chuyên đề bồi dưỡng HSG

GiảI Tích :12
Chơng I

Đạo hàm

Đ1: định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
a.mục tiêu:
1.Kiến thức: Giúp học sinh nắm đợc định nghĩa đạo hàm,ý nghĩa hình học và vật
lý của đạo hàm
2.Kĩ năng : Rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm bằng đ/n,viết phơng trình tiếp
tuyến,tính vận tốc tức thời ,cờng độ dòng điện tức thời
3.T duy : T duy logíc,biết quy lạ về quen,trí tởng tợng không gian
4.TháI độ : Tích cực chủ động nhận thức, chính xác ,cẩn thận
B.chuẩn bị của học sinh và giáo viên:
1.Chuẩn bị của GV: Bảng phụ ,phiếu học tập ,đồ cùng dạy học
2.Chuẩn bị của HS: Đọc trớc bài học ỏ nhà ,đồ dùng học tập
c.phơng pháp:
Sử dụng phối hợp các phơng pháp vấn đáp gợi mở,đan xen với hoạt động
nhóm
d.tiến trình bài học:

i.n định lớp, kiểm tra sĩ số
2.iảng bài mới:
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

GV:Tô minh Trờng

1

GiảI Tích :12
Tiết :01

Ngày soạn: 05 / 09 / 2007

1) Bài toán tìm vận tốc tức thời của
một chất điểm chuyển động thẳng:
GV yêu cầu HS:

HS đọc bài toán (SGK trang 3, 4)
và thực hiện các yêu cầu của giáo
viên.

* Nêu tóm tắt bài toán.
* Trình bày lại cách giải.
* Viết lại kết quả theo kí hiệu số gia của
đối số, số gia tơng ứng của hàm số.
Giới hạn trên gièng víi

KÕt qu¶:

f (t1 ) − f (t 0 )
∆s
= lim
s 0 t
t1 t 0

gọi là đạo

hàm của hàm số f(x) tại điểm

lim

t1 t 0

.

GV nêu đ/n đạo hàm.
2) Định nghĩa đạo hàm:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên
khoảng (a; b) và điểm
. Khi đó
nếu tồn tại
lim
giới hạn: x0

HS theo dõi và ghi chép.

f ( x0 + x ) f ( x0 )
x

Hoạt động của GV
thì giới hạn đó đợc gọi là đạo hàm của
hàm số y = f(x) x0 ®iĨm y ' ( x0 KÝ hiệu
tại
. )
fhoặc) .
' ( x0

Hoạt động của HS
HS lĩnh hội ®/n

∆y
∆x → ∆
0
x

y ' ( x0 ) = lim

VËy :

3) Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa:

Nêu quy tắc: (các nhóm cử đại diện
trình bày kết quả)

* Từ đ/n trên hÃy nêu các bớc cần thực * Qui x0 tính đạo hàm bằng đ/n :
tắc

y
hiện khi tính đạo hàm của mét hµm sè 1. Cho
sè gia ∆x vµ tÝnh ∆y.
∆
x
b»ng ®/n.
2. LËp tØ sè lim ∆y
.
∆x →
0

y = x 2 1

3. Tìm giới hạn

x

.

Các nhóm tích cực hoạt động giảI

GV cho x dơ.
vÝ
0

∆y
∆x → ∆
0
x
lim

GV:T« minhyTrêng ∆y
y
∆y ∆∆y
∆
lim
lim
∃x→0 = 6 + ⇔ 0(6 + ∆x) =lim=
lim = ∆xx lim−
= 6

∆ ∆x ∆x 3) ∆ → x →0
y' (
6
∆x→0 ∆x = ∆
→0
∆x ∆xx0 ∆x

2


GiảI Tích :12
VD: Tính đạo hàm của hàm số
tại điểm

= 3.

quyết bài tập GV nêu ra
Nhóm trởng tìhn bày kq

* HÃy giải VD theo qui tắc vừa nêu.

* Giải:
1. Cho số gia x tại điểm x0=3

[

]

2

y = ( x0 + ∆x) 2 −1 − ( x0 −1)
= (3 + ∆x) 2 − 32
= 6∆x + (∆x) 2

Gv cã thÓ hớng dẫn khi cần
2.
3.
Vậy :

.

*
* Khi nào tồn tại

?

GV: Từ khái niệm giơí hạn một bên ta có
khái niêm đạo hàm một bên.
4) Đạo hàm một bên:

HS theo dõi và ghi chép
lu ý phân biệt hai khái niệm f'(x0+)
và f'(x0-).

a) Đạo hàm bên trái của hàm số y = f(x)
tại ®iĨm x0 , kÝ hiƯu : f'(x0-) ®ỵc ®/n:
−

f '( x0 ) = lim
x 0

y
.
x

b) Đạo hàm bên phải của hàm số y = f( x)
tại điểm x0 , kí hiệu : f'(x0+) đợc đ/n:
y
f '( x0 ) = lim+
.
x 0 x
+

HS nêu thành định lý.

+
ĐL: f '( x0 ) ⇔ f '( x0 ) = f '( x0 ) .


+
GV yêu cầu HS: Từ tính chất của giới hạn Khi đó: f '( x0 ) = f '( x0 ) = f '( x0 ).
mét bªn h·y suy ra tính chất tơng ứng của
đạo hàm một bên.
GV:Tô minh Trêng

3


GiảI Tích :12

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

Tiết:02

Ngày
soạn:07/09/2007

5) Đạo hàm trên một khoảng:
GV nêu định nghĩa.
ĐN: Hàm số y = f(x) đợc gọi là:

HS theo dõi và so sánh định nghĩa
này với định nghĩa tơng ứng của
tính liên tục.

+ Có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu có
đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng (a;b).
+ Có đạo hàm trên đoạn (a; b) nếu có đạo
hàm trên khoảng (a;b) và có đạo hàm bên
HS đọc quy ớc (SGK - 6).
phải tại a, đạo hàm bên trái tại b.
Quy ớc: Nếu chỉ nói hàm số y = f(x) có
đạo hàm mà không nói rõ trên khoảng nào
thì có nghĩa là hám số có đạo hàm tại mọi
điểm thuộc tập xác định.
* HS nhớ lại kiến thức về hàm số liên
6) Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm
tục:

và tính liên tục của hàm số:
+ ĐN: f(x) liên tục tại x0
GV yêu cầu HS nhắc lại định nghĩa và điều lim f ( x ) = f ( x0 )
x→ x
kiÖn để một hàm số liên tục.
+ ĐK: f(x) liên tục tại x0 lim0 y = 0 .
x
0

GV nêu định lÝ.
GV:T« minh Trêng
x0

4


GiảI Tích :12
ĐL: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm
x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
GV yêu cầu HS:
* Chứng minh định lý.

* CM:
lim
Từ giả thiết ta cã: ∃f '( x0 ) = ∆x →0

∆y
∆x

 ∆y


⇒ lim ∆y = lim  .∆ x 
∆x → 0
∆x → 0 ∆ x


∆y
= lim . lim ∆ x = f '( x0 ).0 = 0
∆x → 0 ∆ x ∆x 0

Hoạt động của GV
* Chiều ngợc lại có đúng không?

Hoạt động của HS
* Chiều ngợc lại không đúng.

(Phép chứng minh trên có chiều ngợc lại
không?)
GV cho ví dụ.

HS suy nghĩ và giải ví dụ.

VD: Xét tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm * Giải:
của hàm số y = f(x) = | x | tại điểm x0 = 0.
+ Tính liên tục: ... f(x) liên tục tại
điểm x0 = 0.
+ Không tồn tại f'(x0) vì: f'(x0-) f'(x0+)
* Tõ vÝ dơ trªn h·y nªu kÕt ln.

* KL: f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì

f(x) liên tục tại điểm x0 nhng f(x) liên
tục tại điểm x0 thì cha chắc có đạo
hàm tại điểm x0 .

7) ý nghĩa của đạo hàm:
a) ý nghĩa hình học:
+ Tiếp tuyến của đờng cong phẳng:
GV yêu cầu HS:
* Nêu định nghĩa tiếp tuyến của đờng tròn.

* Tiếp tuyến của đờng tròn là đờng
thẳng chỉ có một điểm chung với đờng tròn.

* Có thể mở rộng định nghĩa trên cho đờng * Định nghĩa trên không thể mở rộng
cong bất kì hay không?
cho đờng cong bất kì.
GV nêu định nghĩa tiếp tuyến của một đờng cong bất kì.
ĐN: Cho đờng cong phẳng (C) và điểm cố
định M0 trên (C), M là một điểm di chuyển
trên (C). Nếu cát tuyến M0M có vị trí giới HS theo dõi và ghi chép.
hạn M0T khi điểm M di chuyển trên (C) và
dần tới điểm M0 thì đờng thẳng M0T đợc
GV:Tô minh Trờng

5


GiảI Tích :12
gọi là tiếp tuyến của đờng cong (C) tại
điểm M0 .

Điểm M0 đợc gọi là tiếp điểm.
* Thế nào là hệ số góc của đờng thẳng?

* Hệ số góc của đờng thẳng là tang
của góc hợp bởi đờng thẳng đó và
chiều dơng của trục Ox.

* Gọi tg0 , tg là hệ số góc của các đờng *
thẳng M0T và M0M từ định nghĩa trên suy
(1)
ra hệ thức giữa tg0 và tg .

Hoạt động của GV

tg 0 = lim tg
M M0

Hoạt động của HS

GV:Tô minh Trờng

6


GiảI Tích :12
MH
* Với (C) là đồ thị của hàm sè y = f(x) vµ
·
* tgϕ = tg MM 0 H =
M0(x0; y0), M(x0 + ∆x; y0 + ∆y) h·y tính tg.

M 0H
=

* Từ (1) và (2) có kết quả g× ?
(Lu ý: khi M → M 0 th× ∆x → 0 )

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ∆y
=
( x0 + ∆x ) − x0
∆x

(2)

* Tõ (1) vµ (2) ta cã:

∆y
= f ' ( x0 )
x 0 x

tg0 = lim

GV khẳng định đó chính là ý nghĩa hình
học của đạo hàm và nêu định lí.
ĐL: f'(x0) = hƯ sè gãc cđa tiÕp tun M0T
+ Ph¬ng trình của tiếp tuyến:
GV yêu cầu HS:
* Nêu phơng trình ®êng th¼ng ®i qua ®iĨm * y - y0 = a(x - x0).
và có hệ số góc a.
* Từ đó suy ra phơng trình tiếp tuyến của * HS nêu thành định lý.
đồ thị hàm số y = f(x) tại điễm có hoành độ ĐL: Phơng trình tiếp tuyến của đồ thị

. Nêu thành định lí.
hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ
x0 là: y f ( x0 ) = f ' ( x0 )( x − x0 )
GV nêu ví dụ.
VD: Viết phơng trình tiếp tuyến của HS lên bảng giải cụ thể.
parabol
y = 2x2 - 3, biết rằng:
Đáp số: i) y = 4x - 5
i) Hoành độ tiếp điểm là x0 = 1.
ii) y = -8x - 11
ii) TiÕp tun ®ã cã hƯ sè gãc bằng - 8.
b) ý nghĩa vật lí của đạo hàm.

HS tự đọc SGK (10 + 11).

4.Củng cố
5. HD:

GV:Tô minh Trờng

7


GiảI Tích :12

Luyện tập
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS
Ngày soạn:07/09/2007

Tiết:03

GV kiểm tra bài cũ bàng bt 1
Bài 1: Tìm số gia của hàm số y = x2 -1, tơng ứng
HS1, HS2 trình bày kq
với sự biến thiên của đối số:
Các HS còn lại nhận xét
GV:

nhận xét chung
đánh giá cho ®iÓm

a) Tõ x0 = 1 ®Õn x0 + ∆x = 2
b) Tõ x0 = 1 ®Õn x0 + ∆x = 0,9

a) ∆y = 3
b) ∆y = -0,19
a ) ∆y = 2∆x;

∆y
=2
∆x

∆y
= 2 x + ∆x
∆x
c ) ∆y = 2∆x 3 x 2 + 3 x.∆x + (∆x) 2

b) ∆y = x( 2 x + x );

(

GV: nêu đề bài tập
Phân nhóm họatđộng
Bài 2: Tính y và
theo x và x:


y
của các hàm số sau đây

x

a) y = 2x - 5

;

b) y = x2 + 2

c) y = 2x3

;

d) y = sinx

)

∆x 
∆x


d ) ∆y = 2 cos x +
 sin
2 
2


Nhãm 1,2 câu a,b
Nhóm 3,4 câu c
a) 5
b) 3/4
c) - 2

Bài 3: Tính đạo hàm sủa các hàm số sau đây
GV:Tô minh Trêng

8


GiảI Tích :12
bằng định nghĩa:
a) y = x2 + 3x t¹i x0 = 1
3
x
x +1
c) y =
x −1

b) y =

tại x0 = 2
tại x0 = 0

Các nhóm hoạt động theo sự
phân công của GV
Nhóm trởng các nhóm điều
khiển nhóm hoạt đôngj giảI
quyết nhiệm vụ đặt ra
đại diện các nhóm trình bày kq

GV nhận xét chung
chính xác hoá kq

Nhóm còn lại nhận xét
Ghi nhân kiến thức
a) -1
b) 0,1
lim f ( x) = f (0)

Vì
GV nêu bài luyện tập bằng phiế häc tËp
***************************

x →0

+

nhng

−

f ' (0 ) =1 ≠ f ' (0 ) = −1

Thùc hµnh l t theo néi dung đề
ra
***********

Tiết: 04
Ngày soạn:08/09/2007
Gv nêu câu hỏi kiểm tra bài cũ
Nêu ý nghĩa hình học ,vật lý của đoạ hàm
GV nhận xét và cho điểm
GV: nêu dạng toán

HS1 ,HS2 trả lời kiểm tra bài
cũ

Nêu ví dụ minh hoạ
Phân nhóm cho tong dạng toán ,cho tong

Hđ

Tìm hiểu nội dung hoạt động

*ý Nihau hình học của đạo hàm:
Ví dụ:
Bài 4: Tìm hệ sè gãc cđa c¸t tun M1M2 víi
parabol y = 2x - x2 biết rằng hoành độ các giao
điểm là:
a) x1 = 1 ;

x2 = 2

b) x1 = 1 ;

Nhãm 1,2 giả quyết Bt4SGk

x2 = 0,9
GV:Tô minh Trờng

9


GiảI Tích :12
.
Bài 6:
a) Qua các điểm A(2; 4) và A'(2 + ∆x; 4 + ∆y) cña
parabol y = x2, vạch cát tuyến AA'. Tìm hệ số góc
của cát tuyến AA' nÕu ∆x = 1; ∆x = 0,1; ∆x =
Nhãm 3,4 GiảI quyết BT6 sgk
0,01.
b) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol đÃ
cho tại điểm A.
a) 5 ;

4,1 ;

4,01

b) f'(2) = 4

Bài 7: Cho đờng cong y = x . Viết phơng trình
tiếp tuyến của đờng cong đó:
3

a) Tại điểm (-1; -1).
b) Tại điểm có hoành độ bằng 2.

Nhóm 5,6 GiảI quyết BT7 sgk
Các nhóm cử đại diện trình
bày Kq

c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
Nhóm còn lại nhậ xét
GV: nhận xét chung và chính xác hoá kết quả
HS ghi nhận kiến thúc mớ i
a) y = 3x + 2
GV yêu cầu học sinh tổng kết thành phơng pháp b) y = 12x - 16
chun cho tong dạng toán
c) y = 3x + 2 và y = 3x
oánTongr quát hoá thành phơng pháp chung theo hớng
ã ý nghĩa vật lý:
dẫn
ã Gv nêu ví dụ minh hoạ
Bài 8: Một vật rơi tự do theo phơng trình S =
1 2
gt , trong đó g là gia tốc trọng trờng (g =
2
Hoạt động tích cực giảI quyết

9,8m/s2).

vấn đề

a) Tìm vân tốc trung bình của chuyển động trong
khoảng thêi gian tõ t = 5s ®Õn t + ∆t biÕt r»ng:
a) 49,49m/s
* ∆t = 0,1s
49,245m/s
* ∆t = 0,05s

49,005m/s

* ∆t = 0,001s
b) Tìm vận tốc tức thời tại thời điểm t = 5s.

b) 49m/s

Củng Cố: 1.Tổng kết các dạng toán đà giải
GV:Tô minh Trờng

10


GiảI Tích :12
2.Nêu bài tập nâng cao bằng phiếu học tập
3. Củng cố mối lien hệ giữa đạo hàm và tính liên tục
Bài tập 5Sgk Bài 5: Chứng minh rằng hàm số y =
tại x = 0 nhng

không có đạo hàm tại điểm đó

|x|
liên tục
x +1

Hờng dẫn học bài ở nhà :1. Tìm làm thêm bài tập
2. Chuẩn bị bài 2

Đ2: Các quy tắc tính

a.mục tiêu:
1.Kiến thức: Giúp học sinh nắm đợc đạo hàm của các hàm số tờng gặp: đoạ
hàm của tổng ,tích thơng , đoạ hàm củầhm số hợp
2.Kĩ năng : Rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm bằng cas quy tắc,tính đoạ hàm
của hàm số hợp
3.T duy : T duy logíc,biết quy lạ về quen
4.TháI độ : Tích cực chủ động nhận thức, chính xác ,cẩn
B.chuẩn bị của học sinh và giáo viên:
1.Chuẩn bị của GV: Bảng phụ ,phiếu học tập ,đồ cùng dạy học, máy chiếu
2.Chuẩn bị của HS: Đọc trớc bài học ỏ nhà ,đồ dùng học tập mcác bớc tính đoạ
hàm bằng định nghĩa
c.phơng pháp:
Sử dụng phối hợp các phơng pháp: Nêu vấn đề
nhóm

Vấn đáp gợi mở,đan xen với hoạt động

d.tiến trình bài học:

i.n định lớp, kiểm tra sĩ số

2.iảng bài mới:

GV:Tô minh Trờng

11


GiảI Tích :12
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

Tiết :05

Ngàysoạn :

10/09/2007
1. Kiểm tra bài cũ:
I.

GV nêu câu hỏi kiểm tra bài cũ.

1. HÃy nêu quy tắc tính đạo hàm bằng
định nghĩa.
Trả lời câu hỏi kiểm tra bài cũ

1. Quy tắc tính đạo hàm bằng định
nghĩa:
2. áp dụng để tính đạo hàm của các hàm + Cho số gia x tại ®iĨm x0 ⇒ ∆y.
sè sau t¹i ®iĨm x bÊt kú:

∆y
+ LËp tØ sè
.
a) y = C (C = const )
∆x

b) y = x
c) y =

x ( x > 0)

d) y = xn

(n ≥ 2 , n ∈N )

GV cã thÓ hớng dẫn HS làm phần d).
y = ( x + x )n x n

lim
+ Tìm giới hạn ∆x →0

∆y
.
∆x

2. HS tÝnh cơ thĨ -> kÕt qu¶:
a ) y ' =C ' =0

= ∆ x  ( x + ∆ x )n−1 + ( x + ∆ x ) n− 2 . x + ... + x n −1 



∆y
lim
= x n −1 + x n−1 + ... + x n−1 = n x n−1
1 4 4 4 )2 4 4 44
4
3
∆ x→ 0 ∆ x
n so h a ng

b) y ' = x' =
1
c) y ' =

(

)

x '=

1

2 x
1
d ) y ' = x )' = x n
(
n
n

ã

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

-2.Giảng bài mới:
1) Đạo hàm của một số hàm số thờng
gặp:
GV chính xác hoá và tổng hợp các kết
quả HS vừa0tìm đợc. (C = const )
*C ' =
* x' =
1
*

( x )' = 2 1 x

1
* ( x n )' =n x n−

( x > 0)
( n ∈N , n ≥ 2)

HS theo dõi và ghi chép.

GV:Tô minh Trờng

12

GiảI Tích :12
2) Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thơng
những hàm số :
HS suy nghĩ và giải bài toán.
GV nêu bài toán.

Giải:

B.toán: Cho các hàm số u = u(x), v = v(x) Cho số gia x tại điểm x thì số gia tcó đạo hàm tại điểm x.
ơng ứng của u lµ ∆u = u(x+∆x)-u(x),
cđa v lµ ∆v = v(x+∆x)-v(x).
a) §Ỉt y = u + v, tøc y(x) = u(x) + v(x).
a) Ta cã:

TÝnh y' = (u + v)'.

∆y = [u ( x + ∆x ) + v( x + ∆x)] − [u ( x ) + v ( x )]
= [u ( x + ∆x ) − u ( x ) ] − [ v( x + ∆x ) − v( x )]
= ∆u + ∆v
∆y ∆u ∆v
=
+
∆x ∆x ∆x
∆y
∆u
∆v
⇒ lim
= lim
+ lim
∆x →0 ∆

x ∆x →0 ∆x ∆x→0 x
y ' = u '+v'


b) Tơng tự trên ta có: y' = u' - v'

c) Ta có:
b) Đặt y = u - v, tøc lµ y(x) = u(x) - v(x).
TÝnh y' = (u - v)'.

∆y = u ( x + ∆x ) .v ( x + ∆x )  − u ( x ) .v ( x ) 

 


= u ( x + ∆x ) .v ( x + ∆x ) − u ( x + ∆x ) .v ( x )
+u ( x + ∆x ) .v ( x ) − u ( x ) .v ( x )

c) Đặt y = u.v, tức là y(x) = u(x).v(x).

= u ( x + ∆x ) .∆v + ∆u.v ( x )

Tính y' = (u.v)'.


Hoạt động của GV

y
v u
= u ( x + ∆x ) .

+
.v ( x )
∆x
∆x x

Hoạt động của HS
y
u
= lim u ( x + x ) . lim
+
∆x →0 ∆x
∆x →0
∆x →0 ∆x
∆u
+ lim
. lim v( x )
∆x →0 ∆x ∆x →0
⇔ y ' = u.v '+ u '.v

lim

d) Đặt y =
Tính

u ( x)
u
, tøc lµ y ( x) = v( x) .
v

d) Ta cã:

'

u 
y' =   .
v 

( u ± v ) ' = u '± v '
( u.v ) ' = u ' v + uv '
 u  u ' v − uv '
 ' =
v2
v

( v( x ) ≠ 0 )

GV:T« minh Trêng

13


Gi¶I TÝch :12

u ( x + ∆x )
u( x )
−
v( x + ∆x)
v( x)
u ( x + ∆x ) . v( x) − u ( x ) . v( x + ∆x)
=

v( x + ∆x) . v( x)
u ( x + ∆x ).v( x) − u ( x ).v( x) + u ( x ).v( x) − u ( x ).v( x + ∆x)
=
v( x + ∆x).v( x)
v( x) . ∆u − u ( x ) . ∆v
=
v( x + x) . v( x)

y =

GV chính xác hoá kết quả bài toán
trên thành định lí.
ĐL: Cho các hàm số u = u(x), v=
v(x) có đạo hàm tại điểm x. Khi ®ã:

∆u
∆v
− u( x) .
∆x
∆x
v( x + ∆x) . v( x)
∆u
∆v
lim v( x) . lim
− lim u ( x ) . lim
∆y ∆x →0
∆x →0 ∆x
∆x →0
∆x →0 ∆x
⇒ lim

=
∆x →0 ∆x
lim [ v( x + ∆x) . v( x)]
∆y
⇒
=
∆x

v( x) .

∆x →0

⇔ y' =

*****************

v. u '−u . v'
v2

HS theo dâi và ghi chép.
*******************

Tiết:06

Ngày soạn:10/09/2007
GV :Kiểm tra bài cũ:
1. Nêu các quy tắc tính đạo hàm HS trả lời các câu hỏi kiểm tra bài cũ
đà học
HS1,2 nêu các quy tắc
2. 2.áp dụng :giảI quyết các bài

tập sau
Các nhóm hoạt động già quyết các bài tập
GV nêu
áp dụng định lí trên, h·y tÝnh:
a ) (ku )'
'

1 
b)  
, u ( x) ≠ 0
u 
c) (u1 ± u 2 ± u 3 ± ... ± u n )'
d ) ( x m )'

*
, x ≠ 0, m ∈ Z −

VËy ∀x ≠ 0,∀n ∈ Z* th× (xn)' = nxn-1.

* HS tÝnh cơ thĨ -> kÕt qu¶:
a ) (ku )' = k .u '
'

1
1 
b)   = − 2
, u ( x) ≠ 0
u
u


c ) (u1 ± u 2 ± u 3 ± ... ± u n )' = u1 '±u 2 '±u 3 '±... ± u n '
d ) ( x m )' = m x m 1

Hoạt động của GV

*
, x 0, m Z

Hoạt động của HS

GV nêu ví dụ.

HS lên bảng giải ví dụ.

VD: Tìm đạo hàm của các hàm số:

Đáp số:
GV:Tô minh Trờng

14


Gi¶I TÝch :12
a ) y ' = −6 x + 4
b) y ' = 3( 2 x + 7) + 2(3 x + 2) = 12 x + 25
5(−3 x + 4) − (−3)(5 x −1)
17
c) y =
=
2

(−3 x + 4)
( −3 x + 4) 2
1
6 x −1
d ) y = 2 x + (2 x −1)
=
2 x
2 x

a ) y = −3 x 2 + 4 x −1
b) y = (3 x + 2)( 2 x + 7)
5 x −1
c) y =
−3x + 4
d ) y = ( 2 x 1) x ( x > 0)

GV: giảng bài mới

3) Hàm số hợp và đạo hàm của
nó:
HS đọc định nghĩa hàm số hợp - SGK(19).
a) ĐN:
GV tóm tắt:
Cho hai hàm sè g : (a; b) → R
x # u=

g(x)

vµ f : (c; d) → R
u # y = f(u)

HS theo dõi và ghi chép.
Lĩnh hội Đ/n

sao cho tập giá trị của g(x) nằm
trong khoảng (c;d).
Khi đó xác định hàm số y = f(g(x)),
với x (a;b) gọi là hàm số hợp của x
thông qua trung gian là hàm số u.
GV nêu ví dụ.

HS suy nghĩ và giải ví dụ.

VD: HÃy chỉ ra hàm số hợp và hàm Trình bày k/q
số trung gian, tìm tập xác định của
hàm số hợp trong các trờng hợp a) Đặt u = x7+ x y = u2 nên y là hàm số
sau:
hợp của x qua hàm số trung gian u = x7+ x
và TXĐ của y lµ R.
a) y = ( x7 + x)2
b) y = lg( x 2 1)

b) Đặt u = x2 - 1 y = lgu nên y là hàm số
hợp của x qua hàm số trung gian u = x 2 - 1
và TXĐ của y là: (-;-1) (1;+).

c ) y = lg(1 x )

c) Đặt u = x ⇒ y = lg(1 - u) nªn y là hàm
số hợp của x qua hàm số trung gian u = x

và TXĐ của y là: [0;1).

b) Đạo hàm của hàm số hợp:
GV nêu định lí.
GV:Tô minh Trờng

15


GiảI Tích :12
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

ĐL: Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm
theo x, kí hiƯu lµ u'x vµ hµm sè y = f(u) cã HS theo dõi và ghi chép.
đạo hàm theo u, kí hiệu là y'u thì hàm số
y = f(g(x)) có đạo hµm theo x, kÝ hiƯu lµ
y'x vµ:
y' = y' .u'
x

u

x

GV hớng dẫn HS chứng minh định lí.
* HÃy phân tích giả thiết.

HS suy nghĩ và chứng minh theo hớng

dẫn của GV.
+ Cho số gia x tại x, số gia tơng ứng
của u là u, với số gia u thì số gia tơng ứng của y là y. Theo giả thiết:
u
y
= u ' x , lim
= y 'u
∆x →0 ∆x
∆u →0 ∆u
lim

∆
y
lim
* H·y chøng minh: ∃ ∆x →0
vµ
∆
x
lim

∆x →
0

∆y
∆y
∆u
= lim
. lim
∆u → ∆
0

∆x → ∆
0
∆x
u
x

∆y ∆y ∆u
=
.
∆x ∆u ∆x
∆y
 ∆y ∆u 
y ' x = lim
= lim 
.

∆x → ∆
0
x ∆x→0 ∆u ∆x 

+ NÕu ∆u ≠ 0 th× :

 ∆u

Do lim ∆u = lim 
.∆x  = u ' x .0 = 0
∆x →
0
∆x →0 ∆
x



∆y
∆u
⇒ y ' x = lim
. lim
= y 'u .u ' x
∆u → ∆
0
u ∆x →0 ∆x

+ NÕu ∆u ≠ 0 th× :
∆y = f (u + ∆u ) − f (u ) = f (u ) − f (u ) = 0
∆y
∆u
⇒ y ' x = lim
= 0 = lim
= u'x
∆x →0 ∆x
∆x →0 x

GV nêu ví dụ.

HS suy nghĩ và giải ví dụ.

VD: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

Chú ý các híng dÉn quan träng cđa
GV

a) y =

1
2x − 5

a) y ' = −

b) y = 5 x − 1
c) y =

b) y ' =

3

( 5 x − 1)

3

d ) y = 3x 2 . x 2 + 1

( 2 x − 5 ) = −2
2
2
( 2 x − 5) ( 2 x − 5)

( 5x − 1) '
2 5x − 1

=

, x≠

5
2

5
1
, x>
5
2 5x − 1

−3
−4
c ) y ' =  3 ( 5 x − 1)  = 3.( − 3). ( 5 x − 1) . ( 5 x − 1) '


− 45
1
=
, x≠
4
5
( 5x − 1)

Híng dÉn HS giảI quyết vấn đề nêu ra
GV:Tô minh Trờng

16

Gi¶I TÝch :12

x 2 + 1) ' 
2
2 (
d ) y ' = 32x x + 1 + x

2 x2 + 1




Hoạt động của GV

Hoạt động của HS
3

2 x 3  3 ( 3x + 2 x )
2
= 32x x + 1 +
=
2 x2 + 1 
x2 + 1


B¶ng tóm tắt (SGK).

*****************
Luyện tập:
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

Tiét :07

Ngày soạn:13/09/2007

1. Kiểm tra bài cũ:

HS trả lời câu hỏi kiểm tra bài cũ

GV: nêu câu hỏi kiểm tra bài
cũ(nhằm hệ thống lại kiến thức
trọng tâm)

Thông qua bài cũ hệ thống kiến
thức trọng tâm

Bài 1 (21).
a ) y = 7 + x − x 2 t¹i x0 = 1 ;
b) y = x 3 − 2 x + 1 t¹i x0 = 2 ;
2
c ) y = 2 x − + 3 t¹i x0 = 1.
x
5

GV : nhËn xÐt kq và cho điểm

HS1,2,3 giảI quyết bài tập 1sgk
Trình bày kết qu¶

a ) y ' = 1 − 2 x ⇒ y ' ( 1) = −1
b) y ' = 3 x 2 − 2 ⇒ y ' ( 2 ) = 10
c ) y ' = 10 x 4 −

2
⇒ y ' ( 1) = 8
x2

GV yêu cầu HS hệ thèng kiÕn thøc HƯ thèng kiÕn thc träng t©m :
träng tâm của bài đà học
+ Đạo hàm của các hàm số thờng găp
+Các quy tắc tính đạo hàm của tich ,thơng ,tổng , hiệu các hàm số
+Các pp tính
GV:tổng kết chung
GV :đa ra bài luyện tập

Nêu các công thức tính đạo hàm đà học
GV:Tô minh Trờng

17


GiảI Tích :12
Bài 2 (21).
a) y = x5 4x3 + 2x − 3
1 1
b) y = − x + x 2 − 0,5x 4
4 3
x2 2x3 4 x2
c) y = −

+
−1
4
3
5
d ) y = a 5 + 5at 2 − 2t 3 (a = const )
e ) y = 3x 3 ( 2 x − 3 )
g) y =

ax + b
a+b

( a + b ≠ 0)

C¸c nhãm lyn tËp theo híng dÉn
a ) y ' = 5 x 4 − 12 x 2 + 2
1
b) y ' = − + 2 x − 2 x 3
3
8x
c) y ' = 2 x3 − 2 x 2 +
5
v
2
d ) y ' = 10at − 6t
e) y ' = 9 x 2 ( 2 x − 3) + 6 x 3 = 24 x 3 27 x 2

GV: yêu càu các nhóm trình bày kq
Nhận xét và chính xác hoá kq

g) y =

a
a+b

trình bày kq
ghi nhận kiến thức mới

**************

Tiết:08
1.kiểm tra bài cũ

**********
Ngày
soạn:15/09/2007

GV:yêucầu HS nêu công thức tính
đạo hàm cũa hàm ssố hợp
2. Bài mới:
GV:nêu dạng toán

Nêu công thức tính đạo hàm của hàm số
hợp

nêu dạng bài tập áp dụng

phân nhóm
Bài 3 (22).

Tìm hiểu dạng toán
Tìm phơng pháp giải
Đề xuất pp giải
GV:Tô minh Trêng

18


Gi¶I TÝch :12
a) y = ( x7 + x )

2

b) y = ( x + 1) ( 5 − 3x
2

2

¸p dơng vµo vÝ dơ

)

2x
x −1
5x − 3
d) y = 2
x + x +1
e) y = x ( 2 x − 1) ( 3x + 2 )

c) y =

2

g ) y = ( x + 1) ( x + 2 )
n 

h) y =  m + 2 
x 


2

( x + 3)

Đại diện nhóm trình bày kq
3

3

a) y' = 2(7x6 + 1)(x7 + x)
b) y' = 2x(5 - 3x2) - 6x(x2 + 1)
c) y' =
d) y' =

2( x 2 − 1) − 4 x 2

(x

)

2

−1

2

5( x 2 + x + 1) − (2 x + 1)(5 x − 3)

(x

2

)

+ x +1

2

Yêu cầu các nhóm nêu cách giảI tổng
e) y'=(2x - 1)(3x + 2) +2x(3x + 2) +3x(2xqu¸t
1)
g) y' = (x + 2)2(x + 3)3 + 2(x + 2)(x +1)
(x+3)3
+ 3(x + 3)2(x + 1)(x + 2)2
h) y' =

−6
n 
m + 2
3

x
x

2

Tổng quát thành pp chung
Đề bài

Hớng dẫn - Đáp số

Gv: nêu bài luyện tâp
Phân nhóm cho tng hoạt động
Bài 4 (22).
a ) y = x 2 3x + 2
b) y = x + x x + 1
x
c) y =
( a = const )
a2 − x2
1
d) y =
x x
1+ x
e) y =
1− x
2

GV : híng dÉn gỵi ý (nếu cần thiết)

Các nhóm hoạt động tích cực giảI quyết

vấn đề nêu ra
Nhóm 1,2,3,4 bài tập 4
a) y ' =

( 2 x − 3)
2 x 2 − 3x + 2

b) y ' = 2 x +
c) y ' =

a

(a

d ) y' = −
e) y ' =

x+

2

x
2 x

= 2x +

3 x
2

2

− x2

)

3

3
2

2x x
3−x

2 (1 − x )

3

GV:T« minh Trêng

19


GiảI Tích :12
chính xác hoá kết quả sau mỗi
hoạt động
Nhóm 5,6,7,8 bµi tËp 5
Bµi 5(22). Cho y = x3 - 3x2 + 2. Tìm x a) x < 0 hoặc x > 2
®Ĩ:
b) x ∈(1 − 2 ;1 + 2 )
a) y' > 0 ;

b) y' < 3 .

Cñng cè : Gv nêu các bài tâp nâng cao bàng: bảng phụ
hoặc bàng phiếu học tập
hớng dẫn học bài ở nhà: Ttìm làm thêm bài tâp
Chuẩn bị bài 3
*****************************

Đ3. đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản

a.mục tiêu:
1.Kiến thức: Qua tết học này giúp học sinh nắm đợc một số công thức giói hạn
của các hàm số lợng giác ,giới hạn liên quan đến số e, logarit tự nhiên ,từ đó
xây dung công thức tính đạo hàm của các hàm ssố sơ cấp thơng gặp .
2.Kĩ năng : Rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm bằng cac quy tắc,tính đoạ hàm
của hàm số hợp của các àm số sơ cấp.
3.T duy : T duy logíc,khả năng phân tích tổng hợp, biết quy lạ về quen
4.TháI độ : Tích cực chủ động nhận thức, chính xác ,cẩn
B.chuẩn bị của học sinh và giáo viên:
1.Chuẩn bị của GV: Bảng phụ ,phiếu học tập ,đồ cùng dạy học, máy chiếu (nếu
có)
2.Chuẩn bị của HS: Đọc trớc bài học ỏ nhà ,đồ dùng học tập các các quy tắc
tính đạo hàm .
c.phơng pháp:
Sử dụng phối hợp các phơng pháp: Nêu vấn đề
GV:Tô minh Trêng

20

GiảI Tích :12
Vấn đáp gợi mở
động

nhóm

Kết hợp với hoạt động nhóm xen với hoạt

d.tiến trình bài học:

1 - ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.
2 - Kiểm tra bài cũ:

Hoạt ®éng cđa GV

Ho¹t ®éng cđa HS

sin x

lim
TiÕt :09 0 x = 1
x

Ngày

soạn:18/09/2007

2.1.Kiểm tra bài cũ:
GVyêu cầu HS: Nêu các qui tắc tính đạo
HS,2,3 Nêu các quy tắc tính đạo

hàm đà học.
hàm

2.2 Giảng bài mới:

1) Một số công thức mở rộng về giới
hạn:
GV nêu định 1 x
lí 1.

ĐL1:

lim1 + = e
sin x
x → lim
∞
x  =1

x →0

x

GV nªu ý tëng chứng minh ĐL1
GV nêu ví dụ.
VD: Tìm các giới hạn sau:
1 − cos x
x→0
x2

a ) L1 = lim

1 − 2x2 + 1
x0
1 cos x

b) L2 = lim

GV nêu định lí 2.

+HS thoe dõi GV hớng dẫn cách
C/M địng lý
HS tự dọc
SGK(23).

chứng

minh

trong

HS suy nghĩ và giải ví dụ.

x
2 sin 2

2 .1 = 1
a ) L1 = lim 
2
x →0 
4 2

x
  

 2

 x 2 1 + cos x 
b) L2 = −2 lim 

 = −2
x →0
 sin x  1 + 2 x 2 +1 



GV:T« minh Trêng

21


GiảI Tích :12

ĐL2:
HS thừa nhận định lí 2.
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

GV:Tô minh Trờng

22

GiảI Tích :12
GV đặt câu hỏi:

HS suy nghĩ và trả lời.

* Nhắc lại định nghĩa số e.

* Nếu đặt y =

1
thì ta có kết quả gì ?
x

*

n

1

e = lim1 + 
n →∞
n


, n ∈N * .

1
x

* y = th× x → ∞ ⇔ y → 0.
1

x

 1
nªn e = lim1 +  = lim(1 + y ) y .
x →∞
y 0
x


GV nêu thành hẹ quả.
1
x

Hệ quả: lim(1 + x) = e

HS theo dõi và ghi chép.

GV nêu ví dụ.

HS suy nghĩ và giải ví dụ.

x 0

VD: Tìm các giới hạn sau:
a ) L1 = lim(1 + sin 2 x)

1
x

x →0

 x +1 
b) L2 = lim

x →∞ x −1



x +2

1


a ) L1 = lim (1 + sin 2 x ) sin 2 x 
x→
0



2 

b) L2 = lim1 +

x→
x −1

1

2

sin 2 x
x

= e2

x +2

2

Đặt y = x 1 ⇒ x = 2 y + 1
 1
⇒ L2 = lim  1 + 
y →∞
 y

2 y+3

2

3
 1  y 
 1
= lim   1 +   .lim  1 +  = e 2
y→ ∞
  y y y

GV nêu định lí 3 và hệ quả.
ĐL3: Nếu hàm số y = f(x) có giới hạn khi
HS theo dõi và ghi chép.
x x0 và f(x0) > 0 thì :
ln(1 + x )
=1
x →0
x
e x −1
lim
=1
x →0
x
lim

HƯ qu¶:

lim [ ln f ( x )] = ln  lim f ( x) 
x x0




HS thừa nhận định lí 3.

HS theo dõi và ghi chép.

x x0

2) Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ
bản:
a. Đạo hàm của các hàm số lợng
giác:
GV nêu bài toán.
GV:Tô minh Trờng

23


GiảI Tích :12
Hoạt động của GV
Bài toán: Tìm đạo hàm của các hàm số:
i) y = sinx

ii) y = cosx

Hoạt động của HS
HS suy nghĩ và giải bài toán.
i) Tính bằng định nghĩa: ...
x


sin

y
x

2 . cos x +
y ' = lim
= lim 
 = cos x
∆x →0 ∆x
∆x 0
x
2


2




ii) Tính tơng tự i) hoặc:


Do y = cos x = sin  − x 
2

'

π
 π

⇒ y ' = cos − x . − x  = − sin x
2
2





iii) y = tgx

iv) y = cotgx

iii)Ta cã:
'

(sin x )'.cos x − sin x.(cos x )'
 sin x 
y' = 
 =
cos x 
cos 2 x

sin 2 x + cos 2 x
1
=
=
2
cos x
cos 2 x

iv) TÝnh t¬ng tù iii) hc:
'

 1 
1

1
y' = 
 tgx  = − tg 2 x .(tgx )' = − sin 2 x




GV chính xác hoá các kết quả và nêu
thành định lí.
ĐL:

(sin x)' = cos x

(cos x)' = − sin x
1
π
(tgx)' =
, x ≠ + kπ
2
2
cos x
1
(cot gx )' = −
, x k
sin 2 x

GV đặt câu hỏi.

HS theo dõi và ghi chép.

HS suy nghĩ và nêu thành hệ quả.

(sin u )' = cos u.u '
* Cho hµm sè u = u(x) hÃy tính đạo Hệ quả:
(cos u )' = sin u.u '
hàm của các hàm số sinu, cosu, tgu,
1
(tgu )' =
.u '
cotgu.
2

(áp dụng công thức đạo hàm của hàm
số hợp)

Hoạt ®éng cña GV

cos u
1
(cot gu )' = −
.u '
sin 2 u

Hoạt động của HS
GV:Tô minh Trờng

24


GiảI Tích :12

GV nêu ví dụ.

HS suy nghĩ và giải ví dụ.

VD: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
10 ) y = sin 3 x − cos 2 x

10 ) y ' = 3 cos 3 x + 2 sin 2 x

π

2 0 ) y = cos 5  2 x − 
3


π 
π

2 0 ) y ' = −10 cos 4  2 x −  sin  2 x − 
3 
3


2

π

3 ) y = sin  x + 
3


π

4 0 ) y = tg 2  − 2 x 
6

0

3

π

5 0 ) y = cot g 4  − 3 x 2 
4

sin x

60 ) y =

1 − sin

1
2x

2

2

π
π
π




3 ) y ' = 6 x +  sin 2  x +  cos x + 
3
3
3



1
π

4 0 ) y ' = −4tg  − 2 x 
π

6

cos 2  − 2 x 
6

1
π

5 0 ) y ' = 12 x cot g 3  − 3 x 2 
π

4

sin 2  − 3 x 2

4


0
6 ) y' =
0

b. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm
số logarit:
GV nêu định lí 1.
ĐL1:

( )
(a )
'

x R : e x = e x
x '

HƯ qu¶:

(a )
u

'

HS theo dâi vµ ghi chÐp.

= a . ln a (0 < a ≠ 1)
x

HS ®äc chøng minh trong SGK(tr
30+31).

= a u . ln a. u '

Suy ra tõ c«ng thøc đạo hàm của hàm
số hợp.
HS suy nghĩ và giải ví dô.
10 ) y ' = 2 xe x

2

2 0 ) y = 2 x.e x

GV nêu ví dụ.

sin

VD: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
10 ) y = e x

x
sin
2

4

−2 x 2

.e cos 2 x
x
1−x
'
∀ 0 ) y := ex ) − e
4 x > 0 ( ln x = −x
x
e +e
'
( log a x ) = 1 (0 < a 1)
x. ln a
GV nêu định lí 2.

ĐL2

2 x 2

(

)

+ x 2 4x3 − 4x e x

4

−2 x 2

x

5 2

x
30 ) y ' =
cos .e cos 2 x
2 ln 5
2

2

2 0 ) y = x 2 .e x
30 ) y = 5

4

− 2 sin 2 x.e cos 2 x .5

sin

x
2

40 ) y =

HS theo dâi vµ ghi chÐp.
HS ®äc chøng minh trong SGK(tr
32+33).
GV:T« minh Trêng

25