( tìm n € N nhỏ nhất sao cho : n3 = 777…………..7777 )
Bước 1: Tìm số n mà n3 có 4 chữ số tận cùng là 7777.

+ số có lập phương tận cùng là 7: Thử từ 0 đến 9: được n có tận cùng là 3
+ Số có lập phương tận cùng là 77: Thử với 03; 13; ...93 được n có tận cùng là 53.
+ Tương tự tìm được n có 4 chữ số tận cùng là 0753.
Bước 2: Tìm số nhỏ nhất có lập phương bắt đầu bằng 777.
Có n3 = 777... ≥ 77700...0 = 777.10k ( Thay tất cả các chữ số đằng sau bởi chữ số 0).
Page 8


n3 ≤ 77799...9 < 77800...0 = 778.10k ( Thay tất cảc các chữ số đằng sau bởi chữ số 9).

7770000........ ≤ n 3 ≤ 7779999........
⇔ 777.10 k ≤ n 3 ≤ 778.10 k

Từ đó ta được 3 777.10k ≤ n < 3 778.10k
nếu k = 3h ⇒ 3 777.10 h ≤ n < 3 778.10 h ⇔ 9.193347428.10 h ≤ n < 9.197289687
=> n = 91940753 ứng với h = 7.
Nếu k = 3h + 1 ⇒ 3 7770.10h ≤ n < 3 7780.10 h ⇔ 19.80646662 ≤ n < 19.81495996
=> n = 1980753 ứng với h = 5.
Nếu k = 3h + 2 ⇒ 3 77700.10h ≤ n < 3 77800.10h ⇔ 42.67173876 ≤ n < 42.69003711
=> n = 42680753 ứng với h = 6.
Vậy n = 1980753.
7) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 10 chữ số biết rằng : số đó chia cho 2009 và 2011 thì có
các số dư lần lượt là 1228 và 913.
BG: Gọi số cần tìm là a , theo bài ra ta có : a = 2009.n + 1228 = 2011.k + 913 (*)
Và : a > 109 (**) .
Từ (*) ta có : 2009.n = 2011.k -315

Page 9

2011.k 315
2k 315
2k 315
=k+
; mà để n là số tn thì :
là số tn.
2009
2009
2009
2k 315
ta đặt :
= h 2k - 315 = 2009h
2009
2009h + 315
h +1
h +1
k=
= 1004h + 157 +
; mà để k là số tn thì:
là số tn.
2
2
2
h +1
ta đặt :
= p h = 2p - 1 , suy ra ta có :
2
2009.(2p 1) + 315 4018p 1694
k=
=

= 2009p 847
2
2
2011.k 315 2011.(2009p 847) 315
và n =
=
= 2011p 848
2009
2009
a = 2009.(2011p 848) + 1228
n=

a = 4040099p 1702404 > 10 9
a = 4040099p > 10 9 + 1702404 p > 247, 9400638
mà a nhỏ nhất p = 248; vậy a = 4040099.248 1702404
a = 1000242148.

Chuyên đề II - đa thức:
I)

Lý thuyết:
1) Đa thức 1 biến: P( x ) = ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f
a) Nghiệm của đa thức một biến : x= a đợc gọi là nghiệm của đa thức P(x)
nếu P(a) = 0

Chú ý: 1- Số nghiệm của đa thức không vợt quá số bậc của nó.( bậc của đa thức là
bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức đó.)
2- Nếu đa thức P(x) có nghiệm : x = a thì đa thức P(x) chia hết cho ( x a)
a) khi đó ta có : P(x) = (x a).Q(x)
b) Định lý Bơ zu : Nếu đa thức P(x) không chia hết cho (x a) thì :

P(x) = (x - a).Q(x) +R
Page 10


và số d R chính bằng giá trị của đa thức P(x) tại x = a tức là P(a) = R ;
Chứng minh:
P(x) không chia hết cho x- a thì : P(x) = (x - a).Q(x) +R
tại x = a thì : P(a) = (a - a).Q(x) + R => P(a) = R ;
II) BI TP VN DNG :
II.1 - Tìm số d trong phép chia: P(x) : ( ax + b) => theo định lý Bơ zu ta có
R = P(-b/a)
Ví dụ 1 : Tìm số d trong phép chia
Gọi :

x 3 9 x 2 35 x + 7
x 12

;

P ( x ) = x 3 9 x 2 35 x + 7

x - 12 = 0 => x = 12 ta có R = P(12) = 19.
Bấm :

12 = Ans3 9 Ans 2 35 Ans + 7 = (Kq : 19)

Ví dụ 2 : tìm số d trong phép chia : 2 x 5 1,7 x 4 + 2,5 x 3 4,8 x 2 + 9 x 1 : ( x 2,2)
R = P(2,2) = 85,43712
Ví dụ 3: Cho

Q( x ) = 3x 2 + 17 x 625

a) Tìm số d khi Q(x) : ( x 2 2 )
b) Tìm a để Q( x ) + a2
chia hết cho (x +3 )
Bài giải:
a) R = -552,91674;
b)

Q( x ) + a 2 (x + 3) => R = 0 hay ta có : Q(-3) + a 2 = 0
- 649 + a 2 = 0 a 2 = 649 a = 649 a = 25,47547841

Ví dụ 4 : Tìm thơng và số d

(2 x 5 70 x 3 + 4 x 2 x + 1) : ( x 6)

Bài giải :
a) R= 571
b) (2 x 5 70 x 3 + 4 x 2 x + 1) = ( x 6).(2 x 4 + 12 x 3 + 2 x 2 + 16 x + 95) + 571

chú ý : có thể dùng lợc đồ Hooc ne:
2
Page 11

0

-70

4

-1

1


x=6

2

12

2

16

95

571=R

II.2 - Tìm các hệ số a,b c, d, e của đa thức :
ví dụ 1: Cho P(x)=x3 + bx 2+ cx + d biết P(1) = -15 ; P(2) = -15 ; P(3) = -9
a) Tìm các hệ số a,b,c,d.
b) Tìm số d khi P(x) : ( x- 4 )
c) Tìm số d khi P(x) : ( 2x+3)
Bài giải :
a) Vì P(1)=-15 13 + b.1 2+ c.1 + d =-15 => b+c+d = -15
Vì P(2)=-15 23 + b.2 2+ c.2 + d =-15 => 4 b+2c+d = -23
Vì P(3)=-9 33 + b.3 2+ c.3 + d =-9 => 9b+3c+d = -36

(1)

(2)
(3)

Giải hệ phơng trình (1)&(2)&(3)trên MTBT ta có : b=-3 ; c= 2; d= -15.
b) Từ câu a ta có : P(x)= x3 - 3 x 2+ 2x + 15
P(4) =9 hay số d R1 trong phép chia P(x) cho (x-4) là bằng 9.
c) Từ câu a ta có : P(x)= x3 - 3 x 2+ 2x + 15
P(-3/2) =-28,125 hay số d R2 trong phép chia P(x) cho (2x+3) là :
R2 = -28,125.
ví dụ2 : Cho P(x)=x4 +ax3 + bx 2+ cx + d
biết P(1) = 5 ; P(2) = 14 ; P(3) =29; P(4) =50.
a) Tìm các hệ số a,b,c,d.
b) Tìm P(5) ; P(6) ; P(7); P(8)= ?
Bài giải :
a) Vì P(1)=5 14 +a.13 + b.1 2+ c.1 + d =5 => a+ b+c+d = 4

(1)

Vì P(2)=14 24 +a.23 + b.2 2+ c.2 + d =14 => 8a+ 4 b+2c+d = -2

(2)

Vì P(3)=29 34 +a. 33 + b.3 2+ c.3 + d =29 => 27a+ 9b+3c+d = -52

(3)

Vì P(4)=50 44 +a.43 + b.4 2+ c.4 + d =50 => 64a+16b+4c+d = -206

(4)

Lấy (2) (1) => 7a +3b + c = -6

(*)

(3) (1) => 26a + 8b + 2c =-56

(**)

(4) (1) => 63a + 15b +3c =-210

(***)

Page 12


Giải hệ phơng trình (*)&(**)&(***)trên MTBT ta có : a=-10;b=38 ; c=-50;
Thay các giá trị : a=-10;b=38 ; c=-50 vào phơng trình (1) ta đợc : d= 26.
b)Từ câu a ta có : P(x)=x4 -10x3+ 38 x 2-50x + 26
P(5)=101; P(6)=230; P(7)=509; P(8)=1034.
ví dụ 3: Cho P(x)=x3 + ax 2+ bx + c biết P(1/3) =7/108 ; P(-1/2) = -3/8 ;
P(1/5) =89/500;

Tìm P(2/3)= ?

BG: P(x) = x3 - 2x2 + 0,25

=> P(2/3) = -37/108 = -0,34259.

ví dụ4 : Cho Q(x)=x4 +mx3 +nx 2+ px + q
biết Q(1) = 5 ; Q(2) = 7 ; Q(3) =9; Q(4) =11.

a) Tìm các hệ số m,n,p,q.
b) Tìm Q(5) ; Q(10) ; Q(11); Q(12)= ?
BG:
a) m= -10 ; n= 35; p= -48; q= 27;
b) Q(x)= x4 -10x3 +35x 2-48x + 27
Q(10)=3047; Q(11)= 5065; Q(12) = 7947.
ví dụ5 : Cho P(x)=6x4 - x3 +ax 2+ bx +4 và Q(x) = x2 - 4.
a) Tìm các hệ số a,b để P(x) Q(x).
b) Với a,b vừa tìm đợc hãy tìm thơng khi P(x) : Q(x)
BG:
a) a= 25 ; b = 4;
b) P(x)= Q(x) . ( 6x2 x -1 )
ví dụ6 : Cho P(x)=x4 +5x3 -4x 2+ 3x +m và Q(x)=x4 +4 x3 -3x 2+2x +n.
a) Tìm m và n để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho ( x- 2)
b) Với m và n vừa tìm đợc hãy hãy cmr :
R(x) = P(x) Q(x) chỉ có nghiệm duy nhất
BG:

a)

P(x) (x-2) => P(2)=0 m=-46
Q(x) (x-2) => Q(2)=0 n=-40

b)R(x) = P(x) - Q(x )= ( x4 +5x3 -4x 2+ 3x -46) - ( x4 +4 x3 -3x 2+2x -40).
=x3 -x2 + x - 6 =( x- 2).(x2 + x +3)= (x- 2).((x+1/2)2 + 11/4))
Page 13


Nên R(x) chỉ có 1 nghiệm : x = 2

II.3 - Tính giá trị của đa thức dựa trên giá trị riêng biệt của phần d:

ví dụ 1: Cho P(x)=x3 + bx 2+ cx + d biết P(1) = -15 ; P(2) = -15 ; P(3) = -9.
a) Tìm số d khi P(x) : ( x- 4 )
b) Tìm số d khi P(x) : ( 2x+3)
Bài giải :
Vì : P(1) = -15 ; P(2) = -15 ; P(3) = -9.
Hay là P(x) khi chia cho (x-1) ; (x-2) ; (x-3) đều có d nên ta có thể viết:
P(x)=(x-1).(x-2).(x-3) +mx2 + nx +p
Từ : P(1)=-15 -15=(1-1).(x-2).(x-3) +m.12+n.1+p m+n+p=-15

(1)

P(2) = -15 -15=(x-1).(2-2).(x-3) +m.22+n.2+p 4 m+2n+p=-15

(2)

P(3) = -9 -9 = (x-1).(x-2).(3-3) +m.32+n.3+p 9m+3n+p=-9

(3)

Dùng MTBT giải HPT gồm3 phơng trình 3 ẩn (1);(2);(3) ta đợc m=3;n=-9;p=-9
vậy đa thức

P(x)=(x-1).(x-2).(x-3) +3x2 -9x -9 (*)

trong đó 3x2 -9x -9 là đa thức biểu diễn phần d
Thay x=4 vào (*) ta đuợc P(4)=9 hay số d khi P(x):(x-4) bằng 9
Thay x=-3/2 vào (*) ta đuợc P(-3/2)=-225/8=-28,125 hay số d khi P(x):(2x+3)
bằng -28,125

ví dụ2 : Cho P(x)=x4 +ax3 + bx 2+ cx + d
biết P(1) = 5 ; P(2) = 14 ; P(3) =29; P(4) =50.
a) Tìm P(5) ; P(6) ; P(7); P(8)= ?
BG:
Tơng tự ta có : P(x)=(x-1).(x-2).(x-3).(x-4) +mx2 + nx +p
Từ : P(1)=5 5=(1-1).(x-2).(x-3).(x-4) +m.12+n.1+p m+n+p=5
P(2) = 14 14=(x-1).(2-2).(x-3).(x-4) +m.22+n.2+p 4 m+2n+p=14
Page 14

(1)
(2)


P(3) = 29 29 = (x-1).(x-2).(3-3).(x-4) +m.32+n.3+p 9m+3n+p=29
Dùng MTBT gii HPT gồm3 phơng trình 3 ẩn (1)&(2)&(3) ta đợcm=3; n=o;p=2
vậy đa thức

P(x)=(x-1).(x-2).(x-3) .(x-4)+3x2 +2 (*)

trong đó 3x2 +2 là đa thức biểu diễn phần d
Thay x=5 vào (*) ta đuợc P(5)=101 hay số d khi P(x):(x-5) bằng 101
Thay x=6 vào (*) ta đuợc P(6)=230 hay số d khi P(x):(x-6) bằng 230;
P(7)= 509; P(8)=1034;
ví dụ3 : Cho Q(x)=x4 +mx3 +nx 2+ px + q
biết Q(1) = 5 ; Q(2) = 7 ; Q(3) =9; Q(4) =11.
a) Tìm Q(5) ; Q(10) ; Q(11); Q(12)= ?
BG:
Tơng tự : Q(x)= (x-1).(x-2).(x-3) .(x-4) +2x + 3 (*)
Q(10)=3047; Q(11)=5065; Q(7947)
ví dụ4 : Cho P(x)=x4 +ax3 + bx 2+ cx -12035

biết P(1) = 2 ; P(2) = 5 ; P(3) =10.
a) Tìm P(9,99) - P(9,9)= ?
BG: Vì P(x) là đa thức bậc 4 mà mới cho biết 3 giá trị của x nên ta phải viết :
P(x)=(x-1).(x-2).(x-3) .(x-k)+mx2 +nx+p (*)
Dễ thấy : m=1; n=0;p=1 suy ra : P(x)=(x-1).(x-2).(x-3) .(x-k)+x2 +1 (*)
Dễ thấy : P(0)=-12035 nên P(0)=(0-1).(0-2).(0-3) .(0-k)+02 +1 (*)

6k=-12036 nên k = -2006
Vậy ta có : P(x)=(x-1).(x-2).(x-3) .(x+2006)+x2 +1 (*)
Tính P(9,99) nhớ vào biến A; P(9,9) nhớ vào biến B ta đợc:
P(9,99) P(9,9) = A- B = 34.223,3359
ví dụ5 : Cho P(x)= x5 +a x4 +bx3 +cx 2+ dx +132005
Page 15

(3)


biết P(1) = 8 ; P(2) = 11 ; P(3) =14 ; P(14)=17.
a) Tìm P(11) ; P(12)= ?; P(13)= ?
BG: Vì P(x) là đa thức bậc 5 mà mới cho biết 4 giá trị của x nên ta phải viết :
P(x)=(x-1).(x-2).(x-3) .(x-4).(x-k)+mx2 +nx+p (*)
Dễ thấy : m=0; n=3;p=5 suy ra : P(x)=(x-1).(x-2).(x-3) .(x-4).(x-k)+3x+5 (*)
Dễ thấy : P(0)=132005 nên P(0)=(0-1).(0-2).(0-3) .(0-4)(0-k)+3.0 +5 (*)

24(-k)=132005 nên k = -5500.
Vậy ta có : P(x)=(x-1).(x-2).(x-3).(x-4) .(x+5500)+3x+5 (*)
Tính P(11) =27775478; P(12)= 43655081; P(13)= 65494484.
II.4 - Các Bài toán khó về đa thức :
Bi 1: Tìm số d trong phép chia : P(x)= x100 - 2x51 + 1 : (x2 - 1 )
BG: vì x2 -1 = (x-1).(x+1) => P(x) = (x2 -1) . Q(x) + R(x)

P(x)= (x-1).(x+1).Q(x) + (Ax +B)
Mà ta có :

P(1) = 1100 -2.151 +1 = 0

(1-1).(1+1).Q(x) + A.1 +B = 0
Và ta có :

A +B =0 (*)

P(-1) = (-1)100 -2.(-1)51 +1 = 4

((-1)-1).((-1)+1).Q(x) + A.(-)1 +B = 0

-A + B =4 (**)

Từ (*) và ( **) ta có A= 2 ; B = 2 nên R(x) = 2x +2.
Bài 2 : Cho P(x) = x4 + 6x2 + 25 và Q(x) = 3 x4 + 4 x2 + 28x +5.
Tìm M(x) = a x2 + b x + c là ƯC của P(x) và Q(x) ; Tính M(2003/2004)=?
Bg: Cách 1- Dùng thuật toán Ơ cơ lít :
P(x) : Q(x) => R1(x)=14 x2 -28x +70 . mà Q(x) : R1(x) = 0 => ƯC = R1(x)
Vậy : M(x) =14( x2 -2 x + 5).
Cách 2 Dùng tính chất chia hết của một tổng : nếu M(x) là ƯC nên:
Page 16


3P(x) = 3 x4 + 18x2 +75.
Q(x) = 3 x4 + 4 x2 + 28x +5.
3P(x)-Q(x)= 14 x2 -28x +70

=> : M(x) =14( x2 -2 x + 5).

KQ: M(2003/2004)= 56.00000349.
Bài 3: Cho đa thức : P(x)=x4 +ax3 + bx 2+ cx +d.
Có P(1)=7 ; P(2) = 28; P(3)= 63.

Tính P= ( (P(100) + P(-96) ) :8

Bgiải: Ta dễ thấy P(x) = (x-1). (x-2).(x-3).(x-y) +7x2
P = ( (P(100) + P(-96) ) :8
2
2
P= ( 99.98.97.(100-y) +7.100 + (-97).(-98).(-99).(-96-y) +7.(-96) ) : 8

P = ( 99.98.97.(100-y +96 +y ) +7.1002 +7.(-96)2 ) : 8
= ( 99.98.97.196+ 70000 +7.96 ):8 = 23073617
Bài 4 : Gọi x1 , x2 ,x 3,x4 ,x5 là 5 nghiệm của phơng trình x5 + x2 +1 = 0.
Xét đa thức P(x) = x2 - 81.
Tính giá trị của biểu thức :

P(x1).P(x2).P(x3).P(x4).P(x5) = ?

Bài giải :
Vì : x1 , x2 ,x 3,x4 ,x5 là 5 nghiệm của phơng trình x5 + x2 +1 = 0.
Nên nếu ta gọi Q(x) = x5 + x2 +1 Q(x) =(x-x1).(x-x2).(x-x3).(x-x4).(x-x5)
Do : P(x) = x2 - 81 P(x) = (x - 9). (x+9)
Nên P(x1).P(x2).P(x3).P(x4).P(x5) =
=(x1 - 9). (x1+9). (x2 - 9). (x2+9) (x3 - 9). (x3+9). (x4 - 9). (x4+9). (x5 - 9). (x5+9)
=(9-x1 ). (9-x2 ). (9-x3 ). (9-x4 ). (9-x5 ).(- 9-x1 ). (-9-x2 ). (-9-x3 ).(-9-x4 ). (-9-x5 ).

=Q(9) . Q(-9) =( 95 + 92 +1).( (-9)5 + (-9)2 +1) = -3486777677.
Bài 5 : Cho 3 số thực a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn:
-2

a3 + 3a2 2a = b3 + 3b2 2b = c3 + 3c2 2c = 6 (*) ; đặt f(x) = x2 x

Hãy tính đúng giá trị của Q = f(a).f(b).f(c)
Page 17


Bài giải:

Ta có f(x) = x2 x -2 = (x -2 ) . (x + 1)

Q = f(a) . f(b) . f(c) = (a -2 ) . (a + 1). (b -2 ) . (b + 1). (c -2 ) . (c + 1)
Từ (*) ta có : c3 + 3c2 2c = 6 ; b3 + 3b2 2b=6;

(**)

a3 + 3a2 2a =6

3
2
a + 3a 2a 6=0 có : a1 = 3; a 2 = 2 ; a 3 = - 2
3
2
b + 3b 2b- 6= 0 có : b1 = 3 ; b 2 = 2 ; b 3 = - 2
3
2
c + 3c 2c 6=0 có: c1 = 3 ; c2 = 2 ; c3 = - 2

mà a, b, c đôi một khác nhau nên ta có : a = 3 ; b = 2 ; c = - 2
Ta thay : a = 3 ; b = 2 ; c = - 2 vào biểu thức (**) ta đợc :
Q = f(a) . f(b) . f(c) = (a -2 ) . (a + 1). (b -2 ) . (b + 1). (c -2 ) . (c + 1)
Q = ( -3 2 ) . ( -3 + 1) . ( 2 2 ) . ( 2 + 1) . ( 2 2 ) . ( 2 + 1) = 20
Bài 6 : Cho đa thức P(x) có P(21)=17; P(37)=33 và P(n) = n+51.
Tìm n = ?
Bài giải:

Từ P(21)=17 và P(37)=33 dễ thấy P(x) = x - 4 .

Vậy P(x) = ( x 21). (x 37) .Q(x) + ( x 4)
P(x) (x 4) = ( x 21). (x 37) .Q(x)
P(n) (n 4) = ( n 21). (n 37) .Q(n)
n + 51 n + 4 = ( n 21). (n 37) .Q(n)
55 = ( n 21). (n 37) .Q(n)

Mà 55 chỉ có các ớc 1;-1;5;-5;11;-11 và 55;-55.
55= (-1).5.(-11)
55=(-11).(-5).11
55=1.(-5).(-11) mặt khác ta lại có : P(21)=17 và P(37)=33
Là hai giá trị chênh nhau 16 đơn vị nên Q(x) = 1 hoặc Q(x) = (-1);
Chỉ có thể : (n-21).(n 37) = 5.(-11) hoặc (n-21).(n-37)=(-5).11
xét n 21 =5 suy ra n=26;và n -37 = (-11) suy ra n= 26 vậy n=26 tmđk.
xét n-21 =(-5) suy ra n=16 và n-37= 11 suy ra n= 48 (loại)
Bài 7: Cho đa thức : P(x)=ax4 +bx3 +cx 2+ dx +e.
Page 18

Tìm a; b; c; d; e biết :

P(x) chia hÕt cho ( x2 -1) , chia cho ( x2 +2) d x ,

vµ P(2) =2012.

Bµi gi¶i:
V× : P(x) chia hÕt cho ( x2 -1) nªn ta suy ra P(1) = 0 vµ P(-1) = 0 .

(1)

V× : P(x) chia cho ( x2 +2) d x => P(x) = ( x2 +2).(a x2 + mx + n) + x ; (2)
Mµ P(2) = 2012

(3)

nªn ta thay (1) vµ (3) vµo (2) ta ®îc HPT 3 Èn :
3a+3m+3n +1 =0

3a+3m+3n =-1

 3a-3m+3n= 1

3a-3m+3n-1 = 0
24a+12m +6n+2=2012 :
 a=111

m= -

24a+12m +6n=2010

n= -

tõ ®ã tÝnh ®îc b;c;d;e.

Bµi 7 : P(x)=x3 + ax 2+bx -5 vµ Q(x) = x 2+2ax –b
T×m a vµ b biÕt P(3) = Q(2)

vµ P(2) = Q(3);

§¸p sè : a= -78/23; b= - 6/23.
Bài 8
4
3
2
Cho đa thức f ( x ) = x + ax + bx + cx + d có: f ( 1) =2; f ( 2 ) =5; f ( 3 ) =10 .

Tính giá trị của biểu thức D = f ( 332 ) + f ( −328 ) .

D = 23718420010
Bài 9: Cho đa thức bậc 4 P(x) thỏa mãn:
P(-1) = 0 và P(x) – P(x-1) = x(x + 1)(2x + 1)
a, Hãy xác định đa thức P(x).
b, Áp dụng tính tổng S = 1.2.3 + 2.3.5 + .... + 2011.2012.4023
Bài giải: a. Thay x lần lượt bằng -1; 0; 1; 2 ta được:
P(-1) – P(-2) = 0 <=> P(-2) = 0;
Page 19


P(0) – P(-1) = 0 <=> P(0) = 0;
P(1) – P(0) = 1.2.3 = 6 <=> P(1) = 6;

P(2) – P(1) = 2.3.5 <=> P(2) = 36
Đặt P(x) = x(x+1)(x+2)(ax + b)
P(1) = 1.2.3(a+b) = 6; => a+b = 1
P(2) = 2.3.4(2a+b) = 36 => 2a + b = 3/2;
=> a = ½; b = ½;
=> P(x) = ½x(x+1)2(x+2)
b. Áp dụng:
S = P(1) – P(0) + P(2) – P(1) + .... + P(2011) – P(2010)
= P(2011) – P(0) = P(2011) =

1
2011.20122.2013
2

= 8192997072696

Bài 10: Cho đa thức: P( x ) = x 6 + ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + 241205
Biết rằng, khi x lần lượt nhận các giá trị 1; 2; 3; 4; 5 thì giá trị tương ứng của đa thức P(x)
lần lượt là 8; 11; 14; 17; 20.
Tính giá trị của đa thức P(x) khi x = 24; x = 25; x = 26.
Bài giải: - Xét đa thức Q(x) = P(x) - (3x +5)
có: Q(1) = Q( 2 ) = Q( 3) = Q( 4 ) = Q( 5) = 0
⇒ Q(x) có 5 nghiệm là 1; 2; 3; 4; 5 mà hạng tử bậc cao nhất của Q(x) là x
Nên Q(x) = P(x) - (3x +5) = (x- 1)(x- 2)(x- 3)(x- 4)(x- 5)(x- m) (m ∈ R)
Page 20


Có Q( 0 ) = 0+ 241205 -(0+5) = (-1)(-2)(-3)(-4)(-5)(-m) ⇒ m= 2010
Vậy Q(x) = P(x) - (3x+ 5) = (x- 1)(x- 2)(x- 3)(x- 4)(x- 5)(x- 2010)
⇒ P(x) = (x- 1)(x- 2)(x- 3)(x- 4)(x- 5)(x- 2010)+(3x +5)

P ( 24 ) = -8019229603
P ( 25) = -10124452720
P ( 26 ) = -12649190317

Bài 11.
3
a) Cho hàm số f ( x) = ( x + 6x - 7)

2011

Tính f ( a ) với

.

17 .

a = 3 3 + 17 + 3 3 -

1
, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu
2
thức: f ( x) = 2x 2 + 5x + 2 + 2 x + 3 - 2x .

b) Với những giá trị của x thỏa mãn x ³ -

Bài giải:
a) a = 3 3 + 17 + 3 3 Û a3 =

(

3

) (
3

3 + 17

+

17
3

3-

17

)

3

(

)(

+ 3. 3 3 + 17 3 -

17

)(

3

3 + 17 + 3 3 -

17

)

= 6 - 6a Û a 3 + 6a - 7 = - 1
Vậy f ( a ) = ( a 3 + 6a - 7)

2011

= ( - 1)

2011

=- 1

b) f ( x) = 2x 2 + 5x + 2 + 2 x + 3 - 2x =
ta có ( 2x + 1) ( x + 2) £

Page 21

( 2x + 1) + ( x + 2)
2

=

( 2x + 1) ( x + 2) + 4 ( x + 3) - 2x

3x + 3
dấu bằng khi 2x + 1 = x + 2 Û x = 1
2


4 ( x + 3) Ê

ị f ( x) Ê

4 + ( x + 3)
2

=

7 +x
du bng khi 4 = x + 3 x = 1
2

3x + 3 7 + x
+
- 2x = 5 du bng khi x = 1 .
2
2

Vy giỏ tr ln nht ca f ( x) l 5 khi x = 1.

3.5b -Dùng đa thức xây dựng công thức tính tổng của các số tự
nhiên viết theo qui luật.

Hc sinh ó nh c cỏch tớnh tng ca mt s dóy s t nhiờn vit theo qui lut
cú tớnh n gin nh tớnh tng ca n s t nhiờn u tiờn , song vi cỏc dóy s
khỏc thỡ khụng ớt hc sinh khụng nh cụng thc hoc khụng bit cỏch tớnh do
hng kin thc s hc lp 6, xut phỏt t quỏ trỡnh bi dng HSG ca Huyn
cỏc em l nhng HSG n t nhiu trng khỏc nhau nhng tụi gp rt nhiu hc
sinh gp sinh yu phn ny , do ú vic xõy dng cho cỏc em cỏch xõy dng cụng
thc tớnh v ham thớch hc toỏn , mi quan h gia i s v s hc tụi ó mnh
dn chn phng ỏn nờu vn nh sau:
Giả sử :
f(x) là một đa thức bậc n (n 1) ; Xét đẳng thức f(x) f(x-1) = g(x) (1)
Ta có g(x) là đa thức có bậc ( n-1) và khi thay x lần lợt bằng 1, 2, 3, 4, ., n ta
đợc tổng : g(1) +g(2) + g(3) +.+ g(n) = f(n) f(0) (2)
Do xuất phát từ việc tính tổng của n số tự nhiênnào đó ta sẽ chọn g(x) và dẫn đến
bài toán : Xác định đa thức f(x) thỏa mãn : f(x) f(x-1) = g(x)
Ví dụ:
@ ví dụ 1: Tính tổng S= 1+2+3+4++n.
Từ tổng trên và (1), (2) ta chọn g(x)= x là đa thức bậc 1 nên f(x) có bậc 2
Page 22


Suy ra ta có bài toán - tìm đa thức bậc hai f(x) biết : f(x) f(x-1) = x
Giả sử : f(x) = ax2 +bx +c (a 0)
(1) 2ax +b-a=x đồng nhất các hệ số suy ra a=1/2; b=1/2; c tùy ý.
f(x) = 1/2x2 +1/2x +c ; thay x lần lợt bằng 1, 2, 3, 4,.., n ta có:





(2) : g(1) +g(2) + g(3) +.+ g(n) = f(n) f(0)

1+2+3+4++n = f(n) f(0)
S = 1/2n2 +1/2n = n(n+1)/2
b) ví dụ 2: Tính tổng S= 1+3+5+7++(2n-1).
Từ tổng trên và (1), (2) ta chọn g(x)= (2x - 1) là đa thức bậc 1 nên f(x) có bậc 2
Suy ra ta có bài toán - tìm đa thức bậc hai f(x) biết : f(x) f(x-1) =2x-1
Giả sử : f(x) = ax2 +bx +c (a 0)
(1) 2ax +b-a=2x -1 đồng nhất các hệ số suy ra a=1; b=0; c tùy ý.

2
f(x) = x +c ; thay x lần lợt bằng 1, 2, 3, 4,.., n ta có:
(2) : g(1) +g(2) + g(3) +.+ g(n) = f(n) f(0)
1+3+5++(2n -1) = f(n) f(0)
S = n2 +c - c = n2



c) ví dụ 3: Tính tổng S= 2+4+6+8++2n.
Từ tổng trên và (1), (2) ta chọn g(x)= 2x là đa thức bậc 1 nên f(x) có bậc 2
Suy ra ta có bài toán - tìm đa thức bậc hai f(x) biết : f(x) f(x-1) =2x
Giả sử : f(x) = ax2 +bx +c (a 0)
(1) 2ax +b-a=2x đồng nhất các hệ số suy ra a=1; b=1; c tùy ý.

2
f(x) = x +x+c ; thay x lần lợt bằng 1, 2, 3, 4,.., n ta có:
(2) : g(1) +g(2) + g(3) +.+ g(n) = f(n) f(0)
2+4+6++2n = f(n) f(0)
S = n2 +n+ c - c = n2+n

d) ví dụ 4: Tính tổng S= 1.2 + 2.3+ 3.4+4.5+ 5.6 + 6.7++ n.(n+1)
Từ tổng trên và (1), (2) ta chọn g(x)= x.(x +1) là đa thức bậc 2 nên f(x) có bậc3
Suy ra ta có bài toán - tìm đa thức bậc3 f(x) biết : f(x) f(x-1) =x.(x+1)
Giả sử : f(x) = ax3 +bx2 +cx +d (a 0)
(1) 3ax2 ( 3a-2b)x +a-b+c = x2 +x đồng nhất các hệ số suy ra a=1/3; b=1;

c=2/3; d tùy ý.
3
2
f(x) = 1/3x + x +2/3x +d ; thay x lần lợt bằng 1, 2, 3, 4,.., n ta có:
(2) : g(1) +g(2) + g(3) +.+ g(n) = f(n) f(0)
1.2 + 2.3+ 3.4+4.5+ 5.6 + 6.7++ n.(n+1) = f(n) f(0)
S = x.(x+1).(x+2) /3
e) ví dụ 5: Tính tổng S= 12 + 22+ 32 + 42+ 52 + 62 + 72 ++n2.
Từ tổng trên và (1), (2) ta chọn g(x)= x2 là đa thức bậc 2 nên f(x) có bậc 3
Suy ra ta có bài toán - tìm đa thức bậc ba f(x) biết :
f(x) f(x-1) = x 2
Giả sử : f(x) = ax3 +bx2 +cx + d (a 0)

Page 23


2
2
(1) 3ax ( 3a-2b)x +a-b+c = x đồng nhất các hệ số suy ra a=1/3; b=1/2;

c=1/6; d tùy ý.
3
2
f(x) = 1/3x + 1/2x +1/6x +d ; thay x lần lợt bằng 1, 2, 3, 4,.., n ta có:

(2) : g(1) +g(2) + g(3) +.+ g(n) = f(n) f(0)
12 + 22+ 32 + 42+ 52 + 62 + 72 ++n2 = f(n) f(0)
S = n.(n+1).(2n+1) /6

g) ví dụ 6: Tính tổng S= 12 + 32 + 52 + 72 ++(2n-1)2.
Từ tổng trên và (1), (2) ta chọn g(x)= (2x - 1)2 là đa thức bậc 2 nên f(x) có bậc 3
Suy ra ta có bài toán - tìm đa thức bậc ba f(x) biết :
f(x) f(x-1) =( 2x -1)2
Giả sử : f(x) = ax3 +bx2 +cx + d (a 0)
2
2
(1) 3ax ( 3a-2b)x +a-b+c = 4x - 4x + 1 đồng nhất các hệ số suy ra
a=4/3; b=0; c=-1/3; d tùy ý.
f(x) = 4/3x3 1/3x2 +d ; thay x lần lợt bằng 1, 2, 3, 4,.., n ta có:



(2) : g(1) +g(2) + g(3) +.+ g(n) = f(n) f(0)
12+32+52++(2n -1)2 = f(n) f(0)
S = (4n3- n) /3
h) ví dụ 7: Tính tổng S= 22 + 42 + 62 + 82 ++ 2n2.
Từ tổng trên và (1), (2) ta chọn g(x)= (2x)2 là đa thức bậc 2 nên f(x) có bậc 3
Suy ra ta có bài toán - tìm đa thức bậc ba f(x) biết :
f(x) f(x-1) = 4x2
Giả sử : f(x) = ax3 +bx2 +cx + d (a 0)
2
2
(1) 3ax ( 3a-2b)x +a-b+c = 4x đồng nhất các hệ số suy ra a=4/3; b=2;
c=2/3; d tùy ý.
f(x) = 4/3x3 +2x2 +2/3x +d ; thay x lần lợt bằng 1, 2, 3, 4,.., n ta có:

(2) : g(1) +g(2) + g(3) +.+ g(n) = f(n) f(0)
22+42+62++2n2 = f(n) f(0)
S = 2n.(n+1).(2n+1) /3
i) ví dụ 8: Tính tổng S= 13 + 23 + 33 + 43 + .. + n3
Từ tổng trên và (1), (2) ta chọn g(x)= x3 là đa thức bậc 3 nên f(x) có bậc 4
Suy ra ta có bài toán - tìm đa thức bậc bốn f(x) biết :
f(x) f(x-1) = x3
Giả sử : f(x) = ax4 +bx3 +cx2 +dx + e (a 0)
(1) 4ax3 +( 3b- 6a)x2 +(4a -3b+2c)-a+b+d =x3 đồng nhất các hệ số suy ra

a=1/4; b=1/2; c=1/4; d=0 ; e tùy ý.
3
2
f(x) = 1/4x + 1/2x +1/4x + e ; thay x lần lợt bằng 1, 2, 3, 4,.., n ta có:
(2) : g(1) +g(2) + g(3) +.+ g(n) = f(n) f(0)
13 + 23 + 33 + 43 + .. + n3 = f(n) f(0)
S = n2 ( n+1) 2 /4

Page 24


Tương tự cho các em tự tìm hiểu và vận dụng tìm ra công thức tính tổng của các
dãy số khác ...

@ vÝ dô 1: TÝnh tæng S= 1+2+3+4+…+n.  S = n(n+1)/2

b) vÝ dô 2: TÝnh tæng S= 1+3+5+7+…+(2n-1).  S = n2
c) vÝ dô 3: TÝnh tæng S= 2+4+6+8+…+2n.

 S = n2+n

d) vÝ dô 4: TÝnh tæng S= 1.2 + 2.3+ 3.4+4.5+ 5.6 + 6.7+…+ n.(n+1)
 S = n.(n+1).(n+2) /3
e) vÝ dô 5: TÝnh tæng S= 12 + 22+ 32 + 42+ 52 + 62 + 72 +…+n2.

 S = n.(n+1).(2n+1) /6
g) vÝ dô 6: TÝnh tæng S= 12 + 32 + 52 + 72 +…+(2n-1)2.  S = (4n3- n) /3
h) vÝ dô 7: TÝnh tæng S= 22 + 42 + 62 + 82 +…+ 2n2.

 S = 2n.(n+1).(2n+1) /3

i) vÝ dô 8: TÝnh tæng S= 13 + 23 + 33 + 43 + ….. + n3

 S = n2 ( n+1) 2 /4.

1) T×m sè tù nhiªn n lín nhÊt cã ®óng 30 íc , khi ph©n tÝch thµnh thõa sè nguyªn
tè th× cã d¹ng : n = 2x . 3y ; trong ®ã x+ y = 11.

BG : n cã ®óng 30 íc => (x+1).(y+1) = 30

 xy + x + y + 1 = 30 mµ x + y = 11 suy ra : xy +11 +1 = 30  xy =18 .
Page 25